Livro IV - unip

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ÁLGEBRA
Unidade IV
7 ANÉIS E CORPOS
7.1 Anéis de números inteiros e anéis de polinômios
Vimos, na representação dos anéis na seção passada, que o conjunto dos números inteiros 
se encaixa nos anéis do tipo de domínio de integridade, pois, no conjunto dos números inteiros, 
temos um conjunto não vazio em que estão definidas duas operações, adição e multiplicação, 
e se verificam as propriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para 
a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição) e, além disso, existe um único 
elemento neutro para adição e, por fim, o fato de que para termos ab = 0, temos de ter a = 0 ou 
b = 0, que, juntos, são quesitos para que um conjunto seja um domínio de integridade. Vimos 
também que ele não chega a ser um corpo, pois, no conjunto dos números inteiros, não há um 
inverso de um elemento, tal que o seu produto por ele resulte na unidade, já que, se tomamos um 
elemento qualquer em Z, seu inverso cai no conjunto dos números racionais Q ou no conjunto 
dos números reais R.
Na seção passada, estudamos também o anel Z / 〈n〉, que também pode ser escrito na forma 
Zn, em que usamos a congruência de um número inteiro em outro e consideramos o resto da 
divisão entre esses dois inteiros. Vamos agora dar a definição formal da congruência entre os 
dois inteiros.
7.1.1 Congruência módulo m em Z
Consideremos três inteiros: a, b e m. Dizemos que a é congruente em b, módulo m se, ao dividirmos 
a por m, obtivermos o resultado em um resto b, ou seja a ≡ b(mod m) ou a b
m
≡ . Logo, se m divide a– b, 
podemos pensar da seguinte forma:
a) se r é o resto da divisão de a por m, então a rm
≡ ;
b) se a r r r m
m
≡ ∈ ≤ < e ( )� 0 , então r é o resto da divisão de a por m;
c) em a bm
≡ , o resto das divisões de a e b por m são iguais.
7.1.2 Conjunto Zm das classes de congruência módulo m
Se tomarmos m > 2 como sendo um inteiro, definimos, em Z, a congruência módulo m como:
∀ ∈ ≡ ⇔ −a b a b m a b
m
, ,� divide 
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Unidade IV
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A classe de congruência módulo m determinada por um inteiro b é dada pelo conjunto: 
b x x b
m
= ∈ ≡{ }� / , que é chamado de conjunto dos inteiros módulo m e é representado por Zm. Então 
 
os b serão os elementos do conjunto Zm:
Z b b Zm = ∈{ }/
 Saiba mais
Para saber mais sobre congruência módulo M, consulte:
MOREIRA C. G. divisibilidade, congruências e aritmética módulo n. 
Eureka! n. 2, p. 41-52, 1998. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/
sites/default/revista_eureka/docs/eureka2.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
EUREKA! n. 5, 1999. Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: 
<http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka5.
pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
7.1.3 O anel em Zm
Ao considerar m > 2, podemos trabalhar com operações de adição e multiplicação em Zm, o que o 
classifica como uma estrutura de anel comutativo com unidade, e, como vimos em exemplos anteriores, 
se temos Zp com p primo, além de tudo, ele passa a ser um corpo.
Zm é um anel finito, ou seja, tem um número finito de elementos.
7.1.4 Anéis de polinômios
Considere S = R[X] = {a0, a1 X + a2 X
2 + ...+ an X
n; ai ∈ R, n ∈ N}, em que 
p X a a X a X a X a Xn
n
i
i
i
n
( ) ...= + + + + =
=
∑0 1 2 2
1
 é um polinômio sobre S. Podemos definir 
 
operações de adição e multiplicação para dois polinômios p X a Xi
i
i
n
( ) =
=
∑
1
 e q X b Xi
i
i
m
( ) =
=
∑
1
, com m m < 
n, da seguinte forma:
Adição
p x q x a b a b X a b X a b Xn n
n
i i
i
i
n
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ = + + + + + + = +
=
∑0 0 1 1
0
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ÁLGEBRA
Fazemos apenas as somas de termos com mesmo expoente. Nesse caso, foi considerado como 0 os 
termos de n > m.
Multiplicação
p x q x c x c c x m n xk
k
k
m n
m n( ) ( ) ... ( )⋅ = = + + + +
=
+
+∑
0
0 1
1
, em que: c a bk j k j
j
k
=
−
=
∑
0
Para o melhor entendimento do aluno, fica como exercício efetuar a multiplicação para n = 3 e m = 2, 
utilizando essa relação.
Temos, então, (R[X], +, .) como um anel comutativo, com elemento neutro chamado de anel de 
polinômios sobre R. É fácil ver que:
• o elemento neutro da adição é (0, 0, 0,...);
• o elemento neutro da multiplicação é (1, 0, 0,...).
 Saiba mais
Para aprimorar o seu aprendizado sobre a aplicação de anéis de 
polinômios, recomendamos consultar material disponibilizado pela 
Universidade Federal de São Carlos no endereço: <http://www.dm.ufscar.
br/~sampaio/Ea2cap2_02.pdf>. Nas páginas 22 e 23, é apresentado um 
algoritmo para a divisão de polinômios e para máximo divisor comum.
Um algoritmo de divisão também pode ser encontrado na página 6 
do trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal de 
São Carlos, por Gonçalves (2010), disponível em: <http://www.dm.ufscar.
br/profs/tcc/trabalhos/2010-2/282324.pdf>.
7.1.5 Teorema Fundamental da Álgebra
No século XII, Bhaskara Acharya encontra a primeira solução formal para a raiz de um polinômio de 
ordem 2, (ax2+bx+c), que conhecemos na forma:
x
b b ac
a
=
− ± −2 4
2
Nessa solução, é possível resultarem-se números complexos. Contudo, como os conjuntos reais fazem 
parte dos complexos, então temos sempre pelo menos uma solução complexa (visto que a segunda pode 
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ser degenerada, ou seja, ser igual à primeira, que equivale, nesse caso, a fazer o termo dentro da raiz 
igual a zero, resultando em duas equações iguais).
Já no século XVI, Tartaglia deu uma solução completa para se acharem as raízes de equações de 
polinômios de ordem 3: (ax3 + bx2 + cx + d).
