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Equações Diferenciais e Séries Professor Hans Aula 6: Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria Equações Homogêneas Uma equação diferencial de n-ésima ordem da forma 1 1 1 01 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 n n n nn n d y d y dy a x a x a x a x y dx dx dx É chamada homogênea, enquanto 1 1 1 01 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) n n n nn n d y d y dy a x a x a x a x y g x dx dx dx Com ( ) 0g x , é chamada não-homogênea. A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes como sendo funções homogêneas. Solução Geral das Equações Homogêneas Sejam 1 2, ,..., ny y y n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n-ésima ordem em um intervalo I. A solução geral para a equação no intervalo é definida por 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x c y x c y x Em que os ic , 1,2,...i n são constantes arbitrárias. Equações Diferenciais Lineares, Homogêneas, 2ª Ordem, com Coeficientes Constantes Seja a equação homogênea '' ' 0y by cy (b e c reais dados) e sejam 1 e 2 as raízes da equação característica 2 0b c Se 1 2 , 1 e 2 reais, a solução geral será 1 2 1 2 x xy c e c e (c1 e c2 reais) Se 1 2 , a solução geral será 1 2 x xy c e c xe (c1 e c2 reais) Se as raízes forem complexas, i , a solução geral será 1 2cos sen xy e c x c x (c1 e c2 reais) Equações de Ordem Superior No caso geral, para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem 1 1 1 0... ' ( ) 0 n n n na y a y a y a x y em que ia , 0,1,...,i n são constantes reais, devemos resolver uma equação polinomial de grau n 1 1 1 0... 0 n n n na m a m a m a Se todas as raízes são reis e distintas, então a solução geral é 1 2 1 2 ... nm xm x m x ny c e c e c e Quando 1m é uma raiz de multiplicidade k de uma equação auxiliar de grau n, pode ser mostrado que as soluções linearmente independentes são 1 1 1 12 1, , ,...,m x m m x m xke xe x e x e e a solução geral tem de conter a combinação linear 1 1 1 12 1 1 2 3 ,..., m x m m x m xk kc e c xe c x e c x e
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