cap2-Sistemas_Tempo_Discreto_v3_24out06

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PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Controle de Processos em Tempo Discreto
Cap´ıtulo 2
Sistemas em Tempo Discreto
Por: Gustavo Henrique da Costa Oliveira
v1 (1s/2006) 2-1
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Conteu´do
1 Introduc¸a˜o e Motivac¸a˜o 4
2 Sistemas em Tempo Discreto 5
3 Amostragem de Sistemas Cont´ınuos - abordagem entrada/sa´ıda 11
3.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Exerc´ıcios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Amostragem de Sistemas Cont´ınuos - abordagem espac¸o de esta-
dos 17
4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 O inverso da amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Sistemas com atraso de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
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4.4 Soluc¸a˜o nume´rica do modelo em espac¸o de estados: . . . . . . . . . 40
4.4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Transformac¸a˜o em func¸a˜o de transfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Ana´lise de Po´los e Zeros 48
5.1 Po´los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Estudos de Caso 55
6.1 Motor DC (Ex. A2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2 Duplo Integrador (Ex. A1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Sistema com atraso (Ex. A4) 59
8 Exerc´ıcios do livro Computer Controlled Systems: 60
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1 Introduc¸a˜o e Motivac¸a˜o
Relógio
D-AA-D ProcessoAlgoritmo
Computador
u(t) y(t)
u(k)y(k)
y(t)
• Seja o sistema em malha fechada acima:
Este sistema possui uma parte em tempo cont´ınuo, dada pelo processo
dinaˆmico a ser controlado, e uma parte em tempo discreto, dada pela
implementac¸a˜o da lei de controle.
• A motivac¸a˜o deste cap´ıtulo e representar o sistema em malha fechada
utilizando somente sinais discretos para, futuramente, realizar a ana´lise da
malha fechada e o projeto do controlador.
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2 Sistemas em Tempo Discreto
O Somato´rio de Convoluc¸a˜o
• Matematicamente, sistema em tempo discreto e´ um operador que faz o
mapeamento de uma sequeˆncia (sinal) de entrada em uma sequeˆncia (sinal)
de sa´ıda.
y(k) = H{x(k)}
Sistemas Lineares: (Teorema da Superposic¸a˜o)
Quando para y(k) = H{ax1(k) + bx2(k)}
tem-se y(k) = ay1(k) + by2(k)
onde y1(k) = H{x1(k)} e y2(k) = H{x2(k)}
• Sabe-se:
x(k) =
∞∑
n=−∞
x(n)δ(k − n)
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e assumindo H linear, tem-se
y(k) =
∞∑
n=−∞
x(n)H{δ(k − n)}
Sistemas Invariantes no Tempo: Quando
y(k) = H{x(k)} ⇒ y(k − k0) = H{x(k − k0)}
• SLIT → Sistema Linear e Invariante no Tempo
• Se H e´ SLIT e
h(k) = H{δ(k)} e´ a resposta ao impulso de H
enta˜o
h(k − n) = H{δ(k − n)}
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• Assim,
y(k) =
∞∑
n=−∞
x(n)h(k − n)
• Esta equac¸a˜o e´ conhecida como somato´rio de convoluc¸a˜o, y(k) = x(k) ∗ h(k).
• A convoluc¸a˜o e´ comutativa, x(k) ∗ h(k) = h(k) ∗ x(k),
y(k) =
∞∑
n=−∞
h(n)x(k − n)
• Portanto, em SLIT’s, a sa´ıda y(k) correspondente a uma entrada x(k)
qualquer e´ igual a` convoluc¸a˜o entre x(k) e a resposta ao impulso de H (h(k)).
• A resposta ao impulso e´ tambe´m um modelo do sistema no domı´nio do
tempo (conte´m toda a informac¸a˜o necessa´ria para o ca´lculo da sa´ıda em
func¸a˜o da entrada).
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Sistemas Causais: Quando a sa´ıda de H em um instante k0 so´ depende da
entrada para k ≤ k0.
• Assumindo que H e´ SLIT, causal e que x(k) e´ um sinal right-sided
(x(k) = 0 ∀ k < 0), a convoluc¸a˜o e´ equivalente a:
y(k) =
k∑
n=0
x(n)h(k − n)
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BIBO Estabilidade
Um sistema e´ esta´vel se todo sinal de entrada limitado corresponde a um sinal da
sa´ıda limitado.
• No caso de SLIT’s, usando a convoluc¸a˜o tem-se
|y(k)| = |
∞∑
n=−∞
h(n)x(k − n)|
|y(k)| ≤
∞∑
n=−∞
|h(n)||x(k − n)|
