Modelagem

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Cálculo II 
Exercícios 
1- Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 9 m de raio. Cortando-
se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da 
tenda para que o seu volume seja máximo? Qual é esse volume? 
 
 
 
92 = r2 + h2 
81 = r² + h² 
r² = 81 − h² 
 
 
V = 
π∙(81−h2)∙h
3
 
V = 
81πh − πh³
3
 
V′ = 
81π − 3πh²
3
 
V′ = 27π − πh² 
 
 
 
2- Com uma corda de 120 m de comprimento se deseja cercar dois jardins: Um 
quadrado e outro circular. Sabendo que a lateral do quadrado e o raio do circulo são medidas 
distintas. Determine o comprimento de corda destinado a cada jardim para que a soma das 
medidas das superfícies seja mínima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑽𝒄𝒐𝒏𝒆 = 
𝝅𝒓²𝒉
𝟑
 
 
𝑮² = 𝒓² + 𝒉² 
 
 
 
27π − πh2 = 0 
− πh2 = −27π 
h² = 
−27π
−π
 
h = √27 
𝐡 = 𝟓, 𝟏𝟗 𝐦 
r2 = 81 − h2 
r² = 81 − (5,19)² 
r² = 81 − 26,93 
r = √54,07 
𝐫 = 𝟕, 𝟑𝟓 𝐦 
 
x 
x 
𝐏 = 𝟒𝐱 
𝐀 = 𝐱² 
𝐏 = 𝟐𝛑𝐫 
𝐀 = 𝛑𝐫² 
 
𝐏 = 𝟒𝐱 + 𝟐𝛑𝐫 = 𝟏𝟐𝟎 
𝐀 = 𝐱² + 𝛑𝐫² 
 
 
 
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Cálculo II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4x + 2πr = 120 
2πr = 120 − 4x 
r =
120 − 4x
2π
 
A = x² + π ∙ (
120 − 4x
2π
)
2
 
A
= x² + π ∙ (
14400 − 480x − 480x + 16x²
4π²
) 
A = x² + (
14400 − 960x + 16x²
4π
) 
A = x² +
3600 − 240x + 4x²
π
 
A = 
x²π + 3600 − 240x + 4x²
π
 
A′ = 2x −
240
π
+
8x
π
 
2x − 
240
π
+
8x
π
= 0 
2x +
8x
π
=
240
π
 
x ∙ (2 +
8
π
) = 
240
π
 
𝑥 =
240
𝜋
2𝜋 + 8
𝜋
 
x = 
240
2π + 8
 
𝐱 = 𝟏𝟔, 𝟖 𝐦 
𝑟 =
120 − 4 ∙ 16,8
2𝜋
 
𝐫 = 𝟖, 𝟒 𝐦 
 
 
 
 
 
 
P = 4 ∙ 16,8 ↔ 𝐏 ≅ 𝟔𝟕, 𝟐 𝐦 
P = 2π ∙ 8,4 ↔ 𝐏 ≅ 𝟓𝟐, 𝟖 𝐦 
Metragem de corda utilizada 
• Jardim quadrado: 
• Jardim circular: 
 
 
 
3 
Cálculo II 
3- Para imprimir um banner com 19200cm² de área impressa, margens superior e 
inferior de 6cm cada e margens laterais de 2cm cada uma. Quais as dimensões da folha para 
minimizar o gasto de papel? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L x C 
At = 48 + 4 ∙ (
19200
x
) + 12x + 19200 
At = 19248 +
76800
x
+ 12x 
At′ = −76800 ∙ (
1
x2
) + 12 
At′ =
−76800
x2
+ 12 
−76800
x²
= −12 → −76800 = −12x² 
x² = 
−76800
−12
 → x² = 6400 → x = √6400 
𝐱 = 𝟖𝟎 𝐜𝐦 
𝑦 =
19200
80
 
𝐲 = 𝟐𝟒𝟎 𝐜𝐦 
 
 
(2 + 2 + x) ∙ (6 + 6 + y) 
𝟒 + 𝐱 ∙ 𝟏𝟐 + 𝐲 
Ai = x ∙ y = 19200 
𝐱 ∙ 𝐲 = 𝟏𝟗𝟐𝟎𝟎 
𝐲 =
𝟏𝟗𝟐𝟎𝟎
𝐱
 
At = (4 + x) ∙ (12 + y) 
At = 48 + 4y + 12x + x ∙ y 
 
 
(4 + x) ∙ (12 + y) → 𝟖𝟒 × 𝟐𝟓𝟐 
• Dimensões da Folha: 
 
 
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Cálculo II 
4- Determine as medidas da base e da altura de um prisma regular reto de base 
quadrada que comporta 80m³ de volume, levando em consideração que o material das bases 
custa R$ 300 o metro quadrado e o material da lateral custa R$ 190 o metro quadrado. Utilize 
a função custo de modo a garantir o menor gasto possível com material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- A janela de uma casa tem a forma de um retângulo sobreposto por um semicírculo. 
Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitem uma 
maior entrada de luz. 
 
 
Dados: 
V= 80cm³ 
Preço Material Lateral: R$ 190,00 
Preço Material Base: R$ 300,00 
Ab= x² 
Al= 4x.h 
V= Ab.h 
 
At = x2 + 4x ∙ h 
At = 600x2 + 760xh 
At = 600x2 + 760x ∙ (
80
x2
) 
At = 600x² +
60800
x
 
At′ = 1200x −
60800
x²
 
V = x2 ∙ h 
80 = x² ∙ h 
𝐡 =
𝟖𝟎
𝐱²
 
 
1200𝑥 −
60800
𝑥2
= 0 
1200𝑥 =
60800
𝑥²
 
x3 =
60800
1200
 → x = √
60800
1200
3
 
𝐱 = 𝟑, 𝟕𝟏𝐦 
h =
80
(3,71)2
 
𝐡 = 𝟓, 𝟖𝟏𝐦 
 
𝐀 = 𝟐𝐱 ∙ 𝐲 +
𝛑𝐱²
𝟐
 
𝐏 = 𝟐𝐱 + 𝟐𝐲 +
𝟏
𝟐
𝟐𝛑𝐱 
Retângulo: 
𝐴 = 2𝑥 ∙ 𝑦 𝑃 = 2(𝑥 + 𝑦) 
Semicírculo: r = x 
𝐴 = 
1
2
𝜋𝑥2 𝑃 =
1
2
2𝜋𝑥 
P = 2x + 2y + πx 
2x + 2y + πx = 714 
𝟐𝐲 = 𝟕𝟏𝟒 − 𝟐𝐱 − 𝛑𝐱 
A(x) = x ∙ (714 − 2x − πx) +
πx²
2
 
A(x) = 714x − 2x2 − πx2 +
πx²
2
 
A′(x) = 714 − 4x − 2πx + πx 
714 − 4x − πx = 0 
x(π + 4) = 714 
x =
714
π + 4
 → 𝐱 = 𝟗𝟗, 𝟗𝟕𝐜𝐦 
 
y =
714 − 2 ∙ (99,97) − π ∙ (99,97)
2
 
𝐲 = 𝟗𝟗, 𝟗𝟗𝐜𝐦