atps de calculo numerico completa

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ANHANGUERA EDUCACIONAL 
FACULDADE ANHANGUERA DE PELOTAS 
1 
Pelotas, 03 de julho de 2015 
 
Professor (a): Renato Sacco 
Disciplina: Calculo Numérico 
Conteúdo: Etapas 1 e 2 
Turma: 2º semestre/Engenharia Civil/Engenharia de Produção 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES PRÁTICAS 
SUPERVISIONADAS 
 
 
 
Acadêmicos (as): 
 
 
• Fernanda Holz-RA 9857493423 - Engenharia de Produção 
• Raí Damasceno – RA 8822385481 - Engenharia de Produção 
• Reginaldo Souza- RA 9088467241- Engenharia Civil 
• Sabrina Rocha -RA 9911145499 - Engenharia de Produção 
• Sidnei dos Santos – RA 8870422402 - Engenharia de Produção 
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1.Introdução: 
Esta Atividade Prática Supervisionada propõe desafios para que possamos 
compor um código de barras palíndromo, associando os números 0 e 1 após a 
realização de cada desafio. Utilizando o Cálculo Numérico, ao longo da realização 
de cada etapa desta atividades chegaremos aos primeiros 17 algarismos que irão 
compor o código de barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico: 
Etapa 1: 
Passo 1: 
O Cálculo Numérico consiste na obtenção de soluções aproximadas de 
problemas de Álgebra Linear e Não-Linear, Estatística e Análise de Dados, Cálculo 
Diferencial e Integral e outros métodos matemáticos, utilizando métodos numéricos. 
Desta forma, o uso do computador e os correspondentes softwares como ferramenta 
de trabalho de cálculo numérico requer o entendimento dos seus princípios de 
operação e de como eles interferem nos resultados obtidos. Geralmente, é aceito 
como verdade que computadores não erram e que são os usuários é que cometem 
enganos. Na realidade, o computador, como dispositivo de cálculo numérico, “comete” 
erros devido às suas características intrínsecas e o papel do usuário é quantificar 
esses erros e encontrar formas de, se não eliminá-los, ou pelo menos minimizá-los 
através de métodos de “tratamento de erros”. 
A maioria dos conceitos de Cálculo Numérico são de álgebra linear e isso se 
deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços 
vetoriais, em particular, na análise numérica é tão grande, que estudo pormenorizado 
desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos 
aqui abordados podem ser encontrados em livros de álgebra linear. Um problema de 
Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar 
impraticável com o aumento do tamanho do problema. 
Passo 2: 
1.Desafio A: 
I – Os vetores V1 e V2 apresentados no gráfico (a) são LI (linearmente independentes); 
Resposta: Afirmação incorreta. Pois, V1 e V2 estão representados na mesma reta 
sendo Linearmente Dependentes. 
II – Os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (b) são LI; 
Resposta: Afirmação correta. Os vetores V1, V2 e V3 são Linearmente Independentes. 
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III – Os vetores V1, V2 e V3 apresentados no gráfico (c) são LD (linearmente 
dependentes); 
Resposta: Afirmação correta. Os vetores V1, V2 não paralelos geram um plano pela 
origem. Se um terceiro vetor V3 estiver nesse plano o conjunto (V1, V2, V3) são 
Linearmente dependentes. 
 
2. Desafio B: 
Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são 
linearmente independentes. 
Resposta: 
u= (4, 7, -1) e v= (3, 10, 11) 
a(4, 7, -1) + b(3, 10, 11)= (0,0,0) 
(4a, 7a, -a) + (3b, 10b, 11b)= (0,0,0) 
4a + 3b = 0 
7a + 10b= 0 
-a + 11b= 0 
 
-a + 11b= 0 
-a = -11b (-1) 
a = 11b 
 
7a + 10b= 0 
7(11b) + 10b= 0 
77b + 10b= 0 
87b=0 
b= 
���� 
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b= 0 
 
-a + 11b= 0 
-a+11(0)= 0 
-a+0=0 
-a=0 
-a= 0 (-1) 
a= 0 
Resposta: Linearmente Independente. 
 
3. Desafio C: 
Sendo W1(3, -3, 4)E e W2(1, 2, 0) E, a tripla coordenada de W = 2W1 – 3W2 
na base E é (9, -12, 8)E. 
W= 2 W1 – 3 W2 
W= 2(3, -3, 4) – 3(-1, 2, 0) 
W= (6, -6, 8) – ( -3, 6, 0) 
W= (9, -12, 8) 
Resposta: Afirmação correta. 
 
