apostila de matemática Etec

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APOSTILA 
DE MATEMÁTICA
GUIADOVESTIBULINHO
provas de BOLSA
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cursos do SENAI
colégios MILITARES
e muito mais!
O que você vai aprender nessa 
apostila?
Nessa apostila você vai aprender sobre as matérias mais 
importantes e que mais caem nos vestibulinhos de todo o país, e 
mais especificamente nas provas da ETEC, Colégio Embraer, 
Senai, Colégios da UNESP, Unicamp e USP, Colégios 
Militares e provas de bolsa.
Resumi e organizei os principais assuntos que você precisa saber 
para garantir uma vaga nos melhores colégios e cursos técnicos 
do Brasil.
Está fácil, está resumido e está divertido para você aprender tudo e 
mandar bem nas provas para o Ensino Médio.
#boraestudar
#japassei
Essa apostila que você tem em mãos vai te ajudar a se 
preparar para todas as provas!
Por isso conto com seu esforço e 
entusiasmo para estudar bastante. 
Tudo o que você precisa está aqui, 
agora é com você.
Bons Estudos :)
Quem sou eu?
Meu nome é Diego William, e minha missão esse ano é fazer 
você passar em um vestibulinho de Ensino Médio!
Sou Engenheiro de Materiais de formação e professor de 
coração... 
Sou de São José dos Campos/SP, vim de escola pública, nunca 
tive dinheiro pra pagar um colégio particular, por 
isso sempre lutei para passar em um 
vestibulinho e mudar minha vida.
E deu certo! Passei em 6 vestibulinhos 
e em 8 vestibulares!
Desde 2013 trabalho como professor
e mentor para alunos que sonham em
passar em um vestibulinho...
Mas em 2018 resolvi fazer diferente:
fundei o Guia do Vestibulinho, que já 
ajuda literalmente milhares de alunos 
a se prepararem para as provas de bolsa e 
vestibulinhos das maiores e melhores 
escolas do país. 
você não 
precisa
ser rico
para estudar 
nas
melhores 
escolas
do Brasil!
APOSTILA 
DE MATEMÁTICA
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o 
denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum aos 
dois números. 
Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus 
termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos 
divisíveis entre si. 
Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, 
mas seu valor matemático não é alterado, pois a fração, quando tem seus 
termos reduzidos, torna-se uma fração equivalente.
A fração 8/16 possui as seguintes frações equivalentes:
 
Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o 
mesmo valor proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração 1/2 é a 
fração irredutível de 8/16.
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador 
pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes. Veja:
Você pode também simplificar a fração uma única vez. Para isso, 
você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. 
Observe:
O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12, então, 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
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cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
simplificamos da seguinte maneira:
Observe mais alguns exemplos de simplificação:
O MDC entre 32 e 40 é 8.
O MDC entre 63 e 81 é 9.
O MDC entre 90 e 120 é 30.
O MDC entre 36 e 66 é 6.
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Números Naturais
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar 
objetos, números. Por exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por diante. Com os 
números naturais e possível realizar diversas operações matemáticas: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja:
24 + 50 = 74
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A 
ordem dos números na adição não influencia no resultado.
89 – 70 = 19
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que 
dê negativo também, entretanto, na maioria das vezes é preciso verificar 
se deve “emprestar” do número esquerdo para realizar a operação 
corretamente. A ordem dos números influencia o resultado em uma 
expressão maior.
5 x 100 = 500
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, 
dobrando, triplicando o valor. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma 
coisa que 100 + 100 + 100 + 100 + 100. A ordem não influencia o 
resultado. O número um é um elemento neutro, não alterando o 
resultado.
30 / 2 = 15
Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado 
leva ao primeiro número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa divisão é exata. Há 
divisões que sobram o “resto” e há vírgulas, com números decimais 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
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SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Números fracionários
Os números fracionários são aqueles representados por frações. No 
momento de realizar as operações, é preciso rever algumas dicas práticas.
Adição e Subtração
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os 
numeradores. 
2/5 + 10/5 = 12/5. 
O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver 
o denominador diferente, é necessário descobrir o denominador 
comum. Veja:
2/5+ 5/10 + 9/2
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e 
veja com quantos números é possível chegar a um denominador comum.
2, 5, 10 | 2
1, 5, 5 | 5
1, 1, 1 | 1 
2 x 5 = 10 é o denominador comum.
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores
10/5 = 2; 10/10 = 1; 10/2 = 5
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e 
encontrar o resultado (vale também para subtração):
2x2/10 + 1x5/10 + 5x9/10 = 54/10
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Multiplicação
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador 
com denominador e numerador com numerador. Exemplo:
5/8 x 9/15 = 45/120
Divisão
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. 
Por exemplo:
8/9 : 3/24 = 8/9 x 24/3 = 72/18
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais 
simples, se ambos numerador e denominador conseguirem ser divididos 
pelo mesmo número. A fração 72/18 pode ser dividida por 2: 36/9. Agora 
pode ser dividida por 3, ambos os números: 6/3 e então o número pode 
ficar inteiro, dando o resultado de 2.
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Grandezas diretamente proporcionais
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o 
aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma 
grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, a outra 
também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente 
proporcionais variam sempre na mesma razão.
Veja o exemplo:
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de 
uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a 
outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a outra fica 
reduzida a terça parte, etc.
Veja o exemplo:
REGRA DE TRÊS SIMPLES
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Razão:
12/6 = 2/1
60/120 = 1/2
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 é o inverso 
de 1/2.
Regra de três simples
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores 
de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua 
solução utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta 
que multipliquemos os meios entre si e os extremos também entre si. 
Acompanhe:
Exemplos:
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De 
quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar umatabela 
contendo os valores.
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Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de 
trigo e número de pães são inversa ou diretamente proporcionais.
- Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães 
também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães também serão 
triplicados, e assim por diante. Sendo assim, somos levados a concluir que 
essas duas grandezas são diretamente proporcionais;
- Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo 
com o quadro acima e partir para sua solução;
- As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente 
proporcionais.
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de trigo.
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois 
pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo?
- Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela contendo 
os valores.
Como no caso anterior, teremos que analisar se as grandezas quantidade 
de pedreiros e dias gastos na construção são inversa ou diretamente 
proporcionais.
- Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra será 13
reduzida, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais;
- Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo 
com o quadro acima e partir para sua solução;
- Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter 
uma das frações;
- As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente 
proporcionais.
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a obra 
concluída em 180 dias.
14
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem 
características semelhantes. Eles nasceram como resultado das 
necessidades da humanidade em determinado período histórico. Veja quais 
são eles!
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. 
Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus 
elementos são apenas os números inteiros e positivos.
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes 
elementos:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos 
números naturais. Ele é formado pela união do conjunto dos números 
naturais com os números negativos e o zero. Em outras palavras, o 
conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os seguintes 
elementos:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir 
quantidades. Portanto, esse é o conjunto dos números que podem ser 
escritos na forma de fração. Representado por Q, o conjunto dos números 
racionais possui os seguintes elementos:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Q = {x � Q: x = a/b, a � Z e b � N}
A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, 
tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b 
pertencente aos naturais.
Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na 
forma de fração, então é um número racional.
Os números que podem ser escritos na forma de fração são:
1 – Todos os números inteiros;
2 – Decimais finitos;
3 – Dízimas periódicas.
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas 
decimais. Observe:
1,1
2,32
4,45
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência 
final de suas casas decimais. Observe:
2,333333....
4,45454545....
6,758975897589....
Conjunto dos Números Irracionais
A definição de números irracionais depende da definição de números 16
racionais. Portanto, pertencem ao conjunto dos números irracionais todos 
os números que não pertencem ao conjunto dos racionais.
Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe 
possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos 
simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos números irracionais é 
complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo 
dos números reais.
Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: 
Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma 
de fração. São eles:
1 – Decimais infinitos
2 – Raízes não exatas
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e 
que não são dizimas periódicas. Por exemplo:
0,12345678910111213...
π
√2
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados 
anteriormente. Sua definição é dada pela união entre o conjunto dos 
números racionais e o conjunto dos números irracionais. Representado 
por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte 
maneira:
R = Q U I = {Q + I}
17
I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números 
citados anteriormente são também números reais.
Relação entre conjuntos numéricos
Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas 
relações foram evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas 
serão expostas a seguir:
1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos 
números inteiros;
2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos 
números racionais;
3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos 
números reais;
4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos 
números reais;
5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números 
racionais não possuem nenhum elemento em comum;
6 – O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos 
números complexos.
Indiretamente, é possível estabelecer outras relações. É possível dizer, por 
exemplo, que o conjunto dos números naturais é subconjunto do 
conjunto dos números complexos.
Também é possível fazer a leitura contrária das relações citadas 
anteriormente e das relações indiretas que podem ser construídas. Para 
tanto, basta dizer, por exemplo, que o conjunto dos números inteiros 
contém o conjunto dos números naturais.
Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser 
18
Legenda: representação geográfica dos diversos 
conjuntos numéricos
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Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi 
criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas 
nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois 
números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar 
esses dois números por meio de equações.
Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o 
significado da definição dada acima.
Expressões algébricas
Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas 
básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. 
Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É 
mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as 
únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até 
símbolos diversos.
Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo:
1) 12x2 + 16y + 4ab
2) x + y
3) 4 + 7a
Todas essas expressões possuem letras representando números e 
números sendo somados e multiplicados.
Igualdade
Toda expressão algébrica que possuiruma igualdade em sua composição 
será chamada de equação. Observe alguns exemplos:
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
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cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
1) x + 2 = 7
2) 12x2 + 16y + 4ab = 7
3) 1:x = 3
A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a 
igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns 
números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental 
ao procurar os resultados de uma equação.
Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x?
Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como 
resultado. Observe que é possível pensar em um resultado “de cabeça” ou 
pensar em uma estratégia para resolver essa equação. A estratégia pode 
ser obtida da seguinte maneira: Se x é um número que, subtraído de 14, 
resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. Desse modo, 
podemos escrever a seguinte linha de raciocínio:
x – 14 = 8
x = 8 + 14
x = 22
Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado.
Grau de uma equação
O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas 
que ela possui. Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior 
expoente das suas incógnitas é 1. Uma equação possui grau 2 quando o 
maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por diante. O grau 
também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por 
exemplo: a equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui 
um produto entre duas incógnitas de expoente 1.21
O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. 
Desse modo, uma equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor 
possível para a incógnita); uma equação de grau 2 possui dois resultados 
e assim sucessivamente.
Solução de equações
Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do 
pensamento acima. Repare que, observando as duas equações (x – 14 = 
8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o número 14 trocou de lado da 
igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de negativo para 
positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão 
listadas a seguir:
Regra 1 – Do lado direito da igualdade, só permanecem números que 
não possuem incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem;
Regra 2 – Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é 
necessário trocar o sinal deles;
Regra 3 – Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. 
Lembre-se de que os números que possuem incógnita podem ser 
somados se a incógnita for a mesma. Para isso, some apenas o número 
que as acompanha.
Regra 4 – Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a 
acompanha deverá ser passado para o lado direito da equação dividindo 
os seus componentes.
Regra 5 – Se for necessário trocar de lado um número que está no 
denominador de uma fração, ele deverá passar para o outro lado 
multiplicando.
Exemplos
1) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8?
Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte 
linha de raciocínio:
22
4x + 4 = 2x – 8
4x – 2x = – 8 – 4
Agora, realize a terceira regra para obter:
2x = – 12
Por fim, realize a regra 4:
2x = – 12
x = –12
 2
x = – 6
Portanto, o valor de x é – 6.
2) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais 
são esses dois números?
Solução: Observe que os números são desconhecidos, mas são 
consecutivos. Ser consecutivo significa que o segundo é uma unidade 
maior que o primeiro. Por exemplo, 1 e 2 são consecutivos porque 2 é 
uma unidade maior que 1. Se os números consecutivos são 
desconhecidos, representaremos eles por uma letra (no caso x) e 
somaremos 1 ao primeiro para obter o segundo. Além disso, sabendo que 
a soma entre os dois tem 11 como resultado, podemos escrever:
x + (x + 1) = 11
x + x + 1 = 11
Pelas regras 1 e 2, obtenha:
23
x + x = 11 – 1
Pela regra 3, observe o resultado:
2x = 10
Utilizando a regra 4, obtenha:
2x = 10
x = 10
 2
x = 5
Como x representava o primeiro número, então os números consecutivos 
cuja soma tem 11 como resultado são 5 e 6.
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A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é 
utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices 
inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre 
outros. No campo da Estatística, possui participação ativa na 
apresentação de dados comparativos e organizacionais.
Os números percentuais possuem representações na forma de fração 
centesimal (denominador igual a 100) e, quando escritos de maneira 
formal, devem aparecer na presença do símbolo de porcentagem (%). 
Também podem ser escritos na forma de número decimal. Observe os 
números a seguir, que serão demonstrados por meio das três formas 
possíveis:
PORCENTAGEM
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cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Porcentagem
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é 
com a utilização de exemplos que envolvem situações cotidianas. 
Acompanhe os exemplos a seguir:
Exemplos de aplicação da Porcentagem
1º) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e 
iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja 
oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual é o preço da 
mercadoria na compra à vista?
Solução:
Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal 
correspondente:
12% = 12/100 = 0,12
Razão centesimal
12/100 x 900 = 12x900/100 = 1080/100 = 10800/100 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
Número decimal
 
0,12 x 900 = 108 reais
900 – 108 = 792 reais
A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois 
métodos chegam ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do 
exemplo 1, o desconto no pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto, o 
preço é de R$ 792,00.
26
2º) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do 
trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por 
lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% 
do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo 
funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine o 
valor do depósito efetuado pelo empregador sabendo que o salário 
bruto do funcionário era R$ 1.200,00.
Solução:
8% = 8/100 = 0,08
Razão centesimal
8/100 x 1200 = 8x1200 / 100 = 9600 / 100 = 96 reais
Número decimal
0,08 x 1200 = 96 reais
O depósito efetuado foi de R$ 96,00.
