Gabarito 1ª Lista de Exercícios Cálculo Numérico

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Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 1
Polinoˆmio de Taylor, Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros
1 Respostas I. Polinoˆmio de Taylor
1. (a) p1(x) =
1
2
(1 + x); p2(x) =
3
8
+
3x
4
− x
2
8
(b) p1(x) =
√
2
2
−
√
2pi
8
+
√
2x
2
; p2(x) =
√
2
2
−
√
2pi
8
−
√
2pi2
64
+
√
2x
2
+
√
2pix
8
−
√
2x2
4
(c) p1(x) = e; p2(x) = e− ex
2
2
(d) p1(x) = log(2) +
log(e)
2
x; p2(x) = log(2) +
log(e)
2
x+
log(e)
8
x2
2. (a) pn(x) = 1 + x+ x
2 + · · ·+ xn
(b) pn(x) = 1 +
x
2
− x
2
8
+ · · ·+
(
1/2
n
)
xn
(c) pn(x) = 1 +
x
3
− x
2
9
+ · · ·+
(
1/3
n
)
xn
(d) pn(x) = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ · · ·
(e) pn(x) = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·
3. p1(x) = x; p3(x) = x− x
3
6
; p5(x) = x− x
3
6
+
x5
120
−3
−2
−1
 0
 1
 2
 3
−3 −2 −1 0 1 2 3
f(x
), p
1(x
), p
3(x
), p
5(x
)
x
Cálculo Numérico: Lista de Exercícios 1 − Exercício 3
a = 0
f(x)
p1(x)p3(x)p5(x)
1
4. (a) p1(x) = 1− x; p2(x) = 1− x+ x
2
2
; p3(x) = 1− x+ x
2
2
− x
3
6
; p4(x) = 1− x+ x
2
2
− x
3
6
+
x4
24
(b) p1(−x) = 1− x; p2(−x) = 1− x+ x
2
2
; p3(−x) = 1− x+ x
2
2
− x
3
6
; p4(−x) = 1− x+ x
2
2
− x
3
6
+
x4
24
5. (a) p1(x) = 1; p2(x) = 1 + x
2; p3(x) = 1 + x
2; p4(x) = 1 + x
2 +
x4
2
(b) p1(x
2) = 1 + x2; p2(x
2) = 1 + x2 +
x4
2
; p3(−x) = 1 + x2 + x
4
2
+
x6
6
; p4(−x) = 1 + x2 + x
4
2
+
x6
6
+
x8
24
A aproximac¸a˜o dada pelo truncamento da se´rie de Taylor em n = 4 no item (b) e´ mais precisa.
6. p4(x) = 2(x− 1) + 5(x− 1)2 + 3(x− 1)3 + (x− 1)4
7. Demonstrac¸a˜o.
8. |R3(x)| ≤ e
24
= 0.1133
9. p2(x) = x+ x
2; |R2(x)| ≤ pi
3
192
= 0.1614
10. n = 8
11. p10(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · ·+ x
10
10!
p10(x) exp() linguagem C Erro Relativo Erro Absoluto
2.71828180 2.71828183 1.004777× 10−8 2.731266× 10−8
Tabela 1: Ca´lculo Nume´rico: Lista de Exerc´ıcios 1 - Exerc´ıcio 11.
12. (a) pn(t) = 1− t2 + t4 − t6 + t8 + · · ·
(b) g(x) = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · ·+ (−1)
nx2n+1
2n+ 1
+R2n+1(x); R2n+1(x) = (−1)n+1
∫ x
0
t2n+2
1 + t2
dt
(c) Demonstrac¸a˜o.
(d) n ≥ 2× 1010
2 Respostas: II. Aritme´tica de Ponto Flutuante e Noc¸o˜es Ba´sicas sobre Erros
13. (a) (51)10
(b) (0.5078125)10
(c) (5.8438)10
(d) (101101110)2
(e) (100.01)2
(f) (100.11010...)2
14. ER1 = 0.2981× 10−4; ER2 = 0.1141× 10−3
15. Demonstrac¸a˜o.
16. ER1 = 0.3177× 10−3; ER2 = 0.4844× 10−4; ER3 = 0.2588× 10−3; ER4 = 0.2587× 10−3
17. (a) Na˜o, (0.101001...)2 × 25
(b) Positivo.
(c) Maior que 1.
(d) 0.206162× 102
18. (a) Menor: 0.1000× 10−5 = 10−6; Maior: 0.9999× 105 = 99990
2
(b) Arredondamento: 0.7376; Truncamento: 0.7375
(c) a+ b = 0.4245× 105
(d) S = 0.4245× 105
(e) S = 0.4248× 105
19. Menor: 0.1000× 2−4 = 2−5; Maior: 0.1111× 25 = 30
20. (a) S = 0.308× 101
(b) S = 0.308× 101
21. x1 = 0.1011010100× 22; x2 = 0.1110110001× 23; x3 = 0.1110010001× 22
Nenhum dos nu´meros e´ representado de forma exata no sistema.
22. x1 = 0.110× 2−1; x2 = 0.101× 23 = overflow; x3 = 0.100× 22 = underflow
Podem ser representados nessa ma´quina 33 nu´meros.
23. (a)
1− cos(x)
x2
=
2 sin2(x/2)
x2
(b) sin(a+ x)− sin(a) = −2 sin2(x/2) sin(a) + sin(x) cos(a)
(c) log(1 + x)− log(x) = log
(
1 + x
x
)
24. (a)
ex − 1
x
=
x
2!
+
x2
3!
+
x3
4!
+
x4
5!
(b)
ex − e−x
2x
= 1 +
x2
3!
+
x4
5!
3
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