Nesse mesmo século, Ferrari deu uma solução para o polinômio de ordem 4: (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
 Saiba mais
Para detalhes da solução completa das raízes de polinômios de ordem 3 
e 4, consulte as páginas 3, 4 e 5 do seguinte trabalho:
FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra. 
In: V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010. João 
Pessoa: UFPB. Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/
arquivos/Mini_Cursos_Completos/MC5Completo.pdf>. Acesso em 03 
out. 2012.
Em polinômios de ordem 3 e 4, também podemos ter raízes reais ou complexas, lembrando que 
sempre que um polinômio tem uma raiz complexa, necessariamente ele deve ter outra também 
complexa, e é o complexo conjugado da primeira, ou seja, se a primeira solução encontrada foi z1 
= a + bi, necessariamente, seu complexo conjugado, z1 = a – bi, também será uma solução. Então, 
assim como para os polinômios de ordem 2, os de ordem 3 e 4 também possuem pelo menos uma 
raiz complexa, pois podemos ter uma única solução com multiplicidade 3 (no caso de um polinômio 
de ordem 3), como o polinômio x3 – 3x2 + 3x – 1, que possui apenas uma raiz, x = 1, que, nesse caso, 
tem multiplicidade 3.
Para polinômios com ordens maiores que 4, Abel, no século XIX, provou que não existe solução com 
radicais como os de grau 1, 2, 3 e 4. Na verdade, casos particulares de polinômioscom ordem maiores 
que 4 possuem soluções específicas, mas, no geral, não é possível se obter uma solução por meio de 
radicais para esses polinômios.
O Teorema Fundamental da Álgebra foi apresentado por Gauss, no século XVIII, afirmando que 
qualquer polinômio de ordem n > 1 e coeficientes reais ou complexos possui pelo menos uma raiz 
complexa.
É equivalente dizer que um polinômio de ordem n terá n raízes complexas, mas como já vimos, 
algumas raízes podem ter multiplicidade, o que faz com que as duas formas de definir o teorema 
sejam equivalentes.
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ÁLGEBRA
 Saiba mais
Uma prova com detalhes do Teorema Fundamental da Álgebra pode ser 
vista também no trabalho que acabamos de indicar para consulta. Consulte, 
então, desta vez, a página 7 de:
FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra. In: 
V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010. João Pessoa: 
UFPB. Disponível em: < http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Mini_
Cursos_Completos/MC5Completo.pdf>. Acesso em 03 out. 2012.
7.2 Corpos racionais, reais e complexos
Diferentemente do conjunto dos números inteiros, que não possui um elemento inversível, 
o conjunto dos números racionais, reais e complexos, além de satisfazer todas as propriedades 
necessárias para termos um anel com domínio de integridade, também satisfaz a propriedade 
necessária para termos um corpo, situação em que: para um elemento a, sempre existe um elemento 
b, tal que: ab = ba = 1, ou seja, um elemento b inverso ao elemento a. Portanto, chamamos esses 
três conjuntos de corpos.
7.2.1 Racionais
O conjunto dos números racionais (Q), além dos elementos do conjunto dos números inteiros, 
também admite frações não inteiras. O Conjunto Q é definido como:
Q a Z b Zab= ∈ ∈{ }/ , *
É fácil ver, então, que o que falhava quanto aos números inteiros serem um corpo não acontece 
 
agora no conjunto dos números racionais, pois: a
b
b
a
b
a
a
b
⋅ = ⋅ = 1, em que tanto 
a
b
 quanto 
b
a
 fazem 
parte de Q.
7.2.2 Reais
O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintes conjuntos: N, Z e Q, assim 
como raízes de números positivos em geral (no caso do conjunto dos números racionais, inclui apenas 
as raízes exatas). Como os números racionais fazem parte dos números reais, fica, então, fácil provar que 
o conjunto dos números reais se trata de um corpo, o corpo dos reais.
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 Saiba mais
Saiba mais sobre números reais lendo o artigo: 
FRID, H. Os números irracionais. Eureka! n. 10, p. 37-46, 2001. Disponível 
em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/
eureka10.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
7.2.3 Complexos
Por fim, temos o conjunto dos números complexos C, que incluem, além dos elementos do conjunto 
dos números reais, a raiz de números negativos. Como foi já foi visto, podemos escrever um número 
complexo, desta forma:
C a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1
Portanto, se chamamos z = a + bi, fica claro que o seu inverso, 1/z, também está definido nos 
números complexos, o que classifica também o conjunto dos números complexos como um corpo.
8 HOMOMORFISMO E GRUPOS FINITOS E INFINITOS
8.1 Homomorfismo
8.1.1 Homomorfismo de grupos
Tomemos dois conjuntos, A e B não vazios, que possuem, respectivamente as operações binárias * e 
º. Se A e B são grupos: ((A, *) e (B, º)), uma função f de A em B será, então, um homomorfismo se:
f(a * b) = f(a) º f(b)
Note que, nesse caso, a operação não necessariamente precisa ser conservada. Exemplo:
f(x) = ln(x) → f(a.b) = ln(a) + ln(b) = f(a) + f(b)
f(a.b) = f(a) + f(b)
Logo, essa função é um homomorfismo que leva à multiplicação na soma. Notamos o homomorfismo 
também na sua inversa, a exponencial:
g(x) = ex → f(a+b) = ea+b = ea . eb = f(a) . f(b)
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A função g é um homomorfismo que leva à soma na multiplicação. Essa função é um homomorfismo 
de grupos.
Conjunto A Conjunto B
f(a * b) = f(a) º f(b)
Operação
*
a
b
a * b
Operação
º
f(a)
f(b)
f(a) º f(b)
Figura 21
8.1.2 Homomorfismo de anéis
Homomorfismo de anéis corresponde às funções ou aplicações que preservam as 
operações, transformando, por exemplo, as somas dos elementos do conjunto de partida 
(domínio) na soma dos elementos do conjunto de chegada (imagem). Da mesma forma, 
transformam um produto de elementos do conjunto de partida no produto de elementos do 
conjunto de chegada.
