Matemática Para Economia - Slides - Unidade III

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Unidade III 
 
 
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA 
 
 
 
Profa. Deiby Gouveia 
Introdução ao conceito de Funções 
Objetivo 
 Conceito de função. 
 A álgebra dos conjuntos. 
 Operações com conjuntos. 
 Diagrama de Venn-Euler. 
Relações 
 Para ordenado. 
 Funções polinomiais. 
 Função de 1º grau (função afim). 
 Função de 2º grau. 
A Álgebra dos Conjuntos 
 Conjuntos: agrupamentos, classes, categorias de elementos 
que têm uma característica em comum. 
 Exemplo: A = conjunto dos alunos do primeiro ano do curso de 
Matemática da UNIP. 
 Elementos: são as entidades que possuem a característica que 
define o conjunto. 
 Exemplo: A = {Fernanda,Laís,Vítor} 
 Número de elementos: n(A) = 3 
 
Representação dos Conjuntos 
Os conjuntos, com seus elementos, admitem, principalmente, 
três tipos principais de representação: 
 Enumeração 
 Números naturais = N = {1, 2, 3, 4} 
 Sobrinhos do Donald = {Huguinho, Zezinho, Luisinho} 
 Lei de formação 
 A = {x ∈ Z / 0 ≤ x ≤ 4} 
 B = {seleções campeãs da copa do mundo} 
 
Representação dos Conjuntos 
Diagrama de Venn-Euler: 
 
A B 
 
0 1 2 8 
3 4 
a b 
 
 c d 
Operações com Conjuntos 
 União: composição de todos os elementos. 
 A ∪ B = { x/ x ∈ A ou x ∈ B} 
 
 
 
 
 
 Exemplo: dados os conjuntos A={1,4,8} e B={7,8}. 
 A ∪ B = {1,4,7,8} 
 
 
Operações com Conjuntos 
Exemplo: 
Operações com Conjuntos 
 Intersecção: elementos comuns. 
 A ∩ B = { x/ x ∈ A e x ∈ B} 
 
 
 
 
 
 Exemplo:dados os conjuntos A={1,4,8} e B={7,8} 
 A ∩ B = {8} 
 
 
Operações com Conjuntos 
Exemplo: 
Operações com Conjuntos 
 Obs.: Se A ∩ B = φ, dizemos que A e B são conjuntos Disjuntos 
 
 A B 
Operações com Conjuntos 
Diferença simétrica 
 A - B = { x/ x ∈ A e x ∉ B} 
 
 
 
 
 
 Exemplo: dados os conjuntos A={1,4,8} e B={7,8} 
 A - B = {1, 4} 
 B - A = { 7 } 
 
 
Operações com Conjuntos 
Exemplo: 
 
Operações com Conjuntos 
Complementar 
 CAB = A = A – B = { x/ x ∈ A e x ∉ B} 
 CAB - Lê-se: complementar de B com relação a A. 
 O complementar de um conjunto A é o conjunto B formado 
por todos os elementos que não apresentam a característica 
que define o conjunto A, ou seja, todos os elementos que 
não pertencem a A. 
Operações com Conjuntos 
 Ex.: A = cores primárias = {azul, amarelo, vermelho} 
A = cores não primárias = {verde, laranja, roxo, rosa, cinza, ocre etc.} 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 Seja A = { 0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
A ∪ B = A ∩ B = 
A – B = B – A = 
CAB = A – B = CBA = B - A = 
Exemplo 1 
 Seja A = { 0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
A ∪ B = { 0, 1, 2, 3} A ∩ B = {0, 2} 
A – B = { 1, 3} B – A = φ 
CAB = A – B = { 1, 3} CBA = B - A = φ 
Exemplo 2 
Seja S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, determinar o complementar 
dos conjuntos: 
A = { 2, 3, 4} ⇒ 
B = { 3, 4, 5, 6} ⇒ 
C = φ ⇒ 
Exemplo 2 
Seja S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, determinar o complementar 
dos conjuntos: 
A = { 2, 3, 4} ⇒ A = {0, 1, 5, 6} 
B = { 3, 4, 5, 6} ⇒ B = {0, 1, 2} 
C = φ ⇒ C = { S } 
Diagrama de Venn-Euler 
Represente, através do diagrama de Venn-Euler, os dados abaixo: 
 alunos que gostam só de matemática: 35. 
 alunos que gostam só de português: 18. 
 alunos que gostam das duas disciplinas: 31. 
 alunos que não gostam de nenhuma: 16. 
 
