Operações com Matrizes

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Aula 8
	
 
		
	
		1.
		Determine a soma dos elementos da inversa da matriz   A  =    4       1 .
                                                                                            3       0
	
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	-1/2
	
	
	1
	
	
	0
	
Explicação:
Temos que:
 
A-1  =   adj(A) / !A!   =     0        -1           =      0                1/3
                                      -3        4 / -3             1               -4/3
 
Logo: 0 + 1/3 + 1 - 4/3  =  0
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, com bij = j - i, determine C3,3, da matriz C, tal que C = A.B.
	
	
	
	15
	
	
	13
	
	
	8
	
	
	18
	
	
	11
	
Explicação:
Matriz A: (aij) 3x3, regra de formação: aij = i+j
Matriz B: (bij) 3x3, regra de formação: bij = j-i
A: | 2  3  4 |      B: | 0  1  2 |
    | 3  4  5 |          | -1  0 1 |
    | 4  5  6 |          | -2 -1 0 | 
Matriz C é o produto entre a A e a B. Logo
 
c31= (4x0)+(5x-1)+(6x-2) = 0 -5 -12 = -17
c32= (4x1)+(5x0)+ (6x-1) = 4+0 -6 = -2
c33= (4x2)+(5x1)+(6x0) = 8 + 5 + 0 = 13
LOGO O VALOR É 13
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C.
	
	
	
	84
	
	
	100
	
	
	72
	
	
	108
	
	
	96
	
Explicação:
Após efetuar as somas, a matriz C ficará assim:
 
14            28            42            56
28            56            84            112
42            84            126          168
56            112          168          224       
Mas como só nos interessa o elemento de C23... 
O elemento da C23 é 84.  (Lembrando que o elemento C23 é encontrado na 2ª linha e 3ª coluna da matriz C)
O calculo é bem simples, é 
2*3 = 6
4*6 = 24
6*9 = 54                      
Depois basta somar, 6+24+54=84...
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dadas as matrizes  ,    e   , determine a matriz D resultante da operação A + B ¿ C.
	
	
	
	D=⎛⎜⎝−8−91624101055⎞⎟⎠D=(−8−91624101055)
	
	
	D=⎛⎜⎝−8−9−4−2416555⎞⎟⎠D=(−8−9−4−2416555)
	
	
	D=⎛⎜⎝5−95−6810−852⎞⎟⎠D=(5−95−6810−852)
	
	
	D=⎛⎜⎝16−9−841025510⎞⎟⎠D=(16−9−841025510)
	
	
	D=⎛⎜⎝−8−512−95−8516⎞⎟⎠D=(−8−512−95−8516)
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Os valores de x tal que det A = 0 são:
Dado: A = \[1xx22x13x+11\]\[1xx22x13x+11\]
	
	
	
	x = - 1/2 ou x = 2
	
	
	x = - 1/2 ou x = 1/2
	
	
	x = 0 ou x = 1/2
	
	
	x = 0 ou x = 1
	
	
	x = 1/2 ou x = -1
	
Explicação:
Utilizando a regra de Sarrus para a matriz 3 x 3, det A será:
x2−x+x2−x+1414 = 0 ⇒ x1 = −12−12  ou  x2 = 1212 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual a matriz A = (aij)4x4, em que aij = 3i - 2j?
	
	
	
	A=⎛⎜
⎜
⎜⎝9−71084054−11778520⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(9−71084054−11778520)
	
	
	A=⎛⎜
⎜
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864)
	
	
	A=⎛⎜
⎜
⎜⎝−1806−4571−105−632−210⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(−1806−4571−105−632−210)
	
	
	A=⎛⎜
⎜
⎜⎝−18027450−10−2−38−741⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(−18027450−10−2−38−741)
	
	
	A=⎛⎜
⎜
⎜⎝5−3−11−2024135746810⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(5−3−11−2024135746810)
	
Explicação:
aij = 3i - 2j, logo:
A=⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠A=(a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4)
A=⎛⎜
⎜
⎜⎝3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4)
A=⎛⎜
⎜
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟
⎟
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A matriz X tal que ⎡⎢⎣100210231⎤⎥⎦[100210231] . X = ⎡⎢⎣572⎤⎥⎦[572] é corretamente representada por:
	
	
	
	​⎡⎢⎣001⎤⎥⎦[001]​
	
	
	​⎡⎢⎣−5−3−1⎤⎥⎦[−5−3−1]​
	
	
	​⎡⎢⎣5−31⎤⎥⎦[5−31]​
	
	
	​[5−31][5−31]​
	
	
	​[0−3−1][0−3−1]​
	
Explicação:
A matriz X terá um tamanho (3 x 3) . X = (3 x 1) ⇒ X será 3 x 1
Se A for invertível, X = A-1.B
X = ​\[100−2104−31\]\[100−2104−31\]​. ​\[572\]\[572\]​ = ​\[5−31\]\[5−31\]​
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A matriz A = ⎡⎢⎣1k−30−35022⎤⎥⎦[1k−30−35022] somente irá apresentar a matriz inversa A-1 se, e somente se, a variável k for:
	
	
	
	k = 1
	
	
	k < 0
	
	
	Para qualquer valor de k, k pertence ao conjunto de números reais R, A será invertível.
	
	
	k = 0
	
	
	k > 0
	
Explicação:
Aplicando a regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz A, 3 x 3, você encontrará o determinante de A igual a -16. Logo, det A independe do parâmetro k e será sempre diferente de zero.