• Assumindo que x(k) e´ limitado ( |x(k)| ≤ Bx )
|y(k)| ≤
∞∑
n=−∞
|h(n)|Bx
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• A sa´ıda sera´ limitada se e somente se
S =
∞∑
k=−∞
|h(k)| <∞
• Esta equac¸a˜o e´ equivalente a` BIBO (Bounded Input Bounded Output)
Estabilidade.
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3 Amostragem de Sistemas Cont´ınuos -
abordagem entrada/sa´ıda
Relógio
D-AA-D ProcessoAlgoritmo
Computador
u(t) y(t)
u(k)y(k)
y(t)
H(s)ZOH
H(z)
u(z) y(z)
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• O procedimento para determinac¸a˜o da func¸a˜o de transfereˆncia em tempo
discreto e´:
i) Calcular a resposta ao degrau de H(s):
ha(t) = L−1
{
H(s)
s
}
ii) Determinar o sinal em tempo discreto ha(k∆t) que conte´m amostras de
ha(t). Calcular:
Ha(z) = Z{ ha(k∆t) }
iii) Calcular
H(z) =
z − 1
z
Ha(z)
• Em resumo: H(z) = z − 1
z
Z
{
L−1
{
H(s)
s
} }
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3.1 Exemplos:
1.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto (em equac¸a˜o a diferenc¸as, via
func¸a˜o de transfereˆncia em tempo discreto) do sistema dado por:
y˙(t) + y(t) = u(t)
sol.:
H(s) =
1
s+ 1
Ha(s) =
1
s(s+ 1)
ha(t) = 1− e−t
ha(k∆t) = 1− e−k∆t = 1− (e−∆t)k
ha(k) = 1− αk, α = e−∆t
Ha(z) =
z
z − 1 −
z
z − α
H(z) = 1− z − 1
z − α
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H(z) =
1− α
z − α
y(k + 1)− αy(k) = (1− α)u(k)
2.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
y¨(t) + y˙(t) = u(t)
sol.:
H(s) =
1
s(s+ 1)
e ...
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3.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
y¨(t) = u(t)
sol.:
H(s) =
1
s2
e ...
4.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
y¨(t) + y˙(t) + y(t) = u(t)
sol.:
H(s) =
1
s2 + s+ 1
e ...
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3.2 Exerc´ıcios:
1.) Resolver o exerc´ıcio 2.2(b) do livro texto, atrave´s de func¸a˜o de transfereˆncia.
2.) Resolver o exerc´ıcio 2.4 do livro texto.
3.) Resolver o exerc´ıcio 2.5 do livro texto.
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4 Amostragem de Sistemas Cont´ınuos -
abordagem espac¸o de estados
• Seja o seguinte modelo do sistema H: x˙(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)
ou quando D = 0,  x˙(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)
• A soluc¸a˜o deste sistema e´ dada por:
x(t) = eAtx(0) +
∫ t
0
eA(t−s
′)Bu(s′)ds′
ou
x(t) = eA(t−tk)x(tk) +
∫ t
tk
eA(t−s
′)Bu(s′)ds′
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• Assuma tk (k = 0, 1, ...) os instantes de amostragem e t dentro do intervalo
tk ≤ t < tk+1
x(t) = eA(t−tk)x(tk) +
∫ t
tk
eA(t−s
′)ds′Bu(tk)
• Definindos = t− s′, tem-se
x(t) = eA(t−tk)x(tk) +
∫ t−tk
0
eAsdsBu(tk)
• Para t = tk+1 (e ∆t = tk+1 − tk)
x(tk+1) = eA∆tx(tk) +
∫ ∆t
0
eAsdsBu(tk)
ou
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
onde:
Φ = eA∆t Γ =
∫ ∆t
0
eAsdsB
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• No que diz respeito a` sa´ıda, na˜o ha´ termos ”dinaˆmicos”
y(k) = Cx(k)
• A ordem do sistema e´ igual a` ordem da matriz Φ: n.
• A matriz eA∆t pode ser calculada usando
eAt = L−1{ (sI −A)−1 }, para t = ∆t
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4.1 Exemplos:
1.) Encontre a representac¸a˜o em espac¸o de estados (tempo cont´ınuo) do sistema
abaixo. Determine a soluc¸a˜o deste sistema (equac¸a˜o de y(t)) para u(t) igual a
um impulso e estado inicial igual a 1 (x(0) = 1). Fac¸a a amostragem deste
sistema (i.e., calcular a representac¸a˜o em tempo discreto em espac¸o de estados).
y˙(t) + y(t) = u(t)
sol.:
 x˙(t) = −x(t) + u(t)y(t) = x(t)
portanto: A = −1, B = 1, C = 1 e D = 0
e...
v1 (1s/2006) 2-20
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2.) Encontre a representac¸a˜o em espac¸o de estados (tempo cont´ınuo) do sistema
abaixo. Determine a soluc¸a˜o deste sistema (equac¸a˜o de y(t)) para u(t) igual a
um impulso e estado inicial igual a 1 (x1(0) = 1 e x2(0) = −1). Fac¸a a
amostragem deste sistema (i.e., calcular a representac¸a˜o em tempo discreto em
espac¸o de estados).
y¨(t) + y˙(t) = u(t)
sol.:

x˙(t) =
 0 1
0 −1
 x1(t)
x2(t)
+
 0
1
u(t)
y(t) =
[
1 0
]
x(t)
portanto: A =
 0 1
0 −1
, B =
 0
1
, C = [ 1 0 ] e D = 0
v1 (1s/2006) 2-21
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3.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
y¨(t) = u(t)
sol.:
4.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
...
y (t) = u(t)
sol.:
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5.) Encontre a representac¸a˜o em tempo discreto do sistema dado por:
y¨(t) + 3y˙(t) + 2y(t) = u˙(t) + 3u(t)
sol.:
x(t) =
 x1(t)
x2(t)
 =
 y(t)
y˙(t)− u(t)

x˙(t) =
 y˙(t)
y¨(t)− u˙(t)


x˙(t) =
 0 1
−2 −3
 x1(t)
x2(t)
+
 1
0
u(t)
y(t) =
[
1 0
]
x(t)
v1 (1s/2006) 2-23
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eAt = L−1


s+ 3
(s+ 1)(s+ 2)
1
(s+ 1)(s+ 2)
−2
(s+ 1)(s+ 2)
s
(s+ 1)(s+ 2)


eAt =
 2e−t − e−2t e−t − e−2t
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t

Φ = eAt|t=∆t
Γ =
∫ ∆t
0
eAsBds =
 3/2− 2e−∆t + (e−2∆t)/2
−1 + 2e−∆t − e−2∆t

v1 (1s/2006) 2-24
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4.2 O inverso da amostragem
• Seja H um sistema dado por
x˙(t) = ax(t) + bu(t)
x(k + 1) = φx(k) + γu(k)
• A relac¸a˜o entre estas varia´veis e´
ea∆t = φ e
b
a
(
ea∆t − 1) = γ
ou
a =
1
∆t
lnφ e b =
1
∆t
(lnφ)
(
γ
φ− 1
)
• Para o caso geral, tem-se: A B
0 0
 = 1
∆t
ln
 Φ Γ
0 1

• Esta equac¸a˜o na˜o tem soluc¸a˜o se Φ possuir autovalores reais negativos e na˜o
tem soluc¸a˜o u´nica se Φ possuir autovalores complexos.
• Ver apeˆndice A.
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4.2.1 Exemplos:
1. Determine, se houver, o sistema em tempo cont´ınuo que, se amostrado com
segurador de ordem zero, poderia ter gerado o sistema discreto a seguir (assuma
∆t = 0.2):
y(k + 1) = 0.5y(k) + u(k)
sol.
a =
1
∆t
lnφ =
1
0.2
ln 0.5 → a = −3.46
b = 6.92
logo
x˙(t) = −3.46x(t) + 6.92u(t)
v1 (1s/2006) 2-26
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2. Determine, se houver, o sistema em tempo cont´ınuo que, se amostrado com
segurador de ordem zero, poderia ter gerado o sistema discreto a seguir (assuma
∆t = 0.2):
y(k + 1) = −0.5y(k) + u(k)
sol.
v1 (1s/2006) 2-27
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3. Determine, se houver, o sistema em tempo cont´ınuo que, se amostrado com
segurador de ordem zero, poderia ter gerado o sistema discreto a seguir (assuma
∆t = 0.5):
x(k + 1) =
 1.649 0
−0.7128 0.2231
x(k) +
 0.6487
−0.1949
u(k)
sol.
 A B
0 0
 = 1
∆t
ln
 Φ Γ
0 1

 A B
0 0
 = 1
∆t
ln

 1.649 0
−0.7128 0.2231
  0.6487
−0.1949
[
0 0
]
1

v1 (1s/2006) 2-28
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Seja M a seguinte matriz:
M =

1.649 0 0.6487
−0.7128 0.2231 −0.1949
0 0 1

os autovalores de M sa˜o: λ1 = 1.649, λ2 = 0.2231 e λ3 = 1
Sabe-se que: ln(M) = α2M2 + α1M + α0I
e que ...
v1 (1s/2006) 2-29
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4. Fazer exerc´ıcio nu´mero 2.30 do livro.
v1 (1s/2006) 2-30
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4.3 Sistemas com atraso de transporte
• Seja o seguinte modelo do sistema H, x˙(t) = Ax(t) +Bu(t− τ)y(t) = Cx(t)
• Assuma, inicialmente, que τ < ∆t.
• A soluc¸a˜o deste sistema e´ dada por:
x(t) = eA(t−tk)x(tk) +
∫ t
tk
eA(t−s
′)Bu(s′ − τ)ds′
ou, para t = tk+1
x(tk+1) = eA∆tx(tk) +
∫ tk+∆t
tk
eA(tk+∆t−s
′)Bu(s′ − τ)ds′
v1 (1s/2006) 2-31
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• Devido ao ZOH, u(t) e´ constante por partes para tk < t < tk +∆t.
Portanto
x(tk+1) = eA∆tx(tk) +
∫ tk+τ
tk
eA(tk+∆t−s
′)ds′Bu(tk −∆t)
+
∫ tk+∆t
tk+τ
eA(tk+∆t−s
′)ds′Bu(tk)
ou
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k) + Γ1u(k − 1)
onde:
Γ0 =
∫ ∆t−τ
0
eAsdsB e Γ1 = eA(∆t−τ)
∫ τ
0
eAsdsB
v1 (1s/2006) 2-32
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• O modelo completo e´ dado por:
 x(k + 1)
u(k)
 =
 Φ Γ1
0 0
 x(k)
u(k − 1)
+
 Γ0
1
u(k)
y(k) =
[
C 0
] x(k)
u(k − 1)