Passo 3: 
 
Resolver os desafios apresentados no desafio A, desafio B e desafio C, 
julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados 
para tal julgamento devem ser devidamente registrados. 
1. Desafio A: 
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Afirmação I = 1 
Afirmação II= 1 
Afirmação III= 1 
 
2. Desafio B: 
Afirmação= 0 
 
3. Desafio C: 
Afirmação= 1 
 
3. Relatório 2 – Sistemas de Numeração e Erros 
Etapa 2: 
Passo 1: 
 
• Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A), 
considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula 
da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio, na mesma? 
 
Caso A: 
Área circunferência = � � ��	 
Podemos observar que a constante	� é um número irracional, ou seja, é uma 
progressão infinita. A diferença no resultado das operações é devido ao erro de 
truncamento (troca de uma série infinita por uma finita), ou seja, a diferença de 
algarismos significativos utilizados no número � em cada operação, como pode ser 
demonstrado abaixo: 
João 
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� � ��	 
��120�	 � 45216 
� ∗ 14400 � 45216 
� � 4521614400 
� � 3,14 
 
Pedro 
� � ��	 
��120�	 � 45239,04 
� ∗ 14400 � 45239,04 
� � 45239,0414400 
� � 3,1416 
 
Maria 
� � ��	 
��120�	 � 45238,9342176 
� ∗ 14400 � 45238,9342176 
� � 45238,934217614400 
� � 3,141592654 
 
Caso B: 
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• Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos 
dos somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença 
apresentada no caso B? 
 
A diferença no resultado é devido à limitação da calculadora, erro de 
arredondamento (Devido a própria estrutura da máquina), que não suporta a mesma 
quantidade de números significativos que o computador. 
 
Passo 2: 
Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 
10; 5 dígitos na mantissa e expoente no intervalo [− 6, 6], pode se afirmar que: 
I – o menor e o maior número em módulo nesta representação são dados de 
forma respectiva por: 6 0,1 10− × e 6 0,99999×10; 
Resposta: Afirmação correta. 
 
II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 6 
0,12346×10 e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 6 
0,12345×10; 
Resposta: Afirmação correta. 
 
III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 8 0,4×10. 
Resposta: Afirmação incorreta. 
Passo 3: 
Afirmação I = 0 
Afirmação II= 0 
Afirmação III= 1 
 
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Etapa 3: 
Passo 1: 
. Um caso real de aplicação de sistemas lineares, que podemos exemplificar é de um 
projeto de uma estrutura composta por vigas metálicas exige a resolução de um 
sistema de equações lineares, no qual o número de equações e variáveis cresce à 
medida que se torna mais complexa a estrutura. 
Passo 2: 
Considerar um circuito elétrico representado por: 
 
onde, i1, i2 e i3 são as correntesz1=10, z2=8, e z3=3 , as impedâncias pelas quais as 
correntes passam. 
A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar: 
 
I – o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118. 
Resposta: Correta. 
� 1						1					110 � 8		08					0		 � 3� 
• L2−(10)×L1→L2 
� 1						1					10 � 18 � 108					0		 � 3 � 
• L3−(8)×L1→L3 
� 1						1					10 � 18 � 100				 � 8	 � 11� 
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• L3−(4/9)×L2→L3 
� 1						1					10 � 18 � 100				0	��599 �� 
 
� 1						1					110 � 8		08					0		 � 3�=�
1						1					10 � 18 � 100				0	�� � � !=1x(-18)x��
� �= 118 
 
II – a matriz inversa de A, denotada por 
 
 
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Resposta: Incorreta. 
 
III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível) e a solução é 
dada por: 
i1= 9,79, i2=4,11 e i3=-13,9. 
Resposta: Correta. 
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X1= 9,79 
X2=4,11 
X3= -13,9 
 
Passo 3: 
Afirmação I = 0 
Afirmação II= 1 
Afirmação III= 1 
 
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Passo 3: 
4. Relatório 3 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1 
Etapa 4: 
Passo 1: 
Um sistema de equações lineares – sistema linear – é um conjunto finito de 
equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. 
Sistemas lineares podem ser classificados em: 
Possível Determinado: (solução única). 
Indeterminado: (infinitas soluções). 
Impossível: Não admite solução. 
Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, 
necessariamente, uma equação polinomial. Em matemática pura, a teoria de sistemas 
lineares é um ramo da álgebra linear. Também na matemática aplicada, podemos 
encontrar vários usos dos sistemas lineares. Exemplos são a física, a engenharia, a 
navegação, a economia, a geografia, a aviação, a cartografia, a demografia, a 
astronomia e etc. 
Sistemas lineares também são muitos usados para a computação, em 
algoritmos e programação. 
O sistema linear também pode ser conceituado como um sistema de 
equações do primeiro grau, ou seja, um sistema no qual as equações possuem 
apenas polinômios em que cada parcela tem apenas uma incógnita. Em outras 
palavras, num sistema linear, não há potência diferente de um ou zero tampouco pode 
haver multiplicação entre incógnitas. 
Os sistemas lineares podem ser resolvidos através de diferentes métodos: por 
escalonamento, e pelo método de Cramer. 
O método de escalonamento permite resolver sistemas lineares de n 
equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método 
não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade 
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maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser 
resolvidos. 
Passo 2: 
1. Desafio A 
 
