espaços_vetoriais (1)

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Álgebra Linear
Lista de Espaços Vetoriais
Aluno: Nota:
Subespaços Vetoriais
1. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais
deles são subespaços de R3?
(a) (x, y, z); tais que z = x3
(b) (x, y, z); tais que z = x + y
(c) (x, y, z); tais que z ≥ 0
(d) (x, y, z); tais que z = 0 e xy ≥ 0
(e) (x, y, z); tais que x = z = 0
(f) (x, y, z); tais que x = −z
(g) (x, y, z); tais que y = 2x + 1
(h) (x, y, z); tais que z2 = x2 + y2
2. Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais
deles são subespaços de R4?
(a) (x, y, z,w), tais que x − y = 2
(b) (x, y, z,w), tais que z = x = 2y e w = x − 3y
(c) (x, y, z,w), tais que x = y = 0
(d) (x, y, z,w), tais que x = 0 e y = −w
3. Sejam A e B uma matriz n × n fixada. Determine se os
conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
(a) {B ∈Mn| AB = BA}
(b) {B ∈Mn| AB , BA}
(c) {B ∈Mn| BA = 0}
4. Seja R o conjunto dos números reais. Sabendo que R3
é o espaço vetorial euclidiano tridimensional, mostre
que os seguintes subconjuntos de R3 são subespaços
vetoriais.
(a) Subconjunto Γ =
{
(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0
}
(b) Subconjunto Λ =
{
(x, y, z) ∈ R3; x − 2y + 3z = 0
}
5. Em R3, mostre que os seguintes subconjuntos não são
subespaços:
(a) Subconjunto U =
{
(x, y, z) ∈ R3; x ≥ 0
}
que con-
siste nos vetores cuja primeira componente é não-
negativa
(b) Subconjunto V =
{
(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 ≤ 1
}
formado por vetores cujo comprimento não ex-
cede 1
(c) Subconjunto X =
{
(x, y, z) ∈ R3; x + y2 = 0
}
(d) Subconjunto U =
{
(x, y, z) ∈ R3; x, y, z ∈ Q
}
dos
vetores cujas componentes são números racio-
nais.
6. No espaço R4, mostre que o subconjunto H ={
(x − 3y, y − x, , x, y) ∈ R4; x, y ∈ R
}
é um subespaço.
7. Mostre que não é um subespaço de R4 o subconjunto
F =
{
(x, y, z,w) ∈ R4; x = y, z = w2
}
8. Seja F (R) = { f : R → R} o conjunto das fun-
ções reais de R em R. Mostre que o subconjunto
F = { f ∈ F (R); f (7) = 0}, isto é, o subconjunto que
consiste nas funções que assumem o valor 0 em x = 7,
é um subespaço vetorial.
9. Mostre que o subconjunto G = {g ∈ F (R); g(x) ≥
0, ∀ x ∈ R} ⊂ F (R) de todas as funções g não nega-
tivas não é um subespaço.
10. Seja P(R) o espaço vetorial dos polinômios com co-
eficientes reais. Considere o subconjunto P3(R) ={
p(x) ∈ P(R); Gr(p(x)) < 3} dos polinômios de grau me-
nor que 3. Mostre que este subconjunto é um subes-
paço de P. Em particular, mostre que o subconjunto
P3(R) = {p(x) ∈ P(R); p(0) = 0} é um subespaço veto-
rial de P3(R)
11. Seja M2(R) o espaço vetorial das matrizes quadra-
das de ordem 2 sobre R. Mostre que o subconjunto
U =

a bc d
 ∈ M2(R); a + b + c + d = 0
 é um subes-
paço vetorial deM2(R).
12. Dados os subespaços M =
{
(x, y, z) ∈ R3; x + y = 0
}
e N =
{
(x, y, z) ∈ R3; x = 0
}
, determine o subespaço
M ∩N.
Base de Subespaço Vetorial
13. Sejam ~t = (1,−3, 10), ~u = (1, 0, 0), ~v = (1, 1, 0), ~w =
(2,−3, 5) vetores de R3. Exprima o vetor ~t como com-
binação linear dos vetores ~u, ~v e ~w.
14. Sejam A =
1 23 4
, B =
−1 23 −4
, C =
 1 −2−3 4
 e
D =
4 −46 −16
 matrizes de M2(R). Mostre que a ma-
triz D pode ser escrita como combinação linear das
matrizes A, B e C.
15. Mostre que os vetores ~u = (1, 1, 2), ~v = (1, 0, 1) e
~w = (2, 1, 3) geram o R3.
16. Encontre condições sobre a, b e c de modo que (a, b, c) ∈
R3 pertença ao subespaço gerado por ~u = (2, 1, 0),
~v = (1,−1, 2) e ~w = (0, 3,−4).
17. Em R4, sejam os conjuntos
U =
{
(x, y, z, t) ∈ R4; x − y + z + t = 0
}
e
V =
{
(x, y, z, t) ∈ R4; x + y + z − t = 0
}
. Encontre o conjunto de geradores para os seguintes
subespaços:
(a) U;
(b) V;
(c) U ∩ V;
(d) U + V.
18. Mostre que as matrizes A =
1 10 0
, B =
1 00 1
 e
C =
1 11 1
 são LI.
19. No espaço P3(R) dos polinômios de grau ≤ 3, mos-
tre que o conjunto E =
{
p(x) = x3 − 3x2 + 5x + 1,
q(x) = x3 − x2 + 6x + 2, r(x) = x3 − 7x2 + 4x
}
é linear-
mente independente.
20. No espaço vetorial C1(R, R) das funções cujas deriva-
das são contínuas, mostre que:
(a) As funções trigonométricas seno e cosseno são
LD;
(b) O conjuntoG =
{
s(x) = sen2x, c(x) = cos2x, k(x) = 1
}
é LD.
21. Em F (R) = { f : R→ R}, mostre que:
(a) As funções f (t) = e2t, g(t) = t2 e h(t) = t são LI.
(b) O conjuntoT =
{
s(t) = sen(t), c(t) = cos(t), γ(t) = t
}
é LD.
22. Prove a seguinte afirmação: Se ~u, ~v, ~w ∈ R3 são LI,
então também são LI os vetores ~u+~v, ~u−~v, ~u− 2~v+ ~w.
23. Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se
ad − bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad − bc , 0,
mostre que são LI.
24. Considere o subespaçoS = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
de R4.
(a) O vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?
(b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
25. Seja W o subespaço de M(3, 2) gerado por