 
Diagrama de Venn-Euler 
Represente, através do diagrama de Venn-Euler, os dados abaixo: 
 alunos que gostam só de matemática: 35. 
 alunos que gostam só de português: 18. 
 alunos que gostam das duas disciplinas: 31. 
 alunos que não gostam de nenhuma: 16 . 
 
 
Exemplo 3 
 Sejam os conjuntos A : { 0, 1, 2, 4, 5} e B: {0, 2, 4, 6} 
 Determinar: (A ∩ B ) - A = 
Exemplo 3 
 Sejam os conjuntos A : { 0, 1, 2, 4, 5} e B: {0, 2, 4, 6} 
 Determinar: (A ∩ B ) - A = 
Resolvendo por partes: 
 (A ∩ B ) = { 0, 2, 4} 
 (A ∩ B ) – A = φ 
Exemplo 3 
 Sejam os conjuntos A : { 0, 1, 2, 4, 5} e B: {0, 2, 4, 6} 
 Determinar: (A ∩ B ) - A = 
Diagrama de Venn Euler 
 
A ∩B (A ∩B) – A 
A B A ∩B A 
 0 
 6 
1 2 
 
5 4 
 
 0 
 2 1 
 4 
 5 
 
Exemplo 4 
Sendo A: {x∈ Z/ x < 7} e B: { x ∈ Z/ 1 ≤ x < 8}. Represente o 
conjunto A e B pelo diagrama de Venn Euler e determine: 
 A ∪ B , A ∩ B, A – B, B – A, CAB e CBA 
 
 
 
 
Exemplo 4 
Sendo A: {x∈ Z/ x < 7} e B: { x ∈ Z/ 1 ≤ x < 8}. Represente o 
conjunto A e B pelo Diagrama de Venn Euler e determine: 
 A ∪ B , A ∩ B, A – B, B – A, CAB e CBA 
Enumerando 
 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 
 
 
 
Exemplo 4 
Sendo A: {x∈ Z/ x < 7} e B: { x ∈ Z/ 1 ≤ x < 8}. Represente o 
conjunto A e B pelo Diagrama de Venn Euler e determine: 
 A ∪ B , A ∩ B, A – B, B – A, CAB e CBA 
Enumerando: 
 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
Diagrama de Venn Euler A B 
 
 
 1 
 2 7 
0 3 4 
 5 
 6 
Exemplo 4 
 A B 
 
 
 
 
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
A ∩ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
A – B = { 0 } 
B – A = { 7 } 
CAB = A – B = { 0} 
CBA = B – A = { 7 } 
 
 1 
 2 7 
0 3 4 
 5 
 6 
Exemplo 5 
Reconheça no diagrama abaixo, quem são os conjuntos 
hachurados: 
a) 
Exemplo 5 
Reconheça, no diagrama abaixo, quem são os conjuntos 
hachurados: 
a) Resposta: temos na figura 3 
conjuntos: A, B e C, estando 
hachurado o conjunto A, sendo: 
A ∩ B (hachurado), 
A ∩ C (não hachurado) e 
A ∩ B ∩ C (não hachurado). 
 
 
 Portanto, temos representado por hachura todo o conjunto 
A menos o conjunto C: A – C. 
 
Exemplo 5 
Reconheça, no diagrama abaixo, quem são os conjuntos 
hachurados 
b) , 
Exemplo 5 
Reconheça, no diagrama abaixo, quem são os conjuntos 
hachurados 
b) Resposta: Temos na figura 3 
conjuntos: A, B e C, estando 
hachurado o conjunto B e C: 
B ∩ C (hachurado) 
A ∩ C (não hachurado), 
A ∩ B (não hachurado) e 
A ∩ B ∩ C (não hachurado). 
 
 Portanto, temos representado por hachura a soma dos 
conjuntos B e C, menos o conjunto A: (B U C) - A. 
Exemplo 6 
 Foi feita uma pesquisa de mercado com 1.000 consumidores e 
o resultado foi que 868 assistem regularmente à televisão, 743 
leem regularmente uma revista semanal e 83 não fazem nem 
um nem outro. Faça o diagrama de Venn-Euler. 
Exemplo 6 
Organizando as ideias: 
1000 consumidores 868 assistem à TV 
 743 leem uma revista semanal 
 83 não fazem nem um e nem outro 
 Total 1694 
 
