61197984-Testes-e-resolucao-BA1

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RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 2 
 
Índice 
 
1º TESTE 22/11/2007 ................................................................................ 3 
RESOLUÇÃO ..................................................................................................... 6 
A) ARMADURAS LONGITUDINAIS: ...................................................................... 7 
B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ....................................................................... 9 
C) DISPENSA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS: ................................................... 13 
 
2º TESTE 18/01/2008 .............................................................................. 19 
RESOLUÇÃO ................................................................................................... 21 
D) ARMADURAS LONGITUDINAIS: .................................................................... 23 
E) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL?......................................................... 25 
F) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 25 
G) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR:................................................... 26 
H) VERIFICAÇÕES:...................................................................................... 28 
I) DISPENSAS: ......................................................................................... 33 
 
EXAME 21/01/2008 .................................................................................. 36 
RESOLUÇÃO ................................................................................................... 38 
a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 40 
B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 41 
C) VERIFICAÇÕES:...................................................................................... 43 
D) DISPENSA DE ARMADURAS:........................................................................ 46 
 
2º EXAME 3/02/2004................................................................................. 48 
RESOLUÇÃO ................................................................................................... 51 
a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 51 
B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 52 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 3 
1º Teste 22/11/2007 
 
GRUPO 1 
 
 
 
 
 
 
 
ACÇÕES: CP = 40 kN/m (γCP=1,5) MATERIAIS: C25/30 
 SC = 20 kN/m (γSC=1,5) A500NR 
Rec = 4 cm 
 
a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite 
último de flexão nas secções de esforços condicionantes. Comente as 
respectivas secções quanto à sua ductilidade. 
 
 
b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção 
condicionante. Dimensione e pormenorize as suas armaduras 
(transversais e longitudinais obtidas na alínea anterior). Considere 
θ=26,7º; concentre a armadura do banzo inferior na largura de 1,0m. 
 
c) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal 
longitudinal e pormenorize em alçado. Efectue as verificações que achar 
necessárias. 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 4 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 5 
GRUPO 2 
 
a) Porque razão é que a resistência do betão obtido em provetes cúbicos é 
superior à obtida em provetes cilíndricos? Qual desses valores melhor 
representa a resistência do material nas estruturas? 
 
b) Porque razão e em que aspectos é que o excesso de armaduras pode ser 
prejudicial para uma estrutura de betão armado? 
 
c) O que entende por largura efectiva de uma viga sujeita à flexão? De que 
forma pode ser calculada essa largura? Enumere as vantagens e 
desvantagens para o cálculo em betão armado? 
 
d) O que entende por torção de compatibilidade e equilíbrio? De exemplos 
dos 2 tipos de torção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 6 
Resolução 
GRUPO 1 
 
Cálculo dos esforços e diagramas: 
 
� psd= γCP x CP + γSC x SC =1,5 x 40 + 1,5 x 20 = 90 kN/m 
 
 Esforços: 
 
 





=
−=
⇔







=
×
×
=+
⇒






=
⋅=
∑
∑
kN1620R
kN540R
0
2
2190
-4R
kN1080RR
0M
pF
B
sd
A
sd
2
B
sd
B
sd
A
sd
A
,v
Ltotalsd
 
 
 
kN.m2880
2
809
M
kN0092076201VkN207809V
kN405V
2
-
sd
esqB,
sd
dirB,
sd
A
sd
=
×
=
=−=→=×=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 7 
a) ARMADURAS LONGITUDINAIS: 
 
Para o cálculo da altura útil vamos supor que se utilizarão dois patamares de 
varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será: 
 
m0,800,10-0,90
2
0,20
-hd === 
 
 Determinar o valor de momento flector reduzido: 
 
2-
32
cd
2
rd 108,982
107,610,8000,3
2880
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=µ 
 
 Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária: 
 
i) -2-2-2 109,789)108,982(1108,982)1( ×=×+××=+×= µµω 
ii) 2-
2-
109,532
1,21
108,9822,4211
21,1
42,211
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
iii) 2-
2-
109,435
1,028
108,9822,05511
1,028
2,05511
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
 
 Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.: 
 
m0,1151,13950,109dkx
0,144109,7891,471,47k -2
=×=⋅=
=××=⋅= ω
 
 
Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo 
utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas 
supondo que a viga é rectangular maciça. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 8 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 9 
 Cálculo das armaduras longitudinais: 
 
22
syd
cd
sL cm,1909435
16,7
0,803,00109,789
f
f
dbA =××××=⋅⋅⋅= −ω 
 
Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,21m) a secção é considerada dúctil, ou seja, 
as armaduras entram em cedência antes do betão. 
 
b) ARMADURAS TRANSVERSAIS: 
 
 Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das 
armaduras: 
 
θθ cotgzpV)cotg(zV sdsdsd ⋅⋅−=⋅ 
 
i) Escolha do ângulo θ quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da 
co-tangente de ângulo θθθθ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se 
escolhermos o valor médio temos que cotgθθθθ =1,75 que equivale a um ângulo 
θ=30°, neste caso o valor é dado θθθθ=26,7°. 
 
