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1. Descreva a curva definida pela função vetorial: . Resposta: 2. Encontrando Primitivas: Seja ∫ , qual a resposta correta? Resposta: ∫ ∫ ( ) 3. Calcule ∫ ∫ √ √ . Resposta: 4. Verifique se a função é harmônica. Resposta: 5. Esboce a região limitada pelas funções e expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área. Resposta: 6. Determine o vetor posição de uma partícula que se move em função do tempo , sabendo-se que o vetor aceleração é dado pela equação vetorial e que primeiramente a partícula saiu de um ponto com uma velocidade . Resposta: 7. Seja a posição de uma partícula no plano no instante . Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante . Resposta: 8. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫ . Resposta: 9. A integral ∫ ∫ fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região. Resposta: 10. Resolva a equação diferencial para como função vetorial de : com a condição inicial: . Resposta: 11. Encontre o comprimento da curva dada pela função vetorial , considerando . a) b) c) d) e) 12. Se , então a integral definida: ∫ é: Resposta: 13. Encontre e para a função . a) e b) e c) e d) e e) e 14. Seja a função . Encontre . a) b) c) d) e) 15. Calcule a integral tripla ∫ ∫ ∫ no espaço . 16. Sendo , qual é o resultado da soma: ? Resposta: 17. Se , então: ∫ é: Resposta: – 18. A integral ∫ ∫ fornece a área de uma região no plano . Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região. Resposta: 19. Encontre uma função potencial para o campo . Resposta: 20. Seja a função , encontre . Resposta: 21. Encontre a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano de equação . Resposta: 22. Encontre uma equação potencial para o campo . Resposta: 23. Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: no instante . Resposta: 24. Seja a função . Encontre . Resposta: 25. Calcule a integral ∫ ∫ ∫ √ mudando a ordem de integração de maneira apropriada. Resposta: 26. Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição . Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo , encontre o módulo da velocidade da asa-delta em qualquer instante . Resposta: 27. Calcule e para a função ( ( )) . Resposta: 28. Verifique se a função é harmônica. Resposta: 29. Esboce a região limitada pelas funções , , e expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área. Resposta: 30. Calcule a integral ∫ ∫ ∫ . Resposta: 31. Os conceitos e aplicações de derivada direcional e gradiente de uma função são ferramentas matemáticas de grande utilidade na Engenharia onde se buscam as respostas para uma série de perguntas. Determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor ⃗ . Resposta: 32. Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição . Indique a única resposta correta. a) Resposta: Eu acho dv/dt = b) c) d) e) 33. Encontre a derivada direcional da função em na direção do vetor . a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 34. Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor posição dado por . Indique a única resposta correta que determina a aceleração em um tempo qualquer. Observação: . a) b) c) d) e) 35. Encontre a para usando derivação implícita. 36. Encontre e para a função . 37. Se resistores elétricos de , e ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de ohms, o valor de pode ser encontrado a partir da equação . Encontre o valor de quando , e ohms. Resposta: ∂r/∂ r₁ = r²/ r₁² = (r/ r₂)² => 1/R = 1/30+1/45+1/90 = (3+2+1)/90 = 6/90 = 1/15 R = 15 ∂r/∂r₂ = (15/45)² = (1/3)² = 1/9 38. Encontre os valores de e no ponto se – . 39. Encontre o volume da região limitada pelas superfícies e – . a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 40. Encontre o volume da região formada pelo cilindro e o plano que é limitado pelos planos , , e . 41. Uma partícula se move ao longo do topo de uma curva da esquerda para a direita a uma velocidade constante de unidades por segundo. Encontre a velocidade da partícula enquanto ela se move sobre o ponto . Resposta: 42. Calcule a integral tripla iterada ∫ ∫ ∫ √ √ . 43. Não existe nada que prove ao se tomar, sucessivamente, derivadas de uma função tantas vezes quantas forem necessárias, que as funções derivadas permanecem diferenciáveis em cada estágio. Conforme a afirmativa, determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial . 44. Calcule a integral tripla: ∫ ∫ ∫ . 45. Encontre um vetor tangente unitário da curva para pertencente ao intervalo. Resposta: 46. O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por . Determine a velocidade do objeto no instante . a) b) c) Resposta: v(t) = dr/dt = d) e) 47. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar de ∫ ∫ √ . a) b) c) d) e) 48. A posição de uma partícula é dada pela seguinte função vetorial: ( ). Encontrar a função vetorial para a velocidade da partícula. 49. Calcule a integral de linha ∫ onde é o segmento de reta de a . Resposta: 50. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar ∫ ∫ √ √ . a) b) c) d) e) 51. Considere as seguintes informações: 1 - O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras diferentes. 2 - O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras diferentes. 3 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas (ou três) integrais simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 4 - A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 5 - O cálculo de integrais duplas (ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas (ou três) integrais simples, sempre da mesma forma. As seguintes informações são verdadeiras: a) 1, 2, 3 b) 2, 4, 5 c) 2, 3, 4 d) 1, 3, 5 EU ACHO QUE È ESTA e) 1, 3, 4 52. Calcule a integral ∫ e indique a única resposta correta. Resposta: 53. é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante para ⁄ . Resposta: 54. Quando uma curva , passa pelo domínio de uma função no espaço, os valores de ao longo da curva são dados pela função composta . Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de a , calcula-se a integral de linha de ao longo da curva. Portanto ∫ ∫ onde | | . Calcule a integral de linha ∫ onde é a hélice circular dada por , . Resposta: 55. Sabendo-se que o comprimento de uma curva lisa , é dada pela fórmula ∫ (√( ) ( ) ( ) ) ∫ | | , encontre o comprimento da curva , . Resposta: 56. Calcule a integral ∮ onde é o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas e . 57. O plano apresenta intersecção com a paraboloide em uma parábola. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em .
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