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Números_Reais

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André Gustavo Campos Pereira
Viviane Simioli Medeiros Campos
Análise Real
Números reais
Autores
aula
03
D I S C I P L I N A
Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___ 
Nome:______________________________________
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Secretária de Educação a Distância
Vera Lucia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Pereira, André Gustavo Campos.
Análise real / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simiolli de Medeiros 
Campos. – Natal, RN: EDUFRN, 2009.
196 p.
ISBN: 
Conteúdo: Aula 01 – Revisando a linguagem matemática e o conceito 
de funções; Aula 02 – Conjuntos fi nitos e enumeráveis; Aula 03 – Números reais; 
Aula 04 – Sequências de números reais; Aula 05 – Desigualdades, operações com 
sequências e limites infi nitos; Aula 06 – Séries numéricas; Aula 07 – Limite de funções; 
Aula 08 – Funções contínuas; Aula 09 – Funções deriváveis; Aula 10 – Máximos e mínimos.
1. Análise matemática. 2. Enumerabilidade. 3. Limite. 4. Continuidade. 5. 
Derivadas. I. Campos, Viviane Simiolli de Medeiros. II. Título. 
CDD 515
RN/UF/BCZM 2009/66 CDU 517
Aula 03 Análise Real 1
Apresentação
N a aula 02 - Conjuntos Finitos e Enumeráveis estudamos várias propriedades dosconjuntos , e , por exemplo, que eles são infinitos e enumeráveis. Nesta aulairemos estudar o conjunto dos números reais . Vamos entender o que significa
ser um corpo ordenado completo. Será que , e também são corpos ordenados
completos? E é infinito e enumerável? Resumindo, qual a diferença e qual a relação entre
esses conjuntos?
Objetivos
Esperamos que ao final desta aula você seja capaz
de argumentar o que significa ser um corpo ser
ordenado completo. Saiba demonstrar e aplicar al-
gumas propriedades dos números reais bem como
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real2
Definições e operações
No conjunto dos números reais, que indicaremos por estão definidas duas oper-
ações:
1. Adição: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x + y ∈ .
2. Multiplicação: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x.y ∈ .
E estas operações definidas em satisfaçam aos seguintes axiomas:
Associatividade: Para quaisquer x, y, z ∈ tem-se:
(x + y) + z = x + (y + z) e (xy)z = x(yz);
Elementos neutros: Existem em dois elementos distintos 0 e 1 tais que:
x + 0 = x e x.1 = x;
Comutatividade: Para quaisquer x, y ∈ , tem-se:
x + y = y + x e x.y = y.x;
Inversos: Todo x ∈ possui inverso aditivo −x ∈ tais que x + (−x) = 0 e se x �= 0,
existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ tal que x.x−1 = 1.
Distributividade: Para quaisquer x, y, z ∈ , tem-se x(y + z) = xy + xz.
A todo conjunto que tem bem definida estas duas operações satisfazendo todas as pro-
priedades acima chamamos de corpo, sendo assim, é um corpo.
Atividade 1
Verifique se no conjunto dos números naturais as operações de adição e multiplicação
estão bem definidas e conclua se N é um corpo ou não.
Atividade 2
Verifique se o conjunto dos números inteiros Z é um corpo.
Atividade 3
Verifique se o conjunto dos números racionais Q é um corpo.
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Aula 03 Análise Real 3
Vamos demonstrar, nos exemplos a seguir, usando o fato de que é um corpo, várias
propriedades dos números reais, todas conhecidas e muito utilizadas.
Exemplo 1
Mostre que x.0 = 0,∀x ∈ .
Seja x ∈ . Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, e
x.1 = x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temos
x(1 + 0) = x.1 + x.0 = x + x.0 ⇒ x = x + x.0. Somando (−x) em ambos os membros,
temos x + (−x) = x + (−x) + x.0 ⇒ 0 = x.0. Logo, x.0 = 0,∀x ∈ .
