Análise de Sistemas Discretos com Transformada Z

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Análise de Sistemas Discretos por 
Transformada-z
(Capítulo 5) (Capítulo 5) 
Tsang Ing Ren - tir@cin.ufpe.br
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco
CIn - Centro de Informática
Baseadas no material do Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Araújo
Conteúdo
• Introdução
• A Transformada-z
• A Transformada Inversa
• Propriedades da Transformada-z
• Solução de Equações Lineares de Diferenças
1-2
Transformada-z (i)
– A contraparte da transformada de Laplace para sistemas discretos no
tempo é a transformada-z. Esta ferramenta transforma equações de
diferenças em equações algébricas.
• Definições
– Dado um sinal x[n], a transformada-z (bilateral) é definida como:
complexa. variáveluma é onde ,][][ zznxzX n
n
−
∞
−∞=
∑=
1-3
– A transformada-z (bilateral) inversa é definida como:
• Tem-se uma integração no sentido anti-horário em torno de um caminho
fechado no plano complexo.
• A inversa será considerada através de tabela.
n −∞=
∫
−
= dzzzXjnx
n 1][
2
1][
pi
Transformada-z (ii)
• Definições:
][]}][{[ ou ][]}][{[
:Laplace de ada transformà teAnalogamen
]}[{][ e ][][ou ]}[{][
:como denotadas são inversa sua e -madaA transfor
11
1
zXzXZZnxnxZZ
zXZnxzXnxnxZzX
z
==
=⇔=
−−
−
1-4
– A Transformada-z Unilateral: A transformada (bilateral) inversa pode não ser
única enquanto que a transformada unilateral o é. Esta última pode apenas lidar
com sinais e sistemas causais. Na prática, o termo transformada-z, em geral,
significa transformada-z unidirecional. Esta é definida como:
– A expressão da inversa permanece a mesma.
complexa. variáveluma é onde ,][][
0
zznxzX n
n
−
∞
=
∑=
Transformada-z (iii)
• Características
– Linearidade da transformada-z:
.-ada transformde definição da ediretament decorre provaA 
][][][][ então
][][ e ][][ Sejam
22112211
2211
z
zXazXanxanxa
zXnxzXnx
+⇔+
⇔⇔
1-5
– Região de convergência (ROC):
• A região de convergência (ou região de existência) de X[z] é o conjunto de
valores de z para os quais existe (é convergente) o somatório que define a
transformada-z.
Transformada-z (iv)
– Exemplo:
então , como , definiçãoPor 
 para iaconvergênc de região sua e Determine
γγγγ
γ
γ
++





+





+





+=





=
≥==
=
∑
∑
∞
∞
=
−
zzzz
zX
nnuznuzX
nunxzX
n
n
nn
n
1][
0,1][][][
][][][
32
0
KK
1-6
. é de iaconvergênc de regiãoA 
 ou Logo
 : geométrica progressão a Para
γ
γγ
γγ
>
><
−
=
−
=
−
=++++<
++



+



+



+=



=∑
=
zzX
z
zz
z
z
zX
v
vvvv
zzzz
zX
n
][
1
1
1][
1
11)1(
1][
32
0
K
KK
Transformada-z (vi)
• Observações
– O papel de ROC é avaliar a transformada-z inversa que é calculada empregando-
se integração de caminho fechado no plano complexo, em torno da origem,
satisfazendo a condição de convergência. A transformada-z unilateral possui a
propriedade de unicidade logo a inversa é única. Consulte tabela para inversas.
00
se existe -ada transforma ,][][][ Considere z
z
nx
znxzX
n
n
n
n
== ∑∑
∞
=
∞
=
−
1-7
( ) ( )
0
00
0
000
0
00
1
1][ que se- temlogo
,][ :condição a satifaz , algum para , lexponencia a
 que lentamente mais cresça que ][ ,/][][
rz
z
rz
r
zX
rnxrr
nxznxzX
z
n
n
nn
n
n
nn
>
−
=





