Estrutura Cristalina

Prévia do material em texto

Materiais de Construção 
Universidade Federal de Rio Grande – FURG Curso de Engenharia Mecânica
Materiais de Construção 
Mecânica
Prof. Paulo Cardoso
Estrutura CristalinaEstrutura CristalinaEstrutura CristalinaEstrutura Cristalina
ESTRUTURA ESTRUTURA CRISTALINACRISTALINA
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOSDOS ÁTOMOS
CÉLULAS CÉLULAS UNITÁRIASUNITÁRIAS
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
ESTRUTURA PROPRIEDADES
CIÊNCIA DOS MATERIAIS
antes de entender fenômenos que determinam propriedades nos materiais a
partir da MICROESTRUTURA deve-se primeiramente entender a (ESTRUTURA
ATÔMICA) e ESTRUTURA CRISTALINA dos materiais porque estas definem 
algumas de suas propriedades
ESTRUTURA ATÔMICA
ESTRUTURA CRISTALINA
MICROESTRUTURA
–– DIVISÃO DA DIVISÃO DA ESTRUTURAESTRUTURA NOS MATERIAISNOS MATERIAIS
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
♦ As propriedades de alguns materiais estão diretamente associadas à sua 
estrutura cristalina.
Ex: magnésio e berílio que têm a mesma estrutura (HC) se deformam 
muito menos que ouro e prata (CFC) que têm outra estrutura cristalina.
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
♦ Explica a diferença significativa nas propriedades de materiais cristalinos e 
não cristalinos de mesma composição.
Ex: Cerâmicos e polímeros não-cristalinos tendem a ser opticamente 
transparentes enquanto cristalinos não. Por quê?
♦ As propriedades dos materiais sólidos cristalinos depende da estrutura 
cristalina, ou seja, da maneira na qual os átomos, moléculas ou íons estão 
espacialmente dispostos.
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Metais apresentam diferentes características mecânicas.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Exemplo: alguns são mais dúcteis que outros.
A diferença no A diferença no 
comportamento mecânico de 
um material sólido é definida 
no arranjo atômico, e 
conseqüentemente na sua 
estrutura cristalina.
ImportânciaImportância dada estruturaestrutura cristalinacristalina
Grande parte da diferença das propriedades dos materiais é de interesse
tecnológico, assim as diferenças na estrutura cristalina de um mesmo composto
é de grande importância na Engenharia.
Carbono grafite hexagonal
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Alotropia ou Polimorfismo:Alotropia ou Polimorfismo:
diamante cúbico
Nitreto de boro cúbico
grafite
Fe CCC
CFC O que se pode fazer para 
modificar a resistência 
mecânica de um material ?
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade 
na qual os átomos ou íons se dispõem em relação à seus vizinhos.
Cristal Vidro Gás
Ordem a longo 
alcance
Ordem a curto 
alcance
Sem 
ordenamento
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
SemSem ordemordem
Em gases, como o Ar e outros gases nobres.
Se confinados, os gases não apresentarão nenhuma ordem 
entre seus átomos constituintes.
Argônio
Hélio
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
OrdenamentoOrdenamento aa curtocurto alcancealcance
♦ Ângulos, distâncias e simetria com ordenação 
a curto alcance.
♦ Ocorre na H2O, que apresenta uma orientação 
preferencial, no SiO2 e no polietileno.
Polietileno
em materiais não-cristalinos ou amorfos
H
OO
H2O
SiO2
Polietileno
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
OrdemOrdem aa longolongo alcancealcance
Material cristalino
Átomos ordenados em longas distâncias atômicas
formam uma estrutura tridimensional 
rede cristalina
Metais, muitas cerâmicos e alguns
polímeros formam estruturas 
cristalinas sob condições 
normais de solidificação 
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
OrdemOrdem aa longolongo alcancealcance
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A rede formada por átomos se repete regularmente
REDEREDE: conjunto de pontos espaciais 
que possuem vizinhança 
idêntica.
Exemplo esquemático 
de rede
idêntica.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Na rede a relação com vizinhos é constante:
- simetria com os vizinhos;
- distâncias define o parâmetro de rede;
- ângulos entre arestas
PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL
ORDENAÇÃO ORDENAÇÃO DE ÁTOMOSDE ÁTOMOS
OrdemOrdem aa longolongo alcancealcance
Na solidificação ou por saturação de uma solução.
SOLIDIFICAÇÃO Cristais se formam no sentido 
contrário da retirada de calor
SATURAÇÃO de uma 
solução.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Como s cristais se formam?
Mais baixa energia livre
Maior empacotamento
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ As estruturas ideais apresentam baixa energia e maior empacotamento,
já as reais compreendem os defeitos possíveis nas ideais.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ As estruturas ideais compreendem:⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ As estruturas ideais compreendem:
- diferentes sistemas cristalinos ângulos α,β,γα,β,γα,β,γα,β,γ
tamanho das arestas a, b, c
-sistemas cristalinos 7 diferentes
- redes de Bravais 14 diferentes
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ CÉLULACÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA menor subdivisão da rede cristalina
que retém as características de toda
a rede.
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ CÉLULACÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA existem diferentes tipos de células
unitárias, que dependem da relação
entre seus ângulos e arestas.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Existem 14 tipos diferentes: ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Existem 14 tipos diferentes: 
redes de Bravais, agrupadas em 
sete tipos de estruturas 
cristalinas. 
