Introdução à Álgebra Booleana e Circuitos Lógicos

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Professora: Emanoela Lopes 
 Álgebra Booleana; 
 Portas e operações lógicas; 
 Cálculo de expressões lógicas; 
 Noções de lógica booleana; 
 
 As complexas operações de um computador são 
combinações de operações aritméticas e lógicas 
básicas: somar, complementar, comparar e mover bits. 
 
 Estas operações são fisicamente realizadas por 
circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos (ou 
"portas" lógicas). 
 
 Os sistemas lógicos são estudados pela álgebra 
Boolena, conceituada pelo matemático George Boole. 
 
 
 
 
 
Onde se utiliza? 
 
 Construção dos microprocessadores (unidades 
internas). 
 
 Construção dos circuitos dos computadores 
(decodificadores, memória, etc) 
 Boole construiu sua lógica a partir de símbolos, 
representando as expressões por letras e ligando-as 
através de conectivos símbolos algébricos. 
 
 A álgebra de Boole trabalha com duas grandezas: falso 
(representado por 0) ou verdadeiro (representado por 
1). 
 
 Nos circuitos lógicos do computador, os sinais binários 
são representados por níveis de tensão. 
 
 
 
 A álgebra booleana possui 3 operações lógicas: 
 
 Adição lógica ou operação OR. Símbolo: (+) 
 
 Multiplicação lógica ou operação AND. Símbolo: (.) 
 
 Complementação lógica ou inversão ou operação NOT. 
Símbolo: ( ¯ ). 
 A maioria dos circuito lógicos possuem mais de uma 
entrada e somente uma saída. A tabela verdade nos 
mostra como a saída dos circuitos lógicos responde as 
combinações do níveis lógicos de entrada. 
 
 
 
 
A expressão x=A+B deve ser lida como “x é igual a A ou B”. 
 
As características fundamentais da porta OU e da operação lógica OU 
são: 
 A operação OU resulta em 1 sempre que qualquer variável de 
entrada for 1. 
 A operação OU resulta em 0 quando todas as entrada formem 0. 
 
 
 
 
 
A expressão x=A.B deve ser lida como “x é igual a A e B”. 
As características fundamentais da porta E e da operação 
lógica E são: 
 
 A operação E resulta em 0 sempre que qualquer variável de 
entrada for 0. 
 A operação E resulta em 1 quando todas as entrada formem 
1. 
 
 
 
 
 
 
 A expressão x= deve ser lida como x é igual a “A 
barrado” ou “x é o complemento de A” ou “x é o inverso 
de A”. 
 
 A saída da porta NOT ou inversora é sempre oposta ao 
nível lógico de entrada. 
 
A
 
 
 
 
 A porta XOR compara os bits; ela produz saída 0 quando 
todos os bits de entrada são iguais e saída 1 quando pelo 
menos um dos bits de entrada é diferente dos demais. 
 
Na avaliação de uma expressão lógica, as seguintes 
regras devem ser seguidas: 
 
 a) Uma expressão pode ou não conter parênteses; 
quando contêm, eles têm a mesma prioridade que nos 
cálculos da álgebra comum; 
 
 b) A prioridade da operação AND é maior que a do 
cálculo de uma operação OR, como na aritmética 
comum. Assim: X+Y .Z = X + (Y .Z); 
 
 c) A prioridade da operação OR é maior que a operação 
XOR. 
 
1)Faça a tabela verdade para as seguintes expressões 
booleanas (Observação: o sinal * significa AND; + 
significa OR e ~significa NOT): 
 
a)A*B*C + ~(A*B*C) 
b)A*B + A*(~C) 
 
 
 
2)Calcule o valor de x para as expressões abaixo: 
Considere: A=1011, B=1110, C=0011, D=1010 
 
 Qualquer circuito lógico pode ser implementado pelas 
operações OR,AND e NOT. 
 
 
 
 
 
 
 Qual a expressão da saída y? 
 Postulados da Adição 
0+0=0 -> A+0=A ->A+A=A 
0+1=1 -> A+1=1 ->A+Ā=1 
1+0=1 
1+1=1 
 
 Postulados da Multiplicação 
0.0=0 ->A.0=0 A.A=A 
0.1=0 ->A.1=A A.Ā=0 
1.0=0 
1.1=1 
 
 Propriedades da lógica Booleana 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade Versão OU Versão E 
1-Identidade x+0=x x.1=x 
2-Elemento Nulo x+1=1 x.0=0 
3-Equivalência 
4-Complemento 
5-Involução 
6-Comutativa x+y=y+x x.y=y.x 
7-Associativa (x+y)+z=x+(y+z) (x.y).z=x.(y.z) 
8-Distributiva x+yz= (x+y).(x+z) x.(y+z)=xy+xz 
9-Absorção 1 x+xy=x x.(x+y)=x 
10- Absorção 2 
11-De morgan 
x x x  .x x x
1x x 
. 0x x 
x x x x
.x x y x y   .( ) .x x y x y 
.x y x y 
.x y x y 
 
1) Foi criado um circuito lógico que combina 2 entradas, cada 
uma formada por 3 bits. Chamamos estas entradas de A e B. Se 
em determinado momento o valor da entrada A é 011 e de B é 
110 e a expressão que representa em circuito é A NAND B, qual 
será a saída para estas entradas? 
 
( ) 101 
( ) 111 
( ) 110 
( ) 010 
( ) 011 
 
2) Com base na tabela-verdade referente à expressão booleana 
abaixo, quantas serão as possibilidades do resultado 
ser VERDADE (1)? 
 
 S = A.B+A.C 
 
( ) 1 
( ) 2 
( ) 3 
( ) 4 
( ) 5 
 
 Com base no software online Logic Lab (http://www.neur
oproductions.be/logic-lab/), executar as tarefas: 
Teste a tabela verdade das portas AND, OR, XOR, NAND, 
NOR. 
 
 Baixe o simulador de circuitos digitais no site: 
http://www.tourdigital.net/SimuladorTTLconEscenarios.ht
m 
Clique no arquivo SimuladorDigital_097.zip e reproduza 
as portas estudadas. 
 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=gOamkX9ej0Y 
 https://eletronicabasica.wordpress.com/2011/03/29/simul
ador-de-circuitos-digitais-no-protoboard/ 
 http://www.tourdigital.net/SimuladorTTLconEscenarios.ht
m 
 http://www.neuroproductions.be/logic-lab/