Domínio
f(a)
f(b)
Imagem
A
B
a
b
Figura 22
Simbolicamente, dados a, b ∈ A e f(a), f(b) ∈ B, podemos representar o homomorfismo da 
seguinte maneira:
f(a + b) = f(a) + f(b) e
f(a . b) = f(a) . f(b)
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 Observação
Um homomorfismo de grupos é um homomorfismo entre dois grupos
Um homomorfismo de anéis é um homomorfismo entre dois anéis.
Uma transformação linear é um homomorfismo entre dois espaços vetoriais.
Um homomorfismo álgebra é um homomorfismo entre duas álgebras.
 Saiba mais
Uma aplicação importante do homomorfismo é o critério de divisibilidade 
para números inteiros. Para saber mais a respeito acesse as páginas 13 e 14 do 
trabalho indicado em seguida. Outra aplicação de homomorfismo é a Prova 
dos Nove, que pode ser vista com mais detalhes na página 15 do mesmo texto.
PICADO, J. Corpos e equações algébricas. Departamento de Matemática 
da Universidade de Coimbra, 2009. Disponível em: <http://www.mat.
uc.pt/~picado/corpos/apontamentos/sebenta1.pdf>. Acesso em 03 out. 2012.
Exemplos:
1) Sabemos que o conjunto dos números reais e o conjunto de matrizes (2 x 2) são anéis, tendo como 
operações a adição e multiplicação. Podemos definir uma função entre esses anéis da seguinte forma:
f a
a
a
a R( ) =



 ∈
0
0
 com 
Logo, f será um homomorfismo de anéis se preservar as operações de adição, ou seja, f(a + b) = f(a) + f(b):
f a b
a b
a b
a
a
b
b
f a f b( ) ( ) ( )+ =
+
+



 =







 = +
0
0
0
0
0
0
+
e de multiplicação, ou seja, f(a . b) = f(a) . f(b):
f a b
a b
a b
a
a
b
b
f a f b( ) ( ) ( )⋅ =
⋅
⋅



 =



 ⋅



 = ⋅
0
0
0
0
0
0
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2) Seja f: N → C, tal que f(n) = in, com i ∈ C, n ∈ N e f(n) ∈ C e . Note que todos os possíveis 
resultados de f(n) = in são {1, –1, i,–i}. Desse modo, f(n) = in é uma aplicação não sobrejetora e 
tão pouco injetora. Logo, f(n) = in é um homomorfismo não bijetor, o que, como veremos a seguir, 
implica no homomorfismo ser um isomorfismo. Portanto, este é um exemplo de uma função que 
é homormofismo, mas não, isomorfismo.
Vejamos, então, os tipos de homomorfismo que podemos ter.
8.1.3 Tipos de homomorfismos
Endomorfismo
Todo homomorfismode (H, * ) em si próprio é chamado endomorfismo.
Automorfismo
Um automorfismo corresponde a todo endomorfismo cuja aplicação f é bijetora. Vale lembrar que 
uma aplicação de um conjunto B em B’ é dita bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmo 
tempo, sendo que, em uma aplicação injetora, cada elemento da imagem tem um único correspondente 
no domínio, enquanto que, numa aplicação sobrejetora, todos os elementos de B' devem ser imagem 
de elementos de B.
Monomorfismo
Um homomorfismo f é um monomorfismo ou homomorfismo injetor quando a aplicação f é injetora.
Epimorfismo
Um homomorfismo f é um epimorfismo ou homomorfismo sobrejetor quando a aplicação f é sobrejetora.
Isomorfismo
Se f é um homomorfismo de um conjunto B em B' e se também é uma aplicação bijetora, dizemos 
que f é um isomorfismo ou que B é isomorfo a B'.
Exemplos:
1) Temos, em seguida, a tabela de representação de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos 
das divisões de qualquer número inteiro por 5. Nesse exemplo, temos uma aplicação bijetora, 
pois ela é injetora (cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio) e 
sobrejetora (todos os elementos de um grupo são imagens do outro). Temos, então, um exemplo 
de um isomorfismo.
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Tabela 8 Tabela 9
+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
2) Considerando os grupos (R*+, +) e (R, .), temos:
ao aplicarmos f(x) = In(x): R*+ → R
ou
ao aplicarmos f(x) = In(x) : R → R*+
Podemos notar que se trata de um isomorfismo, pois, como vimos, essas funções são 
homomorfismos, mas nas aplicações entre os grupos (R*+, +) e (R, .), vemos que se trata de uma 
aplicação sobrejetora em ambos os casos.
3) Nos grupos (Z+, +) + e (C
*
+, .), na aplicação f: Z+ → C
*
+, em que f(n) = f(n) = i
n, temos uma aplicação 
que não é nem sobrejetora nem injetora, não se encaixa em nenhum dos tipos dos outros tipos de 
homomorfismos, sendo, portanto, apenas um homomorfismo.
4) Nos grupos (Z, +) e (Q, +), na aplicação f: Z+ → C
*
+, em que f(x) = 4x, temos uma aplicação 
de um grupo em outro e notemos que se trata de uma aplicação que é injetora, mas não é 
sobrejetora, pois, nela, há elementos de Q que não são imagem de nenhum elemento de Z 
(é fácil ver que a multiplicação de 4 por um inteiro nunca resultará em uma fração racional 
não inteira: ½, ¾ etc). Então, pelas definições dos homomorfismos, vemos que se encaixa no 
monomorfismo.
5) Nos grupos (C*, .) e (R*+, .), na aplicação f: C
* → R*+, em que f(z) = |z|, temos uma aplicação 
que não é injetora, pois, para mais de um valor diferente de z, resulta no mesmo valor de 
f(z). Por exemplo, |1| = |i| = |–i| = 1, ou seja, três valores diferentes de z resultam no mesmo 
valor de f(z). No entanto, ela é uma aplicação sobrejetora, pois todo número sempre poderá 
ser o módulo de algum número complexo. Temos, então, exemplo de função que é um 
epimorfismo.
6) Na aplicação f: Z x Z → Z x Z, em que f(x) = (x + y, 0), temos uma aplicação de um grupo em 
si mesmo; logo, temos um endomorfismo, e como essa aplicação não é bijetora, pois temos um 
sistema de pontos cartesianos inteiros, mas como vemos, poderemos ter a mesma imagem para 
diferentes domínios, o que torna essa operação não bijetora, e portanto ela será um endomorfismo, 
mas não será um automorfismo.