Três diferentes tipos de estruturas cristalinas
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
Sete sistemas cristalinos
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
7 sistemas cristalinos e 14 redes de Bravais
METAIS
Ligação metálica →→→→ não-
direcional: não há restrições 
quanto ao número e posições 
dos vizinhos mais próximos.
Estrutura cristalina dos metais 
têm geralmente um número de 
Romboédrico
Metais cristalizam 
preferencialmente:
- hexagonal
- CCC
- CFC
- CS →→→→ muito raro
Estrutura cristalina dos metais 
têm geralmente um número de 
vizinhos grandes e alto 
empacotamento atômico.
Hexagonal
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ É o número específico de pontos 
da rede que define cada célula 
unitária.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Logo, um ponto no vértice da ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Logo, um ponto no vértice da 
célula unitária cúbica é partilhado 
por sete células unitárias do 
arredor; assim, somente 1/8 de cada 
vértice pertence a uma célula 
particular.
Átomo de face 
centrada
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
SISTEMASISTEMA CÚBICOCÚBICO
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
Cúbico Simples 
(CS)
Cúbico Corpo Centrado 
(CCC)
Cúbico Face Centrada 
(CFC)
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema 
cristalino cúbico.
Resposta:
CSCS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomo
célula unitária 8
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema 
cristalino cúbico.
Resposta:
CCCCCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomos
célula unitária 8
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no sistema 
cristalino cúbico.
Resposta:
CFCCFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomos
célula unitária 8 2
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede átomosátomos porpor célulacélula unitáriaunitária
CSCS 1 átomo
CCCCCC 2 átomos 
CFCCFC 4 átomos 
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Determina-seprimeiramente como os átomos estão em contato 
(direção de empacotamento fechado, ou de maior empacotamento)
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico (r) e 
o parâmetro de rede (ao).
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede
Exemplo : Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).
CÚBICO SIMPLESCÚBICO SIMPLES
Contato entre os átomos ocorre através 
aaoo = 2r= 2r
Contato entre os átomos ocorre através 
da aresta da célula unitária
ao = r + r
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede
Contato entre os átomos ocorre 
Exemplo: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).
CÚBICO DE FACE CENTRADACÚBICO DE FACE CENTRADA
aaoo = = 4r4r
221/21/2
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal da face da 
célula unitária
dface2 = ao2 + ao2
(4r)2 = 2ao2
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede
CÚBICO DE CORPO CENTRADOCÚBICO DE CORPO CENTRADO
Contato entre os átomos ocorre 
Exemplo: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC).
aaoo = = 4r4r
331/21/2
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal do cubo da 
célula unitária
dcubo2 = ao2 + dface2
(4r)2 = 3ao2
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
RelaçãoRelação entreentre raioraio atômicoatômico ee parâmetroparâmetro dede rederede
Fe CCCFe CCC
Exemplo: O raio atômico do ferro é 1,24 A Calcule o parâmetro de rede do 
Fe CCC e CFC.
Fe CFCFe CFC
ao = 4r
31/2
ao = 4 x 1,24 = 2,86 A
31/2
ao = 4r
21/2
ao = 4 x 1,24 = 3,51 A
21/2
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos, 
depende de: - covalência: o número 
de ligações covalentes 
que um átomo pode 
compartilhar;
- fator de empacotamento - fator de empacotamento 
cristalino.
CÚBICO CÚBICO 
SIMPLESSIMPLES
NC = 6
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação
CÚBICO DE CÚBICO DE 
CORPO CORPO 
CENTRADOCENTRADOCENTRADOCENTRADO
NC = 8
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação
CÚBICO CÚBICO 
DE FACE DE FACE 
CENTRADACENTRADA
NC = 12
33--3 CÉLULA UNITÁRIA3 CÉLULA UNITÁRIA
33..33..33 NúmeroNúmero dede coordenaçãocoordenação
HEXAGONAL HEXAGONAL 
COMPACTOCOMPACTO NC = 12
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
FatorFator dede empacotamentoempacotamento
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Fator de empacotamento é a fração de volume da célula unitária 
efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os átomos são esferas 
rígidas.
FE = FE = (n(n°° átomos / célula) * volume cada átomoátomos / célula) * volume cada átomo
volume da célula unitáriavolume da célula unitária
Exemplo: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico (CS, CFC e 
CCC).
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
FatorFator dede empacotamentoempacotamento
CSCS FE = (1 átomo / célula) * (4pipipipir3/3)
ao3
FE = (1 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,520,52
(2r)3
Exemplo: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico. 
CCCCCC FE = (2 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) 
ao3
FE = (2 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,680,68
(4r/31/2)3
CFCCFC FE = (4 átomo / célula) * (4pipipipir3/3)
ao3
FE = (4 átomo / célula) * (4pipipipir3/3) = 0,740,74
(4r/21/2)3
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
DensidadeDensidade
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as 
propriedades da estrutura cristalina.
ρρρρρρρρ = = (n(n°° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo)átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo)ρρρρρρρρ = = (n(n°° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo)átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo)
(volume da célula unitária) * (n(volume da célula unitária) * (n°° de Avogadro)de Avogadro)
Exemplo: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A.
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
DensidadeDensidade
Átomos/célula = 2 átomos
Massa atômica = 55,85 g/g.mol
Volume da célula unitária = a03 = 23,55 10-24 cm3/célula 
Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol
Exemplo: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A.