ii) 0,72m0,800,9d0,9z =×=⋅= 
 
kN,1671726,7cotg0,7290900)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ 
kN,1659126,7cotg0,7290207)cotg(zV dirB,sd =°××−=⋅ θ 
 
 Cálculo das armaduras transversais: 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 10 
 /mcm12,38
1043526,7cotg0,72
771,16
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sd
esqB,
sw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θ
 
 /mcm9,49
1043526,7cotg0,72
591,16
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sd
dirB,
sw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θ
 
 
Como é uma secção em “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de 
suspensão. 
 
 
sydsuspensão
sw
f
F
s
A
= 
 
i) Calculo de F: 
 
 
( )
kN/m82,88F1,520250,400,200,10
2
0,200,40
0,200,40-40F
F
=
×








+













×





×+×
+
+×=
⋅+−= ialma SCpppp γ
 
 /mcm1,91
435000
82,88
f
F
s
A 2
sydsuspensão
sw
=== 
 
ii) Armadura total na alma: 
 
 
m10//0,102REST
/mcm14,291,9112,38
s
A
s
A
s
A 2
suspensão
sw
esqB,
sw
esqB,
Total
sw
φ→
→=+=+=
 
 
m10//0,102REST
/mcm11,401,919,49
s
A
s
A
s
A 2
suspensão
sw
A
sw
dirB,
Total
sw
φ→
→=+=+=
 
 
 Cálculo das armaduras transversais no banzo: 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 11 
i) Ligação banzo-alma: 
 
 /mcm6,19
2
12,38
2
A
s
A 2sw
esqB,
sf
=== 
 /mcm4,75
2
9,49
2
A
s
A 2sw
dirB,
sf
=== 
 
i) Flexão no banzo: 
 
Supondo que se trata de uma viga invertida que suporta uma laje, vamos 
calcular a carga permanente no banzo da viga (subtrair às cargas 
permanentes, CP, o valor do peso próprio da alma da viga) e distribuí-la pelo 
beff, fazendo o mesmo com as sobrecargas: 
 
( )[ ]
2
d
d
eff
d
kN/m,6372S
3
1,520250,400,200,10
2
0,200,40
0,200,40-40
S
b
S
=








×








+













×





×+×
+
+×
=
⋅+−
=
ialma SCpppp γ
 
 
 kN.m5,60
2
0,90
2
27,63
M
2
-
sd =
×
= 
 
2-
32
cd
2
sd
101,396
1016,70,1551,00
5,60
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=
µ
µ
 
 
2-
-2-2
101,415
)101,396(1101,396
×=
×+××=
ω
ω
 
 
/m0,84cmA
435
16,7
0,1551,00101,415A
2
s
2
s
=
××××= −
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 12 
m//0,20012REST/mcm3,940,84
2
6,19
A
2
s
A
s
A 2
s
sf
esqB,
Total/Ramo
sf φ→=+=+= 
m//0,20012REST/mcm3,220,84
2
4,75
A
2
s
A
s
A 2
s
sf
dirB,
Total/Ramo
sf φ→=+=+= 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 13 
c) DISPENSA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS: 
 
Para a dispensa das armaduras neste caso não será considerada a alternância 
de sobrecargas. 
 
 ( ) ( )2efsL,2efsL, cm,1054A2510cm90,20A2520 =→= φφ 
 
i) Momento resistente: 
 
( ) ( )
kN.m1524,31104,7541016,70,803,0fdbM
104,754104,8950,5881104,895588,01
104,895
1016,70,803,0
104351045,10
fdb
fA
Mcm,1045A
232
cd
2
Rd
222
2
3
34
cd
sydefsL,
Rd
2
efsL,
=×××××=⋅⋅⋅=
×=××−××=⋅−⋅=
×=
×××
×××
=
⋅⋅
⋅
=
→→→=
−
−−−
−
−
µ
ωωµ
ω
µω
 
 
ii) Comprimento de translação: 
 
 m0,62cotg30
2
0,72
cotg
2
z
aL =×=⋅=
oθ 
 
iii) Determinação das coordenadas “x”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 14 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 15 
 Consola: 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 2880720x-45xMxV
2
x
pxM 2dirB,Sd
dirB,
sd
2
sdSd ++=+⋅−⋅=
 m2,18x2880720x45x1524,31 1
2
=⇒+−= 
 
 Vão: 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 28800x09-45xMxV
2
x
pxM 2esqB,Sd
dirB,
sd
2
sdSd ++=+⋅−⋅=
 m1,64x288000x945x1524,31 2
2
=⇒+−= 
 
iv) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura: 
 