v1 (1s/2006) 2-33
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• Quando τ > ∆t, calcula-se o maior inteiro c tal que τ = c∆t+ τ ′ e repete-se
o procedimento para τ ′
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k − c) + Γ1u(k − c− 1)
• Por exemplo, se c = 1, tem-se:
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k − 1) + Γ1u(k − 2)
e o modelo completo e´ dado por:

x(k + 1)
u(k − 1)
u(k)
 =

Φ Γ1 Γ0
0 0 1
0 0 0


x(k)
u(k − 2)
u(k − 1)
+

0
0
1
u(k)
v1 (1s/2006) 2-34
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4.3.1 Exemplos:
1.) Encontre a representac¸a˜o em espac¸o de estados (tempo discreto) do sistema
abaixo, para τ = 0.2, τ = 1 e τ = 2.2. Assuma ∆t = 1 seg.
y˙(t) + y(t) = u(t− τ)
sol.:
 x˙(t) = −x(t) + u(t)y(t) = x(t)
Para τ = 0.2, tem-se:
Φ = e−∆t = e−1 = 0.3678
Γ0 =
∫ 0.8
0
e−sds = 0.5506
Γ1 = e−0.8
∫ 0.2
0
e−sds = 0.0814
v1 (1s/2006) 2-35
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Portanto:
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k) + Γ1u(k − 1)
ou
x(k + 1) = 0.3678x(k) + 0.5506u(k) + 0.0814u(k − 1)
e o modelo completo e´ dado por:
v1 (1s/2006) 2-36
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Para τ = 1, tem-se:
Φ = e−∆t = e−1 = 0.3678
Γ0 =
∫ 0
0
e−sds = 0
Γ1 = e0
∫ 1
0
e−sds = 0.6321
Portanto:
x(k + 1) = 0.3678x(k) + 0.6321u(k − 1)
e o modelo completo e´ dado por:
v1 (1s/2006) 2-37
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Para τ = 2.2, tem-se: 2.2 = 2×∆t+ 0.2
Φ = e−∆t = e−1 = 0.3678
Γ0 =
∫ 0.8
0
e−sds = 0.5506
Γ1 = e−0.8
∫ 0.2
0
e−sds = 0.0814
Portanto:
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k − 2) + Γ1u(k − 3)
ou
x(k + 1) = 0.3678x(k)+ 0.5506u(k − 2) + 0.0814u(k − 3)
e o modelo completo e´ dado por:
v1 (1s/2006) 2-38
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2.) Encontre a representac¸a˜o em espac¸o de estados (tempo discreto) do sistema
abaixo, para τ = 2.2. Assuma ∆t = 1 seg.
y¨(t) + y˙(t) = u(t− 2.2)
sol.:
v1 (1s/2006) 2-39
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4.4 Soluc¸a˜o nume´rica do modelo em espac¸o de estados:
• Seja um sistema H  x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)y(k) = Cx(k)
• Deste modelo, tem-se que:
x(1) = Φx(0) + Γu(0)
x(2) = Φx(1) + Γu(1)
x(2) = Φ2x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1)
x(3) = Φx(2) + Γu(2)
...
v1 (1s/2006) 2-40
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• Generalizando
x(k) = Φkx(0) +
k−1∑
j=0
Φk−j−1Γu(j)
y(k) = CΦkx(0) + C
k−1∑
j=0
Φk−j−1Γu(j)
v1 (1s/2006) 2-41
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4.4.1 Exemplos:
1.) Encontre a resposta ao impulso e ao degrau em tempo discreto (per´ıodo de
amostragem ∆t) do seguinte sistema.
y˙(t) + y(t) = u(t)
sol.:
 x˙(t) = −x(t) + u(t)y(t) = x(t)
portanto: A = −1, B = 1, C = 1 e D = 0
e...
v1 (1s/2006) 2-42
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2.) Determine a soluc¸a˜o da seguinte equac¸a˜o a diferenc¸as (passando pela
representac¸a˜o em tempo discreto), assumindo que y(0) = y(1) = 1. Calcule
y(k + 2) = y(k + 1) + y(k)
sol.:
Definindo
x(k) =
 y(k + 1)
y(k)
 e y(k + 1) =
 y(k + 2)
y(k + 1)

tem-se:  y(k + 2)
y(k + 1)
 =
 1 1
1 0
 y(k + 1)
y(k)

