OBJETIVA EST ALGEBRICA NOTA 90

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Estrutura Algébrica
Questão 1/12 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado a seguir:
Dois subconjuntos especiais de anéis são os subanéis e os ideais. Sobre estas estruturas e considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa correta: Nota: 10.0
B = {x ∈ Q; x ∉ Z} é subanel de Q.{
Z é um ideal de Q.
[
a b
C B =] ∈ M2(R)} é subanel de M2(R). c 0
I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel das funções F(R,R).
Você acertou!
 D
Sejam f,g ∈ I. Então, f(0) = 0 e g(0) = 0. Daí (f − g)(0) = f(0) − g(0) = 0 − 0 = 0, o que mostra que f − g ∈ I. Além disso, dadas f ∈ F(R,R) e g ∈ I, segue que (f ⋅ g)(0) = f(0) ⋅ g(0) = f(0) ⋅ 0 = 0, donde f ⋅ g ∈ I. 
Portanto, I = {f : R → R; f(0) = 0} é ideal do anel F(R,R).
E
Se 
 é um ideal do anel 
 então 
 é 
subanel
 de 
I
(
A
,
+
,
⋅
)
,
I
(
A
,
+
,
⋅
)
.
Questão 2/12 - Estrutura Algébrica
Um homomorfismo é uma função especial que preserva as operações dos anéis envolvidos. Com base nestas funções, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
( ) A função f : Z → Z definida por f(x) = x + 2 é um homomorfismo.
[
a 0
( ) A função f : Z → M2(Z) definida por f(a) =] é um homomorfismo.
0 a
( ) A função f : Z → Z definida por f(x) = x é um homomorfismo.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
V, V, V.
V, F, V.
V, V, F.
V, F, F.
F, V, V.
Você acertou!
 E
A afirmativa I é falsa, pois f(0) = 2 ≠ 0. Por outro lado, as afirmativas II e III são verdadeiras, já que f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) para todos x ∈ Z.
Questão 3/12 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado a seguir:
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, assinale a alternativa que apresenta o resto da divisão do polinômio 
p(x) = x4 − 3x3 + 6x2 pelo polinômio q(x) = x2 − 3x + 5 : 
Nota: 10.0
r(x) = 3x − 5.
Você acertou!
 A
Basta observar que 
B
C
D
E
p
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
⋅
q
(
x
)
+
(
3
x
−
5
)
.
r
(
x
)
=
3
x
+
5.
r
(
x
)
=
2
x
−
5.
r
(
x
)
=
2
x
+
5.
r
(
x
)
=
x
−
5.
Questão 4/12 - Estrutura Algébrica
Considere o anel R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x. Com base neste anel, analise as afirmativas: I. O polinômio nulo p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].
O elemento simétrico do polinômio p(x) ∈ R[x] é o polinômio −p(x).
Efetuando a multiplicação do polinômio p(x) = 1 + x pelo polinômio q(x) = 2 + x + x2, obtemos o polinômio 
p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + x2 + x3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
 A I, apenas.
I e II, apenas.
Você acertou!
 B
afirmativa I é verdadeira, pois para todo polinômio q(x) ∈ R[x], temos p(x) + q(x) = 0 + q(x) = q(x). Isso mostra que p(x) = 0 é o elemento neutro da adição do anel R[x]. Também a afirmativa II é verdadeira, já que p(x) + [−p(x)] = 0.
 Entretanto, a afirmativa III é falsa, pois p(x) ⋅ q(x) = 2 + 3x + 2x2 + x3.
C
I e III, apenas.
D
II, apenas.
E
II e III, apenas.
Questão 5/12 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e com os conteúdos estudados nas aulas:
Considere o polinômio p(x) = x3 + 5x2 − 22x − 56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x):
Nota: 10.0 A 2, 4 e 7.
-7, -4 e 2.
-2, 4 e 7.
-7, -4 e -2.
-7, -2 e 4.
Você acertou!
 E
O polinômio p(x) pode ser decomposto como p(x) = (x − 4)(x + 2)(x + 7). Logo, as raízes de p(x) são -7, -2 e 4.
Questão 6/12 - Estrutura Algébrica Leia com atenção o enunciado:
Considere os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias, e sejam os conjuntos 
A = {1,2,3,4},B = {1,3,5,7,9}.
Agora, leia sobre eles as seguintes as afirmações: 
O conjunto R1 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} é uma relação simétrica e reflexiva.
O conjunto R2 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} é uma relação reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica.
O conjunto R3 = {(1,2),(2,3),(1,3)} é uma relação antissimétrica e transitiva.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 10.0
I e II.
I, II e III.
III.
II e III.
Você acertou!
 D Afirmativa I está incorreta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica) e vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e não reflexiva. A afirmativa II está correta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica), vale a relação se xRy e yRz então xRz, se ∀x ∈ A;xRx, (reflexiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). Afirmativa III está correta pois vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). (livro-base, p. 15-18).
E
I e III.
Questão 7/12 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado a seguir:
Considere o anel (R × R,+,⋅), onde as operações de adição + e multiplicação ⋅ são definidas por 
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) e (a,b) ⋅ (c,d) = (ac,bd). Considere também o homomorfismo f : R × R → M2(R) definido por 
[
a 0
f(a,b) =]. Com base nesta função e nos conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, leia as afirmativas a seguir e
0 b
assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. I. ( ) f(1,1) resulta na unidade do anel M2(R).
( ) O núcleo de f é o conjunto N(f) = {(0,0)}.
( ) O conjunto imagem de f é Im(f) = M2(R).
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
V-V-V.
V-F-V.
V-V-F.
Você acertou!