 MPa2,7
1,5
1,8
112,25fηη2,25faderenciadeTensão ctd21bd =×××=⋅⋅⋅= 
 MPa5,172354
90,20
45,10
f
A
A
σ syd
totalsL,
dispsL,
sd =×=⋅= 
 m0,50
2,70
217,5
4
0,025
f
σ
4
l
bd
sd
rqdb, =×=⋅=
φ
 
 m0,50lll rqdb,rqdb,54321bd ==⋅⋅⋅⋅⋅= ααααα 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 16 
 m3,30m3,300,500,622,18laxX bdL11 →=−+=++= 
 m2,80m2,760,500,621,64laxX bdL22 →=++=++= 
 
v) Verificações: 
 
 Armaduras longitudinais: 
 
i) Armadura mínima: 
 
 2t
syk
ctm
mín sL, cm,3340,800,40500
2,6
0,26db
f
f
0,26A =×××=⋅⋅⋅= 
ii) Armadura máxima: 
 
 
2
máx sL,
máx sL,
cm163A
1,0
2
0,200,40
0,200,4020,203,00,04Ac0,04A
=






×
+
+××+××=⋅=
 
 
 
 
iii) Espaçamento entre varões: 
 
 
( )
( ) m0,04415
0,02550,0120,0420,40
s
1n
Anestribo2c2b
s sL
=
−
×−×−×−
=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
 
 
 
{ }
{ } m0,044m0,0350,02m5mm;0,0250,035m;0,025m;máx
2cm5mm;dg;;Amáxs, maioreq,,maiorsL,mín
<=+=
=+= φφ
 
 
iiii) Armaduras nos apoios de extremidade: 
 
2
máx sL,
2
efsL,
2
mín sL, cm163Acm,2009Acm4,33A =<=<=
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 17 
Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b 
temos: 
 2
syd
T
apoios,sdT cm14,90435000
648
f
F
AkN6480451,2V1,2F ===⇒=×=⋅= + 
 
 Armaduras transversais: 
 
i) Armadura mínima: 
 
 /mcm1,600,20
500
250,08
bw
f
f0,08
,
s
A 2
syk
ck
mín
sw
=×
×
=⋅
⋅
= 
ii) Diâmetro mínimo dos estribos: 
 
 
{ } { }
{ }6,25mm6mm;estribo
250,256mm;A0,256mm;estribo sL
≥
×≥⋅≥
φ
φφ
 
 
iii) Espaçamento máximo entre estribos: 
 
 ( )
z
V
comcotg1d0,7s sdestribo =+⋅⋅≤ αα 
 
Em geral o espaçamento deve ser inferior a 0,5d, neste caso inferior a 0,40m. 
 
 Verificação das compressões: 
 
i) Devido ao esforço transverso: 
 
 Bielas comprimidas 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 18 
 
VerificaNãoMPa10,6MPa13,34σ
1016,7
250
25
-10,6
cos26,7sen26,70,20,800,9
771,16
σ
f
250
f
-10,6
cossenbd0,9
)cotg(zV
σ
BCc,
3
BCc,
cd
ck
w
sd
BCc,
MPaem
⇒≥=
××





×≤
××××
=
⋅


















⋅≤
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
θθ
θ
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 19 
2º Teste 18/01/2008 
 
PARTE A - GRUPO 1 
 
ACÇÕES: CP = 60 kN/m (γCP=1,5) MATERIAIS: C30/37 
 SC = 20 kN/m (γSC=1,5) A500NR 
Rec = 4 cm 
 
d) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite 
último de flexão na secção de esforço condicionante. 
e) Comente a respectiva secção quanto à sua ductilidade. 
f) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção 
condicionante e dimensione as suas armaduras. 
g) Verifique o estado limite último relativo ao momento torsor na secção 
condicionante e dimensione as suas armaduras. 
h) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e 
pormenorize a secção transversal sobre o pilar da esquerda (armaduras 
transversais e longitudinais obtidas nas alíneas anteriores). 
i) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal 
longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima. 
j) Pormenorize a viga em alçado. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 20 
PARTE A – GRUPO 2 
 
e) Explique como faria para calcular a armadura de um tirante à tracção? 
Predimensione a sua secção de aço e betão considerando 4% de área de 
aço em relação ao betão e uma carga de tracção de 600 kN. 
f) Complete os gráficos abaixo e explique as suas fases e a que se referem 
os respectivos eixos. 
g) Como pode ser calculada a largura efectiva de uma viga com banzo à 
compressão? Enumere as vantagens e desvantagens para o cálculo de 
betão armado. 
 
