A Geometria Euclidiana e a didática escolar

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Universidade Federal do Pará 
As dificuldades no ensino da Geometria Euclidiana e a didática escolar 
Dias, Denilce Ferreira (*); Silva, Juranildo dos Santos da (**); Pires, Maria José Lima (***); Menezes, Rosana Barreiros (****); 
(*) acadêmica no curso de Licenciatura Plena em Matemática e bolsista do Projeto de Extensão/UFPA; 
(**) acadêmico no curso de Licenciatura Plena em Matemática/UFPA; 
(***) acadêmica no curso de Licenciatura Plena em Matemática/UFPA; 
(****) acadêmica no curso de Licenciatura Plena em Matemática/UFPA; 
 
 
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Resumo 
 
O ensino da Geometria Euclidiana nas escolas passa 
por um processo crítico. Quando não é praticamente 
excluída do currículo escolar, ela é ensinada de uma 
forma tão complexa que acaba despertando o 
desinteresse dos alunos, os quais não compreendem 
suas aplicações que podem ser feitas no dia-a-dia. 
Nosso objetivo aqui não é explorar a Geometria 
Euclidiana em si, mas sim abordar algumas dificuldades 
em relação à didática de professores que estão 
despreparados para o ensino da Geometria. Talvez pelo 
desconhecimento do assunto, ou pela falta de materiais 
didáticos, ou ainda, por se prenderem a um ensino de 
Geometria através de textos (axiomas, postulados, 
teoremas etc.) sem utilizar nenhuma aplicação prática. 
 
Palavras chaves: Geometria, Euclides, Legendre, 
didática. 
 
Introdução 
 
O estudo da Geometria nasceu da necessidade que o 
homem tinha de medir suas terras. O filósofo grego 
Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros 
historiadores das ciências, conta que os egípcios 
mediam suas terras para acompanhar o regime de 
inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém 
das palavras gregas geo (terra) e metron (medida). No 
Egito Antigo os conhecimentos de Geometria eram 
muitos utilizados pelos agrimensores, ao medir terrenos, 
e pelos construtores ao fazerem edificações. 
Um ótimo exemplo de como a geometria era elaborada 
são as pirâmides, famosas pela beleza e pelo engenho 
na construção. Por isso os egípcios ganharam fama. E 
tanta era a fama que os gregos iam constantemente ao 
Egito para adquirir mais e mais conhecimentos no 
campo da geometria. 
Por volta de 600 a.C, os filósofos gregos começaram a 
sistematizar os conhecimentos matemáticos adquiridos. 
Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos 
foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, 
por volta de 300 a.C. e reunido numa obra de 13 
volumes, chamada “Elementos”. Nessa obra nove 
volumes eram dedicados a geometria. 
A geometria estuda as propriedades geométricas 
partindo de certos raciocínios lógicos. Quanto ao 
desenvolvimento da geometria pode-se perceber que as 
mudanças que aconteceram e as descobertas das 
novas formas da geometria foi pela necessidade 
humana. 
 
Uma breve história de Euclides e a Geometria 
Dedutiva 
 
Alexandria, no Egito, teve um papel extraordinário na 
história da Matemática, onde Ptolomeu criou junto ao 
Museu, o modelo do que séculos depois seriam as 
universidades. Era neste centro, com uma famosa 
biblioteca, que intelectuais dedicavam-se em tempo 
integral às pesquisas. Dentre eles o qual se destacou foi 
Euclides. Pouco se sabe sobre a vida deste matemático 
provavelmente, sua formação foi feita em Atenas, na 
academia de Platão. Destacou-se por sua principal obra, 
intitulada: “Elementos”, constituída de 13 volumes. 
Tratar-se do mais antigo texto da matemática grega a 
chegar completo em nossos dias, e a ser utilizado 
freqüentemente, até mesmo nas escolas. O texto de 
muitos livros de geometria contém demonstrações que 
são parte da obra de Euclides, e se diferenciam 
geralmente pela linguagem. Os Elementos, apesar de 
dedicar em um espaço à teoria dos números, ganharam 
a fama por apresentarem em toda a obra um enfoque 
geométrico que chamou, e chama a atenção de muitos 
matemáticos por ser um texto escrito na forma 
axiomático-dedutiva. Foi a aplicação sistemática do 
método dedutivo de Euclides para desenvolver a 
geometria a partir de axiomas, que teve o maior impacto 
na sociedade e influência o ensino e a ciência. 
 
A contribuição de Adrien Marie Legendre para 
a Geometria Euclidiana 
 
Legendre nasceu em Paris em 18 de setembro de 1752, 
de uma família abastada de Toulouse. Estudou no 
Colégio Mazarin de Paris sob a orientação do abade 
Joseph François Marie (1738-1801). Ainda jovem, foi 
nomeado professor de matemática da Escola Militar 
e,em 1780,da École Normale. Escreveu quatro 
dissertações sobre a atração dos esferóides. Tornou-se 
conhecido por sua obra Élements geómetrie (1794; 
Elementos de geometria). Contudo, a geometria não era 
uma prioridade para Legendre, o qual por cerca de 
quarenta anos lutou para provar o quinto postulado de 
Euclides a partir dos outros, o que foi impossível. Seu 
erro foi admitir hipóteses equivalentes ao próprio 
postulado. Apesar disso não lhe faltou competência e 
engenhosidade em seu trabalho. Legendre morreu em 
Paris, em 10 de janeiro de 1833. 
 