1694 - 1000 = 694 (TV e R) 
868 - 694 = 174 (só TV) 
743 - 694 = 49 (só R) 
Organizando as ideias: 
1000 consumidores 868 assistem TV 
 743 leem uma revista semanal 
 83 não fazem nem um e nem outro 
 Total 1694 
 
1694 - 1000 = 694 (TV e R) 
868 - 694 = 174 (só TV) 
743 - 694 = 49 (só R) 
Exemplo 6 
T R 
 
 
 174 694 49 
 
 
83 U 
Interatividade 
Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de 
uso e constatou-se que 4.000 deles tinham problemas de 
imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não 
apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então, o 
número de aparelhos que apresentavam somente problemas de 
imagem é: 
a) 4.000 
b) 3.700 
c) 3.500 
d) 2.800 
e) 2.500 
 
Par Ordenado 
Sejam os conjuntos A e B (não vazios), chamamos de Par 
Ordenado dos elementos de A e B ao par (a,b), onde: 
 a ∈ A e b ∈ B 
Exemplo: Sejam H = {Daniel, Hélio, Marcos} e 
M= {Ana, Luiza, Marcela, Simone} 
(Daniel, Ana) → é par ordenado de H e M, pois Daniel ∈ H e 
Ana ∈ M 
(Ana, Daniel) → não é par ordenado de H e M, pois Ana ∉ H e 
Daniel ∉ M 
Plano Cartesiano 
O plano cartesiano é constituído por dois eixos: 
x - eixo das abscissas 
y - eixo das ordenadas 
 Perpendiculares entre si, que se cruzam na origem. 
 Cada ponto P = (a, b) do plano cartesiano é formado por um 
Par Ordenado de números, indicados entre parênteses (a 
abscissa e a ordenada), respectivamente. 
 Esse par ordenado representa as coordenadas de um ponto. 
 
Plano Cartesiano 
Exemplo: Situemos o par ordenado (4,3) no plano. 
 Resolução: O primeiro componente, 4, é representado sobre 
o eixo das abscissas e o segundo componente, 3, sobre o eixo 
das ordenadas. 
Exemplo 
De acordo com a representação gráfica abaixo, o par ordenado 
do ponto A, B e C são, respectivamente: 
Exemplo 
De acordo com a representação gráfica abaixo, o par ordenado 
do ponto A, B e C são, respectivamente: 
 
 
B = (6, 5) 
A= (-5,3) 
 
 
 
C = (4,5 ; -3,5) 
 
Produto cartesiano 
 Definição: conjunto de todos os pares (x, y), tais que x 
pertence a A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B 
A x B = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} 
 
Ex.: A = {1, 2} e B = {2, 4, 6} 
Produto cartesiano 
 Definição: conjunto de todos os pares (x, y), tais que x 
pertence a A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B. 
A x B = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} 
 
Ex.: A = {1, 2} e B = {2, 4, 6} 
 
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), 
(2,2), (2,4), (2,6)} 
Representação do produto cartesiano 
Diagrama cartesiano 
 A = {1, 2} e B = {2, 4, 6} 
 A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), 
 (2,2), (2,4), (2,6)} 
 
Representação do produto cartesiano 
Diagrama de Venn-Euler 
 A = {1, 2} e B = {2, 4, 6} 
 A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), 
 (2,2), (2,4), (2,6)} 
 
Relação binária 
 Definição: qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B 
é chamado de “relação de A em B”. 
 A relação específica que envolve o produto cartesiano de dois 
conjuntos é chamada de “relação binária”. 
 Representa-se a relação binária por R: A → B 
 
Relação binária 
Sejam A = { -2, -1, 1, 2} e B = {1, 4}. Sabendo que 
 R = { (a,b) ∈ A x B / b = a2} 
1° passo: 
 A x B = { (-2, 1) (-2, 4) (-1, 1) (-1, 4) (1, 1) (1, 4) (2, 1) (2, 4)} 
2° passo: identificar a condição b = a2 
 A x B = { (-2, 1) (-2, 4) (-1, 1) (-1, 4) (1, 1) (1, 4) (2, 1) (2, 4)} 
Logo R = { (-2,4) (-1,1) (1,1) (2,4)} 
 
