Aula 1 - Introdução às Equações Diferenciais - Exercícios

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 1: Introdução às Equações Diferenciais - Exercícios 
 
1) Classifique as equações diferenciais (lineares e 
não-lineares) e dê a ordem. 
 
a)
 1 '' 4 ' 5 cosx y xy y x   
 
 
b)
2' 2 1yy y x  
 
 
c)
3 2'''' '' 4 ' 3 0x y x y xy y   
 
 
d) 22
2
1
dy d y
dx dx
 
   
 
 
 
e)
   ''' cos ' 2senx y x y 
 
 
 
2) Prove usando derivação que a função dada é uma 
solução para a equação diferencial. (
1c
 e 
2c
 são 
constantes). 
 
a)
32 x
dy
y e
dx
 
; 
3 210x xy e e 
 
 
b)
2' 25y y 
; 
5 5y tg x
 
 
c) 
'y y senx 
;
1 1
cos 10
2 2
xy senx x e  
 
 
d)
1
' 1y y
x
 
;
lny x x
,
0x 
 
 
e) 2
2
2 0
d y dy
x
dx dx
 
;
1
1 2y c c x
 
 
 
f)
''' 3 '' 3 ' 0y y y y   
;
2 xy x e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Em certas circunstâncias, um corpo B de massa m 
em queda, como um paraquedista na figura abaixo, 
encontra resistência do ar proporcional à sua 
velocidade v. 
 
 
Usando a segunda lei de Newton obtemos: 
 
dv k
v g
dt m
 
 
 
Prove usando derivação que k
t
m
m
v g ce
k

 
 é solução 
da equação. 
 
4) O isótopo radioativo tório desintegra-se numa taxa 
proporcional à quantidade presente: 
 
dQ
kQ
dt

 
 0k 
 
 
Prove usando derivação que a quantidade no tempo t 
pode ser descrita pela equação: 
 
ktQ ce
. 
 
 
Gabarito 
 
1) 
a) Linear, segunda ordem. 
b) Não-linear, primeira ordem. 
c) Linear, quarta ordem. 
d) Não-linear, segunda ordem. 
e) Linear, terceira ordem. 
 
2) Demonstração 
 
3) Demonstração 
 
4) Demonstração