Prova Final - Perguntas e respostas

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[GAB]5pcn2015-1 
Universidade Federal do Maranhão 
CCET - DEINF 
Prof. Carlos Gonçalves (Sl.214, Bl.6) 
Nome: GABARITO 
Matrícula: N/A 
Data: 02 de junho, 2015 – Duração: 1h40min 
NOTA 
Cálculo Numérico – Turmas: CP e EE. 
5ª Prova: Todo conteúdo. 
Instruções: 
Identifique sua folha de respostas com seu nome e devolva-a junto com esta folha. Escreva as respostas das 
questões legivelmente com caneta azul ou preta. Devolva a sua “Folha de Respostas” junto com esta folha 
de Questões. 
Boa sorte. 
QUESTÕES 
1) (2,5) Quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos em k dígitos usando-se números de base 
r? 
SOLUÇÃO: É um mero princípio básico de contagem, assim, teremos: 𝑟𝑘 inteiros distintos. 
2) (2,5) Considere o sistema F(2, 8, 4, 4) e os números: x1 = 0,10110011 · 22 e x2 = 0,10110010 · 22. Qual dos 
dois números representa melhor 2,810? 
SOLUÇÃO: Pode-se responder esta questão de duas formas: uma é convertendo o número dado da base 
10 para binário e depois normalizando-o pelo padrão IEEE 754, visto em sala de aula, e a outra seria 
converter os números em binários para decimal e ver qual se aproxima mais em valor do número decimal 
dado. 
A conversão de 2,810 para binário resulta em 10,11001100̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅2 ∙ 2
0, o qual normalizado ficará (note que a 
mantissa é igual a 8): 0,101100112 ∙ 2
2. Portanto, x1 representa melhor o número decimal dado. 
3) (2,5) Considere o sistema de equações lineares abaixo e determine o valor aproximado do seu vetor 
solução usando o método de Gauss-Seidel com 4 iterações. Considere nos cálculos 2 casas decimais e o 
arredondamento simétrico. 
{
5𝑥1 + 2𝑥2 − 2,5𝑥3 = 11,5
8𝑥1 − 10𝑥2 + 𝑥3 = 4,5
4𝑥1 + 2𝑥2 − 9𝑥3 = 12,5
 
SOLUÇÃO: Antes de resolvermos um SEL pelo método de Gauss-Seidel devemos verificar se o critério de 
Sassenfeld é satisfeito, já que este nos dá garantia de convergência para este método. 
Logo, devemos calcular os coeficientes beta de Sassenfeld, a saber: 
𝛽𝑖 = ∑|ℎ𝑖𝑗|𝛽𝑗 + ∑ |ℎ𝑖𝑗|
𝑛
𝑗=𝑖+1
, ℎ𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖
, 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛
𝑖−1
𝑗=1
 
Donde vem, 
𝛽1 = |
1
𝑎11
| ∙ (|𝑎12| + |𝑎13|) = |
1
5
| ∙ (|2| + |−2,5|) =
4,5
5
≅ 0,90 
𝛽2 = |ℎ21|𝛽1+|ℎ23| = |
1
−10
| ∙ (8 ∙ |
4,5
5
| + |1|) = (
1
10
) ∙ (
410
50
) ≅ 0,82 
𝛽3 = |ℎ31|𝛽1+|ℎ32|𝛽2 = |
−4
−9
| ∙ |
45
50
| + |
2
−9
| ∙ |
410
500
| ≅ 0,58 
Ora, devemos ter, 
𝛽 = max
1≤𝑖≤𝑛
𝛽𝑖 = max
1≤𝑖≤3
{0,90 0,82 0,58} < 1 
Percebe-se que a relação acima é satisfeita, logo, a convergência é garantida (de fato este resultado já 
era esperado visto que o SEL é EDD). Portanto, definimos as equações iterativas através da seguinte ma-
triz equivalente: 
[GAB]5pcn2015-1 
𝐸 = {
𝑥1
(𝑘+1)
= −0,40𝑥2
(𝑘) + 0,50𝑥3
(𝑘)
+ 2,30
𝑥2
(𝑘+1)
= 0,80𝑥1
(𝑘+1) + 0,10𝑥3
(𝑘) − 0,45
𝑥3
(𝑘+1)
= 0,44𝑥1
(𝑘+1) + 0,22𝑥2
(𝑘+1)
− 1,39
 
Logo, podemos calcular uma sequência iterativa, iniciando com 𝑥(0) = (0 0 0)𝑡, e construindo a ta-
bela abaixo: 
k 0 1 2 3 
x1 0,000 2,300 1,715 1,722 
x2 0,000 1,390 0,916 0,885 
x3 0,000 -0,058 -0,423 -0,427 
Como se pode ver na tabela, na 4ª iteração já temos os valores procurados. Então o vetor coluna solução 
do SEL dado é: 
𝑥(3) ≈ (1,72 0,89 −0,43)𝑡 
4) (2,5) Aplicando o método de Newton-Raphson determine o valor da raiz real positiva da função f(x) 
abaixo que encontra-se no intervalo (1,0;2,0). 
𝑓(𝑥) = ln(2𝑥) + cos(3𝑥) 
Use (a,b) tal que |b - a| ≤ 0,02, e faça 3 iterações. Considere nos cálculos 2 casas decimais e o arredon-
damento simétrico. 
SOLUÇÃO: Para aplicar o método de Newton-Raphson (MNR) precisamos localizar o intervalo onde se 
acha a raiz, em geral isto é feito graficamente, todavia o enunciado já situa esse intervalo de pesquisa. 
Assim, só temos que aplicar o método começando com um ponto desse intervalo, i.e., 𝑥0 = 1,5, ou qual-
quer outro valor inicial dentro do intervalo onde a derivada está definida, pois a convergência do MNR 
independe do valor inicial (faça o teste e comprove). 
Assim teremos, 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
, onde: 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
− 3 ∙ sen⁡(3𝑥) 
 
Substituindo tudo teremos a seguinte expressão iterativa: 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
ln(2𝑥𝑘)+cos(3𝑥𝑘)
1
𝑥𝑘
−3∙sen⁡(3𝑥𝑘)
 
Para o caso, é melhor construir-se uma tabela a fim de calcular os valores intervenientes e evitar-se 
erros. Temos, 
k x f(x) f'(x) x* Erro 
0 1,500 0,888 3,599 1,253 - 
1 1,253 0,104 2,537 1,212 0,041 
2 1,212 0,006 2,251 1,210 0,003 
3 1,210 0,000 2,232 1,210 0,000 
Vê-se na tabela que na 3ª iteração o valor da raiz é encontrado com as condições pedidas (v. linha 3 na 
tabela), i.e., |1,210 − 1,212| = 0,002 < 0,02, logo, 𝑥 ≅ 1,210,⁡observe ainda o valor de f(x) tendendo 
a zero.