 
Dada a matriz 
 
Sobre a decomposição LU, podemos afirmar que: 
 
I – a matriz L é dada por: 
 
Resposta: Incorreta. 
L é dado por: 
L="##
$1	0	0	01	1	0	01	0	1	0�	 	�	 		1	1%&
&'
 
 
 
 
II – a matriz U é dada por: 
 
Resposta: correta. 
 
2. Desafio B 
 
Considerar os sistemas: 
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Utilizando a eliminação de Gauss e aritmética de ponto flutuante com três 
algarismos significativos com arredondamento, podemos afirmar que: 
 
I – a solução do sistema (a) é x1=0,999999, x2= -1 e x3=3. 
 
Resposta: Incorreta 
 
4 -1 1 8 
Etapa 1 0,5 5,5 1,5 -1 
0,25 2,25 3,75 9 
4 -1 1 8 
Etapa 2 5,5 1,5 -1 
0,409 3,136 9,409 
 
4x1-1x2+1x3=8 
 5,5x2+1,5x3=-1 
 3,136x3=9,409 
 
3,136x3=9,409 
x3=9,409/3,136 
x3=3 
 
5,5x2+1,5x3=-1 
5,5x2+1,5*3=-1 
5,5x2+4,5=-1 
5,5x2=-1-4,5 
5,5x2=-5,5 
x2=-5,5/5,5 
x2=-1 
 
 
4x1-1x2+1x3=8 
4x1-1*(-1)+1*3= 
4x1+1+3=8 
4x1+4=8 
4x1=8-4 
4x1=4 
x1=4/4 
 
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II – tanto no sistema (a) quanto no sistema (b), a troca das equações não altera a 
solução; 
 
Reposta: Incorreto, pois os sistemas são possíveis e determinados, não podendo 
haver tal alteração. 
 
III – a solução do sistema (b) é x1= -0,4; x2=2,1; x3=0,6 e x4= 0,3; 
 
Resposta: Correta. 
 
1 1 0 1 2 
Etapa 1 
2 -1 -1 -1 -3 
-1 2 3 0 6 
3 -4 -1 0 -9 
1 1 0 1 2 
-1 -1 -1 -3 
Etapa 2 -2 1 -2 0 4 3 4 3 
1 1 0 1 2 
-1 -1 -1 -3 
1 -2 0 
Etapa 3 3 10 3 
 
 
1x1+1x2+0x3+1x4=2 
 -1x2-1x3-1x4=-3 
 1x3-2x4=0 
 10x4=3 
 
10x4=3 
x4=3/10 
x4=0,3 
 
x3-2x4=0 
x3-2*0,3=0 
x3-0,6=0 
x3=0+0,6 
x3=0,6 
 
-x2-x3-x4=-3 
-x2-0,6-0,3=-3 
-x2-0,9=-3 
-x2=-3+0,9 
-x2=-2,1 *(-1) 
x2=2,1 
 
x1+x2+x4=2 
x1+2,1+0,3=2 
x1+2,4=2 
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x1=2-2,4 
x1=-0,4 
 
IV – o valor do determinante da matriz A do sistema (b) é -10. 
Resposta: Correta. 
 
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Passo 3: 
Desafio A 
Afirmação I = 1 
Afirmação II= 0 
Desafio B 
Afirmação I = 0 
Afirmação II= 1 
Afirmação III= 0 
Afirmação IV= 1 
5. Relatório 4 – Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares – parte 1 
Sequência final contendo os 17 algarismos 
11 101 001 011 100 101 
 
 
 
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7.Conclusão: 
Aplicando os princípios e conceitos de Cálculo Numérico, conseguimos realizar 
cada passo desta atividade. Após a realização da etapa 1 e 2 da atividade chegamos 
aos 8 primeiros dígitos doo código de barras. Através da aplicação do sistemas 
lineares chegamos aos 9 últimos algarismos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. Referências: 
• FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ªed. São Paulo: Pearson – 
Prentice Hall, 2007 
• CULMINATO. José Alberto. Cálculo Numérico. Disponível em: 
<https://docs.google.com/a/aedu.com/file/d/0B30OueqS8kbtS29QeTNNbG9Y
djA/edit?usp=sharing>. Acesso em: 05 abr. 2015. 
• MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a 
Administração, Economia e Contabilidade. 2ª ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2012. PLT 622.