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, 
valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia 
paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro 
utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros 
simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos 
a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos 
entender como ele funciona.
Juros simples: como calcular
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no 
valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no 
período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações 
envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C * i * t
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
M = C + J
M = montante final
C = capital
J = juros
JUROS SIMPLES
28cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos 
foram iguais a R$ 1.800,00.
Exemplo 1
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, 
aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 
meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240
29
Exemplo 3
Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa 
de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
J = C * i * t
2688 = C * 0,06 * 14
2688 = C * 0,84
C = 2688 / 0,84
C = 3200
O valor do capital é de R$ 3.200,00.
Exemplo 4
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 
3.000,00 de juros em 45 dias?
J = 3000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 45 dias = 45/30 = 1,5
J = C * i * t
3000 = C * 0,015 * 1,5
3000 = C * 0,0225
C = 3000 / 0,0225
C = 133.333,33
O capital é de R$ 133.333,33.
Exemplo 5
Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, 
rendeu R$ 90,00 em um trimestre?
J = C * i * t
90 = C * 0,02 * 3
90 = C * 0,0630
C = 90 / 0,06
C = 1500
O capital corresponde a R$ 1.500,00.
Exemplo 6
Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma 
taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?
M = C * [1 + (i *t)]
2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50
31
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por 
duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o 
exemplo: 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que 
satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema pode ser feita 
através de dois métodos resolutivos: adição e substituição. 
Método da Adição 
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no 
intuito de obter resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
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SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Método da Substituição 
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e 
substituir o valor isolado na outra equação. Observe: 
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a 
configuração do sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da 
adição ou o método da substituição. 
A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par 
ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um 
sistema de duas equações possui duas retas representadas no plano e a 
intersecção dessas retas é a solução geométrica do sistema. 
Concluímos que a solução de um sistema pode ser apresentada de duas 
formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica (graficamente). 
33
Em Matemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e 
operações numéricas que possuem pelo menos um número desconhecido, 
chamado de incógnita. As expressões algébricas que possuem uma 
incógnita no denominador são chamadas de frações algébricas.
Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de 
fração, possua uma letra no denominador é uma fração algébrica. Como 
ela é formada por números (alguns conhecidos, outros não), valem as 
propriedades das operações de números reais para elas. 
Multiplicação de fração algébrica
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da 
multiplicação de frações: multiplique numerador por numerador e 
denominador por denominador. De forma prática, multiplique 
primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico e parta para 
a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das 
propriedades de potência.
Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um 
fator, não devem ser multiplicadas entre si, mas apenas repetidas.
Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e 
incógnitas nas frações acima, portanto: 4xy = 4·x·y.
Divisão de fração algébrica
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para 
realizá-la, multiplique a primeira fração algébrica pelo inverso da Segunda. 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
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Observe:
Adição e subtração de fração algébrica
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para 
representar as operações de soma e subtração, pois elas são realizadas 
da mesma maneira, levando em conta as regras de sinais para números 
inteiros, que também valem para os números reais.
A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser 
realizada do mesmo modo que a adição de frações numéricas.
1º caso: Quando os denominadores são iguais
Se os denominadores forem iguais, realize a operação indicada (soma ou 
subtração) apenas com os numeradores e repita o denominador no 
resultado:
2º caso: Quando os denominadores são diferentes
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é 
igual ao da soma de frações com denominadores diferentes:
1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações 
algébricas, eles podem ser monômios ou polinômios. Clique aqui para 
aprender a calcular o MMC dessas expressões;
2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como 
denominador das frações e encontrar os respectivos numeradores da 
seguinte maneira:
35
- Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o 
resultado por seu numerador;
- Repetir o último procedimento para todas as frações.
Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores 
diferentes a seguir
O MMC entre 3y e 2y2 é 6y2, logo:
Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da 
primeira fração e multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso dará o 
numerador para a primeira lacuna. Para a segunda, repita o procedimento 
com a segunda fração.
Simplificação de fração algébrica
A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de fatores iguais 
no numerador e no denominador. Muitas vezes, esses fatores não estão 
explícitos e precisam de algum cálculo para evidenciá-los. Observe o 
exemplo a seguir:
Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no 
denominador. Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo 
que x·x) e, no denominador, existe apenas um x. Pois bem, é possível 
simplificar apenas um x do numerador e um x do denominador. O 36
mesmo ocorre com k, resultando em:
A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda podemos 
simplificar a fração formada apenas pelos coeficientes por 8. O resultado 
final será:
37
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua 
composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. 
As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. Veja:
2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa 
equação é classificada como do 1º grau.
2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas 
possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
x³ – x² + 2x – 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior 
expoente – no caso, expoente 3 – torna a equação como do 3º grau.
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau?
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. 
Trabalharemos a formade resolução de uma equação do 2º grau por 
meio do método de "Bhaskara". 
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que 
descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que 
satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau 
x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, 
pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
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Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como 
podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença 
verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que 
abordaremos a seguir.
Método de Bhaskara
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da 
seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0.
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c 
= 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da 
equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Na fórmula de Bhaskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja:
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)
∆ = b² – 4 * a * c
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3)
∆ = 4 + 12
∆ = 16
2º passo:
39
x = – b ± √∆
 2∙a
x = –(– 2) ± √16
 2∙1
x = 2 ± 4
 2
x' = 2 + 4 = 6 = 3
 2 2
x'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
2 2
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1.
40
As unidades de medida são representações das grandezas físicas 
utilizadas em diversas áreas do conhecimento com o intuito de 
quantificar uma matéria, uma sensação, o tempo ou o tamanho de algo, 
por exemplo.
Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão 
determinado pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). A partir da 
unidade padrão estabelecida pelo Sistema Internacional, podemos ainda 
utilizar outras unidades derivadas dela, o que permite compararmos e 
ampliarmos a noção quantitativa da grandeza.
O Sistema Internacional adota a unidade Kelvin, por exemplo, como 
padrão para a grandeza temperatura. Essa unidade é muito utilizada em 
experimentos laboratoriais, mas, no dia a dia, a maioria dos países utiliza 
a unidade graus Celsius, que é derivada da unidade Kevin.
Na Química, as unidades de medida mais utilizadas são:
Unidades de massa
As unidades mais utilizadas para o trabalho com a massa de uma matéria 
são:
Tonelada (t);
Quilograma (kg): é a unidade de massa padrão segundo o Sistema 
Internacional
Grama (g);
Miligrama (mg).
Para converter uma unidade em outra, basta seguir estas relações:
SISTEMAS DE MEDIDAS
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1 t = 1000 Kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
Relação entre as unidades de massa
Como podemos observar, uma unidade de massa é sempre 1000 vezes 
maior que a outra. Veja alguns exemplos:
- Transforme 2,5 kg em gramas
Como 1 kg equivale a 1000 gramas, podemos montar a seguinte regra de 
três:
1 kg --------- 1000 g
2,5 Kg---------- x 
x . 1 = 2,5.1000
x = 2500 g
- Transforme 4 mg em kg
Como 1 kg equivale a 1000000 de mg (resultado da multiplicação 1000 
x1000 da diferença entre a unidade kg e a mg), podemos montar a 
seguinte regra de três:
1 kg --------- 1000000 mg
x---------- 4 mg 
1000000.x = 4.1
x = 4 
 1000000042
x = 0,000004 Kg
Unidades de volume
Metro cúbico (m3): é a unidade de volume padrão segundo o Sistema 
Internacional;
Litro (L) ou decímetro cúbico (dm3);
Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3).