ρρρρ = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol)
(23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol)
ρρρρ = 7,879 Mg/m3
33--3 CÉLULA UNITÁRIA3 CÉLULA UNITÁRIA
33..33..55 DensidadeDensidade
Átomos/célula = 4 átomos
Massa atômica = 55,85 g/g.mol
Volume da célula unitária = a03 = 43,24 10-24 cm3/célula 
Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol
Exemplo 6: Determine a densidade do Fe CFC, que tem um a0 de 3,51 A.
ρρρρ = (4 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol)
(43,24 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol)
ρρρρ = 8,582 Mg/m3
33--3 CÉLULA UNITÁRIA3 CÉLULA UNITÁRIA
33..33..55 DensidadeDensidade
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
Átomos Número de Parâmetro Fator de 
por célula coordenação de rede empacotamento
CS 1 6 2R 0,52
ResumoResumo dada estruturaestrutura cúbicacúbica
CS 1 6 2R 0,52
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74
CS CCC CFC
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Metais não cristalizam no sistema hexagonal simples
o fator de empacotamento 
é muito baixo
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal simplessimples
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Cristais com mais de um tipo
de átomo podem cristalizar neste
sistema
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O sistema Hexagonal Compacto é o mais comum nos metais (ex: Mg, 
Zn)⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Neste sistema cada átomo em seu nível está localizado acima ou 
abaixo do interstício de 3 átomos de níveis adjacentes. 
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O número de coordenação deste sistema é 12,
pois cada átomo toca 3 átomos no seu nível inferior,
seis no seu próprio plano e mais três no nível 
superior ao seu, resultando em um.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A razão c/a ideal é 1,633, mas a maioria dos metais⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A razão c/a ideal é 1,633, mas a maioria dos metais
tem essa razão modificada devido a presença de ligações não metálicas.
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
EstruturaEstrutura hexagonalhexagonal compactacompacta
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura cristalina 
dependendo da temperatura e pressão..
Materiais de mesma composição química, mas que podem Materiais de mesma composição química, mas que podem 
apresentar estruturas cristalinas diferentes, são denominados de 
alotrópicos ou polimórficos.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Geralmente as transformações polimórficas são acompanhadas de 
mudanças na densidade e mudanças de outras propriedades físicas.
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
Carbono grafite hexagonal
diamante cúbico
Nitreto de boro cúbicoNitreto de boro cúbicografite
Fe CCC
CFC
Titânio αααα
ββββ
SiC (chega ter 20 modificações cristalinas)
Exemplos
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
Tambiente FeCCC, 
NC 8
FE 0,68FE 0,68
910°C FeCFC
NC 12
FE 0,74 
1390°C FeCCC
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
Exemplo: Calcule a mudança de volume que ocorre quando o FeCCC é 
aquecido e transforma-se em FeCFC. Na transformação o parâmetro de rede 
muda de a0 CCC = 2,863A para a0 CFC = 3,591A.
Volume da célula CCC = a3 = 23,467A3Volume da célula CCC = a3 = 23,467A3
Volume da célula CFC = a3 = 46,307A3
FeCCC 2 átomos
FeCFC 4 átomos
1FeCFC 2FeCCC
Mudança de Volume = Vf - Vi * 100 = 46,307 - 46,934 * 100
Vi 46,934
Mudança de Volume = -1,34%
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
� O ferro passa de ccc para cfc a 910 ºC. Nesta temperatura os raios atômicos são 
respectivamente , 1,258Å e 1,292Å. Qual a percentagem de variação de volume 
percentual provocada pela mudança de estrutura? 
� Vccc= 2a3 Vcfc= a3
accc= 4R/ (3)1/2 acfc = 2R (2)1/2 accc= 4R/ (3)1/2 acfc = 2R (2)1/2 
Vccc= 49,1 Å3 Vcfc= 48,7 Å3
V%= 48,7 - 49,1 /48,7 = - 0,8% de variação
CÉLULA CÉLULA UNITÁRIAUNITÁRIA
AlotropiaAlotropia ouou transformaçõestransformações polimórficaspolimórficas
Mudança de Volume = -1,34%
TRANSFORMAÇÕES 
DE FASE VERSUS 
DILATOMETRIA:
a 906°C e 1409°Ca 906°C e 1409°C
A diferença deve-se 
provavelmente a 
impurezas e à 
policristalinidade. 
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o 
módulo de elasticidade do FeCCC é maior na diagonal do cubo que na 
direção da aresta.
CoordenadasCoordenadas dosdos pontospontosCoordenadasCoordenadas dosdos pontospontos
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Pode-se localizar os pontos das 
posições atômicas da célula 
unitária cristalina construindo-se 
um sistema de eixos coordenados.
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por 
exemplo os metais se deformam ao longo da direção de maior 
empacotamento.empacotamento.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal 
em que se encontram e são medidas.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas 
direções.
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES:
1. Definir dois pontos por onde passa a direção
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado 
sobre o n°.
[h k l][h k l]
x y z 
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
Exemplo: Exemplo: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da 
figura abaixo.figura abaixo. Direção A:
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 0, 0
3. sem frações3. sem frações
4. [1 0 0] Direção B:
1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 1, 1
3. sem frações
4. [1 1 1]
Direção C:
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0
2. alvo - origem = -1/2, -1, 1
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2
4. [1 2 2]
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Algumas observações:
- direção e suas múltiplas são idênticas [111] ≡≡≡≡ [222];
- índices de Miller simétricos não são da mesma direção
(direções e suas negativas não são idênticas) [111] ≡≡≡≡ [111];(direções e suas negativas não são idênticas) [111] ≡≡≡≡ [111];
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem 
mesma simetria.
