aula5_CDRX

Prévia do material em texto

*
*
Cristalografia e Difração de Raios X
Simetria, Grupos de Pontos e Grupos Espaciais
Rede Recíproca
*
*
SUMÁRIO
Simetria 2D e 3D
Os 32 Grupos de Pontos
Os 230 Grupos Espaciais
Notações para Estruturas Cristalinas
Rede Recíproca
Célula de Wigner-Seitz/Zona de Brillouin
Esfera de Ewald
*
*
Resumo das relações entre sistemas cristalinos, rede de Bravais, grupo de pontos e grupos espacias
http://bama.ua.edu/~mweaver/courses/MTE481/12_MTE481-CRYSTAL_GEOMETRY.pdf
*
*
O ordenamento dos átomos em um cristal é caracterizado pela simetria do sistema cristalino em termos de elementos de simetria e operações de simetria. 
Um elemento de simetria é uma entidade geométrica (ponto, eixo ou plano) em relação à qual uma ou mais operações de simetria podem ser realizadas.
Uma operação de simetria é um movimento de um objeto tal que após a realização deste movimento os estados inicial e final do objeto são indistinguíveis (equivalentes).
 Operações básicas de simetria:
	Rotação – em torno de um eixo [uvw] (simetria: 1,2,3,4,6 – fold)
	Reflexão – através de um plano espelho (hkl) (simetria: m)
	Inversão – através de um ponto (xyz) (simetria: i )
	Translação – ao longo de um eixo [uvw] (simetria: t )
Definições
*
*
Operações de simetria compostas e combinadas:
	Roto-inversão: rotação + inversão (simetria: 1,2,3,4,6)
	Roto-reflexão: rotação + reflexão (simetria: 1m, 2m, 3m, 4m, 6m, 1/m, 2/m, 3/m, 4/m, 6/m)
	 Rotação composta: rotação + rotação (simetria: 32, 23, 432, 222, 422, etc. 32, 42 etc.)
	Eixo em hélice: rotação + translação (simetria: 21, 32, 41, 42, 43, 61, 62, etc. )
	Plano de deslizamento: reflexão + translação (simetria: a, b, c, n – vetor de translação =½ t, e d - vetor de translação =1/4 t) 
*
*
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
= rotação de 360o/2
para reproduzir uma base em um padrão simétrico
6
6
Um padrão simétrico
http://www.whitman.edu/geology/winter/Mineralogy/1%20Symm.ppt
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
= rotação de 360o/2
para reproduzir uma base em um padrão simétrico
Base
Elemento
Operação
6
6
Simetria 2-D
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
= rotação de 360o/2
para reproduzir uma base em um padrão simétrico
6
6
Segundo passo da operação
Simetria 2-D
= símbolo para rotação dupla
Primeiro passo da operação
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
Simetria 2-D
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
Simetria 2-D
*
*
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
*
*
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
*
*
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
*
*
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
a. Rotação dupla (two-fold)
Alguns objetos familliares têm um simetria intrínseca
Rotação de 180o torna-o coincidente
Qual é a base aqui?
Segunda rotação de 180o traz o objeto para sua posição original
Simetria 2-D
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
b. Rotação tripla (three-fold)
= rotação de 360o/3 
para reproduzir uma base em um padrão simétrico
6
6
6
Simetria 2-D
*
*
6
6
6
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Simetria 2-D
Elementos de Simetria
1. Rotação
b. Rotação tripla (three-fold)
= rotação de 360o/3 
