Funções de Uma Variável

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
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Funções de Uma Variável
Revisão
1 — Determine o domínio das seguintes funções:
a)
√
1+ x
b) 3
√
1+ x
c)
1
4− x2
d)
√
2+ x− x2
e)
√
x− x3
f) arccos
(
2x
1+ x
)
g)
√
sen 2x
h) log
(
2+ x
2− x
)
2 — Calcule f(0), f(−x), f(x+1), f(x)+1, f
(1
x
)
,
1
f(x)
para f(x) =
1− x
1+ x
3 — Determine f(x) se:
a) f(x+ 1) = x2 − 3x+ 2
b) f
(
1
x
)
= x+
√
1+ x2, x > 0
c) f
(
x
x+ 1
)
= x2
4 — Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a)
x− y√
x−
√
y
−
x− y√
x+
√
y√
x−
√
y
x− y
+
√
x+
√
y
x− y
· 2
√
xy
y− x
b)
 1
(a1/2 + b1/2)−2
−
( √
a−
√
b
a3/2 − b3/2
)−1 (ab)−1/2
c) a
(√
a+
√
b
2b
√
a
)−1
+ b
(√
a+
√
b
2a
√
b
)−1
d)
(
x1/2 + y1/2
x1/2 − y1/2
−
x1/2 − y1/2
x1/2 + y1/2
)
(y−1/2 − x−1/2)
e)
(a1/m − a1/n)2 + 4a(m+n)/mn
(a2/m − a2/n)
(
m
√
am+1 +
n
√
an+1
)
5 — Reescreva a função
f(x) =
{
0, x ≤ 0
x, x > 0
utilizando só uma fórmula (Dica: use o sinal da função
valor absoluto).
6 — Resolva as seguintes desigualdades:
a) |x− 3| > −1
b) |4− 3x| ≤ 1/2
c) x2 + 2|x+ 3|− 10 ≤ 0
d) |x− 2| ≤ |x+ 4|
7 — Verifique se a função é par ou ímpar.
a) x4 + 3
b) x2 + |x|
c)
√
8x3 + 4
d) 5x3 + 7
e)
√
1+ sen x
cos x
f)
√
1+ x+ x2 −
√
1− x+ x2
8 — Simplifique as seguintes expressões logarítmicas:
a)
811/ log5 9 + 33/ log
√
6
3
409
(
(
√
7)2/ log25 7 − 125log25 6
)
b) a1+2/ logb ab− 2aloga b+1blogb a+1 + ab1+2/ loga b
c)
(
2
log 4√
2
a
− 3log27(a
2+1)3 − 2a
)
: (74 log49 a−a− 1)
d) log3 2 log4 3 log5 4 log6 5 log7 6 log8 7
e) log2 2x
2 + log2 x · xlogx(log2 x+1) +
1
2
log22 x
2 +
2−3 log1/2 log2 x
9 — Resolva as equações exponenciais:
a)
√
3x · √5x = 225
b) 23x · 5x = 1600
c) 93−5x · 75x−3 = 1
d) 32x−1 · 53x+2 = 9
5
· 52x · 33x
e) 3 · 4x + 1
3
· 9x+2 = 6 · 4x+1 − 1
2
· 9x+1
f) 4 · 3x+2 + 5 · 3x − 7 · 3x+1 = 40
10 — Sejam f(x) = sen x, g(x) = x2, h(x) = cos x.
Determine a fórmula para cada função abaixo
a) f ◦ g
b) g ◦ f
c) g ◦ g
d) g ◦ (f+ h)
e) g ◦ (f/h)
f) (f/h) ◦ (h/f)
g) f ◦ (g ◦ h)
h) (f ◦ g) ◦ h
11 — Sejam f(x) = 4x, g(x) = x − 3, h(x) =
√
x.
Expresse cada uma das funções abaixo através das com-
posições de funções escolhidas entre f, g e h.
a) 4
√
x
b)
√
x− 3
c) 4x− 12
d) x− 6
e)
√
4x
12 — Ache f[f(x)] e f{f[f(x)]} se f(x) =
1
1− x
.
13 — Para cada função abaixo determine a função in-
versa (não esqueça indicar o domínio dela)
a) 7x− 13
b) x2 − 3
c)
2x− 3
3x− 2
d) 3
√
1− x3
e) arctan 3x
f) log
(x
2
)
g) y =
{
x, x ≤ 0
x2, x > 0
14 — Resolva as seguintes desigualdades:
a) arcsen x ≤ 5
b) arcsen x ≥ −2
c) arccos x ≤ arccos 1
4
d) arctan x > −
pi
3
e) arccotg x > 2
f) arcsen x < arccos x
g) arctan x > arccotg x
15 — Calcule:
a) sen
(
2 arccos
1
4
)
b) cos [arcsen (−1/2)]
c) sen
(
arcsen
3
5
+ arcsen
8
17
)
d) tan
(
2 arcsen
2
3
)
e) arcsen(sen 2)
f) tan
(
arcsen
1
3
+ arccos
1
4
)
16 — Prove as seguintes identidades:
a) arcsen x ± arcseny = arcsen(x
√
1− y2 ±
y
√
1− x2)
b) arccos x ± arccosy = arccos(xy ∓√
1− y2
√
1− x2)
c) arctan x± arctany = arctan x± y
1∓ xy
d) sen6 α+ cos6 α = 1−
3
4
sen2 2α
e)
1+ sen 2α+ cos 2α
1+ sen 2α− cos 2α
= cotα
2