Geo Espacial_ lista de axiomas e proposições

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Geometria Espacial - Lista de Axiomas e Proposições 
Axioma VII1: Por dois pontos distintos do espaço passa uma única reta. 
Axioma VII2: Dado uma reta do espaço, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não 
pertencem à reta. 
Axioma VII3: Por três pontos não colineares do espaço passa um único plano. 
Axioma VII4: Uma reta está contida num plano, se dois de seus pontos pertencem ao plano. 
Axioma VII5: Uma reta r de um plano α separa-o em dois semiplanos α1 e α2 e a origem dos 
semiplanos é a reta dada. 
Axioma VII7: Dado um plano no espaço, existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não 
pertencem ao plano. 
Proposição 1: Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles 
determinam um único plano que os contém. 
Proposição 2: Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as 
contém. 
Proposição 3: Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único 
plano que as contém. 
Proposição 4: Sejam α um plano, r uma reta contida em α, A um ponto pertencente a α e não 
pertencente a r e B um ponto não pertencente a α. Nestas condições, não existe um plano β que 
contenha as retas r e s, onde s é a reta determinada por A e B. 
Axioma VII8: Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles têm pelo menos outro ponto 
comum. 
Proposição 5: Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a intersecção desses planos é 
uma única reta que passa por aquele ponto. 
Proposição 6: Se as retas r e s são paralelas e a reta s está contida no plano α, então a reta r é 
paralela ao plano α. 
Axioma de Euclides: Por um ponto existe uma única reta paralela a uma reta dada. 
Proposição 7: Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. 
Proposição 8: Seja uma reta r paralela a um plano αe não contida nele e um plano βque contém 
r e intercepta o plano αna reta s, então as retas r e s são paralelas. 
Proposição 9: Se o traço de uma reta r em um plano αé um ponto P e se a reta r é perpendicular às 
retas s e t contidas em αe concorrente em P, então r é perpendicular ao plano α. 
Proposição 10: Dado uma reta r e um ponto P, existe um único plano αque passa por P e é 
perpendicular a r. 
Proposição 11: Se uma reta é perpendicular a um plano α, 𝑟 ∩ 𝛼 = {𝑅} e se uma reta t contida em α 
passa por R e uma reta s de α não passa por R, mas é perpendicular a t, então a reta s é 
perpendicular ao plano βdeterminado pelas retas r e t. 
Proposição 12: Se por um ponto A não pertencente a um plano αpassam duas retas distintas r e s, 
paralelas a α, então o plano βdeterminado por essas retas é paralelo ao plano α. 
Proposição 13: Se os planos distintos αe βsão paralelos e o plano θ os intercepta respectivamente 
em r e s, então r e s são paralelas. 
Proposição 14: Por um ponto A não pertencente ao plano αpassa um único plano βparalelo ao 
plano α. 
Proposição 15: Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular 
à intersecção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro plano.