para reproduzir uma base em um padrão simétrico
*
*
Elementos de Simetria
1. Rotação
6
1-fold
2-fold
3-fold
4-fold
6-fold
9
t
d
Z
a
identity
Objects with symmetry:
Simetria 2-D
Rotações quíntuplas e maiores que sêxtuplas (5-fold e > 6-fold) não ocorrem em cristais (mas ocorrem em quasicristais).
*
*
Translations
*
*
Elementos de Simetria
2. Inversão (i)
Inversão através de um centro para reproduzir uma base em um padrão simétrico
= símbolo para um centro de inversão
inversão é idêntica a rotação dupla em 2-D, mas é única em 3-D
6
6
Simetria 2-D
*
*
Elementos de Simetria
3. Reflexão (m)
Reflexão através de um “plano espelho” reproduz a base
 = símbolo para um plano espelho
Simetria 2-D
*
*
São 6 operações singulares de simetria 2-D: 
 1 2 3 4 6 m 		
Rotações são operações congruentes
	As reproduções são idênticas
Inversão e reflexão são operações enantiomórficas
	 As reproduções são “de mão invertida”
Simetria 2-D
*
*
Combinações de elementos de simetria são também possíveis.
Para realizar uma análise completa de simetria em torno de um ponto no espaço, deve-se experimentar todas as combinações possíveis destes elementos de simetria.
Para clarificação e facilidade de ilustração, continuarão a ser considerados exemplos 2-D.
Simetria 2-D
*
*
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
Simetria 2-D
*
*
Simetria 2-D
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
(poderia ser realizado o outro 
passo primeiro)
*
*
Simetria 2-D
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
(poderia ser realizado o outro 
passo primeiro)
Passo 2: girar (tudo)
*
*
Isso é tudo?
Simetria 2-D
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
(poderia ser realizado o outro 
passo primeiro)
Passo 2: girar (tudo)
*
*
Não! Um segundo espelho é necessário
Simetria 2-D
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
(poderia ser realizado o outro 
passo primeiro)
Passo 2: girar (tudo)
*
*
Simetria 2-D
Experimente combinar um eixo de rotação dupla (2-fold) com um espelho.
O resultado é o Grupo de 
Pontos 2mm
“2mm” indica 2 espelhos
Os espelhos são diferentes
(não equivalentes por simetria)
*
*
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
*
*
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
*
*
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
Passo 2: girar 1
*
*
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
Passo 2: girar 2
*
*
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
Passo 1: refletir
Passo 2: girar 3
*
*
Outros elementos?
Simetria 2-D
Experimente agora combinar um eixo de rotação quádupla (4-fold) com um espelho.
*
*
Simetria 2-D
*
*
Simetria 2-D
*
*
4mm
Simetria 2-D
Por que não 4mmmm?
Nome do grupo de pontos?
*
*
Eixo de rotação tripla (3-fold) com plano espelho gera o grupo de pontos 3m.
Simetria 2-D
*
*
O eixo de rotação sêxtupla (6-fold) com plano espelho gera o grupo de pontos 6mm.
Simetria 2-D
*
*
Todas as outras combinações são ou:
Incompatíveis
(2 + 2 não pode ser realizada em 2-D)
Redundantes com outras já experimentadas
m + m  2mm pois gera 2-fold
Este é o mesmo que 2 + m  2mm
Simetria 2-D
*
*
Os 6 elementos originais de simetria maisas 4 combinações geram 10 possíveis Grupos de Pontos 2-D:
	 1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm
	