Relação binária 
 Representando graficamente R = { (-2,4) (-1,1) (1,1) (2,4)} 
 
Domínio, contradomínio e imagem de relação binária 
Domínio de uma relação 
 conjunto de todos os elementos de A que estão na relação, 
ou seja, que têm seu respectivo par em B. 
 notação: D(R) ou Dom(R) 
Contradomínio de uma relação 
 conjunto de chegada, o conjunto que compõe o segundo 
elemento dos pares ordenados. 
 notação: C(R) ou CD(R) 
Obs.: o CD é formado por todos os elementos do segundo 
conjunto, independentemente de estarem na relação ou não. 
Domínio, contradomínio e imagem de relação binária 
Imagem de uma relação 
 conjunto dos elementos do segundo conjunto que estão 
na relação. 
 Notação: I ou Im(R) 
Exemplo 1 
Sendo A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8} 
a) Descreva o conjunto de pares ordenados da relação: 
R = { xRy / y = 2x} 
Exemplo 1 
Sendo A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8} 
a) Descreva o conjunto de pares ordenados da relação: 
R = { xRy / y = 2x} 
Relação dada: y = 2x 
 
 
 
 
não é par ordenado. 
não é par ordenado. 
Assim, a relação R será: R = {(1, 2) ; (2,4)} 
x y = 2x Par ordenado 
1 2 (1,2) 
2 4 (2,4) 
5 10 (5,10) 
6 12 (6.12) 
Exemplo 1 
Sendo A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8} 
b) Identifique o domínio, contradomínio e imagem da relação: 
R = { xRy / y = 2x} 
Exemplo 1 
Sendo A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8} 
b) Identifique o domínio, contradomínio e imagem da relação 
R = { xRy / y = 2x} 
Resposta 
Relação encontrada foi: R = {(1, 2) ; (2,4)} 
D(R) = {1, 2} 
CD(R) = {2, 4, 6, 8} 
Im(R) = {2, 4} 
A y = 2x 
1 2 
2 4 
5 10 
6 12 
Exemplo 2 
Considere a relação binária f: A → B tal de A = {2, 3, 4} e 
 B = {3, 4, 5, 6}. Determine o conjunto f sabendo que: 
 f = {(x,y) ∈ A x B/ x divide y} 
 Resposta: devemos determinar o conjunto de todos os pares 
ordenados (x, y) do produto cartesiano A X B, de tal forma que 
o 1° elemento x divida o 2° elemento y. 
Como (x,y) ∈ A X B, temos: 
 
 
Exemplo 2 
 f : A → B tal de A = {2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. 
 Condição: f = {(x,y) ∈ A x B/ x divide y} 
I. Se x = 2 ⇒ 2 divide 4 e 2 divide 6 ⇒ (2,4) e (2,6) são 
conjuntos de f 
II. Se x = 3 ⇒ 3 divide 3 e 3 divide 6 ⇒ (3,3) e (3,6) são 
conjuntos de f 
III. Se x = 4 ⇒ 4 divide 4 ⇒ (4, 4) é conjunto de f 
 Assim, f: {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)} 
 
 
Exemplo 3 
 A = {-3, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}, calcule o domínio 
e a imagem da função f : A → B, tal que f (x) = x2. 
Exemplo 3 
 A = {-3, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}, calcule o domínio 
e a imagem da função f : A → B tal que f (x) = x2. 
Lei de formação: f : A → B tal que f (x) = x2 
D = {-3, -1, 0, 1, 2} 
Im = {0, 1, 4, 9} 
x f (x) = x2 Par ordenado 
-3 9 (-3, 9) 
-1 1 (-1, 1) 
0 0 (0, 0) 
1 1 (1, 1) 
2 4 (2, 4) 
Interatividade 
Seja uma função f, de A em R, definida por f(x) = 4 – 3x2. 
Se A = {-2, -1, 0, 1, 2}, o conjunto imagem de f é: 
a) {1, 8, 4} 
b) {-8, -4, 1} 
c) {-8, -1, 4} 
d) {-8, -1, -4} 
e) {-8, 1, 4} 
Funções Polinomiais 
Função ⇒ relação com duas características específicas: 
I. O domínio da função é o primeiro conjunto. 
Isso quer dizer que todos os elementos do conjunto de 
partida estão na relação. 
II. Cada elemento do domínio tem somente um par. 
Não há um mesmo x para dois y diferentes. 
 Assim, toda relação que apresenta as duas características 
anteriores é também chamada de função. 
Exemplo 1 
 R1: A → B R2: A → B 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
Exemplo 1 
R1: A → B R2: A → B 
 
 
 
 
 
 Não é função Não é função 
 (o elemento 4 de A não (o elemento 2 de A 
está associado a qualquer possui 2 imagens) 
 Elemento de B) 
 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
Exemplo 1 
 R3: A → B 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
Exemplo 1 
 R3: A → B 
 
 
 
 
 
É função (cada elemento de A está associado a um único 
elemento de B). 
1 
2 
3 
4 
1 
2 
3 
4 
5 
Exemplo 2 
Quais dos diagramas abaixo não representam função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 Quais dos diagramas abaixo não representam função? 
 