 RESOLUÇÃO DETESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 21 
Resolução 
PARTE A – GRUPO 1 
 
Cálculo dos esforços e diagramas: 
 
� psd= γCP x CP + γSC x SC =1,5 x 60 + 1,5 x 20 = 120 kN/m 
 
 
Esforços: 
 
kN720
2
12120
2
Lp
VV sdBsd
A
sd =
×
=
⋅
== 
kN.m2160
8
12120
8
Lp
M
22
sd
sd =
×
=
⋅
=
+ 
kN.m63TT
2
0,201203
2
eLS
TT
B
sd
A
sd
B
sd
A
sd
==
××
=
⋅⋅
==
sdC
 
 
 
Caracterização da secção: 
 






−=
=
=
2
-rec-hd
m0,40b
m1,20b
As
estribo
w
φφ
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 22 
Características de cálculo dos materiais: 
MPa354
1,15
500f
f
MPa20
1,5
30f
f
s
syk
syd
c
ck
cd
≅==
===
γ
γ
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 23 
d) ARMADURAS LONGITUDINAIS: 
 
Para o cálculo da altura util vamos supor que se utilizarão dois patamares de 
varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será: 
 
m1,125,0750-1,20
2
0,15
-hd === 
 
 Determinar o valor de momento flector reduzido: 
 
2-
32
cd
2
rd 107,1111
10201,1251,2
2160
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=µ 
 
 Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária: 
 
i) -2-2-2 107,6168)107,1111(1107,1111)1( ×=×+××=+×= µµω 
ii) 2-
2-
107,4466
1,21
107,11112,4211
21,1
42,211
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
iii) 2-
2-
107,3882
1,028
107,11112,05511
1,028
2,05511
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
 
 Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.: 
 
m0,1261,13950,109dkx
0,112107,61681,471,47k -2
=×=⋅=
=××=⋅= ω
 
 
Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo 
utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas 
supondo que a viga é rectangular maciça (sem aberturas). 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 24 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 25 
 Cálculo das armaduras longitudinais: 
 
22
syd
cd
sL cm47,28435
20
1,1251,20107,1111
f
f
dbA =××××=⋅⋅⋅= −ω 
 
e) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL? 
 
Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,29m) a secção é considerada dúctil, ou seja, 
as armaduras entram em cedência antes do betão. 
 
f) ARMADURAS TRANSVERSAIS: 
 
 Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das 
armaduras: 
 
θθ cotgzpV)cotg(zV sdsdsd ⋅⋅−=⋅ 
 
i) Escolha do ângulo θ quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da 
co-tangente de ângulo θθθθ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se 
escolhermos o valor médio temos que cotgθθθθ =1,75 que equivale a um ângulo 
θ=30°. 
 
ii) 1,0125m1,1250,9d0,9z =×=⋅= 
 
kN509,5630cotg1,0125120720)cotg(zVsd =°××−=⋅ θ 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 26 
 Cálculo das armaduras transversais: 
 
 /mcm6,68
1043530cotg1,0125
509,56
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sdsw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θ
 
 
Como é uma secção oca há necessidade de colocar estribos de ligação banzo-
alma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da 
armadura calculada anteriormente. 
 
 /mcm3,34
2
6,68
2
A
s
A 2swsf
=== 
 
g) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR: 
 
 Definição da secção oca eficaz: 
 
 







==
×
=
=+×=+×=⋅
≤≤⋅
m0,30
4,80
1,44
1,204
1,20
u
A
m0,0960,008)(0,042estribo)(rec2c'2
u
A
hc'2
2ef
φ
 
Considerando hef = 0,15 m temos: 
 
 





==
=×=
⇒





=−=
=−=
22
ef
ef
m
m
m1,10251,05A
m4,201,054u
m1,050,151,20b
m1,050,151,20h
 
 
A área “A” e a área efectiva “Aef”, para efeitos de cálculo das armaduras devido 
ao momento torsor é calculada independentemente de haver ou não aberturas 
na viga, como é o caso da viga em estudo. Isto pode ser constatado no 
capítulo 6.6 do Eurocódigo 2. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 27 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 28 
 Cálculo das armaduras: 
 
i) longitudinais: 
 
 2
º
sydef
efsd
sL cm2,734350001,10252
cotg304,2036
fA2
cotguT
A =
××
××
=
⋅⋅
⋅⋅
=
φ
 
 
ii) transversais: 
 
/mcm1,44
435000cotg300,151,10252
36
fcotghA2
T
s
A 2
º
sydefef
sdst
=
××××
=
⋅⋅⋅⋅
= φ
 
 
h) VERIFICAÇÕES: 
 
i) Armaduras longitudinais Flexão + Torção: 
 
 ( )22sL cm49,722144cm,658422,7347,28A φ⇒=+=+ 
 ( )22sL cm22,601202cm21,7322,7320,36A φ⇒=+=− 
 
ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso: 
 
 
m8//0,304REST.
/mcm1,67
4
6,68
,
s
A
/mcm6,68
s
A 2
ramo
swramos4deEstribos2sw
φ⇒
== →=
 
 
iii) Armaduras transversais devido à Torção: 
 
 m8//0,30/mcm1,44
s
A único Ramo2st φ →= 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 29 
 Armaduras longitudinais: 
 
i) Armadura mínima: 
 
 2t
syk
ctm
mín sL, cm,36201,1251,20500
2,9
0,26db
f
f
0,26A =×××=⋅⋅⋅= 
ii) Armadura máxima: 
 
 ( ) 22máx sL, cm2880,80,91,200,04Ac0,04A =×−×=⋅= 
 
 
 
iii) Espaçamento entre varões: 
 