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações:
1 m3 = 1000 L
1L = 1 dm3
1L = 1000 mL
1dm3 = 1000 cm3
1cm3 = 1mL
Relação entre as unidades de volume
Relação entre as unidades de volume
Como podemos acompanhar no esquema acima, uma unidade de 
volume é sempre 1000 vezes maior que a outra. Quando comparamos 
a unidade maior (m3) com a unidade menor (mL ou cm3), a diferença é 
de 1000000 de vezes.
Veja um exemplo:
- Transforme 4,5 m3 em dm3
Como 1 m3 equivale a 1000 dm3, podemos montar a seguinte regra de 
três:
1m3 --------- 1000 dm3
4,5 m3---------- x 
43
Unidades de comprimento
As unidades mais utilizadas para o trabalho com comprimento são:
Quilômetro (km);
Metro (m): é a unidade de comprimento padrão segundo o 
Sistema Internacional;
Centímetro (cm);
Decímetro (dm);
Milímetro (mm).
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações:
1 km = 1000 m
1 m = 100 cm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm
Veja alguns exemplos:
- Transforme 5 km em dm
Analisando o esquema, a diferença entre km e dm é da ordem de 100000, 
assim, basta montar a seguinte regra de três:
1 Km --------- 100000 dm
5 Km ---------- x 
x.1 = 5.100000
44
x = 500000 dm
- Transforme 500 mm em cm
Como 1 cm equivale a 10 mm, basta utilizar a seguinte regra de três:
1 cm --------- 10 mm
x ---------- 500 mm
x.10 = 500.1
x = 500 
 10
x = 50 cm
Unidades de tempo
Hora (h);
Minuto (min);
Segundo (s): é a unidade padrão de tempo estabelecida pelo Sistema 
Internacional.
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações:
1h = 60 min
1 min = 60 s
Veja alguns exemplos:
- Transforme 6 h em segundos
Como 1 hora equivale a 3600 segundos (resultado da multiplicação 60x60 45
da diferença entre horas e segundos), basta montar a seguinte regra de 
três:
1 h --------- 3600 s
6h ---------- x 
x.1 = 6.3600
x = 21600 s
- Transforme 600 s em minutos
Como 1 minuto equivale a 60 s, basta utilizar a seguinte regra de três:
1 min --------- 60 s
x ---------- 600 s
x.60 = 600
x = 600
x = 600
 60
x = 10 min
46
Ponto, reta e plano
Ponto, reta, plano e espaço são as noções primitivas da Geometria. 
Esses objetos não possuem definição, mas precisam existir para dar 
base para as definições geométricas. Embora não seja possível definir 
esses objetos, é possível discutir suas características, propriedades e 
suas utilidades para a Geometria.
Ponto
O ponto não possui forma nem dimensão. Isso significa que o ponto é 
um objeto adimensional. Um dos usos mais importantes do ponto 
refere-se à localização geográfica. Os pontos são os objetos que 
melhor representam as localizações porque oferecem precisão. Se, no 
lugar de ponto, usássemos um quadrado, em que lugar do quadrado 
estaria a localização precisamente?
Reta
As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são 
infinitas para as duas direções. Como esses pontos não estão no 
mesmo lugar, é possível medir a distância entre eles. Entretanto, como 
os pontos continuam não tendo dimensão ou forma, não é possível 
medir sua largura. Sendo assim, dizemos que a reta possui apenas uma 
dimensão ou que é unidimensional.
A figura a seguir mostra a tentativa de desenhar um quadrado sobre 
uma reta. Note que a maior parte do quadrado “não cabe” na reta. Por 
essa razão, é necessário definir um novo local onde ele possa ser 
desenhado.
GEOMETRIA PLANA
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Plano
O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é um 
conjunto de pontos. O objeto formado por esse alinhamento de retasé 
uma superfície plana que não faz curva e infinita para todas as direções.
Em um plano, é possível desenhar figuras que, além de comprimento, 
possuem largura. A figura abaixo mostra um cubo sobre um plano. Note 
que a base do cubo, que é um quadrado e possui duas dimensões, encaixa-
se perfeitamente no plano. Todavia, a profundidade desse sólido não é 
contemplada.
está com dúvida?
fala comigo!
estamos juntos nessa jornada, pode
falar comigo sempre que precisar:
https://m.me/guiadovestibulinho
Na Geometria, as retas são definidas apenas como conjuntos de pontos. 
Sabemos, além disso, que as retas são linhas que não fazem curvas e que 
são ilimitadas e infinitas. Desse modo, as retas possuem infinitos pontos e 
nenhum espaço entre eles.
As retas são objetos que possuem uma dimensão apenas, assim, só é 
possível tomar uma medida em qualquer objeto que esteja definido dentro 
de uma reta: o comprimento.
As retas normalmente são representadas por uma linha finita que, às vezes, 
possui setas em suas pontas para indicar a sua direção.
Semirretas
As semirretas podem ser encontradas “dentro” de uma reta. Elas possuem 
um ponto inicial, mas não possuem ponto final. É como se, em algum ponto 
de sua extensão, a reta sofresse um corte. A notação usada para as 
semirretas é a SAB, em que A é o ponto inicial e B é a direção para onde a 
semirreta segue.
É evidente que as semirretas também são unidimensionais e possuem 
infinitos pontos.
NOÇÕES DE RETAS
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Segmento de reta
Um segmento de reta é a parte de uma reta que pode ser medida. Isso 
significa que, embora possua infinitos pontos, não é ilimitado. Assim, um 
segmento de reta é uma parte da reta que possui ponto inicial e ponto 
final. Supondo que esses pontos sejam A e B, o segmento de reta será 
representado geometricamente da seguinte maneira:
Esses pontos são chamados de extremidades do segmento de reta, que é 
denotado apenas por AB.
Classificação das retas
Retas concorrentes
Dizemos que duas retas são concorrentes quando elas possuem apenas 
um ponto em comum. Isso significa que existe um ângulo entre essas 
duas retas justamente no ponto de encontro entre elas. Quando esse 
ângulo é de 90°, essas retas também são chamadas de perpendiculares.
Retas paralelas
Duas ou mais retas são ditas paralelas quando não existe ponto de 
encontro entre elas. Assim, elas não formam ângulo nem se encontram 
em qualquer parte de sua extensão infinita.
Retas coincidentes
São retas que possuem pelo menos dois pontos em comum. Como reta 
alguma faz curva, se duas retas possuem dois pontos em comum, elas 
possuem todos os pontos em comum. O resultado disso é visto 50
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de 
mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a 
origem delas, de vértice do ângulo.
