Funções e Sistema Cartesiano

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 FUNÇÕES 
 
Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
È um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si. 
 
 
 
 
Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano, P(a, b), denominado par ordenado e 
representam as coordenadas do ponto P. 
 
 
Produto cartesiano 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto 
formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento 
pertence a B e indicamos A x B (lê-se: A cartesiano B). 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Vamos formar o conjunto dos pares ordenados: 
A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} 
 
 
Representação Gráfica 
 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, o produto cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), 
(1, 4), (2, 2), (2, 4)} pode ser representado de duas formas: 
 
� Representação por meio de Flechas. 
 
 
 
 
 
� Representação no plano cartesiano 
x 
y 
0 a 
b 
P (a, b) 
1º Quadrante 
2º Quadrante 
3º Quadrante 4º Quadrante 
Eixo da abscissa. 
Eixo da ordenada. 
A B 
0 
1 
2 
2 
4 
 2
 
 
 
Definição de relação 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {2, 4} e o produto cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), 
(1, 4), (2, 2), (2, 4)}. Considere o exemplo: 
 
1º) O conjunto R dos pares ordenados (x, y) de A x B tais que y é o dobro de x. Assim: 
R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x} = {(1, 2), (2, 4)} 
 
O conjunto R, assim formado, nos mostra uma relação entre os elementos de A e B e é 
chamado relação de A em B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, dá-se nome de relação R de A em B 
a qualquer subconjunto de A x B. 
 
Podemos observar que, numa relação R de A em B, o conjunto R é formado pelos pares (x, 
y) em que o elemento x ∈ A é associado ao elemento y ∈ B mediante uma lei de associação. No 
exemplo, a lei de associação é y = 2x. 
 
 
Representação Gráfica de uma relação 
 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, e a relação R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}, podemos 
representar graficamente esta relação R nas seguintes formas: 
 
� Representação por meio de Flechas. 
 Sabemos que R = {(1, 2), (2, 4)} 
 
 
 
2.2. Definição de Função 
A B 
0 
1 
2 
2 
4 
( 0, 2) 
0 1 2 x 
y 
2 
4 
( 2, 2) 
( 2, 4) 
( 1, 2) 
( 1, 4) ( 0, 4) 
Cada par ordenado A x B 
é representado por um ponto 
no plano cartesiano. 
Os elementos de A 
associados com os 
elementos de B 
chamamos de Domínio. 
D = {1, 2} 
Os elementos de B 
que foram associados com 
os elementos de A 
chamamos de Imagem. 
Im = {2, 4} 
 3
 
Introdução. 
 
 Na Matemática, como em outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação 
ou correspondência entre dois conjuntos. 
 Sendo assim, uma relação pode seguir uma lei. 
 
Exemplo: Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5} e seja a relação dada por R = {(x, y) ∈ 
A x B | y = x + 1}, teremos então R = {(1,2), (2,3), (3,4)}. 
 
� Representação por flechas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação da relação y = x + 1 
 
 
� Representação no plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação da relação y = x + 1 
 
Observe que: 
i) Todos os elementos de A estão associados a elementos de B. 
ii) Cada elemento de A está associado a um único elemento de B. 
 
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 1 é uma função de A em B. 
 
Exemplos que não representam uma função. 
a) Sejam dois conjuntos A = {0, 2, 3} e B = {-4, 2, 5} e seja a relação dada por 
 R = { (x,y) ∈ A x B | y = x + 2}. 
b) Sejam dois conjuntos A = {16, 81} e B = {-4, 4, 9} e seja a relação dada por 
 4
 R = { (x,y) ∈ A x B | y = x }. 
 
OBS: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação de f de A em B, temos a seguinte 
anotação: f : A →→→→ B e y = f(x). 
 
 
2.2.1. DOMÍNIO e IMAGEM 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-5, -4, -3, -1, 1, 3} e seja f : A → B definida por 
f(x) = 2x – 3. 
 
 
Determine: 
 
Imagem (Im): 
 
Domínio (D): 
 
Contradomínio (CD): 
 
 
 
 
 Representação por flechas da relação y = 2x – 3. 
 
