estaero curvas horizontais

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Prof. Eng. Msc. Afonso Correa de Virgillis
Prof. Eng. Msc. Valdir Aparecido Galiano
1º semestre de 2019
TRANSPORTES 1
Aula 3
Alinhamentos longitudinais
Azimutes e ângulos de deflexão
Curvas Horizontais
Transportes
Elementos Geométricos
Transportes
Alinhamento Longitudinal
• Eixo de uma estrada é o alinhamento longitudinal 
da mesma. Nas estradas de rodagem, o eixo 
localiza-se na região central da pista.
• A apresentação de um projeto em planta consiste 
na disposição de uma série de alinhamentos 
retos, concordados pelas curvas de concordância 
horizontal.
• Um alinhamento caracteriza-se pelo seu 
comprimento e pela sua posição relativa (quando 
se refere à deflexão) ou absoluta (quando se refere 
ao azimute).
Transportes
Transportes
Azimutes e Ângulos de Deflexão
• Calcula-se os azimutes e comprimentos dos alinhamentos a partir 
de suas coordenadas retangulares (N, E)
• Os azimutes obtidos estão compreendidos entre 0º e 360º .
•O traçado das estradas é uma poligonal aberta e nos projetos seus 
alinhamentos têm desenvolvimento da esquerda para direita.
N
S
E 360º
90º
PP= ponto de Partida
Início
Final
Transportes
Azimutes
Transportes
Azimutes
(0º ≤ Az 180º)
180º < Az ≤ 360º
Transportes
Coordenadas retangulares da Poligonal
NB
NC
ECEB
Transportes
Coordenadas retangulares da Poligonal
Em geral, para um ponto de ordem i:
Transportes
Coordenadas retangulares da Poligonal
Para o cálculo das coordenadas é necessário o conhecimento dos 
azimutes de cada alinhamento da poligonal, os quais podem ser 
deduzidos a partir do azimute do primeiro alinhamento 0 a e dos ângulos 
de deflexão D.
Dedução do azimute de um alinhamento
De posse do primeiro azimute e 
considerando os elementos da 
figura, os demais azimutes são 
calculados da seguinte maneira:
Transportes
Coordenadas retangulares e Deflexão
Generalizando, temos:
Da expressão também se deduz que o ângulo de deflexão ∆ entre 
dois alinhamentos de azimutes conhecidos é igual à diferença entre 
eles, sendo a deflexão direita ou esquerda, se o resultado for 
positivo ou negativo, respectivamente.
direita positivo ou 
esquerda negativo
Em relação ao sentido 
do percurso
Deflexão ∆ = Azimute n+1 − Azimute n
posterior anterior
Transportes
Curvas Horizontais
Transportes
Curvas Horizontais
As curvas de concordância horizontal são os elementos utilizados 
para concordar os alinhamentos retos.
Essas curvas podem ser classificadas em:
•SIMPLES: quando se emprega apenas arco de círculo.
•COMPOSTAS COM TRANSIÇÃO: quando são empregadas as radióides 
na concordância dos alinhamentos retos.
•COMPOSTAS SEM TRANSIÇÃO: são utilizados dois ou mais arcos de 
círculo de raios diferentes.
Transportes
Curvas Horizontais
Radióde é a espiral de transição da curva para a reta 
ou tangente.
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Curvas Horizontais
Quando duas curvas se cruzam em sentidos opostos com o 
ponto de tangência em comum, recebem o nome de curvas 
reservas
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Curvas Horizontais
Recomendações das Normas do DNER
Recomendações quanto ao traçado em planta:
•os traçados devem ser constituídos, em planta, por 
arcos de circunferência de raios e 
desenvolvimento tão amplos quanto a topografia 
o permitir, concordados por pequenas tangentes 
que pareçam, em perspectiva, partes integrantes de 
curvas compostas e contínuas.
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Curvas Horizontais
Recomendações das Normas do DNER
Recomendações quanto ao traçado em planta:
Transportes
Curvas Horizontais
Recomendações das Normas do DNER
Recomendações quanto ao traçado em planta:
• as tangentes longas devem ser evitadas,
• A extensão em tangente não deve ser maior que 3 
km, não devendo ser maior que 2,5 vezes o 
comprimento médio das curvas adjacentes, nem 
maior que a distância percorrida por um veículo, na 
velocidade diretriz, durante o tempo de 1,5 min.