 
 
 
 
 
Resposta: (1) e (5). 
 
 
Exemplo 3 
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. 
Qual é o elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. 
Qual é o elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2? 
Resposta: O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor 
de x que tem f(x) igual a – 2, ou seja: 
 f(x) = – 2 ⇒ x + 2 = – 2 ⇒ x = – 2 – 2 ⇒ x = – 4 
 O valor do domínio que tem imagem –2 é x = – 4. 
 
 
 
 
 
 
 
Função 
Função ⇒ y = f(x) 
Ex.: - O salário mensal S 
salário X hora ⇒ S = f(h)- Preço do prato em restaurante por kg 
preço X gramas ⇒ P = f (kg) 
- Valor da corrida de taxi 
preço X quilômetros ⇒ P = f (km) 
Função 
Funções a serem estudadas 
 Função Polinomial do 1° grau. 
 Função Linear. 
 Função Constante. 
 Função Polinomial do 2° grau. 
Função Polinomial do 1° grau ou Função Afim 
 Definição: qualquer função de f de R em R dada por uma lei de 
formação. 
f : R → R, f(x) = ax + b, a e b ∈ R, a ≠ 0 e b ≠ 0 
 a = Coeficiente angular. 
 b = Coeficiente linear. 
Exemplo: f(x) = 4x + 5 ⇒ a = 4 b = 5 
 f(x) = -3x + 22 ⇒ a = -3 b = 22 
Exemplo 1 
Na conta telefônica de uma residência, o valor a ser pago é 
calculado da seguinte maneira: 
 Assinatura mensal dá direito a um certo número de ligações 
e custa R$ 23,00. 
 Passando deste número, o valor de ligações (pulso) 
excedentes é calculado multiplicando-se o número de pulsos 
extras pelo valor de cada pulso, que é de 0,10 centavos. 
 Em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da 
assinatura mensal. 
Determinar a lei de formação y = f(x) e representá-la graficamente: 
Exemplo 1 
Lei de formação: y = f(x) 
 Modelo matemático: y = assinatura mensal 
x = pulso excedente 
Obs.: Valor fixo da assinatura : 23,00 
Valor variável: 0,10 por pulso excedente 
y = 23 + 0,10 x 
Exemplo 1 
Representação gráfica da função: y = 23 + 0,10 x 
Função Linear 
Caso particular da função afim. 
Lei de formação: 
f : R → R, f(x) = ax, a ∈ R, a ≠ 0 
Exemplo: Preço do prato em restaurante por kg. 
 Supondo o preço do kg por R$ 25,00. 
f(x) = 25.x 
a = 25 
b = 0 
 
50 
2 x 
y y = 25x 
Função Constante 
Lei de formação 
f : R → R, f(x) = b, b ≠ 0 
Ex.: Mensalidade da escola 
f(x) = 595,00 
a = 0 
b = 595 
 y 
x 
595 
Função de 1° grau: representação gráfica 
f(x) = ax + b a e b ∈ R, a ≠ 0 e b ≠ 0 
a = Coeficiente angular 
b = Coeficiente linear 
 
 
 
 
 
 
 a > 0 a < 0 
 Função Crescente Função Decrescente 
Raiz ou zero da função de 1° grau 
y = ax + b 
Par ordenado 
x = 0 ⇒ y = a.(0) + b (0, b) 
 y = b 
y = 0 ⇒ 0 = ax + b 
-ax = b (x-1) 
a = -b (-b/a, 0) 
 a -b/a 
b 
Exemplo 1 
Construa o gráfico da função determinada por f(x) = x+1: 
x y = f(x)= x+1 
-2 -1 
-1 0 
0 1 
1 2 
2 3 
Exemplo 2 
Construa o gráfico da função determinada por f(x) = x – 2 e observe: 
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo; 
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero; 
c) Qual o valor de x para que f(x) seja negativo. 
Exemplo 2 
f(x) = x – 2 y 
a > 0 Par ordenado 
b = -2 (0, -2) 
x = -b/a = -(-2)/1 = 2 (2, 0) 0 2 x 
 
 -2 
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo: 
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero: 
c) Qual o valor de x para que f(x) seja negativo: 
Exemplo 2 
f(x) = x – 2 y 
a > 0 Par ordenado 
b = -2 (0, -2) 
x = -b/a = -(-2)/1 = 2 (2, 0) 0 2 x 
 
