Aula 4 - GA - Posições relativas de duas retas

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Posições relativas de duas retas
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Retas paralelas e retas concorrentes
Duas retas distintas de um plano podem ocupar duas posições relativas. Elas podem ser:
Paralelas, se não têm ponto em comum;
Concorrentes ou secantes, se têm um único ponto comum;
r
s
t
u
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Retas paralelas e retas concorrentes
Quando duas retas estão contidas no plano cartesiano xOy, podemos analisar suas posições relativas, a partir de suas equações:
Para duas retas horizontais ou verticais essa análise é simples.
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Exemplo
Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?
x
y
O
3
–5
r ∕∕ s 
r
s
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Exemplo
Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?
x
y
O
–2
1
t
u
t ∕∕ u 
*
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Exemplo
Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam?
x
y
O
6
1
m e n → concorrentes no ponto P(1, 6).
m
n
P
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Retas não-paralelas aos eixos
No caso de as retas serem não-paralelas aos eixos, tudo depende da comparação das inclinações das retas. Por isso vamos trabalhar com suas equações reduzidas.
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Retas não-paralelas aos eixos
Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’.
x
y
O
r
α
α’
s
r ∕∕ s 
⇕
α = α’
tg α = tg α’
a = a’
⇕
⇕
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Retas não-paralelas aos eixos
Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’.
x
y
O
r
α
α’
s
r é secante a s 
⇕
α ≠ α’
tg α ≠ tg α’
a ≠ a’
⇕
⇕
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Retas não-paralelas aos eixos - Resumo
Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos:
r e s são paralelas ⇔ a = a’ e b ≠ b’.
r e s são concorrentes ⇔ a ≠ a’.
No caso de as retas serem concorrentes, pode-se obter o ponto de interseção. Basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.
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Exemplos
Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.
Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida.
r: 2x + y + 3 = 0
s: 3x – y + 7 = 0
⇒ y = –2x – 3
⇒ y = 3x + 7
a = –2
a’ = 3
a ≠ a’
⇒ as retas r e s são concorrentes.
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Exemplos
Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.
O ponto de interseção é obtido resolvendo o sistema formado pelas equações de (r) e (s).
y = –2x – 3
y = 3x + 7
⇒ 3x + 7 = –2x – 3
⇒ 5x = –10
⇒ x = –2
y = 3x + 7
⇒ y = 3.(–2) + 7
⇒ y = 1
O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–2, 1).
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Exemplos
Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção.
Na figura, podemos visualizar o problema.
x
y
O
r
s
–2
1
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Exemplos
Calcular o parâmetro k, para que sejam paralelas as retas r: x + 2y – 3 = 0 e s: kx – 4y + 2 = 0.
Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida.
r: x + 2y – 3 = 0
s: kx – 4y + 2 = 0
⇒ 2y = –x + 3
⇒ 4y = kx + 2
⇒ y = (–1/2)x + 3/2
⇒ y = (k/4)x + 1/2
Retas paralelas, os coeficientes lineares diferentes e as inclinações iguais.
4
k
2
–1 
=
⇒ 2k = –4
⇒ k = –2
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Exemplos
Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1).
A figura ilustra o problema.
x
y
O
r
s
2
1
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Exemplos
Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1).
Primeiro, vamos obter a equação reduzida de (r).
r: 2x – y – 1 = 0
⇒ y = 2x – 1
a = 2
s ∕∕ r ⇒ a inclinação de s a’ = 2. 
A equação reduzida de (s) é do tipo y = 2x + b.
1 = 2.2 + b
Fazendo x = 2 e y = 1 na equação y = 2x + b, temos
⇒ 1 = 4 + b
⇒ b = –3
A equação reduzida de s é y = 2x – 3.
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Retas perpendiculares
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Retas perpendiculares
Se duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.
No plano cartesiano, uma reta horizontal e uma vertical são perpendiculares.
Quando duas retas não-paralelas aos eixos são perpendiculares entre si, suas inclinações obedecem a uma relação importante.