Exemplo para 
simetria cúbica:
Para o sistema cúbico:
A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam 
agrupadas: 
Família de direções:
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
<100> para as faces
<110> para as diagonais das faces
<111> para a diagonal do cubo<111> para a diagonal do cubo
CCC
Família de direções <111> 
empacotamento 
atômico fechado
CFC
Família de direções <110> 
empacotamento 
atômico fechado
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de 
repetição, fator de empacotamento e densidade linear.
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento.
ρρρρρρρρLL = número de átomos= número de átomos
unidade de comprimentounidade de comprimento
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
Exemplo: Exemplo: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o 
potássio.potássio. Dados: K - CCC
r - 0,2312 nm
ρL = n° átomos
unid comprimento
ρL = 1/2 + 1/2ρL = 1/2 + 1/2
ao
ao= 4r/31/2
ρρρρL = 0,187 átomos/A
Exercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu? R=128pmExercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu? R=128pm
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em 
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está 
definitivamente coberta por átomos.
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em 
quanto se repete o centro de um átomo. É o 
inverso da densidade linear.
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
Exemplo: Exemplo: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
Distância de repetição 
o centro do átomo se repete 
a cada diagonal do cubo
Dr = a0 31/2
Dr = 3,6151 10-8*31/2
Dr = 6,262 10-8 cm
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
DireçõesDireções dada célulacélula unitáriaunitária
Densidade linearρρρρL
Exemplo: Exemplo: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
ρρρρL = 1/ Dr = 1/ 6,262 10-8
ρρρρL = 1,597 107 átomos/cm
Fator de empacotamento FE
FE = 2r/ Dcubo = 0,408
Exercício: Compare a Dr, rL e o FE para as direções [1 1 1] e [1 1 0] do Cu CFC.
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e 
o comportamento de um material.
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Os Índices de Miller também são determinados para planos.
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z.
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos.
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado 
sobre este n°.
OBS.: Se o plano passar pela origem,desloque-a. (h k l)(h k l)
x y z 
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
Exemplo: Exemplo: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da figura 
abaixo.abaixo. Plano A:
1. 1 1 1
2. 1/1 1/1 1/1
3. Não tem frações
4. (1 1 1)
Plano B:
1. 1 2 ∞
2. 1/1 1/2 1/∞
3. 2 1 0
4. (2 1 0)4. (1 1 1) 4. (2 1 0)
Plano C: passa 
pela origem
(x’, y’, z’)
1. ∞ -1 ∞
2. 1/ ∞ 1/-1 1/∞
3. 0 1 0
4. (0 1 0)
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
Observações importantes:Observações importantes:
- Iguais Índices de Miller para direção e 
plano, significa que estes apresentam 
perpendicularidade.
Exemplo: (0 1 0) ⊥⊥⊥⊥ [0 1 0]
- Índices de Miller simétricos são o mesmo 
plano, depende apenas do referencial 
(planos e seus negativos são idênticos). 
- Planos e seus múltiplos não são 
idênticos (densidade planar diferente).
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento.
ρρρρρρρρPP = número de átomos no plano= número de átomos no planoρρρρρρρρPP = número de átomos no plano= número de átomos no plano
área do planoárea do plano
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está 
efetivamente coberta por átomos.
FEFEPP = área dos átomos= área dos átomos
área do planoárea do plano
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
Exemplo: Exemplo: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar 
para os planos (0 1 0) e (0 2 0), para o sistema cúbico simples do polônio, para os planos (0 1 0) e (0 2 0), para o sistema cúbico simples do polônio, 
o qual tem o qual tem r = r = 1,67E1,67E--08cm, ou a08cm, ou a00 = 3,34 10= 3,34 10--88 cm.cm.
ρρρρplanar = n° átomos
área
ρplanar (0 2 0) = zero
FEplanar (0 2 0) = zero
área
ρplanar (0 1 0) = 1 átomo = 8,96 1014 átomos/cm2
ao2
FEplanar = área de átomos por face
área da face
FEplanar (0 1 0) = 1 átomo (pir2)= 0,79
ao2
(010)
(020)
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO 4 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTALCRISTAL
33..44..33 PlanosPlanos
Exemplo 11: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento Exemplo 11: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento 
planar para o plano (1 1 0) do Cuplanar para o plano (1 1 0) do Cu
ρρρρplanar = n° átomos
áreaárea
ρplanar (1 1 0) = 2 átomos = 2 átomos/A2
ao2 21/2
FEplanar = área de átomos por face
área da face
FEplanar (0 1 0) = 2pir2 = 2pir2 =0,56
ao2 21/2 8r2
18,53 
= 0,108 átomos/A2
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
Família de planos: Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo 
equivalente que tem índices particulares devido a orientação de suas 
coordenadas. 
Exemplo: Exemplo: planos da família {1 1 0} (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
O átomo do centro do cubo é interceptado pela família de planos {111} para o CCC?