 -2 
a) Qual o valor de x para que f(x) seja positivo: (x > 2) 
b) Qual o valor de x para que f(x) seja igual a zero: (x = 2) 
c) Qual o valor de x para que f(x) seja negativo: (x < 2) 
Aplicação: função receita 
 Seja x a quantidade vendida de um produto, chamamos 
de função receita o produto do preço de venda por x e o 
indicamos por R. 
 Lei de formação: R(x) = P. x 
 
 R 
 
 
 
 0 x 
Aplicação: custo total 
 Seja x a quantidade produzida de um produto, o custo total de 
produção ou simplesmente custo depende de x. À relação 
entre eles chamamos de função custo total ou simplesmente 
função custo e indicamos por C. 
Dois tipos de custos 
 Custo fixo: não dependem da quantidade produzida, tais como 
aluguel, seguros e outros. 
 Custo variável: parcela do custo que depende de x. 
CT = CF + CV 
Aplicação: custo total 
Lei de formação: CT(x) = CV + CF 
CT(x) = cu.x + CF 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
Aplicação: lucro total 
 A função lucro é definida como a diferença entre a função 
receita R e a função custo C. 
 Indicando a função lucro por L, teremos: 
 Lei de formação: L(x) = R(x) – C(x) 
Exemplo 1 
Um posto de combustível calcula sua lucratividade 
separadamente, por bomba de combustível. Dessa forma, o 
custo de cada bomba é dado pelo rateio dos custos fixos do 
posto mais o custo do combustível vendido. Certa bomba de 
gasolina tem um custo fixo de R$ 1.200,00 e a gasolina vendida 
nessa bomba custa, para o posto, R$ 2,20 o litro. O posto vende 
o combustível a R$ 2,40. Determine: 
a) A função receita da bomba; 
b) A função custo da bomba; 
c) A função lucro da bomba; 
d) A quantidade mínima de combustível para a bomba dar lucro. 
Exemplo 1 
a) R(x) = P. x , em que x é a quantidade vendida de um produto 
e P o preço de venda. 
R(x) = 2,40.x 
Exemplo 1 
a) R(x) = P. x , em que x é a quantidade vendida de um produto 
e P o preço de venda. 
R(x) = 2,40.x 
b) C(x) = CF + CV 
C(x) = 1200 + 2,20x 
Exemplo 1 
c) L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = 2,40x – (1200 + 2,20x) 
L(x) = 2,40x – 1200 – 2,20x 
L(x) = 0,20x – 1200 
 L 
 
 
 0 x 
 
 -1200 
Exemplo 1 
d) A quantidade mínima de combustível para a bomba dar lucro: 
L(x) = 0,20x – 1200 
0,20x -1200 = 0 
0,20x = 1200 
x = 6000 L 
 
 
 0 6000 x 
 
 -1200 X > 6000 
Exemplo 2 
Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeira, mais 0,80 por 
quilômetro rodado. Determinar: 
a) a lei da função que representa essa situação; 
b) quanto custa uma corrida de 8km; 
c) quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00. 
 
Exemplo 2 
Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeira, mais 0,80 por 
quilômetro rodado. Determinar: 
a) a lei da função que representa essa situação: 
C(x) = 0,80x + 3,20 
 
 
Exemplo 2 
Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeira, mais 0,80 por 
quilômetro rodado. Determinar: 
a) a lei da função que representa essa situação: 
C(x) = 0,80x + 3,20 
b) quanto custa uma corrida de 8km: 
C(8) = 0,80.(8) + 3,20 
C = 6,40 + 3,20 
C = 9,60 
 
 
Exemplo 2 
Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeira, mais 0,80 por 
quilômetro rodado. Determinar: 
c) quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00: 
C(x) = 0,80x + 3,20 
20,00 = 0,80x + 3,20 
-0,80x = 3,20 -20,00 
- 0,80x = -16,80 (x-1) 
0,80x = 16,80 
x = 16,80/0,80 
x = 21 km 
Interatividade 
A função y = 5.x + 3 representa uma função: 
a) Linear. 
b) Constante. 
c) Quadrática. 
d) Afim. 
e) Cúbica 
Função polinomial do 2º grau ou quadrática 
 Denominam-se funções quadráticas as funções polinomiais 
nas quais o maior grau do expoente da variável é 2. 
 Lei de formação: f(x) = a x2 + bx + c , com a ≠ 0 
 Exemplos: f(x) = x2 − 6x + 5 a = 1 b = -6 c = 5 
f(x) = x2 − 9 a = 1 b = 0 c = -9 
 