[
	1	0
A afirmativa I é verdadeira, pois f(1,1) =] = I é matriz identidade que satisfaz A ⋅ I = A para toda matriz 
		0	1
C
0
A ∈ M2(R).Observamos que (a,b) ∈ N(f) ⟺ f(a,b) = [
0
	0	a ] ⟺ [
0	0
	0	0 ] = [
b	0
	0 ],
0
donde a = b = 0. Logo, N(f) = {(0,0)} e a afirmativa II é verdadeira. Já a afirmativa III é falsa, pois 
Im(f) = {[ M2(R)} ≠ M2(R).
D
V-F-F.
E
F-V-V.
Questão 8/12 - Estrutura Algébrica
Seja A = {e,a} um conjunto com dois elementos com as operações + e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
 e +
e
a
e
e
a
a
a
e
⋅
e
a
e
e
e
a
e
a
Analise as afirmativas: I. (A,+,⋅) é um anel.
(A,+,⋅) é um anel comutativo.
(A,+,⋅) é um anel sem unidade.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
 A I, apenas.
I e II, apenas.
Você acertou!
 B
Com as operações definidas no conjunto A, os elementos deste conjunto satisfazem os seis axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅) é um anel e a afirmativa I está correta. Além disso, e ⋅ a = a ⋅ e = e, o que mostra que (A,+,⋅) é um anel comutativo. Logo, a afirmativa II também está correta. Por outro, (A,+,⋅) é unitário, pois a ∈ A é a unidade. Logo, a afirmativa III é falsa.
C
I e III, apenas.
D
II, apenas.
E
II e III, apenas.
Questão 9/12 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Observe os polinômios f(x) = 2x3 − 7x2 + 4x − 1 e g(x) = x − 4. Considerando p(x) e q(x), e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, analise as afirmativas a seguir: I. O polinômio f(x) é unitário.
O grau do polinômio g(x) é 1.
O quociente da divisão do polinômio f(x) pelo polinômio g(x) é q(x) = 2x2 + x + 8.
Estão corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
I.
I e II.
I e III.
II.
II e III.
Você acertou!
 E
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é correta, pois a potência da variável x no termo dominante é 1. Também observamos que f(x) = g(x) ⋅ (2x2 + x + 8) + 31, o qual garante que a afirmativa III seja
correta. 
Questão 10/12 - Estrutura Algébrica
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A = R, B = R, leia as seguintes afirmações:
O conjunto R1 = {(x,y) é uma relação binária de A × B.
2
O conjunto R2 = {(x,y) ∈ N |3x + y − 10 = 0} é uma relação binária de A × B.
2
O conjunto R3 = {(x,y) ∈ R |x − y + 1 < 0} é uma relação binária de A × B.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 0.0
A
I e II.
B
II e III.
C
III.
As afirmativas I e II não estão corretas, pois não existe raiz de número negativo em 
 e para 
, a função 
, não é
definida para 
 Afirmativa III está correta pois é a região do 
 acima da reta. (livro-base, p. 15-18).
D
I e III.
E
II.
Questão 11/12 - Estrutura Algébrica (questão opcional)
R
R
2
y
=
−
3
x
+
10
x
>
3.
R
2
y
=
x
+
1
Leia o enunciado a seguir:
Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5,7,9}, leia as seguintes afirmativas:
O conjunto R1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(1,9)} é uma relação binária de A × B.
O conjunto R2 = ϕ (vazio) é uma relação binária de A × B.
O conjunto R3 = {(1,1),(3,1),(5,1),(7,1),(9,1)} é uma relação binária inversa de R1, do item I.
Estão corretas apenas as afirmativas:
Nota: 0.0
A
I, II e III.
Afirmativa I está correta, pois o 
 e a imagem 
. Afirmativa II também está
correta, pois o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto. E afirmativa III está correta pois os pares 
 de 
 tem
inverso 
 em 
. (livro-base, p. 15-18).
B
III.
C
I e II.
D
I e III.
E
II e III.
D
(
R
1
)
=
{
1
}
⊂
A
I
m
(
R
1
)
=
{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
}
⊂
B
(
x
,
y
)
R
1
(
y
,
x
)
R
3
Questão 12/12 - Estrutura Algébrica (questão opcional)
O subconjunto B do anel (A,+,⋅) é subanel de A quando a − b ∈ B e a ⋅ b ∈ B para todos a,b ∈ B. Com base nessa estrutura,
analise as afirmativas:
Z é um subanel de Q.
L = {f ∈ A; f(1) = 1} é subanel de A = F(R,R).
2Z = {2x; x ∈ Z} é subanel de Z.
São corretas as afirmativas:
Nota: 0.0
I, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
Sabemos que Z ⊂ Q. Além disso, dados a,b ∈ Z, temos a − b ∈ Z e a ⋅ b ∈ Z. Logo, Z é subanel de Q. Com isso, a afirmativa
C
I é verdadeira. Observamos também que 2Z ⊂ Z. Dados a,b ∈ 2Z, existem x,y ∈ Z tais que a = 2x e b = 2y. Com isso, a − b = 2(x − y) ∈ 2Z e a ⋅ b = 2(2xy) ∈ 2Z. Assim, 2Z é subanel de Z e a afirmativa III é verdadeira.
D
II, apenas.
E
II e III, apenas.
Orientações para realização da avaliação.
Dicas da coordenação:
Tempo máximo: 0 
Deseja iniciar a prova agora?
Para realizar essa avaliação é necessário estar no polo e o tutor deve autorizar o início.
	NÃO
	 
	SIM, quero iniciar
Caso você esteja no polo, chame o tutor para autorizar o início da avaliação.
RU
Senha