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7) Nos grupos (R, +) e (R, +), na aplicação f: R → R, em que f(x) = 4x, temos uma aplicação de um 
grupo em si mesmo. Logo, teríamos um endomorfismo, mas essa aplicação é bijetora, pois a 
imagem corresponderá a todos os números reais, pois, para qualquer valor real x, teremos um 
único valor real f(x); portanto, ela é injetora. E vemos que, por meio dessa operação, podemos 
varrer todos os números reais; assim, ela também é sobrejetora. Essa função é, dessa forma, um 
automorfismo.
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação do que estudamos.
1. A propriedade representada na expressão (4 + 2) + 1 = ( 2 + 4) + 1 é:
a) Comutativa.
b) Associativa.
c) Elemento neutro.
d) Distributiva.
e) Elemento simétrico.
Resolução:
Observando a propriedade, notamos que é comutativa. Logo, a alternativa correta é a a). Deixamos 
a você a tarefa de justificar por que as demais alternativas são incorretas.
2. Sobre o conjunto das matrizes de ordem 3, é correto afirmar que:
a) É grupo comutativo com a multiplicação.
b) É anel comutativo.
c) É corpo.
d) É domínio de integridade.
e) É anel com elemento unidade.
Resolução:
• (M3(IR), +) é grupo comutativo;
• (M3(IR), •) é associativo; tem elemento unidade; não é comutativo; tem divisores de zero;
• (M3(IR),+, •) é distributivo.
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Logo, não é grupo comutativo com a multiplicação, não é anel comutativo, não é corpo e 
nem é domínio de integridade, é anel com elemento unidade. Portanto, a alternativa correta 
é a e).
3. O conjunto Z com a adição usual é:
a) Grupo abeliano.
b) Não é associativo.
c) Não tem elemento neutro.
d) Não tem simétrico.
e) Não é comutativo.
Resolução:
(Z, +) é grupo abeliano (comutativo). Logo, é associativo, tem elemento neutro, tem simétrico e 
é comutativo. Portanto, a alternativa correta é a a). Deixamos a você a tarefa de justificar por que as 
demais alternativas são incorretas.
4. Para a estrutura algébrica (Z, +,. ), inteiros com a adição e a multiplicação usuais, podemos dizer 
que:
a) ( Z, +,. ) é um corpo.
b) ( Z, +,. ) não possui a propriedade comutativa da multiplicação.
c) ( Z, +,. ) é um anel.
d) ( Z, +,. ) não é comutativo com a adição.
e) ( Z, +,. ) não vale a propriedade distributiva.
Resolução:
O conjunto dos inteiros com a adição e a multiplicação é um anel comutativo com elemento unidade. 
Assim, valem as propriedades: comutativa da adição, comutativa da multiplicação e distributiva. Logo, 
as alternativas b), d) e e) são falsas.
No conjunto dos inteiros, não vale a propriedade do elemento inverso, portanto não pode ser corpo.
Assim, a alternativa correta é a c): ( Z, +,. ) é anel.
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5. Sobre a estrutura de grupo, é correto afirmar que devem valer as propriedades:
a) Associativa e elemento neutro.
b) Associativa, elemento neutro e simétrico.
c) Associativa e distributiva.
d) Associativa e comutativa.
e) Elemento neutro e distributiva.
Resolução:
Para ser grupo, o conjunto não vazio, com uma operação, deve satisfazer as propriedades: associativa, 
elemento neutro e simétrico. Logo, a alternativa correta é a b).
6. Sobre a estrutura de anel, é correto afirmar que:
a) Todo anel é comutativo.
b) Todo anel tem elemento unidade.
c) Todo anel é corpo.
d) Todo anel é domínio de integridade.
e) Existe anel que é domínio de integridade.
Resolução:
Para ser anel, não é obrigatório que seja comutativo, que tenha elemento unidade, que seja domínio 
de integridade, além do fato de nem todoanel ser corpo. Assim, as alternativas a), b), c) e d) são falsas. 
Portanto, a alternativa correta é a e).
7. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:
I. (IN, +, •).
II. (Z, +, •).
III. (Q, +, •).
IV. (IR, +, •).
É correto afirmar:
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a) Apenas I e II são corpos.
b) Apenas I e III são corpos.
c) Apenas II e III são corpos.
d) Apenas III e IV são corpos.
e) Apenas II e IV são corpos.
Resolução:
Para ser corpo, o conjunto precisa ser: anel comutativo, com elemento unidade, sem divisores de 
zero e deve existir inverso para todo elemento não nulo. Assim,
• (IN, +, •) não é corpo, pois não é grupo com a adição;
• (Z, +, •) não é corpo, pois não possui inverso para todo elemento não nulo;
• (Q, +, •) é corpo;
• (IR, +, •) é corpo.
Portanto, III e IV são corpos; consequentemente, a alternativa correta é a d).
8. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:
I. (M2(IR), +, •).
II. (C, +, •).
III. (Q, +, •).
IV. (IR, +, •).
É correto afirmar:
a) I, II e III têm divisores de zero.
b) I, III e IV têm divisores de zero.
c) II, III e IV não têm divisores de zero.
d) I, II e IV não têm divisores de zero.
e) II e IV têm divisores de zero.
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Resolução:
(M2(IR), +, •) têm divisores de zero.
(C, +, •), (Q, +, •) e (IR, +, •) não têm divisores de zero.
Assim, a única alternativa correta é a c), ou seja, II, III e IV não têm divisores de zero.
9. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificam 
a forma como foi solucionada (em ordem de utilização) são:
2x + 3 = 7 ⇒ (2x + 3) + (-3) = 7 + (-3) ⇒ 2x + (3 + (-3)) = 4 ⇒ 2x + 0 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒
⇒ x = 4 / 2 ⇒ x = 2
a) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
b) Simétrica, associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
c) Simétrica, comutativa, simétrica e associativa.
d) Simétrica, distributiva, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
e) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e distributiva.
Resolução:
Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas nesta ordem: simétrica, 
associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso. Portanto, a alternativa correta é a b).
10. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificam 
essa resolução (em ordem de utilização) são:
2x + 1 = x + 3 ⇒ 2x + (-x) = 3 + (-1) ⇒ x (2 – 1) = 2 ⇒ x . 1 = 2 ⇒ x = 2
a) Simétrica, distributiva e elemento neutro.
b) Simétrica, comutativa e elemento neutro.
c) Elemento neutro, comutativa e elemento neutro.
d) Simétrica, distributiva e elemento inverso.
e) Simétrica, comutativa e elemento inverso.
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Resolução:
Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas segundo esta ordem: simétrica, 
distributiva (para colocar x em evidência) e elemento neutro. Portanto, a alternativa correta é a a).
8.1.4 Corpo ordenado
Um corpo ordenado é um corpo K (evidentemente, esse conjunto satisfaz as propriedades enunciadas 
aqui para um conjunto totalmente ordenado), no qual se destacou um subconjunto P ⊂ K, chamado 
conjunto dos elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:
I. a soma e o produto dos elementos positivos são positivos. Simbolicamente, temos: x, y ∈ P → 
x + y ∈ P e x . y ∈ P;
II. dado x pertencente a K, ocorre, exatamente, uma das três alternativas seguintes: ou x = 0, ou 
x ∈ P, ou –x ∈ P.
Num corpo ordenado K, escrevemos x < y, dizendo que x é menor do que y, para significar que y – x 
∈ P, ou seja, que x = y + z, em que z ∈ P. De modo análogo, escreve-se y > x, para y maior que x.
Exemplo 1
Corpo ordenado dos números racionais.
Exemplo 2
Corpo ordenado dos números reais.
 Observação
Um corpo ordenado K chama-se completo quando todo subconjunto 
não vazio, limitado superiormente, X ⊂ K, possui supremo em K. Existe um 
corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos números reais, que, a 
menos de um isomorfismo, é único.
8.2 Grupos finitos e infintos
Ao estudarmos os grupos finitos, geralmente consideramos a simetria dos objetos matemáticos ou 
físicos se estes admitem apenas um número finito de estrutura de preservação de transformações. Esses 
tipos de grupos são finitos gerados por reflexões que atuam em um espaço euclidiano de dimensão 
finita. Basicamente, um grupo finito é aquele cujo conjunto G tem um número de elementos finito. O 
número de elementos de G será indicado por ºG, notação que designará a ordem do grupo G. Se G não 
for finito, será um grupo infinito e sua ordem será infinita.
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ÁLGEBRA
 Lembrete
Se G é um conjunto não nulo, munido de uma operação *, para que G, com essa 
operação, seja um grupo (G, *), devem ser satisfeitas as condições denominadas 
de axiomas de grupo a saber: associatividade, identidade e elementos inversos.
Intuitivamente, sabemos que um conjunto G é finito se os seus elementos podem ser contados. Um 
exemplo de um conjunto finito com n > 0 elementos é o conjunto dos primeiros n naturais:
Xn = {1, 2, 3, ..., n} = {c∈ N / c < n}
É fácil ver que, se n = 0, temos um conjunto vazio: Xn = ∅. A contagem do número de elementos 
de G consiste em estabelecer uma função bijetora entre G e Xn. Esse conceito pode ser formalmente 
descrito do seguinte modo:
•	 o conjunto G diz-se finito, se é isomorfo a Xn, para algum n > 0. Se G não é isomorfo a nenhum 
Xn, então dizemos que é infinito.
Exemplos:
1) Xn é isomorfo a si próprio. Desse modo, ele é finito.
2) O subconjunto G ⊂ N será finito se, e somente se, G for limitado.
 Observação
G será infinito se, e somente se, existir uma função f: G → G injetora e 
não sobrejetora.
Lema:
Se f: Xn → Xn é injetora, então f é sobrejetora.
Faremos a demonstração disso por indução:
I) Se n = 0, não há o que provar. Note que é possível que seja vazio. Nesse caso, f é injetora e 
sobrejetora, pois f: Xn → Xn e Xn é vazio.
II) Supondo que o resultado é valido para n, isto é, se f: Xn → Xn é injetora, então f é sobrejetora.
III) Vamos provar que o resultado também é válido para n + 1, isto é, que sef: Xn+1 → Xn+1 é injetora, 
então f é sobrejetora.
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Vamos supor que f: Xn+1 → Xn+1 é injetora e que g = f(n+1). Consideremos uma função bijetora 
h : Xn+1 → Xn+1 , dada por h(n + 1) = g, h(g) = n + 1, e h (x), conforme ilustração em seguida. Em todos 
os outros casos, h substitui os naturais g, n + 1 e é a identidade, se x ≠ a, n + 1, mas esse último fato 
não necessita de demonstração. Definimos f* = h º f e percebemos que f * é injetora (uma vez que há 
composição de duas funções injetoras), com f * (n – 1) = n + 1, por definição de h. Como f * é injetora, 
se x ∈ Xn (isto é, x ≠ n +1), temos f * (x) – x + 1, em que f * (x) ∈ Xn ou f * (Xn) ⊂ Xn.
A restrição de f * a Xn a torna, portanto, uma função injetora de Xn em Xn, ou seja, f *(Xn) = Xn. Como 
f * (n+1) = n + 1, temos f * (Xn+1) = Xn +1, isto é, f * é uma função sobrejetora de Xn+1 → Xn+1.
f h
Xn + 1
f * = h º f
Xn + 1 Xn + 1
n + 1
g
•
Xn
•
n + 1
g
•
Xn
•
n + 1
g
•
Xn
•
Figura 23
Observe que f = h–1 º f *é sobrejetora, por ser uma composição de funções sobrejetoras.
A seguir, apresentamos algumas proposição sobre grupos finitos:
1) Se G é finito e f: G → G é injetora, então f é sobrejetora.
Demonstração: seja h : Xn → G uma função bijetora. Note que f * = h
–1 º f º h; h : Xn → Xn é injetora, 
por uma composição de funções injetoras (veja ilustração a seguir). De acordo com o lema anterior, f * 
é necessariamente sobrejetora. Logo, f * = h–1 º f º h é uma composição de funções sobrejetoras, o que 
significa que ela também é sobrejetora.
