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CIRCUITOS ELÉTRICOS
Professor: Allas Jony da Silva Oliveira
Engenheiro Eletricista - UFMA
Mestre em Energia e Ambiente - UFMA
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Docente/professor ?
DOCENTE
Professor Informações deContato
Allas Jony da S. Oliveira E-mail: allasjony@Hotmail.com
Whatsapp: (98) 9 8866-1687
Telefone: (98) 9 9164-5104
Mestre em Energia e Ambiente pela Universidade Federal do
Maranhão (UFMA, 2017) e engenheiro eletricista com ênfase em Sistemas
Elétricos de Potência e Telecomunicações (UFMA, 2013). Minha principal
experiência profissional é na área de análise de perdas elétricas na medição
de energia de clientes conectados as redes de Subtransmissão e Distribuição
de Energia Elétrica (níveis de tensão de 13,8 kV, 34,5 kV, 69 kV e 230 kV).
Atualmente exerço minhas atividades na Companhia Energética do Maranhão
(CEMAR) comoAnalista de Perdas Comerciais (Engenheiro Eletricista).
EMENTA DA DISCIPLINA
REFERÊNCIAS
LEI DE OHM
A lei de Ohm afirma que a tensão em um resistor é
diretamente proporcional à corrente i através dele.
𝒗 = 𝒊𝑹
Credita-se a Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemão,
a descoberta da relação entre corrente e tensão para um resistor.
Essa relação é conhecida como lei de Ohm.
LEI DE OHM
O comportamento dos materiais de resistir ao fluxo de carga
elétrica é conhecida como resistência e é representada pelo
símbolo R.
A resistência de qualquer material com uma área da seção
transversal (A) uniforme depende de A e de seu comprimento ℓ,
conforme mostrado na figura abaixo.
𝑹 =
𝝆ℓ
𝑨
Figura 1. (a) Resistor; (b) símbolo de circuito para resistência.
LEI DE OHM
LEI DE OHM
Para aplicar a lei de Ohm devemos prestar atenção ao
sentido da corrente 𝑖 e à polaridade da tensão 𝑣, que têm de
estar de acordo com a convenção de sinal passivo, conforme
mostrado na Figura abaixo. Isso implica que a corrente flui de um
potencial mais alto para um mais baixo.
Figura 2. Convenção de sinais da Lei de Ohm.
LEI DE OHM
Curto-circuito é um elemento de circuito com
resistência que se aproxima de zero
Circuito aberto é um elemento de circuito com
resistência que se aproxima de infnito.
Figura 3. (a) Curto-circuito (𝑅 = 0); (b) circuito aberto (𝑅 = ∞).
RESISTORES
O resistor, entre outras aplicações, é um componente elétrico
utilizado para a limitação de corrente e divisão de tensão em um
circuito.
Tipos de Resistores: Segue abaixo a classificação dos resistores
mais encontrados:
• Resistores de filme de carbono (carvão);
• Resistores de filme metálico;
• Resistores de fio:
– Reostato: Resistor variável com dois terminais, sendo um fixo e
o outro deslizante. Geralmente são utilizados em altas
correntes.
RESISTORES
• Resistores SMD;
• Resistores variáveis (potenciômetros ou reostatos).
RESISTORES
• Varistor: Resistor que possui dois valores de resistência, um valor
muito alto em baixas tensões, abaixo de um valor específico de tensão,
e outro valor baixo de resistência se submetido a altas tensões.
• Termistor: Dão resistências que variam o seu valor de acordo com a
temperatura a que estão submetidas.
RESISTORES
Figura 4. Código de cores para resistores.
RESISTORES
Figura 5. Exemplos de aplicação do código de cores para resistores.
RESISTORES
LEI DE OHM
Um resistor não linear não obedece à lei de Ohm, sua
resistência varia com a corrente, e sua curva característica i-v é
mostrada na Figura abaixo:
Figura 6. Curva característica de um resistor não linear.
LEI DE OHM
Condutância é a capacidade de um elemento conduzir corrente
elétrica; ela é medida em mho ou siemens (S).
𝑮 =
𝟏
𝑹
=
𝒊
𝒗
A potência dissipada por um resistor pode ser expressa em
termos de R.
𝒑 = 𝒗𝒊 = 𝒊𝟐𝑹 =
𝒗𝟐
𝑹
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
Na topologia de rede, estudamos as propriedades
relacionadas à colocação de elementos na rede e a confguração
geométrica dela. Tais elementos incluem ramos, nós e laços.
 Ramo: representa qualquer elemento de circuito de dois
terminais. Ex.: fonte de tensão, resistor, etc.
Quantos ramos tem o circuito abaixo?
Figura 7. Topologia de circuito.
5 RAMOS
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
 Nó: é o ponto de conexão entre dois ou mais ramos.
Quantos nós tem o circuito abaixo?
Figura 8. Topologia de circuito.
3 NÓS
Figura 9. Visão análoga de topologia.
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
 Laço: É qualquer caminho fechado em um circuito
Laço é um caminho fechado formado iniciando-se em um nó,
passando por uma série de nós e retornando ao nó de partida sem
passar por qualquer outro mais de uma vez.