2.2.2. Estudo e Representação gráfica de uma função. 
 
Exemplos: 
 
1) Dados M = {0, 1, 2} e N = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, construa o gráfico da função f : M → N definida por f(x) 
= x + 2, no plano cartesiano e determine o Domínio e a Imagem. 
 
2) Construir no plano cartesiano o gráfico da função f : ℜ → ℜ definida por f(x)= 2x+3 e determine o 
Domínio e a Imagem. 
 
3) A partir do gráfico, determine o conjunto imagem e domínio das funções: 
 
 
 
 
 
x 
y 
-3 
-2 
 1 
2 
a) 
0
x 
-2 
3 
 3 
1 
0
x 
x 
y b) 
2 
 -1 
0
x 
x 
y c) 
0
x 
-1 
4 
2 
 1 
x 
y d) 
 1 4 
 5
 
 
2.2.4. Função Par e Função Ímpar 
 
���� Função par 
 
Consideremos a função f: IR → IR, definida por f(x) = x2 
Calcular: 
 
f(1) = 1 f(2) = 4 
f(-1) = 1 f(-2) = 4 
 
Qualquer que seja x ∈ D (domínio) ocorre f(x) = f(-x); neste caso, dizemos 
que a função é par. 
 
���� Função ímpar 
 
Consideremos a função f: IR → IR, definida por f(x) = 2x 
Calcular: 
 
f(1) = 2 f(2) = 4 
f(-1) = - 2 f(-2) = - 4 
 
 
Qualquer que seja x ∈ D (domínio) ocorre f(x) = - f(-x); neste caso, dizemos 
que a função é ímpar. 
 
 
2.2.5. Função Composta 
 
Definição: 
Dadas as funções f : A → B e g : B → C, denominamos função composta de g e f a função 
( ) )(xfg o = g(f(x)), x ∈ A. 
 
x 
y 
-3 
-2 
e) 
0
x 
0
x 
x 
y f) 
0
x 
x 
y 
g) 
0
x 
x 
y h) 
A B C 
x 
f(x) 
g(f(x)) 
f g 
fg o
 
 6
Exemplos: 
 
1) Sejam f(x) = 3x – 2 e g(x) = 4x + 1. Determine: 
a) ( ) )(xfg o = g(f(x)) = g(3x – 2) = 4.(3x – 2) + 1 = 12x – 8 + 1 = 12x - 7 
b) ( ) )(xgf o = f(g(x)) = 
 
2.2.6. Função Inversa 
 
Dados A = { 1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, consideremos as funções f : A → B definida por y = 2x 
e g : B → A definida por y 
2
x
= . 
 
 
 
 função g é chamada função inversa da função f. Indica-se por f -1. 
 
Processo algébrico para o cálculo da função inversa. 
 
Na situação que acabamos de ver, dada uma função cuja lei é f(x) = 2x, a função f-1, inversa 
de f, tem como lei f-1(x) 
2
x
= . 
Veja um roteiro que nos permite, a partir de f, chegar a f-1. 
 
� Escrever f(x) = 2x na forma y = 2x; 
� Em y = 2x, trocamos y por x e x por y, obtendo x = 2y; 
� Em x = 2y, determinamos y em função de x, obtendo y 
2
x
= ; 
� Escrevemos y 
2
x
= na forma f-1(x) 
2
x
= , que é a inversa de f. 
 
1º Exemplo: Achar a expressão que representa a inversa da função y = -3x + 5. 
 y = -3x + 5 
 x = - 3y + 5 
 3y = - x + 5 
 
3
5xy +−= 
3
5x(x)f 1 +−=− 
2º Exemplo: Dada a função IRIR f→ definida por 
4
f(x) 23 −= x , determine f-1(7). 
 
 
A B 
1 
2 
3 
2 
4 
4 
6 
8 
f(x) = 2x 
A B 
1 
2 
3 
2 
4 
4 
6 
8 
g(x) 
2
x
= 
Domínio Domínio 
 7
Exercícios – Funções 
 
1) Dadas as funções definidas por f(x) = 
2
12 +x e g(x) = 1
5
2
+
x
, determine o valor de f(2) + g(5). 
 