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ÁLGEBRA
G
X
G
X
f
h h–1
–1
f* = h º f º h
Figura 24
 Lembrete
Vale lembrar que f: N → N, dada por f(n) = n + 1, é injetora, mas 
não é sobrejetora. De acordo com o resultado anterior, concluímos que 
N é infinito.
Vejamos algumas proposições, lemas e corolários importantes sobre os grupos finitos.
1) Corolário: se f: G → G é uma função injetora, e não sobrejetora, então G é um grupo infinito.
2) Corolário: se G é finito, G ⊃ H e f: G → H é uma aplicação injetora, então G = H.
3) Corolário: se f: Xn → G e h : Xm → G são aplicações bijetoras, então n = m.
4) Proposição: se H ⊂ G, temos que:
I. se G é finito, então H também é finito e ºH < º G.
II. se G é finito e ºH = º G, então H = G.
III. se H é infinito, então G também é infinito.
5) Lema: se f: Xn → G é uma aplicação injetora, mas não é sobrejetora, então existe f * : Xn+1 → G, 
que é injetora.
6) Lema: se f: Xn → G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG < n.
7) Proposição: se G e H são finitos, então:
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I. G ∪ H é finito, º(G ∪ H) < º G ∪ º H;
II. se G e H são disjuntos, então º(G ∪ H) = ºG + º H;
III. se G x H é infinito, então º(G x H) = ºG . ºH.
 Saiba mais
Você pode encontrar as demonstrações dos itens de 1 a 7 na página 407 
do trabalho indicado a seguir:
FERNANDES, R. J.; RICOU, M. Álgebra abstrata. 2003. Disponível em: < www.
math.ist.utl.pt/~rfern/Meus-papers/HTML/main.pdf>Acesso em: 08 out. 2012.
8.2.1 Grupo cíclico
Um exemplo de um grupo finito é o grupo cíclico. Para falar de um grupo cíclico, lembremos que 
todo subconjunto não vazio de um grupo G gera algum subgrupo de G. Podemos definir qualquer 
grupo indicando um sistema de geradores. Dizemos que um elemento a ∈ Z é gerador do grupo (G*), 
se ∀m ∈ G, existe um m' ∈ G / m' = a * m. Se um grupo (G, *) é gerado por um único elemento de G, é 
denominado grupo cíclico gerado por a. Então, se a ∈ (G, *):
H = {am, m ∈ Z}
 Lembrete
Lembrando que am = a * a * a * a ...:
• se o grupo for multiplicativo, então am = a . a . a . a ..., ou seja, é o 
conjunto das potências de a;
• se o grupo for aditivo, então am = a + a + a + a ..., ou seja, é o 
conjunto dos múltiplos de a.
Um problema interessante é o da rotação de um quadrado, no qual se define um grupo cíclico. Definimos 
a operação desse grupo como sendo a rotação do quadrado em 90º no sentido horário. Trata-se de um grupo 
cíclico, pois é gerado por um único elemento (rotação em 90º), no qual pode ser aplicada indefinidamente. 
Como é um grupo finito, um número definido de aplicações resultará na repetição da imagem desse grupo.
Em seguida, podemos observar o caso da rotação de um quadrado. Temos quatro situações 
possíveis, a primeira, chamada de identidade, que representaremos por 0; é o caso em que 
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fazemos 4 rotações de 90º no sentido horário, naturalmente voltando para a configuração 
original, daí o nome que recebe, pois esta é o elemento neutro da nossa aplicação. Além dela, 
temos a aplicação a que chamaremos de 1, que é uma rotação de 90º, a aplicação 2, que 
equivale a duas rotações de 90º (ou seja, uma de 180º) e a aplicação 3, que corresponde a três 
rotações de 90º (uma de 270º).
1
4
2
3
1 4
2 3
14
23
1
4
2
3
Rotação 90º para a direita
Rotação 90º para a 
direita (corresponde a 
180º da 1ª figura)
Rotação 90º para a 
direita (corresponde a 
360º da 1ª figura)
Rotação 90º para a 
direita (corresponde a 
270º da 1ª figura)
Figura 25
Sendo assim, podemos montar a tabela de rotação do nosso grupo finito, em que especificaremos 
a rotação como •. Logo, temos:
Tabela 10
• 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
As operações expressas na tabela são extremamente simples de se interpretar. Tomemos alguns 
exemplos: 0 com 2 resulta em 2, pois se estamos na situação inicial e giramos duas vezes em 90°, 
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cairemos na situação 2, que é o quadrado rotacionado em 180º; 1 com 2 resulta em 3, pois se já 
estamos na situação 1, em que o quadrado está rotacionado em 90º e depois rotacionamos mais duas 
vezes, será o equivalente a tê-lo rotacionado 3 vezes, ou 270º; 3 com 2: nesse caso, como já estamos 
inicialmente rotacionados em 270º e desejamos rotacionar mais uma vez, lembremos que, na primeira 
vez que o fizermos, ele reiniciará o ciclo, voltando para a situação 0, e, na segunda aplicação, iremos 
para a situação 1.
O interessante nesse problema é que sua tabela de aplicações é exatamente igual ao anel 
dos congruentes módulo m, considerando a operação de adição. Entretanto, ao pegarmos 
apenas uma operação, temos exatamente um grupo, que, nesse caso, é finito. Podemos, então, 
definir esse grupo finito (Zm, +), que tem as mesmas propriedades de um grupo de rotação 
finito.
8.2.2 Conjuntos infinitos
Nesta seção, optamos por apenas apresentar (sem demostrar) os teoremas proposições, lemas e 
corolários importantes sobre os grupos infinitos.
Já vimos que N é um conjunto infinito. Em certo sentido, é possível provar que N é o menor conjunto 
infinito que existe.
1. Lema: G é infinito se, e somente se, G contém um subconjunto isomorfo a N.
2. Teorema: G é infinito se, e somente se, existe f: G → G que seja injetora sem ser 
sobrejetora.
3. Teorema (Cantor): h: G → P (G) é uma função, então h não é sobrejetora.
 Saiba mais
Você pode encontrar as demonstrações dos itens 1, 2 e 3 na página 409 
do seguinte trabalho:
FERNANDES, R. J.; RICOU, M. Álgebra abstrata. 2003. Disponível em: <www.
math.ist.utl.pt/~rfern/Meus-papers/HTML/main.pdf>Acesso em: 08 out. 2012.