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Curvas Horizontais
Recomendações das Normas do DNER
Recomendações quanto ao traçado em planta:
• Nas extremidades de tangentes longas não 
devem ser projetadas curvas de pequeno raio;
• Deve-se evitar o uso de curvas com raios muito 
grandes (maiores que 5.000 m, por exemplo), 
devido a dificuldades que apresentam para o seu 
percurso pelos motoristas;
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Curvas Horizontais
Recomendações das Normas do DNER
Recomendações quanto ao traçado em planta:
• Raios de curvas consecutivas não devem sofrer grandes 
variações, devendo a passagem de zonas de raios grandes para 
zonas de raios pequenos ser feita de forma gradativa;
• A relação entre os raios de curvas consecutivas deve ser 
estabelecida de acordo com os critérios expressos no gráfico da 
figura:
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Curvas Horizontais
Transportes
Curva Circular Simples - Geometria
PC = ponto de curva ou ponto de curvatura;
PT = ponto de tangente ou ponto de tangência;
PI = ponto de interseção das tangentes;
D = desenvolvimento da curva;
∆= ângulo de deflexão;
AC = ângulo central da curva;
R = raio da curva circular;
T = tangente externa;
O = Centro da curva;
E = afastamento;
G = grau da curva;
c = corda; 
d = deflexão sobre a tangente
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Curva Circular Simples - Geometria
a) RAIO DA CURVA (R) É o raio do arco do círculo empregado 
na concordância, normalmente expresso em metros. É um 
elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com as 
características técnicas da rodovia e a topografia da região.
b) ÂNGULO CENTRAL (AC) É o ângulo formado pelos raios que 
passam pelo PC e PT e que se interceptam no ponto O. Estes raios 
são perpendiculares nos pontos de tangência PC e PT. Este ângulo 
é numericamente igual a deflexão (∆) entre os dois alinhamentos, 
como pode ser demonstrado:
A soma dos ângulos internos do quadrilátero PC,PI,PT,O vale:
Portanto:
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Curva Circular Simples - Geometria
c) TANGENTES (T) São os 
segmentos de retas que vão do PC 
ao PI ou do PI ao PT
No triângulo PC, O, PI obtém-se:
Logo:
d) DESENVOLVIMENTO DA CURVA 
(D) É o comprimento do arco do 
círculo que vai desde o PC ao PT. É
obtido da seguinte expressão:
Logo:
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Curva Circular Simples - Geometria
e) GRAU DA CURVA (G) Chama-se 
"grau da curva circular" ao ângulo 
central, que compreende uma corda de 
um dado comprimento (c). O grau é 
independente do ângulo central.
Considerando a seguinte proporção na Fig.
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Curva Circular Simples - Geometria
Os valores mais usados do grau são o G20, que 
compreende uma corda de 20 metros (distância entre 
duas estacas consecutivas), o G10 (que compreende 
a semi-estaca ou 10 metros) e o G5 que compreende 
a corda de 5 metros. Assim, teremos:
Para c = 20 m: Para c = 10 m: Para c = 5 m:
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Curva Circular Simples - Geometria
f) RELAÇÃO CLÁSSICA ENTRE O RAIO (R) E O 
GRAU DA CURVA (G):
Pode-se definir uma curva circular pelo seu grau 
(G) em lugar de se definir o seu Raio (R), pois 
existe uma relação constante entre o RAIO e o 
GRAU, que será mostrada como segue:
Considerando-se a seguinte proporção:
chega-se a:
Considerando: arco(AB) ≈ c, podemos escrever:
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Curva Circular Simples - Geometria
Para c = 20 m: Para c = 10 m: Para c = 5 m:
Quando se faz a substituição do comprimento do arco 
de uma curva pela sua respectiva corda, comete-se 
um erro, cuja grandeza passa a ser mais significativa 
à medida que se aumenta o comprimento da corda.
Utilizando-se as cordas que comumente são usadas 
nos traçados rodoviários, chega-se aos seguintes 
valores:
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Curva Circular Simples - Geometria
g) DEFLEXÃO PORMETRO (dm):
Durante os trabalhos de locação é de fundamental importância que se 
conheça o ângulo de deflexão entre uma tangente e uma corda 
qualquer que parta do ponto de curvatura (PC).
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Curva Circular Simples - Geometria
Pode-se observar que a 
deflexão “d” é sempre 
igual à metade do grau da 
curva (G) que compreende 
a corda considerada. 
Considerando o triângulo 
PC, O, O’, tem-se que:
implicando que:
Normalmente se busca uma deflexão unitária ou 
deflexão por metro (dm). A deflexão por metro é o 
ângulo do segmento que corresponde a uma corda de 
1 metro.
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Curva Circular Simples - Geometria
h)Afastamento (E): É a distância entre o PI e a curva.
Considerando o triângulo O PC PI :
mas:
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Curva Circular Simples - Geometria
Transportes
Curva Circular Simples - Geometria
EXEMPLO:
Calcular os elementos de uma Curva Circular Simples, 
sendo dados:
PI = Est 180 + 4,12 m
AC = 45° 30‘
R = 171,98 m
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Prof. Eng. Msc. Valdir Aparecido Galiano
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