Geometria Analitica e Álgebra Linear

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Geometria Analitica 
e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
Aula 02 
VETORES 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 2 
 
 
1. Norma de um vetor (módulo) 
 
Seja o vetor �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un)  Rn. Definimos Norma (ou comprimento) do vetor 
u, representado por |�⃗⃗� |, o número real dado por; 
 
|�⃗⃗� | =
2
n
2
3
2
2
2
1 u...uuu  
 
 
1.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Exemplos 
 
1) Determine a norma do vetor �⃗⃗� = (1, 3). 
Solução: 
�⃗⃗� = (1, 3) 
|�⃗⃗� | = 
22 )3()1( 
= 
10
  |�⃗⃗� | = 
10
 
 
2) Determine a norma do vetor �⃗⃗� = (5, -2, 1). 
Solução: 
�⃗⃗� = (5, -2, 1) 
|�⃗⃗� | = 
222 )1()2()5( 
= 
30
  |�⃗⃗� | = 
30
 
 
3) Determine a norma do vetor dado pelos pontos do R3 A = (5, -2, 5) e B = (2, -2, 1). 
Solução: 
𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B – A = (2, -2, 1) – (5, -2, 5) = (-3, 0, -4) 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 
222 )4()0()3( 
= 5  |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 5 
 
4) Obter, se possível, o valor de k de modo que |�⃗⃗� | = 4, onde �⃗⃗� = (k - 1, -2, -1, 2) 
Solução: 
 �⃗⃗� = (k–1, –2, –1, 2) e 
| �⃗⃗� | = 4 
 |�⃗⃗� | =
2222 )2()1()2()1( k
=
1022  kk
 
 
e como |�⃗⃗� |= 4, temos que k2 – 2k + 10 = 16  k2 – 2k – 6 = 0 
 
 ou seja; k =
71
 
y 
x 
P = (u1,u2) 
u1 
u2 
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05) Usando a figura ao lado e sabendo que o módulo do vetor 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ está 
associado à 4247 N e o módulo do vetor 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ está associado à 2452 N, 
determine o valor do módulo associado ao vetor 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de modo que o 
sistema esteja em equilíbrio, ou seja, o vetor resultante seja nulo. 
 
Solução: 
Na condição de equilíbrio estático (repouso), podemos verificar que: 
 
|𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2452 N 
|𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4247 N 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = ? 
 
Assim: 
 Equilíbrio na vertical 
 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝒚
 = |𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2452 N 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝒚
 = |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.sen(30º) 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
N 
)sen(30
 49042452 

 
 Equilíbrio na horizontal 
 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝒙
 = |𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4247 N 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝒙
 = |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.cos(30º) 
|𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
N 
)cos(30
4247 4904

 
 
Logo, o valor o valor associado ao vetor 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é 4904 N 
 
 
 
 
 
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2. Produto escalar 
 
Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn)  Rn. O produto 
escalar entre �⃗⃗� e �⃗⃗� é um número real, representado por �⃗⃗�  �⃗⃗� e definido por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. Propriedade de Produto Escalar 
Sejam os vetores �⃗⃗� , �⃗⃗� , �⃗⃗⃗�  Rn e k R. 
I. �⃗⃗�  �⃗⃗� = �⃗⃗�  �⃗⃗� (comutativa) 
II. �⃗⃗�  (�⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ) = �⃗⃗�  �⃗⃗� + �⃗⃗�  �⃗⃗⃗� (distributiva) 
III. K.( �⃗⃗�  �⃗⃗� ) = (K. �⃗⃗� )  �⃗⃗� = �⃗⃗�  (K. �⃗⃗� ) (associativa) 
IV. �⃗⃗�  �⃗⃗� > 0 
V. �⃗⃗�  �⃗⃗� = 
2
n
2
3
2
2
2
1 u...uuu 
 = 
 
2.2. Exemplos 
 
1) Determine o produto escalar entre os vetores �⃗⃗� = (5, -2, 1) e �⃗⃗� = (2, 0, -4) 
Solução: 
 �⃗⃗�  �⃗⃗� = (5).(2) + (-2).(0) + (1).(-4) = 6 
 
2) Determine o produto escalar entre os vetores �⃗⃗� = (2, -3, -2, 0) e �⃗⃗� = (1, 2, -2, 3) 
Solução: 
�⃗⃗�  �⃗⃗� = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 
 