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
FAMÍLIA DE PLANOS {110} é paralelo a um eixo
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenham o 
mesmo arranjo e densidade
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos
Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e 
direções de maior densidade atômica
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
CCC
Família de planos {110}: CFCFamília de planos {110}:
maior densidade atômica
CFC
Família de planos {111}:
maior densidade atômica
DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALDIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PlanosPlanos
Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar para os Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento planar para os 
planos mais densos do Polônio, do Fe planos mais densos do Polônio, do Fe αααααααα e do Cu. Ainda calcule os e do Cu. Ainda calcule os 
mesmos itens para o Femesmos itens para o Feγγγγγγγγ..
Compare os Compare os FEsFEs planares com o plano (100) e (110) do CFCplanares com o plano (100) e (110) do CFCCompare os Compare os FEsFEs planares com o plano (100) e (110) do CFCplanares com o plano (100) e (110) do CFC
Po {010} Feαααα r=1,258A {110}/γγγγ r=1,292{111} CFC {101}/{001} Cu {111}
δδδδp 0,0896 atom/Α2 0,167 atm/Α2/0,173 atm/A2 0,176 atm/A2
FEp 0,79 0,833/0,906 0,56/0,785 0,906
A plano 11,16A2 11,93A2/11,563A2 11,349A2
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO 4 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTALCRISTAL
33..44..33 PlanosPlanos
DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos 
índices de Miller.
D D (h, k, l)(h, k, l) = = aa00
(h(h22 + k+ k22 + l+ l22))1/21/2
Para o 
sistema 
cúbico(h(h + k+ k + l+ l )) cúbico
d (110) = a
(12 + 12 + 02)1/2
d (110) = a
21/2
Ou, geometricamente:
d = dface = a 21/2
2 2
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO 4 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTALCRISTAL
33..44..33 PlanosPlanos
Exemplo 12: Calcule a distância Exemplo 12: Calcule a distância interplanarinterplanar entre dois planos adjacentes entre dois planos adjacentes 
[1 1 1 ] no ouro, CFC, que tem raio 174 [1 1 1 ] no ouro, CFC, que tem raio 174 pmpm
d (h, k, l) = a0
(h2 + k2 + l2)1/2
d (h, k, l) = 4,9214 A = 2,8413 Å
(12 + 12 + 12)1/2
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Chamados índices de Miller Bravais, devido a modificação em relação 
ao sistema cristalino
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Estabelece-se 4 eixos, 3 coplanares
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Tem-se 4 interseções e 4 índices de Miller
Índices de Miller Bravais: h k i lh k i l
onde: h + k = h + k = --ii
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Similar aos índices de Miller para plano da estrutura cristalina cúbica, 
determina-se os Índices de Miller Bravais.
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Direções na célula 
unitária hexagonal
[h k i l][h k i l]
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
[h k i l][h k i l]
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Eixos: a1 a2 a3 c
[2110]
[1120]
[1210]
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
Direção C:
1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 0
2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO 4 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTALCRISTAL
Exemplo: Exemplo: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as Determine os índices de Miller para os planos A e B e para as 
direções C e Ddireções C e D
2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1
3. sem frações
4. [1 0 01]
Direção D:
1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 0
2. alvo - origem = -1, 1, 0, 0
3. sem frações
4. [1 1 0 0]
[2110]
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
Plano A:
1. ∞ ∞ ∞ 1
2. 1/ ∞ 1/ ∞ 1/ ∞ 1/1
3. 0 0 0 1
4. (0 0 0 1) ou (0 0 1)
Plano B:Plano B:
1. 1 1 -1/2 1
2. 1/1 1/1 -2/1 1/1
3. 1 1 -2 1
4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1)
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonalDIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
33..44..44 ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
33--4 DIREÇÕES E PLANOS NO 4 DIREÇÕES E PLANOS NO 
CRISTALCRISTAL
(1210)(1210)
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
ÍndicesÍndices dede MillerMiller parapara aa CélulaCélula HexagonalHexagonal
DIREÇÕES DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTALE PLANOS NO CRISTAL
SistemaSistema cúbicocúbico
SistemaSistema
hexagonalhexagonal
compactocompacto
METAISMETAIS
Sumarizando, os metais cristalizam preferencialmente em sistemas 
cúbico(CCC, CFC) ou hexagonal (HC). Logo, a estrutura cristalina destes 
materiais já foi estudada.
Características de cristais metálicos comunsCaracterísticas de cristais metálicos comuns
Estrutura a0 x R átomos NC FE Metais
por célula Típicos
CS a0 = 2R 1 6 0,52 Po
METAISMETAIS
CS a0 = 2R 1 6 0,52 Po
CCC a0 = 4R/31/2 2 8 0,68 Fe, Ti, W, Mo, 
Nb, Ta, K, 
Na, V, Cr, Zr
CFC a0 = 4R/21/2 4 12 0,74 Fe, U, Al, Au, 
Ag, Pb, Ni, Pt 
HC a0 = 2R 2 12 0,74 Ti, Mg, Zn, Be, 
c0 = 1,633 a0 Co, 
Zr, Cd
Difração de raios-X diferentes comprimentos de onda 
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
Espectro de radiação eletromagnética, salientando o 
comprimento de onda para a radiação X.
A luz visível tem comprimento de onda da ordem de 1000 nm – ranhuras 
em um vidro 
33--9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X
Na estrutura cristalina:
• Interação do fóton com o 
orbital de elétrons.orbital de elétrons.
• O empilhamento de átomos 
tem a mesma função que as 
ranhuras da figura ao lado.