Qualquer padrão 2-D de objetos ao redor de um ponto deve adequar-se a um desses grupos.
Simetria 2-D
Símbolos de Hermann-Mauguin: 
usados por cristalógrafos 
C1 C2 C3 C4 C6 Cs C2v C3v C4v C6v 
Símbolos de Schoenflies:
 usados por químicos 
*
*
Crystals and Crystal Structures-R.Tilley (2006)
*
*
Simetria 3-D
*
*
Simetria 3-D
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. rotoinversão 1-fold ( 1 )
*
*
Simetria 3-D
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. rotoinversão 1-fold ( 1 )
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
a. rotoinversão 1-fold ( 1 )
Passo 1: girar 360o/1
	(identidade)
Passo 2: inverter
Esta é a mesma que i, logo
não é uma nova operação
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
b. rotoinversão 2-fold ( 2 )
Passo 1: girar 360o/2
	
Observação: este é um passo
temporário, a base interme-
diária não existe no padrão
final.
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
b. rotoinversão 2-fold ( 2 )
Passo 1: girar 360o/2
Passo 2: inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
b. rotoinversão 2-fold ( 2 )
O resultado:
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
b. rotoinversão 2-fold ( 2 )
Isto é o mesmo que m, logo
não é uma nova operação
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Simetria 3-D
Face inferior
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Passo 1: girar 360o/3
	