A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´:
w(k) = Φkw(0)
v1 (1s/2006) 2-43
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Compare com a soluc¸a˜o cla´ssica:
y(k) = 0.7236(1.618)k + 0.2764(−0.618)k, k ≥ 0
Para conhecer x(10), faz-se:
x(10) = Φ10x(0) =
 1 1
1 0
10  1
1
 =
 y(11)
y(10)
 =
 144
89

ou
y(10) = 0.7236(1.618)10 + 0.2764(−0.618)10 = 89
v1 (1s/2006) 2-44
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4.5 Transformac¸a˜o em func¸a˜o de transfereˆncia
• Assuma que as condic¸o˜es iniciais de H sa˜o nulas
H(z) =
Y (z)
U(z)
= C ( zI − Φ )−1 Γ
ou
H(z) =
B(z)
A(z)
onde B(z) e A(z) sa˜o polinoˆmios na varia´vel complexa (z) (A(z) e´ moˆnico).
• Os po´los sa˜o as ra´ızes de A(z) (=autovalores de Φ);
a ordem e´ dada pelo nu´mero de po´los (degA(z) = n) e
o atraso de transporte (d) e´ igual a` diferenc¸a entre as ordens de A(z) e de
B(z).
v1 (1s/2006) 2-45
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4.5.1 Exemplos:
1.) Encontre a representac¸a˜o em
v1 (1s/2006) 2-46
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2.) Encontre a representac¸a˜o em
v1 (1s/2006) 2-47
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5 Ana´lise de Po´los e Zeros
5.1 Po´los
• Os po´los de um sistema cont´ınuo (discreto) sa˜o os n autovalores da matriz A
(Φ)
si = λi(A) e zi = λi(Φ)
onde λi(A) e´ o i-e´ssimo autovalor.
• Sabendo que Φ = eA∆t, tem-se λi(Φ) = eλi(A)∆t
zpolo = espolo∆t
Exemplo: Seja H(s) =
1
(s+ 1)(s+ 2)
.
Os po´los da representac¸a˜o em tempo discreto H(z), com ∆t = 0.2, sa˜o:
p1 = e−1×0.2 = 0.8187 e p2 = e−2×0.2 = 0.6703.
O denominador de H(z) e´: (z − 0.8187)(z − 0.6703) = z2 − 1.4891z + 0.5488
v1 (1s/2006) 2-48
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• Propriedade: este mapeamento na˜o e´ un´ıvoco, i.e., diferentes po´los
cont´ınuos da˜o origem ao mesmo po´los discreto, ou:
z = esi∆t = e(si+jn
2pi
∆t )∆t
X
X
s1 z1
pi/dt
-pi/dt
X
s2
v1 (1s/2006) 2-49
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Estabilidade
• A estabilidade de H e´ preservada na amostragem.
Re{si} < 0 ⇒ |zi| < 1
• O semi-plano esquerdo estrito no plano s e´ mapeado em um c´ırculo unita´rio
(raio 1) estrito no plano z.
s = jw ⇒ z = ejw∆t ⇒ |z| = 1
Definic¸a˜o: Estabilidade Assimpto´tica ”H”possui estabilidade assimpto´tica
se todos os autovalores de Φ (ou po´los de H(z)) estiverem estritamente dentro do
c´ırculo unita´rio.
Estabilidade Assimpto´tica e Estabilidade BIBO
m
autovalores de Φ (ou po´los de H(z)) estritamente dentro do c´ırculo unita´rio.
|λi| < 1 ou |pi| < 1
m
∞∑
k=0
|h(k)| <∞
v1 (1s/2006) 2-50
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Regio˜es no plano complexo
• Seja si = −σ + jwd ou si = wn( −ξ + j
√
1− ξ2 )
v1 (1s/2006) 2-51
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5.2 Zeros
• Na˜o existe uma fo´rmula para o mapeamento de zeros do plano s para o
plano z como no caso dos po´los.
• Seja H(s) = B(s)
A(s)
com degA(s) = n e degB(s) = m, n > m, e dp = n−m.
dp, e´ o excesso de po´los, igual ao nu´mero de zeros no infinito.
O sistema discreto equivalente possui (geralmente) n− 1 zeros. Portanto, a
amostragem cria zeros extra.
• Quando o per´ıodo de amostragem diminui, a relac¸a˜o entre zeros finitos e
zeros discretos tende a ser a mesma dos po´los, isto e´: zi = es1∆t
Os zeros no infinito do sistema sa˜o mapeados conforme abaixo:
dp numerador de H(z) zeros de H(z)
2 z + 1 -1
3 z2 + 4z + 1 -3.7321 e -0.2679
4 z3 + 11z2 + 11z + 1 -9.899, -1 e -0.101
5 z4 + 26z3 + 66z2 + 26z + 1 -23.2039, -2.3225, -0.4306 e -0.0431
v1 (1s/2006) 2-52
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Definic¸a˜o: Sistemas com inversa insta´vel
Um sistema (em tempo discreto) possui inversa insta´vel se possuir zeros fora do
c´ırculo unita´rio
obs.: A estabilidade da inversa de um sistema dinaˆmico pode mudar com
amostragem.
Um sistema cont´ınuo de fase mı´nima (inversa esta´vel) pode ser tornar um
sistema com inversa insta´vel apo´s passar pelo processo de amostragem (ex.:
∆t << 1 e dp > 2). Sistemas de fase na˜o mı´nima cont´ınuos na˜o necessariamente
se tornam sistemas discretos com inversa insta´vel.
v1 (1s/2006) 2-53
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4. Selec¸a˜o do Per´ıodo de
Amostragem
• Escolha e´ traduzida em um compromisso entre:
i) reconstruc¸a˜o adequada do sinal cont´ınuo e
ii) carga computacional e aspectos nume´ricos.
• Pode-se relacionar o per´ıodo de amostragem (∆t) com a dinaˆmica do
sistema, por exemplo, o tempo de subida (10− 90%),
Nr =
tr
∆t
e 4 < Nr < 10
- Nr: nu´mero de amostras por tempo de subida.
• Para sistemas de 2a. ordem: tr = exp(φ/ tanφ)
wn
com ξ = cosφ.
Se ξ ≈ 0.7, tr ≈ 2.18/wn
wn∆t ≈ 0.2 a 0.6 (0.22 a 0.55)
Sabendo que ∆t = 2pi/wa, (wa e´ a frequeˆncia de amostragem)
wa
wn
≈ 10 a 30 (10.47 a 31.41)
v1 (1s/2006) 2-54
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6 Estudos de Caso
6.1 Motor DC (Ex. A2)
• O sistema cont´ınuo com y(t) sendo o sinal de sa´ıda (posic¸a˜o angular) e u(t) o
sinal de entrada (tensa˜o);
y¨(t) + y˙(t) = u(t)
ou