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO:
Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses 
raios são difratados pelos planos dos átomos ou íons dentro do cristal
O DIFRATÔMETRO:
• T= fonte de raio X
• S= amostra
• C= detector
• O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram
Detector
Fonte
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
• Para que ocorra a difração, o feixe de raios-x precisa estar em fase 
com os planos do cristal.
• De outra maneira, interferências destrutivas de ondas ocorrem e não 
é possível detectar um feixe de difração intenso.
ABC = nλABC = nλ
AB = BC = d senθ
Então:
nλ = 2d sen θ
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
• Na interferência construtiva, com feixes em fase, a diferença no 
comprimento da trajetória dos feixes de raio-x adjacentes é um 
número inteiro de comprimentos de onda. 
ABC = nλ
AB = BC = d senθAB = BC = d senθ
• Esta relação é dada pela equação de Bragg: 
nλλλλ= 2d sen θθθθ
onde d é o espaçamento atômico e θθθθ é o ângulo de difração com a 
superfície (2θθθθ = ângulo de difração - ângulo medido experimentalmente)
d é o espaçamento interplanar – função dos índices de Miller para 
planos.
Distância interplanar (exemplos):
Cúbico
Dhkl= ao/(h2+k2+l2)0,5
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
Hexagonal
Dhkl= ao/[4/3(h2+hk+k2)+l2(ao2/co2)]0,5
CSCS CCCCCC CFCCFC
Para o sistema cúbico (estrutura de metais):
A lei de Bragg é necessária mas não suficiente. As células unitárias não 
primitivas provocam difração não prevista pela lei de Bragg para certos 
ângulos. 
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
Estrutura Difração não ocorre Difração ocorre
cristalina 
CCC h+k+l=número par h+k+l=número ímpar 
CFC h, k, l (par e ímpar) h, k, l (ou par ou ímpar)
HC h+2k=3n, l par (n é inteiro) todos outros casos
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
0
10000
20000
30000
40000
C
o
n
t
a
g
e
m
Ângulo
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
Exemplo de difração de raios X em um pó de alumínio.
DIFRAÇÃO DIFRAÇÃO DE RAIOS XDE RAIOS X
Exemplo: Exemplo: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difractômetrodifractômetro de de 
raioraio--x incidentes com x incidentes com λλλλλλλλ= 0,1541nm. A difração pelos planos {110} ocorreu = 0,1541nm. A difração pelos planos {110} ocorreu 
para 2para 2θθθθθθθθ= 44,704= 44,704oo. Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC . Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC 
(considere a difração de 1a ordem, com n=1). (considere a difração de 1a ordem, com n=1). 
Solução:
dd[110]
2θθθθ= 44,704o θθθθ= 22,352o
λλλλ= 2.d[hkl] sen θθθθ
d[110]= λλλλ / 2 sen θθθθ = 0,1541nm / 2(sen 22,35o) = 0,2026 nm
ao(Fe)
d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5
ao(Fe)= d[110]= ao / (h2+k2+l2)0,5 = 0,2026nm (1,414) = 0,287 nm
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
Defeitos possíveis em um material a partir da dimensão em 
que ocorrem na estrutura
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
VibraçõesVibrações nana rederede
As vibrações da rede são quantizadas por fônons.
Configuração cristalina ideal só ocorre 
hipoteticamente hipoteticamente 
temperatura do zero 
absoluto 
demais temperaturas
vibração dos átomos na rede provoca
distorções no cristal perfeito;
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
Podem ser classificados segundo:
⇒⇒⇒⇒ FORMA
- vacância
- átomo intruso
- schottky
- frenkel
⇒⇒⇒⇒ ORIGEM DO DEFEITO
⇒⇒⇒⇒ ESTEQUIOMETRIA
- frenkel
- intrínseco
- extrínseco
- sub rede de cátions
não 
estequiométrico
- sub rede de ânions
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Também denominado de lacuna
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Também denominado de lacuna
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ É a falta de um átomo na rede cristalina
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Pode resultar do empacotamento 
imperfeito na solidificação inicial,
ou decorrer de vibrações térmicas
dos átomos em temperaturas elevadas
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O número de vacâncias varia com a temperatura
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
nnvv = n exp (= n exp (--Q/RT)Q/RT)
onde: 
nv: n° de vacâncias/cm3
n: n° de pontos na rede/cm3
Q: energia necessária para produzir a vacância (J/mol)
R: cte dos gases (8,31 J/molK)
T: temperatura em K
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO NO 
ARRANJO CRISTALINOARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo: Exemplo: Calcule o nCalcule o n°° de vacâncias por centímetro cúbico e o nde vacâncias por centímetro cúbico e o n°° de de Exemplo: Exemplo: Calcule o nCalcule o n°° de vacâncias por centímetro cúbico e o nde vacâncias por centímetro cúbico e o n°° de de 
vacâncias por átomo de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura vacâncias por átomo de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura 
ambiente, (b) 1084ambiente, (b) 1084°°C. Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para C. Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para 
produzir uma vacância no cobre. produzir uma vacância no cobre. 