Novamente, este é um passo
temporário, a base interme-
diária não existe no padrão
final.
Simetria 3-D
1
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Passo 2: inverter através
do centro
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Término da primeira 
sequência
Simetria 3-D
1
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Girar novamente 360o/3
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Inverter através do 
centro
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Segundo passo completo
para criar a face 3
Simetria 3-D
1
2
3
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Terceiro passo cria a face
4
 (3  (1)  4)
Simetria 3-D
1
2
3
4
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Quarto passo cria a face
5
 (4  (2)  5)
Simetria 3-D
1
2
5
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Quinto passo cria a face
6
 (5  (3)  6)
Sexto passo retorna à 
face 1
Simetria 3-D
1
6
5
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
c. rotoinversão 3-fold ( 3 )
Este é único
Simetria 3-D
1
6
5
2
3
4
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	1: Girar 360o/4
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	1: Girar 360o/4
	2: Inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	1: Girar 360o/4
	2: Inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	3: Girar 360o/4
	
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	3: Girar 360o/4
	4: Inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	3: Girar 360o/4
	4: Inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	5: Girar 360o/4
	
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
	5: Girar 360o/4
	6: Inverter
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
Esta é uma operação única
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
d. rotoinversão 4-fold ( 4 )
Um representante mais 
simples do padrão
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Comece com esta estrutura:
Simetria 3-D
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
3
4
2
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
*
*
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
*
*
Simetria 3-D
1
2
3
4
5
6
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
*
*
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
Obs.: este é o mesmo que o eixo
de rotação 3-fold perpendicular
 a um plano espelho
(combinações de elementos 
 seguintes)
Simetria 3-D
Top View
*
*
Simetria 3-D
Top View
Novos Elementos de Simetria 3-D
4. Rotoinversão
e. rotoinversão 6-fold ( 6 )
	Um padrão mais simples
*
*
Simetria 3-D
Agora são 10 únicas operações de simetria 3-D: 
 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 	
Combinações desses elementos são também possíveis
Uma análise completa de simetria em torno de um ponto no espaço requer que sejam experimentadas todas as combinações possíveis desses elementos de simetria
*
*
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
a. Eixo de rotação paralelo a um espelho
Mesmo que em 2-D
2 || m = 2mm
3 || m = 3m, também 4mm, 6mm
b. Eixo de rotação  espelho
2  m = 2/m
3  m = 3/m, também 4/m, 6/m
c. Maioria das outras rotações + m são impossíveis
Eixo 2-fold em um ângulo diferente ao espelho?
Alguns casos em 45o ou 30o são possíveis.
*
*
Simetria 3-D
Combinações de elementos de simetria 3-D
d. Combinações de rotações
2 + 2 em 90o  222 (terceiro 2 necessário a partir da combinação)
4 + 2 em 90o  422 ( “ “ “ )
6 + 2 em 90o  622 ( “ “ “ )
*
*
Simetria 3-D
Como em 2-D, o número de combinações possíveis é limitado apenas pela incompatibilidade e redundância
Há 22 combinaçõespossíveis e únicas em 3-D, que quando combinadas com as 10 originais, resultam nos 32 Grupos de Pontos em 3-D
*
*
Simetria 3-D
Porém, isso é difícil visualizar (ou no mínimo mostrar em 3-D no papel)
Fig. 5.18 de Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
*
*
Simetria 3-D
Os 32 Grupos de Pontos em 3-D
Todo padrão 3-D deve adequar-se a um deles.
Isto inclui todo cristal e todo ponto dentro de um cristal
Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
*
*
Simetria 3-D
Os 32 Grupos de Pontos em 3-D
Reagrupados por Sistema Cristalino
(haverá mais quando forem consideradas as translações)
Tabela 5.3 de Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
*
*
11 Laue classes, each of which contains the centrosymmetric and non-centrosymmetric crystallographic point groups that behave in the same way when investigated by centrosymmetric physical properties.
*
*
Simetria de algumas direções mostradas nas projeções padrão para cristais cúbicos
*
*
Exemplos de operações de simetria
Simetria 4 no eixo z
x
y
*
*
m
Exemplo of simetria m perpendicular ao eixo y
*
*
