Desconto Simples I

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MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Luiz Eurico Junqueira Coli 
 DAE/UFLA
Universidade Federal de Lavras – UFLA
Departamento de Administração e Economia
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DESCONTO SIMPLES 
Noção:
1.3.1 Introdução
	A operação de desconto trata do abatimento do valor registrado no título, em seu vencimento. Representa uma dedução sobre o valor de face de um título, devido ao fato da operação de desconto ser efetuada antes do vencimento do mesmo.
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.1 Introdução
n
m
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DESCONTO SIMPLES 
Noção:
1.3.1 Introdução
	O ‘desconto’ pode ser interpretado como o valor abatido do título na operação de desconto. Já o valor obtido pelo portador na transação recebe o nome de ‘valor descontado’. Ainda, pode-se chamar o valor do título em seu vencimento de ‘valor nominal’ ou ‘montante’. Portanto, o desconto corresponde à diferença entre o montante e o valor descontado do título.
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DESCONTO SIMPLES 
Noção:
1.3.1 Introdução
	O valor do desconto depende do valor nominal do título, de uma taxa usada na operação e do intervalo de tempo entre o desconto e o vencimento do título. A taxa empregada na operação é denominada ‘taxa de desconto’. É chamado de ‘prazo de antecedência’ ou ‘de antecipação’ o intervalo de tempo entre as datas da operação de desconto e a de vencimento do título. 
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DESCONTO SIMPLES 
Noção:
1.3.1 Introdução
No caso mais usual que ocorre no mercado, conhece-se o valor nominal, o prazo de antecedência e a taxa de desconto a ser utilizada para a operação. A questão é calcular o valor do desconto e, por conseqüência, obter o valor descontado. Em termos diagrama, a situação poderia ser representada da forma que segue: 
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DESCONTO SIMPLES 
Em que:
F – valor nominal;
V – valor descontado;
D – desconto;
n – prazo de antecipação;
d – taxa de desconto.
1.3.1 Introdução
d
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DESCONTO SIMPLES 
Observação:
1.3.1 Introdução
	No mercado financeiro, a operação de desconto pode variar conforme o prazo para o vencimento do título. O desconto simples é usado principalmente em operações de curtos prazos, enquanto o composto preferencialmente para o longo prazo. 
Será adotada a letra d para representar a taxa de desconto contratada na operação. Esse expediente visa diferenciar as taxas de desconto e de juros praticadas na operação de desconto. 
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DESCONTO SIMPLES 
Tipos de desconto:
1.3.1 Introdução
No mercado, dois modelos são mais usuais. Isto é:
Desconto racional ou ‘por dentro’;
Desconto comercial ou ‘por fora’.
Observação:
É corrente o uso do modelo de desconto comercial no mercado financeiro.
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
	Nesse tipo de desconto, foi arbitrado que se toma o valor nominal como principal da operação. Assim, o desconto do primeiro período antes do vencimento do título será fornecido pelo produto da taxa de desconto d e do valor nominal F do título. Logo, resultará: D1 = dF.
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
De modo análogo ao juro simples, o desconto periódico não é debitado no próprio período em que é devido, mas apenas na data em que o desconto é praticado. Portanto, o valor nominal servirá de base para o desconto do segundo período antes do vencimento do título. E assim sucessivamente.
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
d
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
1 período antes do vencimento: D1 = dF;
2 período antes do vencimento: D2 = dF;
3 período antes do vencimento: D3 = dF;

2º período antes da data do desconto: Dn–1 = dF;
1º período antes da data do desconto: Dn = dF.
DC = D1 + D2 + D3 + ... + Dn–1 + Dn = dF + dF + dF + ... + dF + dF  
DC = Fdn. (01)
Desenvolvimento:
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
F – valor nominal ou no vencimento do título;
DC – desconto comercial;
n – número de débitos no prazo de antecedência ou de antecipação;
d – taxa de desconto praticada na operação.
Em que:
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
Sabe-se que: VC = F – DC. 
Mas, tem-se: DC = Fdn. 
Logo, fica: VC = F – Fdn 
VC = F(1 – dn). (02)
Em que:
VC – valor descontado comercial.
Valor descontado:
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
Em termos de diagrama, os elementos da operação, podem ser mostrados como se segue:
d
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
	Um título possui um valor de 5.500,00 UM no seu vencimento. O portador se desfez desse título faltando 27 dias para o seu resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial empregada foi de 2% ao mês, qual o valor obtido pelo portador do título?
44º caso:
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
Dados:
F = 5.500,00 UM;
d = 2% ao mês;
n = 27 dias = 27/30 = 0,90 meses;
VC = ?
44º caso:
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DESCONTO SIMPLES 
1.3.2 Desconto comercial ou ‘por fora’
Solução:
DC = Fdn = 5.500,000,020,90  DC = 99,00 UM;
VC = F – DC = 5.500,00 – 99,00  VC = 5.401,00 UM.
Ou:
VC = F(1 – dn) = 5.500,00(1 – 0,020,90)  
VC = 5.500,00(1 – 0,018) = 5.500,000,982  
VC = 5.401,00 UM.
44º caso:
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
	Nesse tipo de desconto, foi arbitrado que se toma o valor descontado como principal da operação. Assim, o desconto do primeiro período antes da data do desconto do título será fornecido pelo produto da taxa de desconto d e do valor descontado racional VR do título. Logo, terá: D1 = dVR. 
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
De modo análogo ao juro simples, o desconto periódico não é debitado no próprio período em que é devido, mas apenas na data em que o desconto é praticado. Portanto, o valor descontado servirá de base para o desconto do segundo período antes da data do desconto. E assim sucessivamente.
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DESCONTO SIMPLES 
Introdução:
d
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DESCONTO SIMPLES 
1 período antes da data do desconto: D1 = dVR;
2 período antes da data do desconto: D2 = dVR;
3 período antes da data do desconto: D3 = dVR;

2º período antes do vencimento: Dn–1 = dVR;
1º período antes do vencimento: Dn = dVR.
DR = D1 + D2 + D3 + ... + Dn–1 + Dn = dVR + dVR + dVR + ... + dVR + dVR  
DR = VRdn. (03)
Desenvolvimento:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
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DESCONTO SIMPLES 
Sabe-se que: DR = F – VR. 
Logo, fica: VR = F – DR. (04)
Mas, sabe-se que: DR = VRdn. Substituindo o valor do desconto na equação (04), resulta:
VR = F – VRdn  VR + VRdn = F  
VR(1 + dn) = F VR = F/ (1 + dn). (04A)
Em que:
VR – valor descontado racional.
Valor descontado:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
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DESCONTO SIMPLES 
Desconto:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
(03A)
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DESCONTO SIMPLES 
Em termos de diagrama, os elementos da operação, podem ser mostrados como se segue:
d
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
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DESCONTO SIMPLES 
	Retomando o 44º caso, mas adotando o modelo de desconto racional, determine o valor obtido pelo portador do título?
Estudo de caso:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
Dados:
F = 5.500,00 UM;
d = 2% ao mês;
n = 27 dias = 27/30 = 0,90 meses;
VR = ?
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DESCONTO SIMPLES 
Solução:
1.3.3 Desconto racional ou ‘por dentro’
VR  5.402,75 UM.
Ou:
Mas: VR = F – DR = 5.500,00 – 97,25  VR  5.402,75 UM.
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