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Retas perpendiculares
Na figura as retas (r) e (s), não paralelas aos eixos, são perpendiculares entre si.
x
y
O
r
α
α’
s
β
tg β = – tg α’
tg β =
tg α
1 
( 1 )
( 2 )
tg α = a;
tg α’ = a’
= – tg α’
tg α
1 
1 = – tg α . tg α’
a . a’ = –1
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Retas perpendiculares
Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos:
(r) é perpendicular a (s) ⇔ a . a’ = –1
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Exemplos
Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.
Vamos escrever as equações na forma reduzida.
r: 2x + 3y – 1 = 0
s: 3x – 2y + 5 = 0
⇒ 3y = –2x + 1
⇒ 2y = 3x + 5
a . a’ = –1
⇒ as retas (r) e (s) são perpendiculares.
⇒ y = (–2/3)x + 1/3
⇒ y = (3/2)x + 5/2
.
3
–2 
2
3 
= –1 
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Exemplos
Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.
O ponto de interseção é obtido resolvendo-se o sistema.
2x + 3y – 1 = 0
3x – 2y + 5 = 0
⇒ y = 1 
O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–1, 1).
⇒
6x + 9y – 3 = 0
–6x + 4y – 10 = 0
x(3)
x(–2)
+
13y – 13 = 0
e x = –1 
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Exemplos
Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam.
A figura ilustra o problema.
x
y
O
r
s
–1
1
*
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Exemplos
Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.
Fazendo x = 0, na equação de (s) (s intercepta o eixo y).
x = 0
⇒ 3.0 + y – 2 = 0
⇒ y = 2
A reta s intercepta o eixo y no ponto P(0, 2).
Vamos obter a inclinação de (r).
s: 3x + y – 2 = 0
⇒ y = –3x + 2
a . a’ = –1
⇒ a = –3
⇒
(–3) . a’ = –1
⇒
a’ = 1/3
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Exemplos
Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.
A reta (r) passa por P(0, 2) e tem inclinação 1/3.
 y – yP = a(x – xP)
⇒ y – 2 = 1/3(x – 0) 
⇒ y – 2 = 1/3x
x (3) 
⇒ 3y – 6 = x
⇒ x – 3y + 6 = 0
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Exemplos
Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y.
Veja a solução gráfica do problema.
x
y
O
r
s
2
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Distância de um
ponto a uma reta
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Projeção ortogonal
Dado um ponto P e uma reta r, chama-se projeção ortogonal de P sobre r o ponto Q interseção da reta r com a reta s que passa por P e é perpendicular a r.
P
r
s
Q
Distância do ponto P à reta r.
d = PQ
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Exemplos
Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.
Primeiro obtemos a inclinação de (r) → (r ⊥ s).
r: x + y – 2 = 0
⇒ y = –x + 2
a . a’ = –1
⇒ a = –1
⇒
(–1) . a’ = –1
⇒
a’ = 1
Equação de s que passa por P(1, 5).
 y – yP = a(x – xP)
⇒ y – 5 = 1(x – 1) 
⇒ y – 5 = x – 1 
⇒ x – y + 4 = 0.
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Exemplos
Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.
Obtendo o pontoQ, projeção de P sobre (r).
x + y – 2 = 0
x – y + 4 = 0
⇒ x = –1
A projeção de P sobre (r) é o ponto Q(–1, 3).
+
2x + 2 = 0
e y = 3 
*
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Exemplos
A distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0 é dado por:
dP,r = PQ
A partir dos pontos P(1, 5) e Q(–1, 3), obtemos a dP,r.
dP, r = PQ =
dP, r = PQ = 
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Distância de um ponto até uma reta.
Existe uma fórmula muito simples para o cálculo dessa distância.
Se uma reta (r) é dada por uma de suas equações gerais, Ax + By + C = 0, a distância do ponto P(xP, yP) à reta (r) é dado por
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Exemplos
Calcular a distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0.
d =
|AxP + ByP + C|
No caso, xP = 1, yP = 5, A = 1, B = 1 e C = –2.
=
|1.1 + 1.5 + (–2)|
=
4
=
=
2