Álgebra Linear - Área 1, Resumo

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www.gustavoviegas.com av. Osvaldo Aranha 734/404 
 
 
PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
ÁLGEBRA LINEAR – ÁREA 1 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Sistemas lineares 
 
São notações equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 
 
Dizemos que A é a matriz dos coeficientes e [A ] é a matriz 
completa do sistema. 
 
Sistema possível e determinado 
 
Possui apenas uma solução. 
A matriz dos coeficientes possui pivô em cada coluna. 
 
Sistema possível e indeterminado 
 
Possui infinitas soluções. 
É possível e a matriz dos coeficientes não possui pivô em 
cada coluna. 
 
Sistema impossível 
 
Não possui solução. 
A matriz completa possui alguma linha [0 .. 0 c], c  0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Combinações lineares 
 
Dizemos que é combinação linear de { , ..., } se 
existem , ...,  ℝ tais que 
 . 
 
Sistema homogêneo 
 
Um sistema do tipo A = sempre é possível. 
 
Independência linear 
 
Dizemos que um conjunto { , ..., } é linearmente 
independente (LI) se 
 + ...+ = 
 
tem por solução apenas = ... = = 0. Caso contrário, o 
conjunto é linearmente dependente (LD). 
 
Na prática, um conjunto { , ..., } é LI se a matriz 
[ ... ] possui um pivô em cada coluna. 
 
Bases do ℝ 
 
Uma base do ℝ é um conjunto LI de dois vetores com duas 
componentes 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
Uma base do ℝ é um conjunto LI de três vetores com três 
componentes 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
Base canônica 
 
No ℝ , 
 
 
 , 
 
 
 . 
 
No ℝ , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 , 
 
 
 
 . 
 
Um espaço vetorial tem dimensão n se possuir essa 
quantidade de quantidade de vetores em sua base. 
 
 
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Transformações lineares 
 
Dizemos que uma função T é uma transformação linear se 
 T( ) = T( ) 
T( + ) = T( ) + T( ) 
 
Matriz canônica de uma transformação linear 
 
Se T: ℝ  ℝ é uma transformação linear, então existe 
uma matriz A tal que T( ) = A . Na base canônica, essa 
matriz chama-se matriz canônica e é dada por 
 A = [T( ) ... T( )] 
 
Transformações injetoras e sobrejetoras 
 
Uma transformação linear T: ℝ  ℝ é injetora se 
  implica T( )  T( ). 
Na prática, a matriz canônica possui pivô em cada coluna. 
 
Uma transformação linear T: ℝ  ℝ é sobrejetora se 
para cada  ℝ existe tal que T( ) = . 
Na prática, matriz canônica possui pivô em cada linha. 
 
Espaço gerado e espaço das colunas 
 
Dado um conjunto de vetores H = { , ..., }, o espaço 
gerado por H, Span{H}, é o conjunto de todas as 
combinações lineares desses vetores. 
 Span{H}= { + ... + ;  ℝ} 
 
Se os mesmos vetores estiverem dispostos em matriz 
A = [ ... ], chamamos esse conjunto de espaço das 
colunas da matriz, Col(A). 
 
A base de Col(A) é formada pelos vetores de A que 
possuem pivô na forma escalonada. 
 
Espaço nulo 
 
O espaço nulo, Nul(A), de uma matriz é o conjunto 
 { ; A = } 
 
Para encontrar a base de Nul(A), resolvemos o sistema 
homogêneo A = . 
 
Espaço das linhas 
 
O espaço das linhas de uma matriz A, Lin(A), é o conjunto 
de todas as combinações lineares das linhas de A. 
Se B é uma forma escalonada de A, então as linhas não 
nulas de B formam uma base para Lin(A). 
 
Teorema do posto 
 
dim Col(A) = número de pivôs de A = posto de A 
dim Nul(A) = número de variáveis livres de A = 
 
Posto de A + dim Nul(A) = número de colunas de A 
Matriz inversa 
 
Duas matrizes são inversas se A. = , lembrando que 
  = 
 
 
 é a identidade de ordem 2 
 
  = 
 
 
 
 é a identidade de ordem 3 
 
Para determinar a inversa de A, consideramos a matriz 
[A ] e a escalonamos até obter [ ]. 
 
No caso A = 
 
 
 vale 
 
 
 
 
 .