2) Dada a função f(x) = 
3
1
2
1
−
+
− xx
, determine: 
a) qual o valor de f(-1)?; 
b) calcule m de modo que 
2)f(1)f(
f(0)f(1)
m
−−−
+
= ; 
c) calcule x para que 
2
3)( =xf . 
 
3)Classifique as funções a seguir em par, ímpar e nem par e nem ímpar. 
a) f(x) = 3x e) y = 7x4 
b) f(x) = x2 + 1 f) y = 
x
1
 
c) f(x) = -x3 g) f(x) = x2 – 4 
 
d) y = 4x – 1 h) f(x) = x2 + 2x + 1 
 
4) Sendo dados f(x) = x2 + 2 e g(x) = 3x, calcular g(f(x)) e f(g(x)). 
 
5) Dadas às funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = x +1, pede-se: 
a) f(g(x)); b) x de modo que f(g(x)) = 0. 
 
6) Sejam as funções f(x) = x2 – 2x + 1 e g(x) = 2x + 1. Calcule: 
a) ( ) )(xfg o b) ( ) )(xgf o c) f(g(1))= d) g(f(2)) = 
 
7) Seja a função f : IR → IR, dada por f(x) = x2 – 5x + 7. Determine: 
a) a imagem para x = 4; b) o domínio para y = 1. 
 
8) As funções f e g são dadas por f(x) = 2x – 3 e g(x) = 3x + a. Determine o valor de a sabendo que 
f(2) + g(2) = 8. 
 
9) Dada a função f(x) = x2 + 1, determine f(f(2)). 
 
10) Sejam as funções f(x) = x2 – 2x + 1 e g(x) = 2x + 1. Calcule: 
a) f(g(1)) b) g(f(2)) c) f(f(1)) 
 
11) Sendo f(x) = 2x2 e g(x) = x + 1, calcule f(g(2)) + g(f(2)). 
 
12) Seja f : IR → IR a função tal que f(x) = -3x + 5. Determine: 
a) f -1(x) b) f -1(2) 
 
13) Construa cada função em um sistema de coordenadas cartesianas: 
a) f(x) = x2 – 9 b) f(x) = 2x c) f(x) = 
x
4
 
d) f(x) = log2 x ; ( sugestão: faça x = 1/8, x = ¼, x = ½, x = 1, x = 2, x = 4, x = 8) 
 
 
 8
14) Dada f(x) = 
x
x
3
12 −
 (x ≠ 0), determine: 
a) f - 1(1) b) f – 1 (2) 
 
15) Dadas as funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, resolva a equação 
)0(
)2(
))2((
)()1(
f
f
gf
xgf
=
−
. 
16) Dadas as funções f(x) = 8x + 1, g(x) = 2x – 5 e h(x) = x2 + 3, calcule x de modo que f(g(h(x))) = 
g(x) + 28. 
 
 
 
 
Respostas: 
1) 
2
15
 2) a. 
12
7
−
 b. 
2
35
 c. 






3
7
,4 
3) a. ímpar b. par c. ímpar d. nem par e nem ímpar e. par f. ímpar g. par h. nem par e nem ímpar 
 
4) g(f(x)) = 3x2 + 6 f(g(x)) = 9x2 + 2 5) a. f(g(x)) = x2 – 3x + 2 b. {1, 2} 
 
6) a. 2x2 – 4x + 3 b. 4x2 c. 4 d. 3 7) a. 3 b. x = 2 ou x = 3 8) a = 1 
9) f(f(2)) = 26 10) a. 4 b. 3 c. 1 11) 27 
12) a. 
3
5+− x
 b. 1 
 
 
14) a. {- 1 } b. 






−
4
1
 15) 






2
1
 16) 






− 1,
8
7
 
 
 
 
 
0 x 
y 
3 -3 
 -9 
13) a) 
0 x 
y b) 
0 x 
y 
c) 
0 x 
y 
d)