≤
≤
∀∞<≤
∑
∑
∞
=
∞
=
==
Transformada-z (vii)
( )
1
1
1111][ ];[][ (b)
001][ ;][][ (a)
]3[]2[]1[]0[][][ que se-Lembre
abaixo. discretos sinais dos ][ Determine :Exemplo -
32
32
0
>
−
=++++==
+++==
++++==
∞
=
−∑
z
z
z
z
zzz
zXnunx
zXnnx
z
x
z
x
z
x
xznxzX
zX
n
n
δ
K
K
K
1-8
( )
0111111][
 ]5[][][ (d)
1
1cos2
)cos(
2
1][ então
][ e /2cos como ];[cos][ (c)
4
234
432
2
≠
++++
=++++=
−−=
>
+−
−
=



−
+
−
=
−
⇔+==
−
−
z
z
zzzz
zzzz
zX
nununx
z
zz
zz
ez
z
ez
z
zX
z
z
nueennunnx
jj
nnjnj
β
β
γ
γββ
ββ
ββ
Transformada-z Inversa (i)
• Determinação da Transformada Inversa
– Busca-se expressar X[z] como o somatório de funções mais simples que
podem ser encontradas em tabelas.
32)3)(2(
198
)3)(2(
198
21 ⇒
−
+
−
=
−−
−
−−
−
z
k
z
k
zz
z
zz
z
z de inversa -datransforma a Encontre :Exemplo
1-9
]1[])3(5)2(3[][
3
5
2
3][
5
23
1924
)3)(2(
198
3
32
1916
)3)(2(
198
32)3)(2(
11
3
2
2
1
−+=⇒
−
+
−
=
=
−
−
=
−−
−
=
=
−
−
=
−−
−
=
−−−−
−−
=
=
nunx
zz
zX
zz
zk
zz
zk
zzzz
nn
z
z
 Logo,
Transformada-z Inversa (i)
3
)3/5(
2
)2/3()6/19(
)3)(2(
198
)3)(2(
198][
zzzzzz
z
zzz
z
z
zX
−
+
−
+
−
=
−−
−
−−
−
 
1-10
][])3(
3
5)2(
2
3[][
6
19][
33
5
22
3
6
19][
nunnx
z
z
z
z
zX
nn ++−=






−
+





−
+−=
δ
 
Transformada-z Inversa (ii)
• Determinação da Transformada Inversa
2)2()2(1
][
)2)(1(
)12112(][
)2)(1(
)12112(][
)2)(1(
)12112(
 de inversa -ada transforma Encontre :Exemplo
2
2
1
3
0
3
2
3
2
3
2
⇒
−
+
−
+
−
+
−
=
−−
+−
=∴
−−
+−
=
−−
+−
z
a
z
a
z
a
z
k
z
zX
zz
zz
z
zX
zz
zzz
zX
zz
zzz
z
1-11
2)2()2(
2
1
3][
2
12
12228
)2)(1(
)12112(
3)21(
12112
)2)(1(
)12112(
2)2()2(1
2
2
1
3
2
3
2
0
3
1
3
2
23
−
+
−
+
−
−
−
−=
−=
−
+−
=
−−
+−
=
−=
−
+−
=
−−
+−
=
−−−−
=
=
z
a
z
a
zzz
zX
zz
zz
a
zz
zzk
zzzzz
z
z
Transformada-z Inversa (iii)
• Determinação da Transformada Inversa
1111][
.3;1 : de potência de termosdos escoeficient os se-Igualando
2)2()2(
2
1
3
)2)(1(
)12112(][
)2)(1(
)12112(
 de inversa -ada transformão)(continuaç :Exemplo
21
2
2
1
33
2
3
2
zX
aaz
z
a
z
a
zzzz
zz
z
zX
zz
zzz
z
=−=
−
+
−
+
−
−
−
−=
−−
+−
=
−−
+−
1-12
][)2)(12(
4
13][
][)2(3)2(
2
)2(
8
)1(23][ Resulta
)(][!
)1()2)(1(
 e ][ Como
2
13)2(
1
)2(
12
1
13][
2
1
23
nunnnx
nu
nnn
nx
z
z
nu
m
mnnnn
z
z
nu
zzzzz
zX
n
nnn
m
m
m
n