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema 
internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus 
submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, 
podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).
Classificação de ângulos 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:
Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.
NOÇÕES DE ÂNGULOS
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina 
no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com 
medidas iguais.
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g Congruentes
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g 
Suplementares
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f 
Suplementares
Agudo Reto Obtuso Raso
52
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram 
duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três 
ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da 
medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
- A, B e C são os vértices. 
- Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices 
(pontos de encontros): AB, BC AC segmentos de retas. 
Tipos de triângulos 
O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados 
iguais. 
TRIÂNGULOS
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Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que 
seus ângulos serão de 60°. 
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.
54
Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por 
quatro lados. Em outras palavras, essa definição implica as seguintes 
características:
Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não existem 
pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de espaço);
São formados por segmentos de reta que se encontram em suas 
extremidades, por isso, são figuras fechadas;
Possuem três classificações básicas:
- Outros: Não possuem lados paralelos;
- Trapézios: Possuem um par de lados paralelos;
- Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos.
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando 
se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto em comum 
não podem ser paralelos justamente por possuírem ponto em comum.
Paralelogramos
Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um 
quadrilátero e que seus lados opostos sejam paralelos. Essa definição 
implica uma série de resultados, chamados aqui de propriedades. Elas são 
válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir:
1 – ângulos opostos são congruentes;
QUADRILÁTEROS
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2 – ângulos não opostos são suplementares;
3 – Lados opostos são congruentes;
4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio.
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos 
paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo.
A seguir discutiremos propriedades de alguns paralelogramos específicos.
Retângulos
Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado 
direto disso é que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta 
considerar qualquer um de seus lados como uma reta transversal e 
observar que ela corta outros dois lados formando o mesmo ângulo: 90°.
Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem 
todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as 
quatro propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da seguinte:
Todo retângulo possui diagonais congruentes.
O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um 
paralelogramo possui diagonais congruentes, então ele é um retângulo.
56
Losangos
Os losangos são paralelogramosque possuem os quatro lados 
congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem 
todo paralelogramo é um losango.
Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, 
além da seguinte:
As diagonais de um losango formam um ângulo reto.
Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é 
um losango.
Quadrado
Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, 
além disso, possui ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao 
mesmo tempo, um losango e um retângulo. Entretanto, nem todo losango 
é quadrado e nem todo retângulo é quadrado.
A propriedade específica do quadrado é a seguinte:
As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes.
Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto 
e que são congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado.57
Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos 
para o losango e para o retângulo.
Trapézios
São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos 
paralelos.
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não são 
paralelogramos, por isso, as propriedades dos paralelogramos não são 
válidas para os trapézios.
Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios 
retângulos e os trapézios isósceles.
A primeira classe diz respeito àqueles que não são retângulos nem 
isósceles. Já os trapézios retângulos:
Trapézios retângulos
São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°.
Trapézios isósceles
São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a 
mesma medida (são congruentes).
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito 
58
As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes:
1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais;
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes.
em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva uma reta 
paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o resultado é outro 
triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio isósceles.
59
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para 
determinar as medidas de alguma figura.
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica.
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura.
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base 
(b) pela altura (h). Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que 
formam a figura, chamados de lados (l).
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. 
Assim, se vamos encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as 
medidas dos três lados. Se a figura for um quadrado somamos as medidas 
dos quatro lados.
Quadrado
O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa 
figura plana.
Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados 
com as mesmas medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por 
quatro ângulos retos (90°).
O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula:
P = L + L + L + L
ou
P = 4xL
ÁREAS E PERÍMETROS
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Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a 
área do quadrado é calculada pela fórmula:
A = L² = LxL
Retângulo
Muito comum haver confusão entre os conceitos de área e perímetro. No 
entanto, eles apresentam diferenças:
Área: valor da superfície retangular, sendo calculado pela multiplicação 
entre a altura (h) e a base (b) do retângulo. É expresso pela formula: 
A=b.h.
Perímetro: valor encontrado quando se soma os quatro lados da figura. 
É expresso pela fórmula: 2(b + h). Assim, ele corresponde a soma de duas 
vezes a base e a altura (2b + 2h).
Triângulo
A área de um triângulo corresponde a metade do produto da medida de 
sua altura pela medida de sua base. É representada pela fórmula:
Onde,
A: área do triângulo
b: base
h: altura
61
O perímetro do triângulo corresponde a soma de todos os lados dessa 
figura plana. Lembre-se que o triângulo é um polígono (figura plana e 
fechada) que possui três lados. Assim, para calcular o perímetro do 
triângulo basta somar as medidas de seus lados.
Losango
Para calcular a área do losango é necessário traçar duas diagonais. Dessa 
forma tem-se 4 triângulos retângulos (com ângulo reto de 90º) iguais.
Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4 
triângulos retângulos ou 2 retângulos.
Assim, a fórmula para encontrar a área do losango é representada da 
seguinte maneira:
Sendo A, a área do losango, D1 a diagonal maior e D2 a diagonal maior.
E nesse caso, o perímetro de um losango será a soma de seus lados. Se for 
um losango regular, ou seja, que possui todos os lados iguais, a fórmula 
será:
P = 4xl
D1
D2
l l
ll
62
Paralelogramo
Para calcular a medida da área do paralelogramo multiplica-se o valor do 
lado (a) pelo lado (b). Logo, a fórmula é:
A = a.b
O perímetro de uma figura plana, diferente de sua área, corresponde a 
soma de todas as medidas dos lados. Portanto, no caso do paralelogramo 
o perímetro é dado pela fórmula:
P = 2 (a+b)
63
POLIEDROS
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As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos 
geométricos, que são divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos 
abordar as definições e propriedades dos poliedros.
Poliedros são sólidos geométricas formadas por três elementos básicos: 
vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando 
suas faces são polígonos regulares e congruentes.
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros 
de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, 
todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se 
enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são:
64
Relação de Euler
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema 
importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de 
qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa 
relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o 
número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a 
seguinte:
V – A + F = 2
Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = 
número de faces.
1º Exemplo:
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 
6 vértices.
Resolução:
V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6
O sólido possui, portanto, 6 faces.
2º Exemplo:
Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:
65
Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 
faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é 
válida para determinar esses elementos da pirâmide de base 
quadrangular.
Resolução:
Vértices
V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2
V = 2 + 3
V = 5
Arestas
V – A + F = 2
5 – A + 5 = 2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A = 8
66
Faces
V – A + F = 2
5 – 8 + F = 2
–3 + F = 2
F = 2 + 3
F = 5
Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na 
determinação dos elementos de um sólido convexo.
3º Exemplo:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao 
número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número 
de faces desse poliedro.
Resolução:
Considerandoque o número de faces é igual ao número de vértices, 
podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa 
forma, F = x e V = x.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
x – 22 + x = 2
2x = 2 + 22
2x = 24
x = 12
Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.
67
Prisma é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional. Para 
sua definição, são necessários um plano, um polígono paralelo ao plano e 
uma reta r concorrente a ele. O conjunto de segmentos de reta paralelos 
a r que tem como extremidades o polígono e o plano forma o sólido que 
conhecemos como prisma.