Dados:Dados:
aa00 = 3,6151 x 10= 3,6151 x 10--88 cmcm
Q = 83600 J/molQ = 83600 J/mol
R = 8,31J/mol KR = 8,31J/mol K
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitospontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo Exemplo -- SoluçãoSolução
O número de átomos de cobre por parâmetro da rede por cm3 é:
n = n = nn°° átomos/célulaátomos/célula
nnvv = n exp (= n exp (--Q/RT)Q/RT)
n = n = nn°° átomos/célulaátomos/célula
volume da célula unitáriavolume da célula unitária
n = 4 átomos/célula = 8,47 x 10n = 4 átomos/célula = 8,47 x 102222 átomos Cu/cm3átomos Cu/cm3
(3,6151 x 10(3,6151 x 10--88))33
O que se quer saber?
nv a Tamb e a 1084°C
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
nnvv = n exp (= n exp (--Q/RT)Q/RT)
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo Exemplo -- SoluçãoSolução
(a) Tambiente:
T = 25 + 273 = 298 KT = 25 + 273 = 298 K
nnvv = = (8,47 x 10(8,47 x 102222) exp [) exp [--83600/(8,31 x 298)]83600/(8,31 x 298)]
nnvv = 1,847 x 10= 1,847 x 1088 vacâncias/cmvacâncias/cm33
nnvv = 1,847 x 10= 1,847 x 1088 vacâncias/cmvacâncias/cm33
n 8,47 x 10n 8,47 x 102222 átomos de Cu/cmátomos de Cu/cm33
nnvv = 2,18 x 10= 2,18 x 10--1515 vacâncias/vacâncias/ átomos de Cuátomos de Cu
nn
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo Exemplo -- SoluçãoSolução
nnvv = n exp (= n exp (--Q/RT)Q/RT)
(b) T = 1084°C:
T = 1084 + 273 = 1357 KT = 1084 + 273 = 1357 K
nnvv = = (8,47 x 10(8,47 x 102222) exp [) exp [--83600/(8,31 x 1357)]83600/(8,31 x 1357)]
nnvv = 5,11 x 10= 5,11 x 101919 vacâncias/cmvacâncias/cm33
nnvv = 5,11 x 10= 5,11 x 101919 vacâncias/cmvacâncias/cm33
n 8,47 x 10n 8,47 x 102222 átomos de Cu/cmátomos de Cu/cm33
nnvv = 6,03 x 10= 6,03 x 10--44 vacâncias/vacâncias/ átomos de Cuátomos de Cu
nn
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO NO 
ARRANJO CRISTALINOARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo Exemplo : : O ferro tem a densidade medida de 7,87 O ferro tem a densidade medida de 7,87 MgMg/m3. O parâmetro de /m3. O parâmetro de Exemplo Exemplo : : O ferro tem a densidade medida de 7,87 O ferro tem a densidade medida de 7,87 MgMg/m3. O parâmetro de /m3. O parâmetro de 
rede do Fe CCC é 2,866 A. Calcule a percentagem de vacâncias no ferro rede do Fe CCC é 2,866 A. Calcule a percentagem de vacâncias no ferro 
puro.puro.
Dados:
a0 = 2,866 A
MFe = 55,85g/gmol
% vacâncias = ?
VACÂNCIAS:VACÂNCIAS:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINONO ARRANJO CRISTALINO
QUANTO À FORMA
Exemplo Exemplo -- SoluçãoSolução
Utilizando-se a densidade medida pode-se calcular o n° de átomos por 
célula unitária:
ρρρρ = n° átomos/célula x massa de cada átomoρρρρ = n° átomos/célula x massa de cada átomo
N° Avogadro x volume da célula unitária
7,87 Mg/m3 = n° átomos/célula x 55,85 g/gmol
6,02 x 1023 x (2,866 x 10-8)3
n°át/célula = 1,998 Deveriam ser 2 átomos no Fe CCC
% Vacâncias = (2 - 1,998) x 100 / 2 = 0,1%
DEFEITO INTERSTICIAL:DEFEITO INTERSTICIAL:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando um átomo é abrigado por 
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando um átomo é abrigado por 
uma estrutura cristalina, principalmente 
se esta tiver um baixo fator de 
empacotamento
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Conseqüência, distorção da rede
DEFEITO SUBSTITUCIONAL:DEFEITO SUBSTITUCIONAL:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando um átomo é deslocado de 
sua posição original por outro, e 
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
(a)
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
sua posição original por outro, e 
conforme o tamanho, pode 
(a) aproximar os átomos da rede
(b) separar os átomos da rede
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Conseqüência, distorção da rede (b)
DEFEITO SUBSTITUCIONAL:DEFEITO SUBSTITUCIONAL:
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
Átomo substitucional pequeno Átomo substitucional grande
Gera distorção na rede
DEFEITO FRENKEL:DEFEITO FRENKEL:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando um íon desloca-se de sua 
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando um íon desloca-se de sua 
posição no reticulado (formando uma 
lacuna) para uma posição intersticial
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Só para compostos iônicos
DEFEITO SCHOTTKY:DEFEITO SCHOTTKY:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Quando ocorre lacuna de um par de 
íons 
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À FORMA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Ocorre para compostos que devem 
manter o equilíbrio de cargas opostas
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Somente para compostos iônicos
INTRÍNSECO:INTRÍNSECO:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Surge no material apenas pelo efeito da TEMPERATURA
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À ORIGEM DO DEFEITO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Surge no material apenas pelo efeito da TEMPERATURA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Vacâncias, defeitos tipo Schottky e tipon Frenkel são intrínsecos
→→→→ estão presentes em materiais puros
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Termodinamicamente →→→→ defeitos devem estar presentes em uma 
estrutura cristalina
INTRÍNSECO:INTRÍNSECO:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Surgimento de defeitos intrínsecos em estruturas cristalinas →→→→ energia 
de formação 
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À ORIGEM DO DEFEITO
de formação 
∆∆∆∆G=∆∆∆∆H - T∆∆∆∆S
Balanço entre variação de entalpia→→→→ aumenta com a
criação do defeito
variação da entropia
abaixamento da energia livre na formação inicial do defeito
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Normalmente existem mais defeitos presentes nos cristais do que 
corresponde à concentração de equilíbrio termodinâmico
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À ORIGEM DO DEFEITO
INTRÍNSECO:INTRÍNSECO:
POR QUÊ? 