Quantos ramos tem o circuito abaixo?
Figura 10. Topologia de circuito.
6 LAÇOS
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
 Laço independente: É qualquer caminho fechado em um
circuito que compartilha um único ramo com outros laço.
Quantos ramos tem o circuito abaixo?
Figura 11. Topologia de circuito.
3 LAÇOS INDEP.
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
Uma rede com b ramos, n nós e l laços independentes vão
satisfazer o teorema fundamental da topologia de rede:
𝒃 = 𝒍 + 𝒏 − 𝟏
TOPOLOGIA DE CIRCUITO
Em Série: Dois ou mais elementos estão em série se eles
compartilharem exclusivamente um único nó e,
consequentemente, transportarem a mesma corrente.
Em Paralelo: Dois ou mais elementos estão em paralelo se eles
estiverem conectados aos mesmos dois nós e,
consequentemente, tiverem a mesma tensão entre eles.
Figura 12. Topologia de circuito.
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) diz que a soma
algébrica das correntes que entram e saem em um nó (ou um
limite fechado) é zero. Matematicamente temos:
 
𝑛=1
𝑁
𝑖𝑛 = 0
Onde 𝑁 é o número de ramos conectados ao nó e 𝑖𝑛 é a
enésima corrente que entra (ou sai) do nó
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma
das correntes que saem desse nó.
𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 = 𝒊𝟐 + 𝒊𝟓
Figura 13. Correntes em um nó ilustrando a LKC. 
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
Uma aplicação simples da LKC é a associação de fontes de corrente
em paralelo. A corrente resultante é a soma algébricas das correntes
fornecidas pelas fontes individuais; por exemplo, as fontes de corrente
mostradas na Figura abaixo.
𝑰𝑻 + 𝑰𝟐 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟑
Ou
𝑰𝑻 = 𝑰𝟏 − 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑
Figura 14. Fontes de corrente em paralelo: (a) circuito original; (b) circuito equivalente.
LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES
Um circuito não pode conter duas correntes diferentes,
I1 e I2, em série, a menos que I1 = I2; caso contrário, a LKC
será violada.
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
A lei de Kirchhoff para tensão (LKT) diz que a soma algébrica
de todas as tensões em torno de um caminho fechado (ou laço) é
zero.
 
𝑚=1
𝑀
𝑣𝑚 = 0
Onde 𝑀 é o número de tensões no laço (ou o número de
ramos no laço) e 𝑣𝑚 é a m-ésima tensão
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
−𝒗𝟏 + 𝒗𝟐 + 𝒗𝟑 − 𝒗𝟒 + 𝒗𝟓 = 𝟎
Rearranjando os termos, obtemos:
𝒗𝟐 + 𝒗𝟑 + 𝒗𝟓 = 𝒗𝟏 + 𝒗𝟒
A soma das quedas de tensão é igual à soma das
elevações de tensão.
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
−𝑽𝒂𝒃 + 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 = 𝟎
Ou
𝑽𝒂𝒃 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑
Figura 15. Fontes de tensão em série: (a) circuito original; (b) circuito equivalente. 
Para impedir a violação da LKT, um circuito não pode
conter duas tensões diferentes V1 e V2 em paralelo a menos
que V1 = V2.
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
EXERCÍCIOS: Determine 𝑣𝑜 e 𝑖 no circuito mostrado na Figura
abaixo:
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
EXERCÍCIOS: Determine 𝑣𝑜 e 𝑖𝑜 no circuito mostrado na Figura
abaixo:
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
EXERCÍCIOS: Determine as correntes
e tensões no circuito
mostrado na Figura abaixo:
LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Comumente associamos resistores a fim de obter
resistências maiores ou menores dependendo da necessidade.
Damos o nome de resistor equivalente, ao resistor que pode
substituir uma associação de resistores, sem que o resto do
circuito note diferença.
Essas associações podem ser classificadas segundo três
distribuições básicas, são elas:
• Associação série.
• Associação paralela.
• Associação mista.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Associação Série: Uma associação de resistores é denominada de associação
série, quando:
• Todos os resistores da associação são submetidos à mesma corrente.
• A tensão da fonte é dividida entre os resistores da associação.
Para N resistores em série temos:
Para 𝑛 resistores iguais a R, têm-se:
𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 +𝑹𝟑 +⋯+𝑹𝒏 (7)
𝑹𝒆𝒒 = 𝒏 ∙ 𝑹 (8)
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Associação Paralela: Uma associação de resistores é denominada paralela
quando:
• A corrente é dividida entre os resistores da associação;
• Todos os resistores estão submetidos à mesma tensão da fonte;
Para 𝑛 resistores iguais a R:
𝑹𝒆𝒒 =
𝑹𝟏 ∙ 𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
(9)
𝑹𝒆𝒒 =
𝑹
𝒏
(11)
𝑹𝒆𝒒 =
𝟏
𝑹𝟏 +𝑹𝟐 +𝑹𝟑 +⋯+ 𝑹𝒏
(10)
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Associação Mista: Uma associação de resistores é denominada
de mista quando for composta por grupos de resistores em série e
em paralelo.