3) Sabendo que |�⃗⃗� | = 3, |�⃗⃗� | = 2 e �⃗⃗�  �⃗⃗� = 2 calcular (3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� )  (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) 
Solução: 
(3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� )  (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) = (3�⃗⃗� )(2�⃗⃗� ) - (3�⃗⃗� )(5�⃗⃗� ) + (2�⃗⃗� )(2�⃗⃗� ) - (2�⃗⃗� )(5�⃗⃗� ) 
 = 6|�⃗⃗� |2 - 11 �⃗⃗� �⃗⃗� – 10|�⃗⃗� |2 
 = 6(3)2 - 11(2) – 10(2)2 = - 8 
 (3�⃗⃗� + 2�⃗⃗� )  (2�⃗⃗� - 5�⃗⃗� ) = -8 
�⃗⃗�  �⃗⃗� = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3 +,...,+ un . vn 
 
�⃗⃗�  �⃗⃗� = |�⃗⃗� |.|�⃗⃗� |.Cos() 0o    180o 
 
|�⃗⃗� | = |�⃗⃗� |2 
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4) Dados os vetores 
a
 =(3, –2, 4) e 
b
=(1, 6, –4), determinar um vetor 
x
, sabendo-
se que ele é perpendicular ao eixo OX, e que verifica as seguintes relações: 
x
 
a
=5 e 
x
 
b
=3. 
Solução: 
 
x
= (a, b, c) = ? e 
x
  Eixo OX  
x
= (0, b, c) 
 

x
 
a
 = 5 e 

x
 
a
= (0, b, c)(3, –2, 4) =-2b + 4c  -2b + 4c = 5 
 

x
 
b
= 3 e 

x
 
b
= (0, b, c)(1, 6, –4) = 6b – 4c  6b – 4c = 3 
 
3
5
c4b6
c4b2







 
2b 
 e 
4
9
c 
 
Logo, 
x
= (0, 2, 
4
9
) 
 
 
 
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3. Ângulo entre dois vetores 
 
Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn)  Rn e aplicando a 
segunda expressão do produto vetorial, o ângulo entre os vetores u e v é definido por: 
 
 
 
 
 
 
Obs: |�⃗⃗�  �⃗⃗� | fornece o ângulo de menor valor. 
 
3.1. Exemplos 
1) Determine o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (1, 4, 1) e �⃗⃗� = (-1, 2, 2) 
Solução: �⃗⃗�  �⃗⃗� = (1).(-1) + (4).(2) + (1).(2) = 9 
|�⃗⃗� | = 222 )1()4()1(  = 18 
|�⃗⃗� | = 222 )2()2()1(  = 3 






 
3.18
9
Cos 1
 = 45o 
 
2) Sabendo que |�⃗⃗� |=10, |�⃗⃗� | =5 e que o ângulo entre os vetores é  = 60o. Determine �⃗⃗�  �⃗⃗� . 
Solução: �⃗⃗�  �⃗⃗� = ? |�⃗⃗� | = 10, |�⃗⃗� | = 5,  = 60o 
Da fórmula �⃗⃗�  �⃗⃗� = |�⃗⃗� |.|�⃗⃗� |.Cos() temos: 
 �⃗⃗�  �⃗⃗� = 10.5.Cos(60º) = 25  �⃗⃗�  �⃗⃗� = 25 
 
3) Determine o ângulo interno  do triangulo formado pelos pontos A=(5, 5, 0), 
B=(5, 0, 5) e C=(0, 5, 5). 
Solução: 

AB = B – A = (5, 0, 5)- (5, 5, 0) = (0,-5,5) 

AC
= C – A = (0, 5, 5)- (5, 5, 0) = (-5,0,5) 

AB
 
AC
 = (0).(-5) + (-5).(0) + (5).(5) = 25 
| 
AB
| = 
222 )5()5()0( 
= 
50
 = 
25
 
| 
AC
| = 
222 )5()0()5( 
= 
50
 = 
25
 













|AC|.|AB|
AC AB
cosA 1
^ =









25.25
25
cos 1
 =
3

= 60º 
 
 
 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
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4. Projeção de vetor sobre vetor 
Considere os vetores 
u
 = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n. A projeção de 

u
 sobre 
v
 é o vetor dados por: 





 v
v
vuu
v
.
|| 2
 Proj
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. Exemplos 
1) Obter a projeção do vetor 
u
 = (3, 4) sobre o vetor 
v
 = (5, 0). 
Solução: 

u
 = (3, 4) e 
v
 = (5, 0) 
2||

v
 = 
22 )0()5( 
 = 25 

 vu 
 = 
)0,5()4,3( 
 = 15 





 v
v
vuu
v
.
|| 2
 Proj
 = 
)0,5.(
25
15
 
 = (3, 0) 
 