 
( )
( ) m0,04122
0,012220,00820,0421,20
s
1n
Anestribo2c2b
s sL
=
−
×−×−×−
=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
 
 
 
{ }
{ } m0,04m0,030,02m5mm;0,025-;-0,012m;-máx
2cm5mm;dg;;Amáxs, maioreq,,maiorsL,mín
<=+=
=+= φφ
 
 
iiii) Armaduras nos apoios de extremidade: 
 
Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b 
temos: 
 2
syd
T
apoios,sdT cm19,86435000
864
f
F
AkN8647201,2V1,2F ===⇒=×=⋅= + 
 
 
{ } { }
{ } 2apoios,
sLmíns,apoios,
cm20,367,0920,36;A
47,280,1520,36;A0,15;AA
⇒≥
×≥⋅≥
−
−
 
 
2
máx sL,
2
efsL,
2
mín sL, cm288Acm49,76Acm20,36A =<=<=
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 30 
 Armaduras transversais: 
 
i) Armadura mínima: 
 
 /mcm3,510,40
500
300,08
bw
f
f0,08
,
s
A 2
syk
ck
mín
sw
=×
×
=⋅
⋅
= 
ii) Diâmetro mínimo dos estribos: 
 
 
{ } { }
{ }4mm6mm;estribo
210,256mm;A0,256mm;estribo sL
≥
×≥⋅≥
φ
φφ
 
 
iii) Espaçamento máximo entre estribos: 
 
 ( )
z
V
comcotg1d0,7s sdestribo =+⋅⋅≤ αα 
 
Em geral o espaçamento deve ser inferior a 0,5d, neste caso inferior a 0,57m. 
 
 Verificação das compressões: 
 
i) Devido ao esforço transverso: 
 
 Bielas comprimidas 
 
 
VerificaMPa10,6MPa2,9σ
1002
250
30
-10,6
cos30sen300,41,13950,9
506,84
σ
f
250
f
-10,6
cossenbd0,9
)cotg(zV
σ
BCc,
3
BCc,
cd
ck
w
sd
BCc,
MPaem
⇒≤=
××





×≤
××××
=
⋅


















⋅≤
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
θθ
θ
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 31 
ii) Devido ao momento torsor: 
 
 Bielas comprimidas 
 
 
VerificaMPa10,6MPa0,251σ
1002
250
30
-10,6
cos30sen300,151,10252
36
σ
f
250
f
-10,6
cossenhA2
T
σ
BCc,
3
BCc,
cd
ck
efef
sd
BCc,
MPaem
⇒≤=
××





×≤
××××
=
⋅

















⋅≤
⋅⋅⋅⋅
=
θθ
 
 
ii) Devido à interacção do esforço transverso e do momento torsor: 
 
 Bielas comprimidas 
 
 
VerificaMPa10,6MPa3,1510,2512,9σ
f
250
f
-10,6σσσ
BCc,
cd
ck
BCc,BCc,BCc,
MPaem
⇒≤=+=
⋅


















⋅≤+= TorsorTransverso
 
 
 Verificação nas armaduras devido à Torção: 
 
i) Espaçamento das armaduras longitudinais: smáx = 35 cm 
 
ii) Espaçamento das armaduras transversais: 
 
{ } m0,5250,8551,20;1,20;0,525;míns,
1,13950,751,20;1,20;4,20;
8
1
mínd0,75h;b;;u
8
1
míns,
máx
efmáx
==






××=






⋅⋅=
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 32 
 Pormenorização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 33 
 
i) DISPENSAS: 
 
 Armaduras longitudinais: 
 
i) Armaduras longitudinais: 
 
 ( ) ( )22 cm24,862122cm49,722144 φφ → 
 
ii) Momento resistente: 
 
( ) ( )
kN.m1187,94103,910910201,1251,2fdbM
103,9109104,00520,5881104,0052588,01
104,0052
10201,1251,2
104351024,86
fdb
fA
Mcm24,86A
232
cd
2
Rd
222
2
3
34
cd
sydefsL,
Rd
2
efsL,
=×××××=⋅⋅⋅=
×=××−××=⋅−⋅=
×=
×××
×××
=
⋅⋅
⋅
=
→→→=
−
−−−
−
−
µ
ωωµ
ω
µω
 
iii) Comprimento de translação: 
 
 m0,88cotg30
2
1,0125
cotg
2
z
aL =×=⋅=
oθ 
 
iv) Determinação das coordenadas “x”: 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 34 
 
 
 720x-60xxV
2
x
pM 2Asd
2
sdRd +=⋅+⋅−=
 m10,03xm1,97x720x-60x1187,94 21
2
=∨=⇒+= 
 
v) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura: 
 