 Observação
Conjunto das partes de um conjunto. Se um conjunto G finito possui 
n elementos, então o conjunto das partes de G terá 2n elementos. Veja o 
exemplo a seguir:
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Se G = {1, 2, 3}, então:ºP (G) – 8, pois 23 = 8; e a sequência do conjunto 
de subconjuntos de G será:
P (G) = {∅; {1} ;{2};{3};{1, 2};{1, 3};{1, 2};{2, 3};{1, 2, 3}}
Exemplo 1:
Supoha que G = {1, 2}, em que: P (G) = {∅ ;{1};{2};{1, 2}}. Dada a aplicação h : G → P (G) uma 
função, sendo h(1) = {2} e h(2) = {1, 2}.
Temos F = {g ∈ G / g ∉ h(g)} = {1}, sendo que, obviamente, F ∉ h(G) = {{2}; {1, 2}}.
Exemplo 2:
Considere o conjunto P(N), formado por todos os conjuntos dos números naturais. Conforme 
exemplo anterior, P(N) não é isomorfo a N, visto que não é um homomorfismo sobrejetor. Contudo, é 
fato evidente que f: N → P (N), dada por f(n) = {n}, é injetora, e, portanto, P(N) é infinito.
Exemplo 3:
O conjunto G será numerável se, e somente se, G for um conjunto finito ou isomorfo a N; caso 
contrário, G será (infinito) não enumerável.
Exemplo 4:
Z é um conjunto não enumerável.
Exemplo 5:
R é um conjunto não enumerável.
 Resumo
Relembremos, brevemente, o que vimos nesta unidade. Estudamos a 
congruência modulo m em Z. Dados a, b e m, dizemos que a é congruente 
em b modulo m se, ao dividirmos a por m, a divisão resultar em um resto b, 
ou seja, a ≡	b (mod m) ou a b
m
≡ logo, se m divide a – b. Assim,
a) se r é o resto da divisão de a por m, então a rm
≡ ;
b) se a r r Z e r m
m
≡ ∈( ) ≤ <0 , então r é o resto da divisão de a por m;
c) em a b
m
≡ , o resto das divisões de a e b por m são iguais.
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Do conjunto Zm, das classes de congruência módulo m, lembremos 
que se m ≥ 2 m ∈	Z, temos ∀ ∈ ≡ ⇔a b Z a b m
m
, , divide a – b. Sendo assim, 
a classe de congruência módulo m: b x Z x b
m
= ∈ ≡{ }/ o conjunto dos 
inteiros modulo m: Z b b Zm = ∈{ }/
Estudamos também o conceito de anéis e suas propriedades. Temos, 
no anel em Zm, (Zm, +, .). Sendo m ≥ 2, o anel é comutativo com unidade. 
Sendo Zp, com p primo, temos também um corpo. Zm é um anel finito.
Abordamos, ainda, os anéis de polinômios. Seja
S R X a a X a X a X a R n Nn
n
i= [ ] = + + + ∈ ∈{ }0 1 2 2 ... , , , em que
p X a a X a X a X a Xn
n
i
i
i
n
( ) = + + + + =
=
∑0 1 2 2
1
... é um polinômio sobre S.
Seja p X a Xi
i
i
n
( ) =
=
∑
1
 e q X b Xi
i
i
m
( ) =
=
∑
1
, com m<n, definimos:
Adição:
p x q x a b a b a b X a b Xn n
n
i i
i
i
n
( ) + ( ) = +( ) + +( ) + + +( ) = +( )
=
∑0 0 1 1
0
...
Multiplicação:
p x q x c X c c x m n xk
k
k
m n
m n( ) ( ) = = + + + +( )
=
+
+∑. ...
0
0 1
1 , em que: 
 
c a b jk j k
j
k
= −
=
∑
0
Vimos que, segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, qualquer 
polinômio de ordem n > 1, com coeficientes reais ou complexos, possui 
pelo menos uma raiz complexa.
Estudamos os corpos racionais, reais e complexos. Um corpo é um 
domínio de integridade quando satisfaz a condição: ab = ba = 1. Existe 
um elemento b que é inverso ao elemento a. Lembremos que o conjunto 
dos números inteiros não possui elemento inverso e que os conjuntos dos 
números racionais, reais e complexos, além de serem anéis com domínio de 
integridade, também possuem estrutura de um corpo.
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ÁLGEBRA
Vale lembrarmos que o conjunto dos números racionais (Q) é definido 
por: Q
a
b
a Z b Z= ∈ ∈
/ ,
* . Como é um anel de integridade e cada
a
b
Q
b
a
tal que
a
b
b
a
∈ ∃ =, , . 1, então Q é um anel.
O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintes 
conjuntos: N, Z e Q, assim como as raízes de números positivos em geral. 
Logo, esse conjunto á um corpo.
O conjunto dos números complexos C é expresso por:
c a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1 Se z = a + bi, o seu inverso, 1/z, está 
definido nos números complexos; logo, é um corpo.
O homomorfismo de grupos e de anéis foi outro tópico abordado nessa 
segunda parte da nossa disciplina. Sendo A, B ≠	∅, com as operações 
binárias * e o, se A e B são grupos ((A, *) e (B, º)), f: A →	 B e homomorfismo 
se f(a * B) = f(a) o f(b) ou f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a . b) = f(a) . f(b).
São tipos de homomorfismo:
Endomorfismo: homomorfismo de (H, *) em si próprio;
Automorfismo: endomorfismo em que a aplicação f é bijetora;
Monomorfismo: homomorfismo injetor, quando f for injetora;
Epimorfismo: homomorfismo sobrejetor, quando f for sobrejetora;
Isomorfismo: se f é um homomorfismo de B em B’ e se f também é 
uma aplicação bijetora.
Vale lembrarmos também do conceito de corpo ordenado. K é um corpo 
ordenado se, dado P ⊂ K, as seguintes condições são satisfeitas:
1) a soma e o produto dos elementos positivos são positivos. 
Simbolicamente, temos: x, y ∈	P →	x + y ∈	P e x . y ∈	P;
2) dado x pertencente a K, exatamente uma das três alternativas 
seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈	P, ou –x ∈	P.