 
 
 
2) Obter a projeção do vetor 
u
 = (8, 8, -4) sobre o vetor 
v
 = (4, 3, 1). 
Solução: 

u
 = (8, 8, -4) e 
v
 = (4, 3, 1) 
2||

v
 = 
222 )1()3()4( 
 = 26 

 vu 
 = (8, 8, -4)(4, 3, 1) = 52 





 v
v
vuu
v
.
|| 2
 Proj
 = 
26
52
.(4, 3, 1) = (8, 6, 2)y 
x 
 
 
 
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3) Determinar a norma do vetor da projeção ortogonal do vetor 
5) ,1- ,8(u 
 sobre o vetor 
2) ,1- ,2(v 
 . 
Solução: 

u
 = (8, -1, 5) e 
v
 = (2, -1, 2) 





 v
v
vuu
v
.
|| 2
 Proj
 = ?, 
2||

v
 = 
222 )2()1()2( 
 = 9 

 vu 
 = (8, -1, 5)(2, -1, 2) = 27 





 v
v
vuu
v
.
|| 2
 Proj
 = 
9
27
.(2, -1, 2) = (6, -3, 6) 


u
v
 Proj
 =
222 )6()3()6( 
 = 9 
Logo, 

u
v
 Proj
 = 9 
 
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5. Vetores Paralelos 
 
Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn)  Rn. Os vetores �⃗⃗� e 
�⃗⃗� são paralelos (�⃗⃗� //�⃗⃗� ) se, e somente se existir um número real k tal que �⃗⃗� = k�⃗⃗� . 
 
Condição A (obter) : (v1, v2, v3,.., vn) = (ku1, ku2, ku3,.., kun) 
 
 
Condição B (verificar) : 𝑘 =
𝒗𝟏
𝒖𝟏
=
𝒗𝟐
𝒖𝟐
=
𝒗𝟑
𝒖𝟑
=. . . =
𝒗𝒏
𝒖𝒏
 
 
 
 
5.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
Os vetores: 
 
�⃗⃗� = (2, 1) é paralelo ao vetor 3�⃗⃗� = (6, 3) 
�⃗⃗� = (–3, 2) é paralelo ao vetor –�⃗⃗� = (3, –2) 
�⃗⃗⃗� = (–3 , 0) é paralelo ao vetor –2�⃗⃗⃗� = (6, 0) 
 
5.2. Exemplos 
1) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (1, 3, 4) e �⃗⃗� = (2, 6, 4) são paralelos. 
Solução: 
2
1
2
u
v
1
1 
 
2
3
6
u
v
2
2 
 e 
1
4
4
u
v
3
3 
 
Logo, 
1
u
v
u
v
u
v
2
3
3
2
2
1
1 
 temos que os vetores não são paralelos. 
2) Determine x e y de modo que os vetores �⃗⃗� = (x, 2x-y, 4) e �⃗⃗� = (2, 6, 4) são paralelos. 
Solução: Como
1
4
4
u
v
3
3 
, ou seja, v3 = u3, 
Sendo assim os componentes devem ser iguais 
De v1 = u1, temos que x = 2 e 
De v2 = u2, temos que 2x-y = 6, y = -2. 
�⃗⃗� = (x, 2x-y, 4) = (2, 2(2)-(-2), 4) = (2, 6, 4) (verificando!) 
 
�⃗⃗� = k�⃗⃗� 
0 
y 
x u 
3u 
v 
-v 
w -2w 
6 1 2 
-1 
-2 
3 4 5 
1 
2 
3 
4 
-1 -2 -3 
Segmentos 
Paralelos 
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6. Vetores Ortogonais 
 
Considere os vetores �⃗⃗� = (u1, u2, u3,.., un) e �⃗⃗� = (v1, v2, v3,.., vn)  Rn. Os vetores �⃗⃗� e 
�⃗⃗� são ortogonais (�⃗⃗�  �⃗⃗� ) se, e somente �⃗⃗� ●�⃗⃗� = 0. 
 
 
 
 
 
6.1. Ilustração geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os vetores Ortogonais: �⃗⃗� = (𝟎, 𝟒) e �⃗⃗� = (𝟔, 𝟎) 
�⃗⃗⃗� = (−𝟐,−𝟐) e �⃗� = (𝟑, 𝟑) 
�⃗⃗� = (𝟏, 𝟐) e �⃗⃗� = (𝟒,−𝟐) 
 
6.2. Exemplos 
 
1) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (1, 3, 4) e �⃗⃗� = (2, 6, 4) são ortogonais. 
 
