Bases Matemáticas Para Engenharia (5)

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CCE1005 –BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Aula 05: Função Quadrática
Unidade 5: Função Afim
AULA 08: Função Afim
AULA 07: Função Quadrática
Unidade 5: Função Quadrática
Importante por modelar problemas em muitas áreas
f(x)=ax2+bx+c, 
a,b e c ∈ ℝ e a ≠ 0
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Parábola
lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta r e de um ponto F, não pertencente à reta, no plano dado.
A palavra “parábola” provém do grego e significa “lançar ao longe” e foi o grego Apolônio que descobriu que a parábola é um caso especial de curvas obtidas seccionando um cone por um plano, sendo, por isso, chamadas de seções cônicas, incluindo as hipérboles e as elipses.
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Parábola
Projeto geométrico de estradas: curva parabólica de concordância vertical:
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Parábola
Edifício Berliner Bogen, Alemanha: O conforto ambiental é garantido pela dupla pele de vidro e pelo aproveitamento da geometria da edificação, que criam um sistema de energia regenerativa
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Parábola
Destaque da arquitetura brasileira, a Igreja de São Francisco à beira da lagoa da Pampulha em Belo Horizonte, possui cobertura em parábolas de concreto impressionantemente suave e elegante. Projeto de Oscar Niemeyer.
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Parábola
galpão para armazenagem de material a granel
antena parabólica
fogão solar
farol automotivo
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Parábola
Calha parabólica em usina heliotérmica
http://energiaheliotermica.gov.br/
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Parábola
Ponte JK - Brasília
http://radames.manosso.nom.br/arquitetura/files/ponte-jk-0.jpg
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f(x)=ax²+bx+c
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f(x)=ax²+bx+c
Parábola: concavidade
Analise no geogebra as seguintes funções:
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Parábola: forma canônica
Deixando x² “sozinho”:
Para que o x apareça “sem potência utilizando produtos notáveis:
Reescrevendo f(x)=ax²+bx+c
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Parábola: forma canônica
Reescrevendo f(x)=ax²+bx+c
e definindo denominado discriminante, tem-se:
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Parábola: forma canônica
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Parábola: raízes ou zeros da função
Pontos onde a ordenada é nula
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
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Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
 Caso1: Δ>0 2 raízes reais
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Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
 Caso2: Δ=0 1 raiz real
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Parábola: raízes ou zeros da função
No caso de modelagem de algum fenômeno, são pontos de grande interesse
Análise do discriminante pela fórmula de Bhaskara:
 Caso 3 Δ<0 não possui raiz
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Análise do ponto x=0, ou seja:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: interseção com o eixo y
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Como foi visto no estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: interseção com o eixo y
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Estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: máximo e mínimo
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Estudo da concavidade:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: máximo e mínimo
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Estudo dos máximos e mínimos:
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: vértice
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Unidade 5: Função Quadrática
No caso de modelagem de algum fenômeno, é ponto de grande interesse
Parábola: resumo e estudo dos sinais
Estudo dos máximos e mínimos:
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Construção do gráfico da função do 2.º grau
Passo a passo
1º passo: determinar as raízes da função
2º passo: estudo da concavidade
3º passo: determinar o vértice da parábola
4º passo: ponto de intersecção da função com o eixo y (quando x=0)
5º passo: esboço do gráfico
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Exercício
Considere um Movimento Uniformemente Variado (MUV). 
Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t2 - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?
Resolução
A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. 
Exercício
Um canhão atira um projétil, descrito pela função S = -9t2 + 120t, sendo S expresso em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.
Resolução
A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a < 0), o ponto máximo da parábola será a altura máxima atingida pelo projétil.
Exercício
Para quantos números reais x, o número y, onde y= -x2+6x-1, é um número pertencente ao conjunto dos números naturais?
Primeiro precisamos verificar que essa é uma parábola com a concavidade para baixo. 
Os valores da imagem que pertencem ao conjunto dos Naturais estão compreendidos entre 0 e o máximo da função (valor no vértice).
Resolução
Logo, temos que o vértice está em (3, 8) Donde podemos dizer que: existem 8 pontos x para cada valor Natural de y (1,2,3,4,5,6,7,8)
, isso na subida da parábola, e como é uma parábola, existe a mesma quantidade de pontos na descida, com exceção do vértice que é apenas 1. Logo, temos 15 pontos.
A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola. 
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento centralCG é 20m, a altura de DH é: 
Veja que a parábola passa no eixo X nos pontos X = -50 e X = 50, pois o enunciado diz que cada pilastra está distante uma da outra 25m. Veja também que é dito que a altura da ponte é 20m, por isso a parábola acima corta o eixo Y no ponto 20. 
O exercício está pedindo, a coordenada Y do ponto H. Para isso, vamos encontrar a equação da parábola e depois depois descobrir a coordenada.
Sabemos que nossa parábola tem as raízes x= -50 e x= 50. Portanto, podemos escrever sua equação como sendo:
		f(x)=a(x-50)(x+50)
Onde o coeficiente “a” ainda será descoberto utilizando-se o ponto G, que sabemos ter coordenadas (0, 20), ou seja, f(0) = 20. Substituindo estas coordenadas na função acima: 
Agora, então, podemos escrever a expressão completa da função que define a ponte:
Assim, conseguimos encontrar a coordenada y do ponto H. 
A coordenada x do ponto H já sabemos, vale x = 25. 
Vamos substituir x = 25 na expressão acima: 
Trabalho para prova
Um ônibus da cidade de Petrópolis tem capacidade para 80 passageiros, sendo 60 sentados e 20 de pé. Em uma viagem durante a exposição agropecuária entre o centro da cidade e Itaipava o ônibus estava com lotação y.
Na primeira parada na 13 de maio 3/5 dos passageiros saíram; em Correas entraram 20 passageiros. Devido ao engarrafamento, 3/4 dos passageiros saíram em nogueira e outros 5/8 saíram em Bonsucesso.
No final do percurso chegaram 26 passageiros.
O ônibus estava com superlotação?
Quantos passageiros haviam quando o ônibus saiu do terminal de correas? 
Trabalho para Prova
Sabe-se que em uma equação quadrática o valor da A e B são iguais e C é igual a A * B. O gráfico é esboçado abaixo. Nele tem uma reta. Monte a equação da parábola, da reta e determine os pontos onde os a reta e a parábola se cruzam.
>> x=-2:0.1:1;
>> y=-2.*x.^2-2.*x+4;
>> plot(x,y)
>> r=-2:1;
>> s=r+3;
Trabalho para Prova
Sabe-se que uma parábola possui vértice na posição (0, 0) e que passa pelos pontos A=(-1, -1), B=(1, -1), C=(-2, -4) e D=(2, -4). Nesta mesma parábola há uma reta que passa pelos pontos CB.
Apresente o esboço da parábola e monte as equações da parábola e da reta.
Trabalho para Prova
A função 5x2 – 5x – 15 = 0 gera uma parábola com concavidade para cima. No mesmo gráfico, 2 retas são traçadas à partir da origem (coordenada(0,0)). Cada uma das retas tem ângulo igual a 45°.
Calcule os pontos onde cada uma das retas toca a parábola.
Mostre a equação da reta que tem pontos em (3, 4) e (5, 7).
Apresente uma equação que crie uma reta perpendicular à essa, cruzando na mediatriz dos pontos.
Qual o valor do ponto (x, y) nesta intercessão?
Trabalho para Prova
Unidade 5: Função Afim
AULA 08: Função Afim
AULA 07: Função Quadrática
Unidade 5: Função Quadrática
<número>