Simetria 2 no eixo x
*
*
Simetria1
*
*
Simetria 1/m
Simetria2 no eixo z
=
*
*
Elementos de simetria mostrados na projeção esterográfica:
*
*
Os 32 Grupos de Pontos
Operações de simetria sem operação de translação nos 7 sistemas cristalinos resultam nos 32 Grupos de Pontos.
Estes são conhecidos como “Classes Cristalinas”.
*
*
32 Grupos de Pontos
*
*
*
*
Grupos Espaciais
	Combinação de todas as operações de simetria disponíveis (operações de grupo de pontos mais deslizamentos e hélices) com as translações de Bravais levam às 230 combinações, os 230 Grupos Espaciais. 
Eixos de hélice combinam rotação em torno de um eixo com translação paralela a ele. Rotações podem ser 180o, 120o, 90o or 60o definindo os eixos 2-, 3-, 4- e 6-, respectivamente. 
Planos de deslizamento combinam reflexão através de um plano combinada com translação paralela a ele. Deslizamentos são expressos como uma direção (a,b,c) com um índice subscrito, indicando quantos deslizamentos ocorrem em uma distância unitária. 
*
*
http://cristal.iqsc.usp.br/files/Grupos-Espaciais.pdf
*
*
Operadores de Simetria
Todos os movimentos que permitem um padrão ser transformado a partir de uma posição inicial para uma final tal que os padrões inicial e final sejam indistinguíveis.
Grupos de Pontos:
Operações de simetria definidas em relação a um ponto do espaço que permanece estacionário (i.e., não se move) durante a a operação.
Aplicam-se a objetos ocupando pontos da rede.
*
*
Operadores de Simetria
Todos os movimentos que permitem um padrão ser transformado a partir de uma posição inicial para uma final tal que os padrões inicial e final sejam indistinguíveis.
 Todos os cristais exibem simetria translacional.
 Todos os outros elementos de simetria devem ser consistentes com a simetria translacional da rede.
*
*
Outros Operadores de Simetria
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Os 230 Grupos Espaciais (pt. 1) 
Crystal Class		Space Group			
*
*
Os 230 Grupos Espaciais (pt. 2) 
Crystal Class		Space Group			
*
*
Notação para Estruturas Cristalinas
Utilizados para descrever os grupos espaciais
1. Hermann-Mauguin (HM) (aka the ‘International’ system) – preferido para descrever estruturas cristalinas em metais e cerâmicos
2. Pearson
3. Strukturbericht
4. Schoenflies
*
*
Dados de grupos espaciais (SG) permitem-nos definir as reflexões permitidas e ausentes em um padrão de difração.
Fornecem todas as informações necessárias a respeito de simetria e deslocamento de base.
Aparecem nos arquivos de difração de raios X (i.e., ICDD, JCPDS, ou PDF) e em Tabelas Internationais de Cristalografia.
*
*
http://www.icdd.com/resources/webpdf/explain.htm
*
*
 Símbolo de Grupo Espacial 
Herman-Mauguin (HM)
O símbolo HM é derivado do tipo de rede de Bravais e dos elementos de simetria presentes no cristal.
(Letra) · (primária) · (secondária) · (terciária)
A letra identifica a centragem da rede: 
P = primitiva 
I = corpo centrada 
F = face centrada 
C, B, A = centrada em C, B, A
R = romboédrica
H = hexagonal 
Os três símbolos seguintes denotam os elementos de simetria relacionados a certas direções (grupo de pontos + elemento translacional).
*
*
*
*
[100] – eixo paralelo ou plano perpendicular ao eixo a. [010] – eixo paralelo ou plano perpendicular ao eixo b. [001] – eixo paralelo ou plano perpendicular ao eixo c. [110] – eixo paralelo ou plano perpendicular à linha que faz 45° com os eixos x e y. [1 1 0] – eixo paralelo ou plano perpendicular à face ab de uma célula hexagonal. [111] – eixo paralelo ou plano perpendicular à diagonal da célula.
*
*
*
*
O símbolo Herman-Mauguin completo mostra:
Tanto o eixo de rotação como o de hélice paralelos à direção especificada.
Qualquer plano espelho ou de deslizamento perpendicular à mesma direção. Ou 
Os dois símbolos separados por uma barra (/)
Exemplos:
*
*
Símbolo Herman-Mauguin curto
Os símbolos curtos HM contêm apenas os componentes de planos de espelho e deslizamento para direções primárias, secundárias e terciárias.
*
*
Simetria de uma Rede Cúbica P
*
*
http://www.materials.ac.uk/elearning/matter/Crystallography/3dCrystallography/3DSymmetry.html
*
*
*
*
*
*
Posições ocupadas por átomos na célula unitária:
gerais: (x, y, z)
gerais equivalentes geradas por operações de simetria:
máxima multiplicidade
especiais: caem sobre elementos de simetria
menor multiplicidade
Letra/símbolo de Wyckoff: a, b, c, ..., da menor para maior multiplicidade.
Ex. Grupo Espacial No. 75: P4
*
*
Construindo Uma Célula Unitária a partir do SG
Ex.: estrutura do fosfeto de césio, Cs3P7, pertence ao SG P41, e tem parâmetros de rede a = b = 0,9046 nm, c = 1,6714 nm. Tetragonal.
Z = 4 (no. de unidades de Cs3P7 por célula unitária).
 