Valor da função quadrática ou do 2º grau 
 Determinar o valor de f(x) = 3 x2 + 2x +1, para x = 1 
f(x) = 3×(1) 2 + 2×(1)+1 
f(x) = 6 
 Na função f(x) = x2 − 9 , o valor para x = 3 é: 
f(x) = 3 2 − 9 
f(x) = 9 − 9 
f(x) = 0 
Raiz ou zero da função de 2° grau 
Uma equação do 2º grau pode ter até duas raízes reais, que 
podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara: 
x = – b ± √ Δ ou x = – b ± √ b² – 4ac 
 2a 2a 
 Δ = b² – 4ac 
Δ é chamado de discriminante da equação. 
 
Raiz ou zero da função de 2° grau 
Com relação ao discriminante Δ 
Δ > 0 ⇒ a equação possui duas raízesreais. 
Δ = 0 ⇒ a equação possui somente uma raiz real. 
Δ < 0 ⇒ a equação não possui raízes no conjunto dos 
números reais. 
Construção do gráfico: y = ax2 + bx + c 
O gráfico da função quadrática é uma parábola: 
Fonte: Livro-texto. 
Construção do gráfico 
Gráfico da função f(x) = x2 − 6x + 5: 
Modelos 
 Lembre-se: a é o coeficiente do x² (ax²). 
 a > 0, concavidade voltada para cima. 
 a < 0, concavidade voltada para baixo. 
 
Exemplo 1 
Dada a equação y = x2 – 6x + 5, pede-se: 
a) Identificar o sinal da função: 
 a > 0 ⇒ CVC (concavidade voltada para cima) 
a) Raízes da função: 
 x2 – 6x + 5 = 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Dada a equação y = x2 – 6x + 5, pede-se: 
a) Identificar o sinal da função: 
 a > 0 ⇒ CVC (concavidade voltada para cima) 
b) Raízes da função: 
x2 – 6x + 5 = 0 
Δ = b² – 4ac x = – b ± √ b² – 4ac = -(-6) ± √16 
Δ = (-6)2 – 4.(1).(5) 2ª 2(1) 
Δ = 36 – 20 x = 6 ± 4 
Δ = 16 2 
 x’ = 5 x’’= 1 
 
 
 
Exemplo 1 
Dada a equação y = x2 – 6x + 5, pede-se: 
c) PM/ Pm da função. 
 
Exemplo 1 
Dada a equação y = x2 – 6x + 5, pede-se: 
c) PM/ Pm da função. 
Determinando o Pm: 
xv = - b = - (-6) = 3 
 2a 2.(1) 
yv = - Δ = - 16 = -4 
 4a 4.(1) 
Logo, Pm = (3, -4) 
Exemplo 1 
Dada a equação y = x2 – 6x + 5, pede-se: 
d) Representar graficamente a função 
I. a > 0 CVC 
II. Raízes: x’ = 1 
 x’’ = 5 
III. Pm = (3, -4) 
Exemplo 2 
Dada a equação y = -x2 + 9: 
a) Identificar o sinal da função: 
a < 0 ⇒ CVB (concavidade voltada para baixo) 
b) Raízes da função: 
-x2 + 9 = 0 
-x2 = - 9 (x-1) 
x2 = 9 
x = √ 9 
x = ± 3 
 
Exemplo 2 
Dada a equação y = -x2 + 9: 
c) PM/ Pm da função: 
Determinando o PM: 
xv = - b = - (0) = 0 
 2a 2.(-1) 
yv = - Δ = - 36 = 9 
 4a 4.(-1) 
 Logo, PM = (0, 9) 
Exemplo 2 
Dada a equação y = -x2 + 9: 
c) Representação gráfica: 
I. a < 0 CVC 
II. Raizes: x’ = 3 
 x’’ = -3 
III. PM = (0,9) 
Exemplo 3 
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, 
verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia; quando 
o preço é R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. 
a) Admitindo-se que o número de frequentadores por dia (f) 
relaciona-se com o preço (p) por meio de uma função do 1º 
grau, obtenha a função f = f(p). 
b) Qual a receita máxima? 
c) Qual a quantidade máxima vendida de ingressos quando a 
receita é máxima? 
d) Qual o preço do ingresso quando a receita é máxima? 
 