Cristais →→→→ preparados a altas temperaturas 
intrinsecamente mais defeitos estão presentes em 
maiores temperaturas 
aumento do termo T∆∆∆∆S na energia livre
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Defeitos extrínsecos →→→→ vacâncias cristais não-
→→→→ defeitos intersticiais estequiométricos
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À ORIGEM DO DEFEITO
EXTRÍNSECO:EXTRÍNSECO:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Defeitos vêm de fora do cristal →→→→ não são gerados pela 
temperatura
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Criados por diferentes mecanismos:
(i) presença de impurezas
(ii) adições intencionais
(iii) mudança de valência 
(iv) mudança na pressão de oxigênio externa (não-
estequiometria)
EXTRÍNSECO:EXTRÍNSECO:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Principal interesse deste tipo de defeito
DefeitosDefeitos pontuaispontuais
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
QUANTO À ORIGEM DO DEFEITO
Conseqüências da substituição de íons da 
matriz da rede cristalina por íons de impureza 
ou adicionados intencionalmente que possuem 
valência diferente.
• As discordâncias estão associadas com a cristalização e 
a deformação (origem: térmica, mecânica e supersaturação de defeitos 
pontuais)
DefeitosDefeitos lineareslineares
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
• A presença deste defeito é a responsável pela 
deformação, falha e rompimento dos materiais
• A quantidade e o movimento das discordâncias podem 
ser controlados pelo grau de deformação (conformação 
mecânica) e/ou por tratamentos térmicos 
As discordâncias podem ser: - Cunha
- Hélice
- Mista
DefeitosDefeitoslineareslineares
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
As discordâncias geram um vetor de Burger:
- Dá a magnitude e a direção de distorção da rede
- Corresponde à distância de deslocamento dos átomos 
ao redor da discordância
DISCORDÂNCIA EM ESPIRAL:DISCORDÂNCIA EM ESPIRAL:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Ilustrada pelo corte parcial de um cristal perfeito, deslocando a rede de 
um espaçamento atômico 
DefeitosDefeitos lineareslineares
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O vetor de Burgers é paralelo à discordância em espiral
DISCORDÂNCIA EM ESPIRAL:DISCORDÂNCIA EM ESPIRAL:
DefeitosDefeitos lineareslineares
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Produz distorção na rede⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Produz distorção na rede
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O vetor de burger é 
paralelo à direção da linha 
de discordância
DISCORDÂNCIA EM CUNHA:DISCORDÂNCIA EM CUNHA:
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Ilustrada pelo talhamento de um cristal perfeito, deslocando a rede de 
um espaçamento atômico 
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos lineareslineares
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ O vetor de Burgers é perpendicular à discordância em cunha
DISCORDÂNCIA EM CUNHA:DISCORDÂNCIA EM CUNHA:
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos lineareslineares
Vista superior da discordância
Exemplo: Exemplo: Supondo a estrutura CCC com ao=4A, com uma discordância Supondo a estrutura CCC com ao=4A, com uma discordância 
como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do vetor de como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do vetor de 
BurgersBurgers
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos lineareslineares
Exemplo: Exemplo: Supondo a estrutura CCC com ao=4A, com uma discordância Supondo a estrutura CCC com ao=4A, com uma discordância 
como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do vetor de como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do vetor de 
BurgersBurgers
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos lineareslineares
D(222)= 4/(22+22+22)0,5 = 1,15 A
D(hkl)= ao/(h2+k2+l2)0,5
(222) [222] [111]
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DiscordânciasDiscordâncias nono TEMTEM
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DiscordânciasDiscordâncias nono HRTEMHRTEM
DefeitosDefeitos planaresplanares
SUPERFÍCIE EXTERNASUPERFÍCIE EXTERNA
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Mais evidente dos defeitos de superfície devido a descontinuidade
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Coordenação atômica na superfície não é comparável a dos átomos no 
interior do cristal
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Átomos superficiais tem seus vizinhos em apenas um lado, logo 
possuem mais energia e estão menos firmemente ligados aos átomos 
externos
CONTORNO DE GRÃOCONTORNO DE GRÃO
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Microestrutura de metais e 
outros materiais sólidos consistem 
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos planaresplanares
outros materiais sólidos consistem 
de muitos grãos
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Grão: porção de material onde o 
arranjo cristalino é idêntico, 
variando sua orientação
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Contorno de grão: fronteira 
entre os grãos
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos planaresplanares
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos planaresplanares
ESTRUTURAS AMORFASESTRUTURAS AMORFAS
IMPERFEIÇÕES IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO NO ARRANJO 
CRISTALINOCRISTALINO
DefeitosDefeitos volumétricosvolumétricos
Vidros
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Algumas estruturas sem 
ordenamento a longo alcance Vidros
Polímeros
ordenamento a longo alcance 
são consideradas como 
defeitos volumétricos, como é 
o caso do vidro e dos 
polímeros