 MPa3,15
1,5
2,1
112,25fηη2,25faderenciadeTensão ctd21bd =×××=⋅⋅⋅= 
 MPa5,172354
49,72
24,86
f
A
A
σ syd
totalsL,
dispsL,
sd =×=⋅= 
 m0,21
3,15
217,5
4
0,012
f
σ
4
l
bd
sd
rqdb, =×=⋅=
φ
 
 m0,21lll rqdb,rqdb,54321bd ==⋅⋅⋅⋅⋅= ααααα 
 
 m0,90m0,8921,088,097,1laX bdL11 →=−−=−−= x 
 m,1011m,111121,088,003,10laX bdL22 →=++=++= x 
 
 Armaduras transversais: 
 
i) Cálculo do Esforço Transverso resistente: 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 35 
 
kN267,76V
10435cotg301,0125103,51fsydcotgz,
s
A
V
V/mcm3,51,
s
A
Rd
34
mín
sw
Rd
Rd
2
mín
sw
=
×××××=⋅⋅⋅=
⇒=
−θ 
 
ii) Determinação dos pontos de dispensa: 
 
 
 
m3,77x
120
267,76207
p
VV
x
1
sd
Rdsd
1
=
−
=
−
=
 
m6//0,304REST.
/mcm0,88
4
3,51
,
s
A
/mcm3,51
s
A 2
ramo
sw4REstribos2sw
φ⇒
== →=
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 36 
Exame 21/01/2008 
 
GRUPO 1 
 
 
 
ACÇÕES: CP = 30 kN/m (γCP=1,5) MATERIAIS: C30/37 
 SC = 24 kN/m (γSC=1,5) A500NR 
 
Rec = 3 cm 
 
a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite 
último de flexão na secção B. Comente quanto à sua ductilidade. 
b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção 
condicionante e dimensione as suas armaduras. 
c) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e 
pormenorize a secção B (armaduras transversais e longitudinais obtidas 
nas alíneas anteriores). 
d) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal 
longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 37 
e) Pormenorize a viga em alçado. 
 
 
GRUPO 2 
a) A classe de um betão é indicada pela letra C seguida de dois números 
(C30/37, por exemplo). O que representam estes dois números e como 
são obtidos? 
b) Diga porque razão, para a pormenorização das armaduras longitudinais 
em vigas, se deve efectuar uma translação de diagramas de momentos 
flectores de “al=z/2cotgθ”. 
c) Explique porque razão na análise dos esforços de uma estrutura de 
betão armado se pode, em geral, desprezar a rigidez de torção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 38 
Resolução 
 
GRUPO 1 
 
Cálculo dos esforços e diagramas: 
 
� psd= γCP x CP + γSC x SC =1,5 x 30 + 1,5 x 24 = 81 kN/m 
 
 Esforços: 
 
 





=
=
⇔







=
×
×
=+
⇒






=
⋅=
∑
∑
kN04,691R
kN66,184R
0
2
13,781
-11R
kN1109,7RR
0M
pF
B
sd
A
sd
2
B
sd
B
sd
A
sd
A
,v
Ltotalsd
 
 
 
kN.m88,299295,25
8
1181
M
kN.m295,25
2
2,781
M
kN472,34218,70691,04VkN218,702,781V
kN418,66V
2
sd
2
-
sd
esqB,
sd
dirB,
sd
A
sd
=−
×
=
=
×
=
=−=→=×=
=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 39 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 40 
a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: 
 
m956,0
2
012,0
,008003,0-00,1
2
rec-hd Asestribo =





++=





++=
φφ 
 
 Determinar o valor de momento flector reduzido: 
 
2-
32
cd
2
w
sd 104,0382
10200,9560,4
295,25
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=µ 
 
 Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária: 
 
i) -2-2-2 104,2012)104,0382(1104,0382)1( ×=×+××=+×= µµω 
ii) 2-
2-
104,1420
1,21
104,03822,4211
21,1
42,211
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
iii) 2-
2-
104,1236
1,028
104,03822,05511
1,028
2,05511
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
 
 Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.: 
 
0,059m0,9540,062dkx
0,062102196,41,471,47k -2
=×=⋅=
=××=⋅= ω
 
 
Como a posição da Linha Neutra situa-se na alma, o modelo de cálculo 
utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas 
supondo que a viga é rectangular maciça com b=bw=0,40m. 
 
Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,25m) a secção é considerada dúctil, ou seja, 
as armaduras entram em cedência antes do betão. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 41 
 Cálculo das armaduras longitudinais: 
 
22
syd
cd
sL cm39,7435
20
956,040,0102196,4
f
f
dbA =××××=⋅⋅⋅= −− ω 
 
b) ARMADURAS TRANSVERSAIS: 
 
 Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das 
armaduras: 
 
θθ cotgzpV)cotg(zV sdsdsd ⋅⋅−=⋅ 
 
i) θ=30°. 
 
ii) 0,8604m0,9560,9d0,9z =×=⋅= 
 
kN351,6230cotg0,860481472,34)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ 
kN97,9930cotg0,860481218,70)cotg(zV dirB,sd =°××−=⋅ θ 
 
 Cálculo das armaduras transversais: 
 
 /mcm5,42
1043530cotg0,8586
351,62
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sd
,
sw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θesqB
 