*
*
*
*
*
*
*
*
	With no knowledge of the symmetry diagram we can identify the crystal system from the space group symbol.
Cubic – The secondary symmetry symbol will always be either 3 or 3 (i.e. Ia3, Pm3m, Fd3m) 
Tetragonal – The primary symmetry symbol will always be either 4, ( 4), 41, 42 or 43 (i.e. P41212, I4/m, P4/mcc) 
Hexagonal – The primary symmetry symbol will always be a 6, ( 6), 61, 62, 63, 64 or 65 (i.e. P6mm, P63/mcm) 
Trigonal – The primary symmetry symbol will always be a 3, ( 3), 31 or 32 (i.e P31m, R3, R3c, P312) 
Orthorhombic – All three symbols following the lattice descriptor will be either mirror planes, glide planes, 2-fold rotation or screw axes (i.e. Pnma, Cmc21, Pnc2) 
Monoclinic – The lattice descriptor will be followed by either a single mirror plane, glide plane, 2-fold rotation or screw axis or an axis/plane symbol (i.e. Cc, P2, P21/n) 
Triclinic – The lattice descriptor will be followed by either a 1 or a ( 1). 
Summary:
*
*
Wyckoff Sites 
The Wyckoff positions tell us where the atoms in a crystal can be found. 
Wyckoff position denoted by a number and a letter. Number is called multiplicity of the site and letter is called Wyckoff site. 
Multiplicity tells us how many atoms are generated by symmetry if we place a single atom at that position. 
The letter is simply a label and has no physical meaning. They are assigned alphabetically from the bottom up. 
	The uppermost Wyckoff position (with highest multiplicity), corresponding to an atom at an arbitrary position never resides upon any symmetry elements. This Wyckoff position is called the general position. All of the remaining Wyckoff positions are called special positions. They correspond to atoms which lie uponone of more symmetry elements, because of this they always have a smaller multiplicity than the general position. 
Para encontrar a posição de Wyckoff: 
http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-wp-list
*
*
http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-wp-list
*
*
PowderCell
PowderCell é um programa simples e gratuito que permite:
visualização estrutural
cálculo teórico do padrão de pó de difração de raios X
refinamento de Rietveld
Para baixar o programa:
http://www.ccp14.ac.uk/ccp/web-mirrors/powdcell/a_v/v_1/powder/e_cell.html
Para instruções de uso:
http://www.ehu.es/imacris/PIE05/web/PowderCell.htm
Exemplo: Al2O3 (corundum)
Para extrair dados necessários ao uso do programa
http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-wp-list
http://rruff.geo.arizona.edu/AMS/amcsd.php
Prática: NaCl, ZnS, FeSi, CsCl, AuCu3
*
*
*
*
*
*
http://rruff.geo.arizona.edu/AMS/amcsd.php
American Mineralogist Crystal Structure Database
Crystallographic Information File
*
*
http://webmineral.com/data/Corundum.shtml
*
*
http://www.cryst.ehu.es/cgi-bin/cryst/programs/nph-wp-list?gnum=167&grha=hexagonal
*
*
Load structure file (.cel) 
Modify/Create the unit cell
look at the whole cell
Play with the structure
generate the pattern
pattern refinement
*
*
site occupation factor = SOF
*
*
*
*
Obs.: The corundum crystal structure, found for Al2O3, consists of an HCP arrangement of O2- ions.
(a) Which type of interstitial site will the Al3+ ions occupy? Why?
(b) What fraction of the available octahedral positions are filled with Al3+ ions?
(c) Sketch two close-packed O2- planes stacked in an AB sequence, positioning the Al3+ ions.
(a)
(b)
(c)
O raio iônico do Al3+ é menor que o do O2-
*
*
diffracted beam
incoming beam
q
q
Give the experimental information, mainly:
Wavelength 
experimental geometry
*
*
y2o3.x_y
SNLS – XRPD tutorial/dati
Data and model patterns are closely similar, our model/hypothesis seems correct, now we must derive quantitative crystallographic information from the XRPD patterns!
*
*
Códigos de Símbolos de Pearson (PSC)
*
*
Notação para Estruturas cristalinas
*
*
*
*
cP4
*
*
(Structure Reports)
*
*
L12
Símbolo de Pearson: cP4
*
*
*
*
*
*
Rede Recíproca
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
Rede Recíproca
Fornece uma representação vetorial das direções cristalinas e do espaçamento entre os planos.
Espaço real: (parâmetros de rede definem a rede)
a, b, c, , , 
Espaço recíproco: (outro tipo de rede)
a*, b*, c*, *, *, *
*
*
Cristal CFC
Espaço real
Espaço recíproco
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
Rede Recíproca
Para um rede arbitrária no espaço real (a ≠ b ≠ c, ≠  ≠  ≠ 90o):
V = volume da célula unitária = a∙(bᵡc) = b∙(cᵡa) = c∙(aᵡb)
a*plano bc no espaço real; é o vetor de rede recíproca para a;
b*plano ac no espaço real; é o vetor de rede recíproca para b;
c*plano ab no espaço real; é o vetor de rede recíproca para c;
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
 Leng, Y. MATERIALS CHARACTERIZATION: Introduction to Microscopic and Spectroscopic Methods, 2008.
*
*
Rede Recíproca
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
Rede Recíproca
Em redes reais ortogonais (a⊥b, b⊥c e c⊥a):
a∗//a, b∗//b e c∗//c
Direção na rede cristalina no espaço real:
 