Num corpo ordenado K, x < y => y – x ∈	P, ou seja, x = y + z, em que z 
∈	P; também podemos escrever y > x.
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Unidade IV
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Estudando grupos finitos e infinitos, vimos que um conjunto G é finito 
se é isomorfo a Xn, para algum n ≥ 0. Se G não é isomorfo a nenhum 
Xn, então dizemos que G é infinito. Vale relembrarmos destas importantes 
propriedades:
Se f: Xn →	Xn e injetora, então f é sobrejetora.
Se G e finito e f: G →	G é injetora, então f é sobrejetora.
Se f: G →	G é injetora e não é sobrejetora, então G é um grupo infinito.
Se G é finito, G ⊃H e f: G →	H é uma aplicação injetora, então G = H.
Se f: Xn →	G e h: Xm →	G são aplicações bijetoras, então n = m.
Se H ⊂	G, temos:
a) Se G é finito, então H também e finito e ºH < ºG.
b) Se G é finito e ºH = ºG, então H = G.
c) Se H é infinito, então G também é infinito.
Se f: Xn →	G é injetora e não é sobrejetora, então existe f*: Xn + 1 →	G, 
que é injetora.
Se f: Xn →	G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG ≤n.
Se G e H são finitos, então:
a) G ∪	H é finito, º(G H) < ºG ∪	ºH;
b) se G e H são disjuntos, então º(G ∪	H) = ºG + ºH.
Vimos que um grupo é cíclico quando indica um sistema de geradores: 
a ∈	Z é gerador de (G, *); se ∀m ∈	G, existe um m’ ∈	G / m’ = a * m . ⇒H 
= {am, m ∈	Z}.
Quanto aos conjuntos infinitos, vimos que N é o menor conjunto 
infinito que existe.
G é infinito ⇔	G contém um subconjunto isomorfo a N.
G é infinito ⇔	f: G →	G que seja injetora sem ser sobrejetora.
(Cantor). h: G →	P(G) uma função. Então h não é sobrejetora.
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ÁLGEBRA
 Exercícios
Questão 1. Analise as afirmações sobre homomorfismo:
I. A aplicação f : Z → C* dada por f(m) = im para todo “m” em Z é um homomorfismo de (Z, +) em 
(C*, •).
II. O núcleo do homomorfismo f : Z → C* dado por f(m) = im para todo “m” em Z é dado por: 
N(f) = {0, 4, 8, 12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z}
III. No anel (Z6,+, • ) os elementos: 1 3 4, e são idempotentes.
IV. Sejam os anéis (A, +, • ) e (B, +, •) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q } e B = M2 (Q). A aplicação 
f : A → B dada por: f(a + b −2) = a b
b a
−2
 é um homomorfismo.
Quais itens são afirmações verdadeiras?
A) I e II.
B) I e IV.
C) II e III.
D) I, IIe III.
E) I, III e IV.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das afirmativas
I – Afirmação correta.
Justificativa: a aplicação f : Z → C*, dada por f(m) = im para todo “m” em Z, é um homomorfismo de 
(Z, +) em (C*, •), pois ∀ m, n ∈ Z, f(m + n) = i
m+n = im . in = f(m) . f(n).
II – Afirmação incorreta.
Justificativa: o núcleo do homomorfismo f : Z → C*, dado por f(m) = im para todo “m” em Z, é dado 
por: N(f) = { 0, ±4, ±8, ±12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z }
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Unidade IV
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III – Afirmação correta.
Justificativa: no anel (Z6,+, • ) : ( 1 )
2 = 1 , ( 3 )2 = 3 , ( 4 )2 = 4 .
Portanto, para o anel (Z6, +, • ), os elementos 1 , 3 e 4 são idempotentes.
IV – Afirmação correta.
Justificativa: sejam os anéis (A, +, • ) e (B, +, •) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q} e B = M2 (Q). 
Verifique se a aplicação f : A → B, dada por: f(a + b 
−2 ) = 
a b
b a
−2
, é um homomorfismo.
∀ a + b
−2 , c + d −2 ∈ A,
i) f [(a + b 
−2 ) + (c + d −2 )] = f [(a + c) + (b + d) −2 ] =
ac b b b
ad bc a c
a c b d
b d a c
a b
b a
c d
d c
− − +
+ +
=
+ − −
+ +
=
−
+
−2 2 2 2 2 2( )
= f(a + b 
−2 ) + f(c + d −2 ).
ii) f [(a + b 
−2 ) • (c + d −2 )] = f [(ac – 2bd) + (ad + bc) −2 ] = 
ac b ad bc
ad bc ac bd
ac b ad bc
ad bc ac bd
a b
b a
− − +
+ −
=
− − +
+ −
=
−2 2
2
2 2
2
2( ) ( )
..
c d
d c
− 2
= f(a + b 
−2 ) • f(c + d −2 ).
Portanto, f é um homomorfismo do anel A no anel B.
Questão 2. Resolvendo o sistema S
x y
x y
=
+ =
+ =

2 3 7
5 6
 em Z11, o conjunto solução será:
A) S = {( , )0 7 }
B) S = {( , )0 6 }
C) S = {( , )5 6 }
D) S = {( , )3 7 }
E) S = {( , )3 10 }
Resolução desta questão na plataforma.
133
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 16
Wonder_Cube__1_.JPG. 1 foto, color. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/
display/220825>. Acesso em: 02 out. 2012.
REFERÊNCIAS
Textuais
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BORGES, F. Criptografia como ferramenta para o ensino de matemática. Laboratório Nacional de 
Computação Científica. In: XXXI CONGRESSO DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, nov. 2009. 
Campo Grande: UFMS. Disponível em: < www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/PDF/189.pdf>. 
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em 1º out. 2012.
135
Exercícios
Unidade 1 – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Enade 2008: Computação. Questão 13. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/Enade2008_RNP/COMPUTACAO.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013.
Unidade 2 – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Enade 2005: Matemática. Questão 20. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013. 
Unidade 2 – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Enade 2008: Matemática. Questão 17. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013. 
Unidade 3 – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Enade 2005: Matemática. Questão 23. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013. 
136
137
138
139
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000
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