Elementos do prisma
Observe a figura a seguir, na qual são destacados os elementos de um 
prisma. Observe que o polígono é a figura ABDG.
Bases
A figura formada no plano é congruente ao polígono ABDG. Essas duas 
figuras são chamadas de bases do prisma.
Faces laterais
As faces laterais de um prisma são os polígonos que não são bases. Um 
exemplo na imagem acima é o polígono ABCE. Note que as faces laterais 
PRISMAS
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68
de um prisma sempre são quadriláteros. Note também que, em razão de 
os segmentos de reta que partem de ABDG até o plano � serem 
paralelos e pelo fato de o próprio polígono ser paralelo ao plano, as 
faces laterais do prisma são paralelogramos.
Faces
São os polígonos que limitam o prisma: as bases e as faces laterais.
Arestas
São os segmentos de reta formados pelo encontro entre duas faces. No 
prisma da imagem acima, são exemplos de arestas os segmentos AB, AD, 
DF etc.
Vértices
São os pontos de encontro entre duas arestas. Na figura acima, os 
pontos A, B, … G, H.
Diagonal
É o segmento de reta cujas extremidades são dois vértices, mas que não 
pertence a uma face. Por exemplo: AF, BF e DE.
Classificação dos prismas
Um prisma pode ser classificado quanto ao número de lados de suas 
bases. Assim, se a base de um prisma for um triângulo, ele será chamado 
de prisma triangular. Se a sua base for um quadrilátero, ele será chamado 
de prisma quadrangular. Se a sua base for um pentágono, prisma 
pentagonal e assim por diante.
Um prisma também pode ser classificado a partir da inclinação de suas 
arestas:
69
À esquerda, um exemplo de prisma reto; à direita, um exemplo de 
prisma oblíquo
Prisma reto
As arestas laterais são perpendiculares à base. Como só existirão 
ângulos retos em suas faces laterais, elas serão sempre retângulos em 
um prisma reto.
Observe que não adianta formar um único ângulo reto com a base, é 
preciso que a aresta lateral seja perpendicular a ela.
Prisma oblíquo
As arestas laterais não são perpendiculares à base.
Além disso, um prisma que possui polígonos regulares nas suas bases é 
chamado de prisma regular.
Paralelepípedos
Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é 
chamado de paralelepípedo. Os paralelepípedos podem ser classificados 
em oblíquos ou retos, da mesma maneira que os prismas comuns. Esse 
último também é chamado de paralelepípedo reto-retângulo ou bloco.
70
Circunferência e Círculo
É muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora 
utilizamos esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença.
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou 
disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa 
sua área interna.
Raio e Diâmetro da Circunferência
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro 
da figura a qualquer ponto localizado em sua extremidade.
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo 
centro da figura, dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro 
equivale duas vezes o raio (2r).
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
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Perímetro da Circunferência
No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do 
contorno da figura, sendo representado pela expressão:
Comprimento da Circunferência
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu 
perímetro. Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu 
comprimento.
Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma 
fórmula do perímetro:
C = 2 π . r
Onde,
C: comprimento
π: constante Pi (3,14)
r: raio
Área da Circunferência
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No 
caso da circunferência, a fórmula da área é:
72
ESFERAS
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A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um 
eixo. Podemos considerar que a esfera é um sólido.
Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a 
superfície esférica destacamos os seguintes elementos básicos:
Ÿ Pólos
Ÿ Equador
Ÿ Paralelo
Ÿ Meridiano
73
Área de uma superfície esférica
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:
A=4πR²
Volume da esfera 
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume 
representado pela seguinte equação:
V=(4πR³)/3.
74
Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O 
volume corresponde à “capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns 
sólidos geométricos, é possível preenchê-lo com algum material, como a 
água? Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume 
para cada objeto pensado. Se por acaso é impossível preencher a figura 
que você imaginou, é porque, provavelmente, ela é uma figura plana 
bidimensional, como um quadrado, um triângulo ou um círculo. Vejamos 
então algumas fórmulas para o cálculo de volume de sólidos:
Volume de um prisma qualquer
O volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a 
área da base pela altura
Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base 
superior. Essas bases são paralelas e congruentes, isto é, possuem as 
mesmas formas e dimensões, e não se interceptam. Para determinarmos 
o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área de sua base para, 
em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim:
V = (área da base) . altura
Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada 
VOLUME DE SÓLIDOS
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75
por:
V = a . b . c
Já a área do prisma de base triangular é dada por:
V = a . b . c
 2
Volume de um cilindro
O volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela 
altura
Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, 
multiplicamos a área da base pela altura. Podemos definir novamente:
V = (área da base) . altura
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = π . r². a
76
Volume de um cone
O volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por 
um terço da altura
O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao 
calcularmos o volume do cone, nós multiplicamos a área da base por um 
terço da sua altura. Podemos definir:
V = (área da base) . 1/3 altura
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = π . r². a
 3
77
Volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide é calculado através do produto da área da 
base por um terço da altura
A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para 
calcular o volume dapirâmide, multiplicamos a área da base por um terço 
da sua altura. Definimos novamente:
V = (área da base) . 1/3 altura
Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como:
V = b. c . a
 2 3
V = b . c . a
 6
78
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da 
Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. 
Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela 
existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo 
é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior 
segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe:
O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é 
igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
Exemplos:
1º) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a 
seguir.
TEOREMA DE PITÁGORAS
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x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
A descoberta dos números irracionais
Foi por meio do Teorema de Pitágoras que os números irracionais 
começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a 
surgir foi √2, que apareceu no cálculo da hipotenusa de um triângulo 
retângulo com catetos medindo 1. Veja:
x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2
√2 = 1,414213562373....
2º) Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
80
x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15
81
Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que 
relaciona as medidas dos segmentos de reta formados por um feixe de 
retas paralelas cortado por retas transversais. Antes de falar do teorema 
em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas paralelas, retas 
transversais e uma de suas propriedades:
Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto 
em comum. Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, 
dizemos que elas formam um feixe de retas paralelas. As retas transversais 
são aquelas que “cortam” as retas paralelas.
Suponha que um feixe de retas paralelas forme segmentos de reta 
congruentes sobre uma reta transversal qualquer. Nessa hipótese, ele 
também forma segmentos congruentes em qualquer outra reta 
transversal.
A imagem a seguir mostra um feixe de retas paralelas, duas retas 
transversais e as medidas dos segmentos de reta formados por elas.
Teorema de Tales
Os segmentos de reta formados sobre retas transversais a um feixe de 
retas paralelas são proporcionais.
Isso significa que é possível que as divisões entre os comprimentos de 
TEOREMA DE TALES
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alguns segmentos formados nessas circunstâncias tenham o mesmo 
resultado.
Para compreender melhor o teorema enunciado, observe a imagem a 
seguir:
O que o teorema de Tales garante a respeito dos segmentos formados 
sobre as retas transversais é a seguinte igualdade:
JK = ON
KL NM
Note que a divisão foi feita, nesse caso, de cima para baixo. Os segmentos 
superiores nas retas transversais aparecem no numerador. O teorema 
também garante outras possibilidades. Veja:
 KL = NM
JK ON
Outras variações podem ser obtidas pela troca das razões de membro ou 
pela aplicação da propriedade fundamental das proporções (o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos).