 /mcm1,51
1043530cotg0,8586
97,99
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sd
,
sw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θdirB
 
 
Como é uma secção em “T” há necessidade de colocar estribos de ligação 
banzo-alma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da 
armadura calculada anteriormente. 
 RESOLUÇÃODE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 42 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 43 
c) VERIFICAÇÕES: 
 
 Armaduras longitudinais: 
 
i) Armadura mínima: 
 
 2t
syk
ctm
mín sL, cm14,390,9541,0500
2,9
0,26db
f
f
0,26A =×××=⋅⋅⋅=− 
ii) Armadura máxima: 
 
 ( ) 2máx sL, cm2320,70,40,31,000,04Ac0,04A =×+××=⋅=− 
 
2
sL
2
mín sL, cm7,40Acm14,39A =>=
−− 
 
Utilizando varões de 12mm serão necessários 13 varões para verificar o E.L.U. 
de Flexão AsL, ef (13 φφφφ 12) = 14,69 cm2. 
 
iii) Espaçamento entre varões: 
 
 
( )
( ) m0,06131
0,016310,00820,0321,00
s
1n
Anestribo2c2b
s sL
=
−
×−×−×−
=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
 
 
 
{ }
{ } m0,06m0,030,02m5mm;0,025-;-0,012m;-máx
2cm5mm;dg;;Amáxs, maioreq,,maiorsL,mín
<=+=
=+= φφ
 
 
 { } { } 2míns,apoios, cm,394114,39;;AA ⇒−≥−≥− 
 
 Armaduras transversais: 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 44 
i) Armadura mínima: 
 
 /mcm3,510,40
500
300,08
b
f
f0,08
,
s
A 2
w
syk
ck
mín
sw
=×
×
=⋅
⋅
= 
ii) Diâmetro mínimo dos estribos: 
 
 
{ } { }
{ }4mm6mm;estribo
610,256mm;A0,256mm;estribo sL
≥
×≥⋅≥
φ
φφ
 
 
iii) Espaçamento máximo entre estribos: 
 
 ( )
z
V
comcotg1d0,7s sdestribo =+⋅⋅≤ αα 
 
Em geral o espaçamento deve ser inferior a 0,5d, neste caso inferior a 0,48m. 
 
 Verificação das compressões: 
 
i) Devido ao esforço transverso: 
 
 Bielas comprimidas 
 
 
VerificaMPa10,6MPa2,4σ
1020
250
30
-10,6
cos30sen300,400,9560,9
351,62
σ
f
250
f
-10,6
cossenbd0,9
)cotg(zV
σ
BCc,
3
BCc,
cd
ck
w
sd
BCc,
MPaem
⇒≤=
××





×≤
××××
=
⋅


















⋅≤
⋅⋅⋅⋅
⋅
=
θθ
θ
 
 
 Pormenorização: 
 
i) Armaduras longitudinais Flexão: 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 45 
 
 ( )22sL cm14,701231cm14,39A φ⇒=− 
 
ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso: 
 
 
m8//0,152REST.
/mcm2,71
2
5,42
,
s
A
/mcm5,42
s
A 2
ramo
swramos2deEstribos2
,
sw
φ⇒
== →=
esqB
 
 
m8//0,252REST.
/mcm1,78
2
3,51
,
s
A
/mcm51,3,
s
A
s
A 2
ramo
sw2REst2
mín
sw
,
sw
φ⇒
== →==
dirB
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 46 
d) DISPENSA DE ARMADURAS: 
 
 Armaduras longitudinais: 
 
Não é possível dispensar armaduras longitudinais superiores, pois esta 
armadura é a mínima e indispensável para o bom funcionamento da estrutura 
quer ao nível da resistência, quer ao nível do controlo da fendilhação. 
 
 Armaduras transversais: 
 
i) Cálculo do Esforço Transverso resistente: 
 
kN227,54V
10435cotg300,8604103,51fsydcotgz,
s
A
V
V/mcm3,51,
s
A
Rd
34
mín
sw
Rd
Rd
2
mín
sw
=
×××××=⋅⋅⋅=
⇒=
−θ 
 
ii) Determinação do ponto de dispensa: 
 
m3,02x
81
227,54472,34
p
VV
x
sd
Rd
esqB,
sd
=
−
=
−
=
 
 
m8//0,252REST.
/mcm1,76
2
3,51
,
s
A
/mcm3,51
s
A
2
ramo
sw
2REstribos2sw
φ⇒
==
 →=
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 48 
2º Exame 3/02/2004 
 
2ª PARTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACÇÕES: CP = 48 kN/m (γCP=1,5) MATERIAIS: C30/37 
 SC = 36 kN/m (γSC=1,5) A500NR 
 
Rec = 3 cm 
 
a) Verifique a segurança da viga ao E. L. U. de flexão no apoio B. 
b) Verifique a segurança ao E. L. U. de esforço transverso na zona do apoio 
B e dimensione as armaduras transversais necessárias. 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 49 
c) Pormenorize as armaduras calculadas na secção B Pormenorize as 
armaduras transversais ao longo do troço AB (não considere alternância 
de sobrecargas). 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 50 
 