A Geometria Euclidiana Plana e a contribuição 
de Legendre para uma geometria rigorosa, 
porém didática 
 
A Geometria Euclidiana foi o primeiro sistema de idéias 
desenvolvido pelo homem, no qual algumas afirmações 
são aceitas sem demonstração e utilizadas para provar 
outras mais complexas. Um sistema chamado dedutivo. 
Na Grécia antiga axioma e postulado, significavam 
respectivamente, uma verdade geral comum a todos os 
campos de estudo e uma verdade específica de um 
dado campo. Euclides em sua obra Elementos assumiu 
alguns axiomas e postulados. 
Os axiomas eram: 
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são 
também iguais entre si. 
2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são 
iguais. 
 
 
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3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são 
iguais. 
 4. Coisas que coincidem com outras coisas são iguais 
uma a outra. 
5. O todo é maior que a parte. 
 
Os postulados eram: 
I. Pode-se traçar uma reta por quaisquer 
dois pontos. 
II. Pode-se continuar uma reta infinitamente. 
III. Com qualquer centro e qualquer raio pode-
se descrever uma circunferência. 
IV. Todos os ângulos retos são iguais. 
V. Se uma reta corta duas outras retas 
formando ângulos colaterais internos cuja 
soma é menor do que dois retos, estão as 
duas retas, se continuadas infinitamente 
encontram-se no lado no qual estão os 
ângulos cuja soma é menor que dois retos. 
 
Contudo a obra de Euclides apresenta seus teoremas 
na forma de um texto, ou seja, sem intercalar exercícios 
ou aplicações práticas, um texto não didático, um texto 
axiomático, que naquela época poderia não ter um 
grande significado, mais que hoje faz toda diferença, 
principalmente quando se trata da técnica de dirigir e 
orientar a aprendizagem do ensino da Geometria 
Euclidiana Plana nas escolas de ensino fundamental e 
médio. Entretanto, as modificações para um texto mais 
didático deveriam, e devem, ser feitas com muita 
rigorosidade e com a preocupação de não prejudicar as 
demonstrações de Euclides. Foi exatamente isso que 
Adrien Marie Legendre (1752-1833) fez em seus 
Elementos de Geometria, ele conseguiu criar um texto 
que reorganizava os Elementos de Euclides com rigor e 
preocupação didática, apresentando novas 
demonstrações, porém mais simples o que facilitou a 
compreensão e foi um grande êxito editorial na época. E 
que sem dúvidas foi o que estimulou e auxiliou outros 
pesquisadores. São exatamente obras como esta que 
facilitam o trabalho dos educadores de hoje. 
 
As dificuldades de se ensinar a Geometria 
Euclidiana 
 
Os elementos de Euclides influenciaram tantoo ensino 
de Geometria que há 100 anos ele era usado como 
texto didático na Inglaterra, o que levou os estudantes a 
pensarem que “Geometria” e “demonstrações” eram 
sinônimas, ou seja, que tinham a mesma ou quase a 
mesma significação. O fato de a Geometria ser um 
sistema dedutivo leva muitos professores a não sentirem 
ânimo para ensinar tal assunto. Talvez seja por eles não 
conseguirem dominar tal conteúdo ou, ainda, por não 
saberem uma maneira de desenvolvê-la com os alunos. 
O desinteresse no estudo da Geometria dá-se pelo fato 
da mesma ser praticamente excluída do currículo 
escolar, ou restrita, sendo desenvolvida de uma maneira 
muito formal. Não despertando o interesse dos alunos, e 
causando prejuízo dos mesmos. 
A Geometria Euclidiana, como qualquer sistema 
dedutivo, é comparada com um jogo, devemos aceitar 
algumas regras básicas, que na Geometria recebem o 
nome de axiomas. Os teoremas devem ser deduzidos 
através do raciocínio lógico e a parti dos axiomas 
fixados nestes. Isso não implica dizer que se deve 
utilizar um método de ensino muito formal quando o 
assunto é Geometria, mas sim introduzir os axiomas 
necessários, bem como exercícios e aplicações práticas, 
os quais juntos irão desperta o interesse pelo estudo da 
Geometria. Sem levar em consideração que atualmente 
foram desenvolvidas várias formas de se trabalhar a 
Geometria na escola, tudo isso para que o aluno tenha 
um melhor entendimento sobre o estudo da Geometria e 
vença as dificuldades e obstáculos que lhe faz não ter 
uma aprendizagem significativa. Os professores devem 
ter uma visão ampla daquilo que pretendem ensinar. 
Muitos livros de Geometria Euclidiana Plana fazem uma 
apresentação axiomática da geometria, porém é 
conveniente que o professor, seja este do ensino 
fundamental ou médio, não adote o mesmo tipo de 
apresentação quando estiver ensinando. Pois uma 
apresentação axiomática da Geometria é longa e exige 
tempo, levando em consideração que esta só pode ser 
feita com proveito quando os alunos já tiverem adquirido 
bastante familiaridade com os fatos que envolvem a 
Geometria, visto que esta é uma condição necessária e 
indispensável para levar os alunos a entenderem e 
apreciarem o porquê da axiomatização. 
 