−++−=
∴


 +−
−
−−=
−
⇔
+−−−
−
⇔
−
+
−
−
−
−
−
−=
+γ
γ
γγ
γ K
Transformada-z Inversa (iv)
• Determinação da Transformada Inversa
)43)(43)(1(
)173(2
)256)(1(
)173(2][
)256)(1(
)173(2
 de inversa -ada transforma Encontre :Exemplo
2
2
+−−−−
+
=
+−−
+
=
+−−
+
jzjzz
zz
zzz
zz
zX
zzz
zz
z
1-13
2)2561(
)173(2
)256)(1(
)173(2
)43()43()1()43)(43)(1(
)173(2][
:ordem primeira de fatores dos métodopor escoeficinet dos Cálculo
1
21
321
=
+−
+
=
+−−
+
=
⇒
+−
+
−−
+
−
=
+−−−−
+
=
=z
zzz
zk
jz
k
jz
k
z
k
jzjzz
z
z
zX
Transformada-z Inversa (v)
• Determinaçãoda Transformada Inversa
6.181324522452
)4343)(143(
)17129(2
)43)(43)(1(
)173(2
)256)(1(
)173(2
 de inversa -ada transformão)(continuaç :Exemplo
246.2
43
2
2
ekjkjkj
jjj
j
jzjzz
zk
zzz
zz
z
j
jz
=∴
+
=∴
+
=∴
+
=
+−+−+
++
=
+−−−−
+
=
+−−
+
−
+=
1-14
][)]246.2927.0cos()5(2.32[][ Finalmente
6.1
84
813
3216
2452
)8)(42(
2452
)4343)(143(
)17129(2
)43)(43)(1(
)173(2
6.1
84
813
3216
2452
)8)(42(
2452
246.2
233
43
3
246.2
222
nunnx
ekj
jkj
jkjj
j
jjj
j
jzjzz
zk
ekj
jkj
jkjj
j
n
j
jz
j
−+=
=∴
+−
−
=∴
+−
−
=∴
−+
−
=
−−−−−
+−
=
+−−−−
+
=
=∴
−
+
=∴
−
+
=∴
+
+
=
−=
−
Propriedades da Transformada-z (i)
• Motivação:
– Úteis para encontrar a transformada-z e para se determinar soluções de
equações lineares de diferenças.
• Deslocamento à Direita no Tempo (Atraso):
∑
=
−−
−+⇔−
m
n
nmm znxzzXznumnx
1
][][][][
1-15
• Deslocamento à Esquerda no Tempo (Avanço):
• Convolução:
∑
−
=
−
−⇔+
1
0
][][][][
m
n
nmm znxzzXznumnx
 ][][][][ tempono Convolução
][][ e ][][ Considere
2121
2211
nXnXnxnx
zXnxzXnx
⇔∗
⇔⇔
Propriedades da Transformada-z (ii)
• Resposta de Sistema LTID
• Multiplicação por (Escalonamento no Domínio-z):
• Multiplicação por n:
][][][ então ,][][ que seSabendo
][*][][ :saída-entrada Equação
zHzXzYzHnh
nhnxny
=⇔−
=
d
−⇔⇔
nγ
[ ]γγ /][][ então ,][][][ Se zXnunxzXnunx n ⇔⇔
1-16
• Reversão no Tempo:
• Valores Iniciais e Finais:
][][][ então ,][][][ Se zX
dz
d
znunxnzXnunx −⇔⇔
[ ]zXnxzXnx /1][ então ,][][ Se ⇔−⇔
existirem. limites os se ,][)1(lim][lim :finalvalor 
];[lim]0[ :inicial valor causal, ][ Para
1
zXzNx
zXxnx
zN
z
−=
=
→∞→
∞→
Soluções de Equações (i)
• Equações de Diferenças
– A propriedade de deslocamento no tempo (atraso ou avanço) é empregada
para resolução de equações de diferenças com coeficientes constantes.
Converte-se equações de diferenças em equações algébricas e encontram-se
as soluções no domínio-z. A transformada inversa determina a solução no
domínio do tempo.
– Exemplo:
1-17
]2[5]1[3]2[6]1[5][
 :atraso deoperador para expressão a se-escreve-re
),auxiliares condições de invés (ao iniciais condiçõesutilizar poder Para
][2][ entrada ;36/37]2[ e 6/11]1[ iniciais condições
][5]1[3][6]1[5]2[
 :ordem segunda de diferenças de equação a Resolva
−+−=−+−−
==−=−
++=++−+
−
nxnxnynyny
nunxyy
nxnxnynyny
n
Soluções de Equações (ii)
• Equações de Diferenças
– Exemplo (continuação):
3711111
6
11][1]1[][1][]1[
];[][][ :se- tem][ sinal o Para
]2[5]1[3]2[6]1[5][
++=−+−+⇔−
+=−+⇔−
⇔
−+−=−+−−
zY
z
yzY
z
nuny
zYnunyny
nxnxnynyny
1-18
)5.0(
100][1]2[]1[1][1][]2[
5.0
10
5.0
1]1[][1][]1[
)5.0/(][)5.0(][)2(][ :entrada a Para
0][]2[]1[ :causais sistemas Para
36
37
6
11][1]2[]1[1][1][]2[
22
22
−
=++=−+−+⇔−
−
=+
−
=−+⇔−
−⇔==
=−==−=−
++=−+−+⇔−
−
zz
zX
z
xx
z
zX
z
nunx
zz
z
z
xzX
z
nunx
zznununx
nxxx
z
zY
z
yy
z
zY
z
nuny
nn
K
Soluções de Equações (iii)
• Equações de Diferenças
– Exemplo (continuação):
53113][651
)5.0(
15
5.0
13
36
37
6
11][16
6
11][15][
se- tem,]2[5]1[3]2[6]1[5][ se-Tomando
2
zY
zzzz
zY
z
zY
z
zY
nxnxnynyny
∴+=