Direção na rede recíproca no espaço recíproco:
 
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
u, v, w = inteiros
h, k, l = inteiros
*
*
Construção de uma Rede Recíproca 2D
Desenhe o plano de rede e marque a célula unitária. 
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
Desenhe linhas perpendiculares aos dois lados da célula unitária para obter as direções dos vetores-base da rede recíproca.
Construção de uma Rede Recíproca 2D
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
Determine as distâncias perpendiculares da origem da rede direta às faces terminais da célula unitária, d10 e d01 e calcule os inversos dessas distâncias, 1/d10 e 1/d01, como os comprimentos dos eixos de rede recíproca, a* e b*. 
Construção de uma Rede Recíproca 2D
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
Marque os pontos de rede com as distâncias recíprocas apropriadas e complete a rede. 
Construção de uma Rede Recíproca 2D
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
O vetor que liga a origem da rede recíproca ao ponto de rede hk é perpendicular aos planos (hk) na rede real e de comprimento 1/dhk.
Construção de uma Rede Recíproca 2D
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
(a) seção a–c da célula unitária em uma rede direta monoclínica (mP);
(b) eixos da rede recíproca perpendiculares às faces terminais da célula direta;
(c) pontos da rede recíproca são espaçados de a*=1/d100 e c*=1/d001;
(d) o plano de rede é completado estendendo-se a rede de pontos;
(e) a rede recíproca é completada por meio da adição de camadas acima e abaixo do plano anterior.
Construção de uma Rede Recíproca 3D
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
Todo ponto na rede recíproca representa um conjunto de planos na rede real.
Os vetores da rede recíproca são perpendiculares aos planos da rede real.
Rede Recíproca Cúbica
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
Rede Recíproca Hexagonal
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
Todo ponto na rede recíproca representa um conjunto de planos na rede real.
*
*
CCC & CFC são redes recíprocas uma da outra
web.eecs.utk.edu/~ggu1/files/ECE692_2_1208.ppt
*
*
1D case
2D case
Caso 3D: CCC
Importante
web.eecs.utk.edu/~ggu1/files/ECE692_2_1208.ppt
A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto de rede é definida como o locus dos pontos no espaço que estão mais próximas ao ponto de rede do que qualquer outro ponto da rede.
A célula pode ser escolhida por escolher um ponto de rede. Em seguida, linhas são desenhadas para todos os pontos mais próximos da rede. No ponto médio de cada linha, uma outra linha (ou um plano, em 3D) é traçada, normal a cada uma das linhas traçadas inicialmente.
Célula Primitiva de Wigner-Seitz
*
*
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
Figure 2.5 The construction of a Wigner-Seitz cell or Dirichlet region: 
draw a line from each lattice point to its nearest neighbours;
draw a set of lines normal to the first, through their mid-points; 
the polygon formed, (shaded) is the cell required
*
*
Figure 2.9 Wigner-Seitz cells: 
the body-centred cubic lattice; 
the Wigner-Seitz cell of (a);
the face centred cubic lattice; 
the Wigner-Seitz cell of (c). The face-centred cubic lattice point marked * forms the
central lattice point in the Wigner-Seitz cell
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
A construção no espaço recíproco idêntica à usada para delinear a célula de Wigner-Seitz no espaço direto resulta em uma célula chamada primeira zona de Brillouin.
A zonas de Brillouin são importantes no estudo das estruturas de bandas de energia eletrônicas dos cristais.
Primeira Zona de Brillouin
*
*
Figure 2.7 The first Brillouin zone of a reciprocal lattice: 
the real lattice and Wigner-Seitz cell;
the reciprocal lattice andfirst Brillouin zone.
The zone is constructed by drawing the perpendicular bisectors of the lines connecting the origin, 00, to the nearest neighbouring lattice points, in an identical fashion to that used to obtain the Wigner-Seitz cell inreal space
Tilley, R. Crystals and Crystal Structures, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
*
*
Importância da Rede Recíproca na Difração
Quando um evento de difração ocorre, o padrão (feixe) difratado corresponde a uma rede recíproca.
Lei de Bragg: (define as condições nas quais um cristal está orientado para o espalhamento coerente)
Pode-se combinar n e d como:
A lei de Bragg pode ser reescrita como:
oposto
hipotenusa
*
*
 
que pode ser reescrito como:
 
Como B é um ponto da rede recíproca:
 
Rede Recíproca – Esfera de Ewald
 A dimensão da esfera corresponde ao comprimento de onda da radiação usada.
A rotação do cristal fará com que pontos fiquem na superfície da esfera
Quando pontos estão na esfera, a lei de Bragg é satisfeita. 
 e
*
*
Rede Recíproca – Esfera de Ewald
Ver link http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/reciprocal_lattice/ewald.php
*
*
Rede Recíproca – Esfera de Ewald
http://www.e-campus.uvsq.fr/courses/CRISTAL/document/textes_cours_cristallo-exterieurs/Introduction_to_diffraction2.html
*
*
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
http://bama.ua.edu/~mweaver/mte481.htm
From the file 15_MTE481-RECIPROCAL_LATTICE
*
*
*
*
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=africanschoolxrdtutorial&source=web&cd=3&ved=0CEQQFjAC&url=http%3A%2F%2Fwebusers.fis.uniroma3.it%2F~meneghini%2Fsoftware%2FAfricanSchoolXRDtutorial.ppt&ei=oTxdT5CHMoXJgQeFm92yDA&usg=AFQjCNG0sYYhmOyUu2wSUMrmDijDbcs5hA&cad=rja
*
http://bama.ua.edu/~mweaver/courses/MTE481/12_MTE481-CRYSTAL_GEOMETRY.pdf
*