O papel do professor ao dirigir e orientar a 
aprendizagem de Geometria Euclidiana 
 
Antes de se iniciar qualquer que seja o assunto, o 
professor deve abordar a importância de tal conteúdo 
para nossa vida. Esta idéia serve também para o ensino/ 
aprendizagem de Geometria. É preciso mostrar aos 
alunos que a Geometria, bem como toda a matemática, 
está em todos os lugares e em todas as situações do 
nosso cotidiano: na escola, no lazer, nas brincadeiras, 
em casa etc. 
O professor precisa então levar o aluno a compreender 
as idéias geométricas e aplicá-las em seu dia-a-dia. 
Tudo isso de uma maneira prazerosa, agradável, 
participativa e sem o desconforto dos alunos. A idéia é 
conduzir os alunos a pensarem, a resolverem problemas 
e desafios geométricos, a trocar idéias com seus 
colegas, a fazerem observações ao seu redor, a 
pesquisarem e argumentarem. Um bom professor deve 
iniciar a explicação de um assunto contando um pouco 
da história, neste caso da Geometria, pois este é um 
tipo de incentivo que faz o aluno se interessar pelo 
assunto. Visto que ninguém se interessa por algo que 
não conhece. Deve-se, ainda, levar os alunos a 
conhecerem algumas curiosidades geométricas e propor 
a estes desafios que envolvam o assunto. O estimulo 
pode ser feito não só através de pesquisas, mas 
também de brincadeiras. 
Enfim, é o professor o grande responsável no processo 
de ensino/aprendizagem, ele deve buscar maneiras de 
fazer com que os alunos aceitem o estudo da Geometria 
 
 
 
Dias, Denilce Ferreira; Silva, Juranildo dos Santos da; Pires, Maria José Lima; Menezes, Rosana Barreiros; 
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com entusiasmo e dedicação, para que este participe 
ativamente de todas as atividades propostas. Pois, 
como em todas as áreas de estudo, para se entender a 
Geometria Euclidiana e suas aplicações é necessário 
dedicação e estudo. 
 
Exemplo 
 
Observe que na figura o segmento AB parece ser maior 
que o segmento BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na verdade os dois segmentos têm a mesma medida. 
 
As ilusões de ótica com segmentos de reta é um 
exemplo de como despertar a curiosidade dos alunos e 
fazer com que eles busquem conhecer mais a 
Geometria. Propor certos desafios geométricos aos 
alunos é fazer com que eles além de aprenderem na 
medida em que brincam, levem esses conhecimentos, 
que para eles é novo, a outras pessoas. Assim, o que 
era uma aula “chata” de Geometria passa a ser 
encarada como uma brincadeira que agrada a todos. 
 
 
 
 
Conclusão 
 
A dificuldade de se ensinar a Geometria Euclidiana, 
tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio, 
nos leva a uma reflexão e busca por métodos que 
favoreçam o processo de ensino/aprendizagem da 
Geometria. E nós como futuros educadores devemos 
buscar desde já soluções para esse problema de 
defasagem que vem ocorrendo em nossas escolas. O 
professor deve propor a seus alunos aulas diversificadas 
e criativas, pois esta didática desperta o interesse dos 
alunos em relação à aprendizagem da Geometria. 
Muitas mudanças já ocorreram em torno do ensino da 
Geometria: primeiro Euclides apresenta seus axiomas, 
postulados, teoremas etc.; depois Legendre modifica o 
texto axiomático de Euclides tornando-o mais didático, 
mas não perdendo a rigorosidade; e atualmente, o 
estudo da Geometria pode ser feito aplicando uma 
didática bastante interessante através, principalmente, 
de jogos. Contudo, é de suma importância que o 
professor busque novas maneiras e formas diferentes 
de ensinar, porque só assim haverá de fato sucesso no 
ensino da Geometria, bem como nos demais assuntos e 
disciplinas. 
 
 
Referências 
 
 
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana 
Plana. Coleção do Professor de Matemática. 10 ed. Rio 
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 
 
 
Biblioteca do conhecimento da família: matemática. São 
Paulo: DCL, 2006. (Coleção biblioteca do conhecimento 
da família). 
 
 
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: 
Ática, 2005. 
 
 
DOLCE, Osvaldo: POMPEU, José Nicolau. 
Fundamentos de matemático elementar 9: geometria 
plana. 7 ed. São Paulo: Atual, 1993. 
 
 
 
Nova Enciclopédia Barsa. São Paulo: Barsa Consultoria 
Editorial Ltda., 2001. 
 
 
GONTIJO, Jomar T. A Dificuldade de se ensinar 
geometria no Ensino Médio. Disponível em 
http://www.jomar.pro.br/portal/modules/smartsection/ite
m. php?itemid=147 acesso em 29 de jun 2009.