Exemplo 2
Mostre que se xy = 0, então ou x = 0 ou y = 0.
Suponhamos y �= 0. Assim, ∃y−1 ∈ tal que yy−1 = 1. Logo,
xy = 0 ⇒ (xy)y−1 = 0y−1 ⇒ x(yy−1) = 0 ⇒ x = 0.
O caso é análogo para x �= 0.
A soma x + (−y) será indicada por x− y e chamada diferença entre x e y. Se y �= 0,
o produto xy−1 será representado por xy e chamado quociente de x por y.
A operação que a cada par x, y ∈ associa x−y será chamada subtração, e a operação
que a cada par x ∈ , y ∈ − {0} associa x
y
será chamada divisão.
Observação 1
Note que
x
y
só fará sentido se y �= 0, pois x
y
= xy−1, e só existe y−1 para y �= 0.
Exemplo 3
Mostre que o inverso aditivo de um número real é único.
Suponha que x ∈ possua dois inversos aditivos y, z ∈ . Logo, x + y = 0 e
x + z = 0. Assim,
x + y = 0 = x + z ⇒ (x + y) + y = (x + z) + y
⇒ 0 + y = (x + y) + z = 0 + z
⇒ y = z.
∴ o elemento inverso aditivo é único.
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real4
Exemplo 4
Mostre que o inverso multiplicativo de um número real é único.
Seja x ∈ , x �= 0 e y, z ∈ tais que xy = 1 e xz = 1. Assim,
xy = xz ⇒ (xy)y = (xz)y ⇒ y = xyz = z.
∴ o elemento inverso multiplicativo é único.
Exemplo 5
Mostre que x(−y) = −(xy).
xy+x(−y) = x(y+(−y)) = x0 = 0, ou seja, xy+x(−y) = 0. Logo, pela unicidade
do elemento inverso, temos x(−y) = −(xy).
Exemplo 6
Mostre que −(−x) = x.
Note que −(−x) é o inverso aditivo de −x. Como −x + x = 0, temos x = −(−x),
pela unicidade do inverso aditivo.
Exemplo 7
Mostre que x = y ⇔ −x = −y.
Inicialmente, mostremos que x = y ⇒ −x = −y.
x + (−x) = 0 ⇒ y + (−x) = 0 ⇒ y + (−y) + (−x) = 0 + (−y) ⇒ −x = −y.
Para mostrar que −x = −y ⇒ x = y, basta observar que
−x = −y ⇒ −(−x) = −(−y) ⇒ x = y.
Exemplo 8
Mostre que (x− y)(x + y) = x2 − y2.
x2 − y2 = xx− yy = xx+ xy− xy− yy = x(x− y) + y(x− y) = (x− y)(x+ y).
Exemplo 9
Mostre que se x2 = y2, então x = y ou x = −y.
x2 + (−y2) = y2 + (−y2) = 0 ⇒ x2 − y2 = 0 ⇒ (x− y)(x + y) = 0.
Disso, temos (x− y) = 0 ⇒ x = y ou (x + y) = 0 ⇒ x = −y.
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Aula 03 Análise Real 5
Ordenação
No conjunto dos números reais existe um subconjunto, que denotaremos por + chama
conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições:
i. A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ +,
então x + y ∈ + e xy ∈ +.
ii. Dado x ∈ , exatamente uma das três situações abaixo ocorre:
1. x = 0;
2. x ∈ +;
3. −x ∈ +.
Indicando − = {−x ∈ |x ∈ +} = {x ∈ |−x ∈ +}, pela propriedade 2 temos
= − ∪ + ∪ {0}, e essa união é disjunta. − é chamado conjunto dos números reais
negativos, ou seja, os números y ∈ − são chamados números reais negativos.
Exemplo 10
Mostre que todo número real x �= 0 tem quadrado positivo.
x ∈ − {0} ⇒ x ∈ + ou x ∈ −.
Se x ∈ +, então x.x ∈ +, ou seja, x2 ∈ +.