x˙(t) =
 −1 0
1 0
x(t) +
 1
0
u(t)
y(t) =
[
0 1
]
x(t)
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
1
s(s+ 1)
v1 (1s/2006) 2-55
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• Amostragem

x(k + 1) =
 e−∆t 0
1− e−∆t 1
x(k) +
 1− e−∆t
∆t− 1 + e−∆t
u(k)
y(k) =
[
0 1
]
x(k)
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
(∆t− 1 + e−∆t)z + (1− e−∆t −∆te−∆t)
(z − 1)(z − e−∆t)
• Po´los, zeros, estabilidade e estabilidade da inversa (malha aberta).
po´los:
 s = 0 7→ z = 1s = −1 7→ z = e−∆t
zeros: s =∞ 7→ z = ∆te
−∆t + e−∆t − 1
e−∆t +∆t− 1
e lim
∆t→0
∆te−∆t + e−∆t − 1
e−∆t +∆t− 1 = −1
v1 (1s/2006) 2-56
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6.2 Duplo Integrador (Ex. A1)
• O sistema cont´ınuo com y(t) sendo o sinal de sa´ıda e u(t) o sinalde entrada;
y¨(t) = y(t)
ou

x˙(t) =
 0 1
0 0
x(t) +
 0
1
u(t)
y(t) =
[
1 0
]
x(t)
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
1
s2
v1 (1s/2006) 2-57
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• Amostragem