−−


 +−
∴
−
+
−
=


 +++


 +−
−+−=−+−−
1-19
( ) ( )
( )
][)3(
5
18)2(
3
7)5.0(
15
26][
3
)5/18(
2
)3/7(
5.0
)15/26(
3)2)(5.0(
)5.105.93(][
65)5.0(
)5.105.93(][
)5.0(
)5.105.93(][65
)5.0(
5
5.0
3113][651
2
2
22
2
2
nuny
zzzzzz
zz
z
zY
zzz
zz
z
zY
z
zzz
zYzz
zzzz
zY
zz
nnn



 +−=
−
+
−
−
−
=
−−−
+−
=
+−−
+−
=∴
−
+−
=+−
∴
−
+
−
=





−−




 +−
Soluções de Equações (iv)
– Exemplo (continuação):
2
2
2
por se-ndomultiplica ,)5.0(
)53(113][651
)5.0(
5
5.0
3113][651
:zero estado e zero entrada de scomponente dos Separação
∴
−
+
+





−=




 +−
∴
−
+
−
=





−−




 +−
z
zz
z
z
zY
zz
zzzz
zY
zz
1-20
444 3444 2143421
zero estado de resposta
2
zero entrada de resposta
2
2
2
)65)(5.0(
)53(
)65(
)113(][
5.0
)53()113(][)65(
por se-ndomultiplica ,)5.0(3][1
+−−
+
+
+−
−
=
−
+
+−=+−
∴
−
+



−=



+−
zzz
zz
zz
zz
zY
z
zz
zzzYzz
z
zzz
zY
zz
Soluções de Equações (v)
– Exemplo (continuação):








−
+



−
−



−
+







−
−



−
=
+−−
+
+
+−
−
=
28222625][
:se- tem termos,ambos Expandindo
)65)(5.0(
)53(
)65(
)113(][
zero estado de resposta
2
zero entrada de resposta
2
zzzzz
zY
zzz
zz
zz
zz
zY
444 3444 2143421
1-21
[ ]
∴


 ++−=
∴


 ++−−=




 −
+


 −
−


 −
+



 −
−


 −
=
][)5.0(
15
26)3(
5
18)2(
3
7][
][)5.0(
15
26)3(
5
28)2(
3
22)3(2)2(5][
35235.0153
2
2
5][
zero estado de resposta
zero entrada de resposta
zero estado de respostazero entrada de resposta
nuny
nuny
zzzzz
zY
nnn
nnnnn
44444 344444 21
4434421
4444444 34444444 21444 3444 21
Exercícios Recomendados
• Propostos para o MATLAB ou SCILAB
– Todos
• Problemas
– 5.1-1 até 5.1-5
– 5.2-1 até 5.2-7.
– 5.3-1 até 5.3-10.
1-22
– 5.3-1 até 5.3-10.