Outras possibilidades de proporcionalidade pelo teorema de tales são:
 JK = KL
ON NM
ON = NM
JK KL
JK = ON
JL OM83
KL = NM
JL OM
Tanto esse teorema quanto essa propriedade são usados para descobrir a 
medida de um dos segmentos quando se conhece a medida dos outros 
três ou quando se conhece a razão de proporcionalidade entre dois 
segmentos. O mais importante para resolver exercícios que envolvem o 
teorema de Tales é respeitar a ordem em que os segmentos de reta são 
colocados nas frações.
Exemplos:
No feixe de retas paralelas a seguir, vamos determinar a medida do 
segmento NM.
Solução:
Seja x o comprimento do segmento NM, vamos mostrar a 
proporcionalidade entre os segmentos e utilizar a propriedade 
fundamental das proporções para resolver a equação:
2 = 4
8 x
2x = 32
x = 32
 2
84
x = 16 cm.
Note que 8 = 2x4 e que 16 também é igual a 2x4. Isso acontece porque, 
na configuração utilizada, a razão de proporcionalidade é 1/4. Note 
também que qualquer uma das razões expostas acima poderia ter sido 
utilizada para resolver esse problema e o resultado seria o mesmo.
85
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
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Quando comparamos duas figuras geralmente queremos saber quais as 
semelhanças existentes entre elas. Algumas vezes elas são iguais, algumas 
vezes são apenas parecidas e também existem os casos em que as figuras 
comparadas são completamente diferentes. Na matemática, 
frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados 
possíveis são: Figuras congruentes, figuras semelhantes e figuras 
diferentes. A seguir, discutiremos a semelhança entre polígonos e os 
casos de semelhança entre triângulos.
Dois polígonos são semelhantes quando existe proporcionalidade entre 
seus lados e seus ângulos correspondentes são todos iguais. Existir uma 
razão de proporcionalidade quer dizer que se dividirmos a medida de um 
lado da primeira figura pelo valor de um lado da segunda figura e o 
resultado for, por exemplo, o número 3, então todas as divisões entre 
medidas de lados da primeira figura por medidas dos lados da segunda 
figura terão 3 como resultado.
Isso ocorre no caso dos hexágonos da imagem acima. Repare que a 
divisão de qualquer lado do primeiro hexágono por qualquer lado do 
segundo tem 3 como resultado. 86
Para que dois polígonos sejam semelhantes, deve existir 
proporcionalidade entre seus lados correspondentes, além de ângulos 
correspondentes congruentes.
Voltando ao exemplo dos hexágonos acima, observe que a razão entre 
lados correspondentes é sempre 3:
AB = BC = CD = DE = EF = FA = 3
GH HI IJ JK KL LG
Para mostrar que eles são semelhantes, falta apenas mostrar que seus 
ângulos correspondentes são congruentes. Nesse caso são, por terem 
sido construídos como polígonos regulares.
Para os triângulos a regra é a mesma. Dois triângulos são semelhantes 
caso três ângulos correspondentes sejam congruentes e 3 lados 
correspondentes possuam a mesma razão de proporcionalidade.
--
Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma 
mais simples. Basta observar se eles se enquadram em um dos casos de 
semelhança de triângulos a seguir:
Caso Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se 
possuírem dois ângulos correspondentes congruentes.
87
Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma 
proporcionalidade entre os lados. Basta que dois ângulos sejam 
congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados semelhantes.:
Caso Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados 
proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não 
é necessário verificar os ângulos.
Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes 
têm o mesmo resultado:
AB = BC = CA = 1
DE EF FD 2
Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são 
semelhantes.
Caso Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuemdois 
lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. 
Observe este caso de semelhança no exemplo:
88
AB = CA = 1
DE FD 2
Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. 
Configurando assim o caso LAL.
Exercício resolvido
Observe a figura abaixo
Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo 
instante em que uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. 
Pode-se afirmar que a altura do prédio vale
a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m
Resolução
Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar 
formam um triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo 
89
formado pela pessoa, sua sombra e o raio solar.
Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o 
prédio e o solo e a pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados 
na figura abaixo, são semelhantes (dois ângulos iguais).
Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte 
proporção:
Alternativa: a) 27 m
90
O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas 
retas numéricas perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um 
ponto em comum, formando um ângulo de 90°. Esse ponto comum é 
conhecido como origem e é nele que é marcado o número zero de ambas 
as retas. O plano cartesiano recebeu esse nome por ter sido idealizado 
por René Descartes e é usado fundamentalmente para sistematizar 
técnicas de localização no plano.
Retas numéricas: abcissa e ordenada
As duas retas que dão origem ao plano cartesiano precisam ser retas 
numéricas, pois essa é a condição que tornará possível encontrar 
localizações de pontos quaisquer no plano. Essa localização é a base 
fundamental de muitos conhecimentos comuns no cotidiano, como 
distância entre pontos.
Uma reta numérica é uma reta comum em que foi estabelecida uma 
correspondência com os números reais. Desse modo, cada ponto da reta 
está ligado a um único número real e é esse fato que permite qualquer 
localização. Um número real qualquer terá apenas uma localização em 
toda a extensão infinita da reta.
O plano cartesiano é formado por duas dessas retas: Uma responsável 
pela coordenada horizontal e outra responsável pela coordenada vertical. 
É comum usar as letras x para a primeira e y para a segunda e os termos 
“coordenada x” e “coordenada y”.
No plano cartesiano, a reta vertical responsável pelas coordenadas y é 
chamada de ordenada, e a reta horizontal, responsável pelas coordenadas 
x, é chamada de abcissa.
PLANO CARTESIANO
91
cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
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Pares ordenados e localizações no plano
Um par ordenado é formado por dois números reais que representam 
uma coordenada. A ordem escolhida é a seguinte: Primeiro vêm as 
coordenadas x e, depois, as coordenadas y, que são colocadas entre 
parênteses para representar uma localização qualquer. Por exemplo, 
observe a imagem a seguir:
Perceba que o ponto A possui coordenadas x = 2 e y = 3. Caso seja dado 
um ponto para que sua localização seja marcada no plano, como o ponto 
B = (3, -3), devemos primeiro traçar uma linha vertical sobre o número 3 
no eixo das abcissas (coordenadas x). Isso acontece porque a primeira 
coordenada sempre é a coordenada x. Posteriormente, desenhamos uma 
linha horizontal sobre o número – 3 no eixo das ordenadas (coordenadas 
y):
92
Quadrantes
Por ser formado por duas retas numéricas, existem algumas 
particularidades do plano cartesiano. Pontos mais à direita possuem 
coordenada x maior que pontos mais à esquerda. Pontos mais para cima 
possuem coordenada y maior que números mais para baixo.