x(k + 1) =
 0 ∆t
0 0
x(k) +
 ∆t2/2
∆t
u(k)
y(k) =
[
1 0
]
x(k)
e
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
∆t2(z + 1)
2(z − 1)2
v1 (1s/2006) 2-58
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7 Sistema com atraso (Ex. A4)
y˙(t) + y(t) = u(t− τ)
v1 (1s/2006) 2-59
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8 Exerc´ıcios do livro Computer Controlled
Systems:
• Exerc´ıcio 2.1
Resposta: Os po´los do sistema discreto sa˜o α = exp(−ah), h = ∆t. Portanto, α e´
sempre um nu´mero real positivo. Para a constante, quando ∆t tende a zero, α
tende a 1. A medida que ∆t cresce, α tende a zero.
• Exerc´ıcio 2.2
Resposta
a)
Φ =
24 cos∆t sin∆t
− sin∆t cos∆t
35
e
Γ =
h
1− cos∆t sin∆t
iT
b) Passo intermedia´rio
H(z) = 2
1− e−∆t
z − e∆t −
1− e−2∆t
2(z − e−2∆t)
v1 (1s/2006) 2-60
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somar as frac¸o˜es na sequeˆncia.
c)
Φ =
2664
1 0 0
∆t 1 0
∆t2/2 ∆t 1
3775
e
Γ =
h
∆t ∆t2/2 ∆t3/6
iT
ou
H(z) =
∆t3(z2 + 4z + 1)
6(z − 1)3
• Exerc´ıcio 2.3
Resposta
a) a =
ln(0.5)
∆t
e b =
6a
ea∆t − 1
b) na˜o existe modelo cont´ınuo equivalente. autovalores no eixo real negativo.
c) na˜o existe modelo cont´ınuo equivalente. po´lo no eixo real negativo
• Exerc´ıcio 2.4
• Exerc´ıcio 2.5
Resposta:
v1 (1s/2006) 2-61
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a) quando H(s) =
1
s(s+ 2)(s+ 3)
H(z) =
0.0561z2 + 0.0762z + 0.004649
z3 − 1.1851z2 + 0.1918z − 0.0067
• Exerc´ıcio 2.8
• Exerc´ıcio 2.10
• Exerc´ıcio 2.11
• Exerc´ıcio 2.12
a) Representac¸a˜o em EE e ordem do sistema discreto8>>>>>>><>>>>>>>:
24 x(k + 1)
u(k)
35 =
24 1 0.5
0 0
3524 x(k)
u(k − 1)
35+
24 0.5
1
35u(k)
y(k) =
h
1 0
i24 x(k)
u(k − 1)
35
b) Func¸a˜o de Transfereˆncia
H(z) =
0.5(z + 1)
z(z − 1)
• Exerc´ıcio 2.13
v1 (1s/2006) 2-62
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a) Representac¸a˜o em EE e ordem do sistema discreto8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
2664
x(k + 1)
u(k − 1)
u(k)
3775 =
2664
0.37 0.24 0.39
0 0 1
0 0 0
3775
2664
x(k)
u(k − 2)
u(k − 1)
3775
+
2664
0
0
1
3775u(k)
y(k) =
h
1 0 0
i2664
x(k)
u(k − 2)
u(k − 1)
3775
b) Func¸a˜o de Transfereˆncia
H(z) =
0.393z + 0.239
z2(z − 0.368)
• Exerc´ıcio 2.14
• Exerc´ıcio 2.15
• Exerc´ıcio 2.16
• Exerc´ıcio 2.21 (b)
v1 (1s/2006) 2-63
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• Exerc´ıcio 2.22
• Exerc´ıcio 2.25
• Exerc´ıcio 2.28
• Exerc´ıcio 2.29
Resposta: O zero esta´ em −1/2, po´los em 0 (com multiplicidade 9) e em
0.25± j0.9682
• Exerc´ıcio 2.30
• Exerc´ıcio 2.31
• Exerc´ıcio 2.32
v1 (1s/2006) 2-64
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Anexo A
Sistemas em Espac¸o de Estados
Consultar: Franklin et al, Feedback Control of Dynamic Systems, 3a. edic¸a˜o
cap´ıtulo 2, sec¸a˜o 2.2.
• A representac¸a˜o de um sistema dinaˆmico, via um conjunto de equac¸o˜es
diferencias de ordem n, com coeficientes escalares,
y¨(t) + a1y˙(t) + a2y(t) = b0u¨(t) + b1u˙(t) + b2u(t)
pode
ser re-escrita na forma de uma equac¸a˜o diferencial de ordem 1, com
coeficientes matriciais.
 x˙(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t)
v1 (1s/2006) 2-65
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• Para tanto, e´ necessa´ria a selec¸a˜o de um conjunto de sinais que caracterizem
totalmente a dinaˆmica do sistema em um determinado instante de tempo.
• Estes sinais sa˜o os estados, x1(t), x2(t), . . .
• Os estados sa˜o organizados na forma vetorial, denominada de vetor de
estados, i.e., x(t).
• Atrave´s do vetor de estados, e´ poss´ıvel construir o modelo.
• Importante: O vetor de estados na˜o e´ u´nico!
Portanto, infinitos modelos em espac¸o de estados podem representar a
mesma equac¸a˜o diferencial.
• Todas possuem o mesmo conjunto de po´los, i.e., os autovalores da matriz A
autovalores ⇒ sa˜o as ra´ızes de |λI −A| = 0
v1 (1s/2006) 2-66
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• Exemplo: Como passar de uma representac¸a˜o usando equac¸o˜es diferencias
para a representac¸a˜o em espac¸o de estados.
• Seja um sistema dado por:
y˙(t) + ay(t) = bu(t)
– passo 1: determinar o nu´mero de estados.
no exemplo, tem-se 1 estado porque o sistema e´ de ordem 1.
– passo 2: determinar os estados e construir o vetor de estados
a regra geral, quando na˜o ha´ derivadas no sinal de entrada, e´:
x(t) =

x1(t)
x2(t)
x3(t)
...
 =

y(t)
y˙(t)
y¨(t)
...

no exemplo, o estado e´ x(t) = y(t), portanto x˙(t) = y˙(t)
v1 (1s/2006) 2-67
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- passo 3: determinar as matrizes do modelo
x˙(t) = y˙(t)
x˙(t) = −ay(t) + bu(t)
x˙(t) = −ax(t) + bu(t)
O modelo em espac¸o de estados (tempo cont´ınuo) e´:
 x˙(t) = −ax(t) + bu(t)y(t) = x(t)
portanto: A = −a, B = b, C = 1 e D = 0
v1 (1s/2006) 2-68
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• Exemplo: Seja um sistema dado por:
y¨(t) + ay˙(t) = bu(t)
– passo 1: determinar o nu´mero de estados.
no exemplo, tem-se 2 estados porque o sistema e´ de ordem 2.
– passo 2: determinar os estados e construir o vetor de estados
no exemplo, tem-se:
x(t) =
 x1(t)
x2(t)
 =
 y(t)
y˙(t)

portanto
x˙(t) =
 y˙(t)
y¨(t)

v1 (1s/2006) 2-69
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- passo 3: determinar as matrizes do modelo
x˙(t) =
 x2(t)
−ay˙(t) + bu(t)

x˙(t) =
 x2(t)
−ax2(t) + bu(t)