1ª PARTE 
a) Represente o diagrama momento-curvatura de uma secção de betão 
armado identificando os fenómenos físicos que nesse diagrama ficam 
patentes. Identifique o que entende por ductilidade em flexão e explique 
porquê pode avaliar esse parâmetro através da posição da Linha Neutra 
no E. L. U. 
b) Explique porque razão se devem adoptar armaduras longitudinais 
distribuídas numa viga sujeita à torção. Explique porque razão se trata o 
E. L. U. de resistência à torção de secções rectangulares com um modelo 
de secção oca. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 51 
Resolução 
GRUPO 1 
Cálculo dos esforços (tabelas): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
kN.m0081
8
8261
M
kN3068126
8
5
V
kN7838126
8
3
V
kN/m12636481,50p
2
-
sd
esqB,
sd
A
sd
sd
=
×
=
=××=
=××=
=+×=
 
 
a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: 
 
m95,0
2
025,0
,008003,0-00,1
2
rec-hd Asestribo =





++=





++=
φφ 
 
 Determinar o valor de momento flector reduzido: 
 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 52 
2-
32
cd
2
w
sd 105,5845
10200,951,00
1008
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=µ 
 Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária: 
 
i) -2-2-2 105,8964)105,5845(1105,5845)1( ×=×+××=+×= µµω 
ii) 2-
2-
105,7871
1,21
105,58452,4211
21,1
42,211
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
iii) 2-
2-
105,7374
1,028
105,58452,05511
1,028
2,05511
×=
××−−
=
×−−
=
µ
ω 
 
 Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.: 
 
0,083m0,950,087dkx
0,087102196,41,471,47k -2
=×=⋅=
=××=⋅= ω
 
 
Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo 
utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas 
supondo que a viga é rectangular maciça com b=bw=1,00m. 
 
Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,25m) a secção é considerada dúctil, ou seja, 
as armaduras entram em cedência antes do betão. 
 
 Cálculo das armaduras longitudinais: 
 
22
syd
cd
sL 25,75cm435
20
0,951,00105,8964
f
f
dbA =××××=⋅⋅⋅= −− ω 
 
b) ARMADURAS TRANSVERSAIS: 
 
 Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das 
armaduras: 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 53 
 
θθ cotgzpV)cotg(zV sdsdsd ⋅⋅−=⋅ 
 
i) θ=30°
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 54 
ii) 0,855m0,950,9d0,9z =×=⋅= 
 
kN,4191130cotg0,855261783)cotg(zV Asd =°××−=⋅ θ 
kN,4143430cotg0,860481218,70)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ 
 
 Cálculo das armaduras transversais na alma: 
 
 /mcm2,97
1043530cotg0,855
191,41
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sdsw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θA
 
 /mcm6,88
1043530cotg0,855
443,41
fcotgz
)cotg(zV
s
A 2
3
syd
sd
,
sw
=
××°×
=
⋅⋅
⋅
=
θ
θesqB
 
 
Como é uma secçãoem “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de 
suspensão. 
 
 
sydsuspensão
sw
f
F
s
A
= 
 
i) Calculo de F: 
 
 ( ) ( )[ ] NSCpppp alma k,631161,536251,000,15-48F =×+××=⋅+−= γ 
 /mcm2,68
435000
116,63
f
F
s
A 2
sydsuspensão
sw
=== 
 
ii) Armadura total na alma: 
 
 
m8//0,102REST
/mcm9,562,686,88
s
A
s
A
s
A 2
suspensão
sw
esqB,
sw
esqB,
sw
φ→
→=+=+=
Total 
 
m8//0,152REST
/mcm5,652,682,97
s
A
s
A
s
A 2
suspensão
sw
A
sw
A
sw
φ→
→=+=+=
Total 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 55 
 RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO 
JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 56 
 Cálculo das armaduras transversais no banzo: 
 
i) Ligação banzo-alma: 
 
 /mcm3,44
2
6,88
2
A
s
A 2sw
,
sf
===
esqB
 
 /mcm1,49
2
2,97
2
A
s
A 2swsf
===
A
 
 
i) Flexão no banzo: 
 
 
 kN.m1,27
2
0,37518
M
2
-
sd =
×
= 
 
2-
32
cd
2
sd
100,441
10200,121,00
1,27
fdb
M
×=
×××
=
⋅⋅
=
µ
µ
 
 
2-
-2-2
100,443
)100,441(1100,441
×=
×+××=
ω
ω
 
 
/m0,24cmA
435
20
0,121,00100,443A
2
s
2
s
=
××××= −
 
 
 m8//0,202REST/mcm1,960,24
2
3,44
A
2
s
A
s
A 2
s
sf
esqB,
Total/Ramo
sf φ→=+=+= 
 m8//0,302REST/mcm0,990,24
2
1,49
A
2
s
A
s
A 2
s
sf
A
Total/Ramo
sf φ→=+=+=