Além disso, a região onde x e y são positivos simultaneamente é chamada 
de primeiro quadrante. A região onde y é positivo e x é negativo é 
conhecida como segundo quadrante. Já a região onde x e y são negativos 
simultaneamente é chamada de terceiro quadrante. Por fim, quando x é 
positivo e y é negativo, os pontos estão localizados no quarto quadrante.
Esses quadrantes são numerados em sentido anti-horário, partindo do 
primeiro quadrante, que fica à direta do eixo y e acima do eixo x, como 
mostra a figura a seguir:
93
Razão trigonométrica – também chamada de relação trigonométrica – é, 
grosso modo, o resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um 
triângulo retângulo. As razões trigonométricas são capazes de relacionar 
os lados com os ângulos de um triângulo retângulo. Se não fosse por elas, 
só seria possível construir o que conhecemos como relações métricas.
Antes de definir as razões trigonométricas, é importante conhecer a 
nomenclatura dos lados de um triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo qualquer, o lado oposto ao ângulo reto – que é 
o maior lado do triângulo – recebe o nome de hipotenusa. Os outros dois 
recebem o nome de catetos.
Além disso, fixando o ângulo agudo � de um triângulo retângulo qualquer, 
o lado oposto a esse ângulo recebe o nome de cateto oposto, e o lado 
que toca esse ângulo é chamado de cateto adjacente.
Razões trigonométricas
As razões trigonométricas foram criadas a partir da seguinte observação: 
Dois triângulos retângulos que possuem um segundo ângulo congruente 
são semelhantes. Isso significa que, entre esses dois triângulos, as medidas 
dos lados são proporcionais e as medidas dos ângulos são congruentes. 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Dessa forma, tomando um ângulo agudo de um triângulo retângulo, a 
razão entre seus lados terá o mesmo resultado.
Essa informação é importante para a trigonometria porque uma razão 
trigonométrica relacionada com um determinado ângulo terá um valor 
fixo para qualquer triângulo, independentemente do tamanho de seus 
lados, pois, como eles são proporcionais, a razão entre os lados 
correspondentes será igual.
Dito isso, definiremos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente:
Senθ = Cateto oposto a θ
 Hipotenusa
Cosθ = Cateto adjacente a θ
 Hipotenusa
Tgθ = Cateto oposto a θ 
 Cateto adjacente a θ
Um valor para cada ângulo
O seno de um ângulo é invariável independentemente da medida do lado 
do triângulo de onde esse ângulo foi tirado. O triângulo a seguir foi 
construído no computador, de modo que possuísse um ângulo reto e 
outro de 30º, representado pela letra grega θ. As medidas obtidas foram:
Calculando o seno de 30°, teremos:
Sen30º = Cateto oposto a θ = 2,31 = 0,5
 Hipotenusa 4,62
O valor 0,5 é o seno de 30° para qualquer triângulo. Isso acontece porque 95
todos os triângulos que possuem dois ângulos congruentes são 
proporcionais. Nesse exemplo, 0,5 é justamente a razão de proporção 
encontrada nos triângulos retângulos que possuem um ângulo de 30°.
Tabela trigonométrica
Os cálculos acima podem ser feitos para todos os ângulos “inteiros” - 
um ângulo também pode ser fracionado. As frações “decimais” são 
chamadas de minutos e as “centesimais” são chamadas de segundos. 
Utilizando as razões seno, cosseno e tangente, seria possível construir a 
seguinte tabela de valores:
Aplicações práticas
Por meio das razões trigonométricas, é possível relacionar os ângulos de 
um triângulo retângulo com os valores de seus lados. Logo, é possível 
descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo dispondo 
apenas das medidas de um de seus ângulos agudos e de um de seus 
lados. Observe o exemplo:
Calcule o valor do lado decomprimento a no triângulo seguinte:
96
Nesse triângulo, queremos descobrir o valor do cateto oposto ao ângulo 
de 60° a partir do valor de seu cateto adjacente. Observando as razões 
trigonométricas definidas acima, observamos que a única que relaciona o 
cateto oposto ao cateto adjacente é a tangente. Portanto, utilizaremos 
essa razão para descobrir o valor de “a”. Procurando a tangente de 60° na 
tabela anterior, encontramos o valor: 1,732. Observe os cálculos utilizados 
para descobrir a medida do lado a:
Tg60 = Cateto oposto a 60 = a
 Cateto adjacente a 60 2
Tg60 = a 
 2
1,732 = a 
 2
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Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a 
potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a 
radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resultado 
dessa multiplicação.
Exemplos:
Dada a potência:
4² = 4x4 = 16
Dizemos que a raiz quadrada (raiz com índice 2) de 16 é igual a 4.
Dada a potência:
2 = 64
Dizemos que a raiz sexta de 64 é igual a 2. Note que, ao dizer raiz sexta, 
estamos deixando claro que procuramos um número que foi multiplicado 
por ele mesmo 6 vezes e cujo resultado dessa multiplicação é igual a 64.
A notação usada para as raízes é a seguinte:
No exemplo anterior, 64 é o radicando, 6 é o índice e 2 é a raiz sexta de 
64 e resultado da raiz.
Observação: Se a for um número real negativo e n for um número natural 
par, então não existe solução para essa raiz no conjunto dos números 
reais.
6
RADICIAÇÃO
98
cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Propriedades da radiciação
1 – A raiz enésima de um número elevado a n é igual a esse mesmo 
número:
2 – Índice e expoente do radicando podem ser multiplicados ou divididos 
pelo mesmo número. Assim, dados os números reais a, m, n e p, teremos:
3 – Para simplificar a raiz de uma raiz, basta multiplicar seus índices. 
Matematicamente, isso pode ser representado da seguinte forma:
4 – A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas:
5 – A raiz enésima da razão é igual à razão das raízes enésimas, ou seja:
99
Adição e Subtração
Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes, ou seja, as 
unidades devem ser obrigatoriamente iguais.
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, basta adicionar ou 
subtrair, algebricamente, os fatores externos de cada radical, 
conservando o radical:
Multiplicação
Para multiplicar radicais de mesmo índice, basta efetuar multiplicação 
entre os radicandos:
Observação: para multiplicar radicais de índices diferentes, 
primeiramente é necessário reduzi-los ao mesmo índice e, depois, aplicar 
a regra acima:
Divisão
Para dividir radicais de mesmo índice, basta efetuar a divisão entre os 
radicandos:
 
OPERAÇÕES COM RADICAIS
100
cai nas provas: ETEC, Colégio Embraer, Provas de Bolsas, 
SENAI, Colégios UNESP, Colégios Unicamp, Colégio USP e Militares
Observação: Para dividir 2 radicais de índices diferentes, reduzem-se ao 
mesmo índice e dividem-se os radicandos:
 
101
Considere a fração , cujo denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , 
obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de 
denominadores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um 
fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía 
um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os 
termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator 
racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com 
denominador sem radical.
Principais casos de racionalização
1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo:
 
RACIONALIZAÇÃO
102
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2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a 
soma (ou diferença) de dois termos.
Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da 
fraçao por um termo conveniente, para que desapareça o radical que se 
encontra no denominador. Exemplo:
A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do 
denominador.
Veja outro exemplo:
103
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