0 0
1 1
0 0
,
0 1
0 −1
1 0
 e

0 1
0 0
0 0
. O vetor

0 2
3 4
5 0
 pertence aW?
26. Verifique que o polinômio (t2 + 2t + 7) é combinação
linear de (t2 + 1) e t + 3.
27. Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R4.
(a) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)}
(b) {(1, 2, 1, 0), (1, 1,−1, 0), (0, 0, 0, 1)}
(c) {(6, 4,−2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2,−1, 2), (5, 6,−3, 2),
(0, 4,−2,−1)}
(d) {(1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 2)}
28. Encontre o conjunto de vetores que gera o espaço so-
lução do sistema homogêneo AX = 0, em que:
(a) A =

1 0 1 0
1 2 3 1
2 1 3 1
 .
(b) A =

1 1 2 −1
2 3 6 −2
−2 1 2 2
 .
29. Considere os seguintes subespaços de R3:
V = [(−1, 2, 3), (1, 3, 4)]
e
W = [(1, 2,−1), (0, 1, 1)] .
Encontre a equação paramétrica da reta V ∩W.
30. Para quais valores de a o conjunto de vetores{
(3, 1, 0), (a2 + 2, 2, 0)
}
é LD?
31. Verifique se os conjuntos de polinômios seguintes são
linearmente dependentes ou independentes.
(a)
{
t2 − 2t + 3, 2t2 + t + 8, t2 + 8t + 7
}
;
(b)
{
t2 − 1, t + 1, t + 2
}
32. Quais são as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à
base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
33. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores
~v1 = (1,−1, 0, 0), ~v2 = (0, 0, 1, 1), ~v3 = (−2, 2, 1, 1), ~v4 =
(1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (−2, 2, 1, 1) ∈ [~v1, ~v2, ~v3, ~v4]? Justifique.
(b) Exiba uma base para [~v1, ~v2, ~v3, ~v4]. Qual a di-
mensão?
(c) [~v1, ~v2, ~v3, ~v4] = R4? Por quê?
34. Seja U o subespaço de R3, gerado por (1, 0, 0) eW o
subespaço de R3, gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre
que R3 =U ⊕W.
35. Sejam W1 =
{
(x, y, z, t) ∈ R4|x + y = 0 e z − t = 0
}
e
W2 =
{
(x, y, z, t) ∈ R4|x − y − z + t = 0
}
subespaços de
R4.
(a) DetermineW1 ∩W2.
(b) Exiba uma base paraW1 ∩W2.
(c) DetermineW1 +W2.
(d) W1 +W2 é soma direta? Justifique.
(e) W1 +W2 = R4?
36. Sejam
W1 =

a bc d
 tais que a = d e b = c

e
W1 =

a bc d
 tais que a = c e b = d

subespaços deM2.
(a) DetermineW1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) DetermineW1 +W2. É soma direta?
37. Dado o subespaçoW1 =
{
(x, y, z) ∈ R3|x + 2y + z = 0
}
ache o subespaçoW2 tal que R3 =W1 ⊕W2.
38. Sejam β = {(1, 0), (0, 1)} , β1 = {(−1, 1), (1, 1)} , β2 ={
(
√
3, 1), (
√
3,−1)
}
e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas
de R2.
(a) Ache as matrizes mudança de base
i. [I]ββ1 ;
ii. [I]ββ2 ;
iii. [I]ββ;
(b) Quais são as coordenadasdo vetor ~v = (3,−2) em
relação à base:
i. β;
ii. β1;
iii. β2;
iv. β3;
(c) As coordenadas de um vetor ~v em relação à base
β1 são dadas por
[
~v
]
β1 =
40
. Quais são as coorde-
nadas de ~v em relação à base:
i. β;
ii. β2;
iii. β3;
39. Se [I]α
′
α =

1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
, ache:
(a)
[
~v
]
α, onde
[
~v
]
α′ =

−1
2
3

(b)
[
~v
]
α′ , onde
[
~v
]
α =

−1
2
3

40. Se β′ é obtida de β, a base canônica deR2, pela rotação
por um ângulo −pi/3, ache:
(a) [I]β
′
β ;
(b) [I]ββ′ ;
41. Sejam β1 = {(1, 0), (0, 2)}, β2 = {(−1, 0), (1, 1)} e β3 =
{(−1,−1), (0,−1)} três bases ordenadas de R2. Ache:
(a) [I]β2β1 ;
(b) [I]β3β2 ;
(c) [I]β3β1 ;