Exemplo 3 
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, 
verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia; quando 
o preço é R$ 15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. 
a) Admitindo-se que o preço (p) relaciona-se com o número de 
frequentadores por dia (f), obtenha a função p = f(f). 
 
x (frequentadores) y (preço) 
200 10,00 
180 15,00 
Exemplo 3 
 
 
 
 
y = ax + b 
 10 = 200.a + b  equação I 
 15 = 180.a + b  equação II 
 Resolvendo o sistema linear: 
 a = -0,25 e b = 60 
 Logo, p = -0,25q + 60 
x (frequentadores) y (preço) 
200 10,00 
180 15,00 
Exemplo 3 
b) Qual a receita máxima? 
Sabendo que p = -0,25q + 60 
 R = p. q 
 R = (-0,25q + 60).q 
 R = -0,25q2 + 60q (função 2° grau: a < 0 ⇒ CVB 
 a= -0,25 b = 60 c = 0) 
Para determinar a receita máxima: 
 Δ = 602 -4.(-0,25).0 ⇒ Δ = 3600 
yv = - Δ = - 3600 = 3600 
 4a 4.(-0,25) 
Logo, Rmáx = R$ 3.600,00 
Exemplo 3 
c) Qual a quantidade máxima de ingressos vendida quando a 
receita é máxima? 
xv = - b = -(60) = 120 
 2a 2.(-0,25) 
Logo, qmáx = 120 ingressos. 
d) Qual o preço do ingresso quando a receita é máxima? 
Para qmáx = 120 ingressos, temos que: 
p = -0,25q + 60 
p = -0,25 ( 120) + 60 
p = 30 Logo p = R$ 30,00 
Exemplo 4 
Considerando a Receita R = -2q2 + 200q na venda de q pares de 
sapatos e supondo que o Custo na sua fabricação seja dado por 
C = 40q + 1400. Determine o lucro máximo obtido com a 
comercialização dos sapatos. 
Exemplo 4 
Considerando a Receita R = -2q2 + 200q na venda de q pares de 
sapatos e supondo que o Custo na sua fabricação seja dado por 
C = 40q + 1400. Determine o lucro máximo obtido com a 
comercialização dos sapatos. 
 L = R – C 
 L = (-2q2 + 200q) – (40q + 1400) 
 L = -2q2 +160q -1400 
Para determinar o Lmáx, basta encontrar o yv da função: 
 Δ = (160) 2 -4.(-2).(-1400) ⇒ Δ = 14400 
 yv = - Δ = - 14400 = 1800 
 4a 4.(-2) Logo, Lmáx = R$ 1.800,00 
Interatividade 
Determine o vértice de f(x) = x2 − 6x + 5: 
a) (1, 5) 
b) (5, – 4) 
c) (– 5, 4) 
d) (1, – 2) 
e) (3, – 4) 
 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Introdução ao conceito de Funções
	A Álgebra dos Conjuntos
	Representação dos Conjuntos
	Representação dos Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Operações com Conjuntos
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Diagrama de Venn-Euler
	Diagrama de Venn-Euler
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 4
	Exemplo 4
	Exemplo 4
	Exemplo 5
	Exemplo 5
	Exemplo 5
	Exemplo 5
	Exemplo 6
	Exemplo 6
	Exemplo 6
	Interatividade
	Resposta
	Par Ordenado
	Plano Cartesiano
	Plano Cartesiano
	Exemplo
	Exemplo
	Produto cartesiano
	Produto cartesiano
	Representação do produto cartesiano
	Representação do produto cartesiano
	Relação binária
	Relação binária
	Relação binária
	Domínio, contradomínio e imagem de relação binária
	Domínio, contradomínio e imagem de relação binária
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 3	
	Exemplo 3
	Interatividade
	Resposta
	Funções Polinomiais
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 2 
	Exemplo 2 
	Exemplo 3 
	Exemplo 3 
	Função
	Função
	Função Polinomial do 1 grau ou Função Afim
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1 
	Função Linear
	Função Constante
	Função de 1 grau: representação gráfica
	Raiz ou zero da função de 1 grau
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Aplicação: função receita
	Aplicação: custo total
	Aplicação: custo total
	Aplicação: lucro total
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Interatividade
	Resposta
	Função polinomial do 2º grau ou quadrática
	Valor da função quadrática ou do 2º grau
	Raiz ou zero da função de 2 grau
	Raiz ou zero da função de 2 grau
	Construção do gráfico: y = ax2 + bx + c
	Construção do gráfico
	Modelos
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 4
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 123