O modelo em espac¸o de estados (tempo cont´ınuo) e´:

x˙(t) =
 0 1
0 −a
 x1(t)
x2(t)
+
 0
b
u(t)
y(t) =
[
1 0
]
x(t)
portanto: A =
 0 1
0 −a
, B =
 0
b
, C = [ 1 0 ] e D = 0
v1 (1s/2006) 2-70
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• Exemplo: Seja um sistema dado por (caso no derivada no sinal de entrada):
...
y (t) + a1y¨(t) + a2y˙(t) + a3y(t) = b0
...
u (t) + b1u¨(t) + b2u˙(t) + b3u(t)
ou
y¨(t) + y˙(t) + y(t) = 0u¨(t) + 4u˙(t) + 2u(t)
– passo 1: determinar o nu´mero de estados.
no exemplo, tem-se 2 estados porque o sistema e´ de ordem 2.
– passo 2: determinar os estados e construir o vetor de estados
a regra geral, quando ha´ derivadas no sinal de entrada, e´:
x(t) =

x1(t)
x2(t)
x3(t)
...
 =

y(t)− β0u(t)
y˙(t)− β0u˙(t)− β1u(t)
y¨(t)− β0u¨(t)− β1u˙(t)− β2u(t)
...

v1 (1s/2006) 2-71
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onde
β0 = b0
β1 = b1 − a1β0
β2 = b2 − a1β1 − a2β0
...
no exemplo, tem-se: β0 = 0, β1 = 4 e β2 = −2
x(t) =
 x1(t)
x2(t)
 =
 y(t)
y˙(t)− 4u(t)

portanto
x˙(t) =
 y˙(t)
y¨(t)− 4u˙(t)

v1 (1s/2006) 2-72
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- passo 3: determinar as matrizes do modelo
x˙(t) =
 x2(t) + 4u(t)
−y˙(t)− y(t) + 2u(t)

x˙(t) =
 x2(t) + 4u(t)
−(x2 + 4u(t))− x1(t) + 2u(t)

x˙(t) =
 x2(t) + 4u(t)
−x1(t)− x2(t)− 2u(t)

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O modelo em espac¸o de estados (tempo cont´ınuo) e´:

x˙(t) =
 0 1
−1 −1
 x1(t)
x2(t)
+
 4
−2
u(t)
y(t) =
[
10
]
x(t)
portanto: A =
 0 1
−1 −1
, B =
 4
−2
, C = [ 1 0 ] e D = 0
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Soluc¸a˜o do Sistema em Espac¸o de Estados
• O modelo em espac¸o de estados e´:
x˙(t) = Ax(t) +Bu(t)
• Aplicando Laplace neste sistema, obte´m-se:
sX(s)− x(0) = AX(s) +BU(s)
sX(s)−AX(s) = x(0) +BU(s)
(sI −A)X(s) = x(0) +BU(s)
X(s) = (sI −A)−1x(0) + (sI −A)−1BU(s)
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• Aplicando Laplace Inversa, obte´m-se:
x(t) = L−1{X(s)} = eAtx(0) + eAt ∗Bu(t)
x(t) = eAtx(0) +
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ
Portanto
y(t) = Cx(t) = CeAtx(0) + C
∫ t
0
eA(t−τ)Bu(τ)dτ
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Anexo B
Func¸a˜o de matriz quadrada
• O ca´lculo do logaritmo de uma matriz quadrada esta´ baseado no teorema de
Cayley-Hamilton (ver bibliografia de A´lgebra Linear)
• Seja uma func¸a˜o dada por f(A). Enta˜o, existe um polinoˆmio p(A), de grau
menor que n, tal que:
f(A) = p(A) = α0An−1 + α1An−2 + · · ·+ αn−1A+ αnI
• Sabe-se que:
f(λi) = p(λi) i = 1, . . . , n
• onde λi e´ um autovalor de A.
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• Se existir autovalores de multiplicidade m, enta˜o:
d
dλi
f(λi) = ddλi p(λi)
· · ·
dm−1
dλm−1i
f(λi) = d
m−1
dλm−1i
p(λi)
• Destas equac¸o˜es, e´ poss´ıvel calcular o polinoˆmio p(A).
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Exemplo: Determine M = ln(A), onde A =
 0.5 1
0 0.3

ln(A) = α0A+ α1I
- os autovalores de A sa˜o: 0.3 e 0.5. Portanto:
ln(0.3) = α00.3 + α1
ln(0.5) = α00.5 + α1
- a soluc¸a˜o deste sistema e´ α0 = 2.5541 e α1 = −1.9702
ln(A) = 2.5541A− 1.9702I =
 −0.6931 2.5541
0 −1.2040

- note que, se um dos autovalores fosse negativo, ter´ıamos ln(·) de um nu´mero
negativo.
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