Solução: 
 
�⃗⃗�  �⃗⃗� = (1).(2) + (3).(6) + (4).(4) = 36 
 
Portanto, os vetores não são ortogonais. 
 
2) Verificar se os vetores �⃗⃗� = (2, -3, -2, 0) e �⃗⃗� = (1, 2, -2, 3) são ortogonais. 
 
Solução: 
 
�⃗⃗� �⃗⃗� = (2).(1) + (-3).(2) + (-2).(-2) + (0).(3) = 0 
 
Portanto, os vetores são ortogonais. 
 
 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� ●�⃗⃗� = 0 
y 
x 
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7. Vetores diretores 
 
Definimos os vetores diretores os vetores que formam a base canônica de cada espaço 
vetorial. 
 
Para R2: 
0) ,1(i 
 
e 
1) ,0(j 
 
 
 
 
 
Para R3: 
0) 0, ,1(i 
 , 
0) 1, ,0(j 
 
e 
1) 0, ,0(k 
 
 
 
 
7.1. Ângulos diretores 
São ângulos formados entre um vetor e os vetores diretores. 
 
Para: R2: 
0) ,1(i 
 e 
1) ,0(j 
 
 
 
 
 
 
 
Para: R3: 
0) 0, ,1(i 
 , 
0) 1, ,0(j 
 e 
1) 0, ,0(k 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 
 
x 
 
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8. Exercícios 
1) Considere a figura do paralelepípedo 
de largura 3, altura 4 e comprimento 7. 
Encontre o produto escalar e o ângulo entre 
os vetores BF e BH 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 e 66,61º 
2) Determine se possível , o valor de k de modo que 
25

vu
, onde 
2)- 3, 7, , ,(u 53
 e 
5) 2k, 1,- , ,(v 31
 . 
 4 
3) O vetor 
2) ,1 ,1(v 
 forma um ângulo de 60 0 com o vetor 
AB
, onde A=(0, 
3, 4) e B=(m, 1, 2). Calcular o valor de m. 
m=–34 ou m=2 
4) Dados os vetores a =(3, –1, 5) e b =(1, 2, –3), determinar um vetor x , 
sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes 
relações: x  a =9 e x  b =–4. 
 (2,–3,0) 
5) Seja o cubo de aresta a representado na figura ao lado. 
Determine o ângulo entre 
AD
e 
AF
 
 
 
 
 
 
 
 
54,44 º 
6) Sendo | u | = 2, | v | = 3 e 120º 0 ângulo entre v e u , determine v  u . 
-3 
7) Determine o ângulo interno  do triangulo formado pelos pontos A=(5, 5, 1), 
B=(5, 2, 5) e C=(1, 5, 5). 
55,4 
8) Sendo 
35

|u|
, 
4

|v|
 e 150º 0 ângulo entre u e v , determine | u - v | . 
12. 288 
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9) Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo  = 135º, calcular o ângulo entre os vetores 
p
e 
q
, 
onde 
 bap
 e 
 baq
 e sabendo que 
|a|
 = 
34
 e 
3|b| 
 . 
37,0º 
10) Dados os vetores 
a
 =(3, –2, 4) e 
b
=(1, 6, –4), determinar um vetor 
x
, 
sabendo-se que ele é perpendicular ao eixo OX, e que verifica as seguintes 
relações: 
x
 
a
=5 e 
x
 
b
=3. 
(0, 2, 
252.
) 
11) Sejam os vetores 
)1 ,k ,2(u 
 , 
)2 ,1 ,3(v 
 e 
)4 ,2 ,1k2(w 
 . Determine k 
de modo que 
)wv()vu(vu


. 
0.625 
12) Sejam os vetores 
3)- m,- ,(a 1

, 
1) m,-4 ,m(b 3
 e 
7) 2,- ,m(c 

. Determinar m para que 
c)ba(ba


. 
2 
13) Obter, se possível, o valor de k de modo que 
|u|
 =5, onde u = (k, -2, -1, 2) 
k =  4 
14) Determine k de modo que 
|u|
 =
6
, onde 
u
 =(k - 3, 2, ). 
4 e 2 
15) Determine k de modo que 
|u|
 =
47
, onde 
u
 =(k-2, k, 3, 2). 
k=5, k=-3 
 
16) Sejam os vetores 
2)- ,1 ,(u 1
 , 
2) ,1- ,(v 2
 , 
3)- ,1 -4,(w 
 , e 
1) ,0 -3,(z 
 . 
Determine 
|)wv()zu(|

 23
. 
14