Lista 04 - Intersecção e ângulo entre retas

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Geometria Analítica – Lista 04 – Elaborada por Profa. Maricélia Soares 
 
 
 Intersecção e Ângulo entre duas Retas 
 
 
I. Intersecção de duas retas concorrentes 
 
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas 
retas são concorrentes se, somente se, possuírem 
um único ponto em comum. A intersecção das 
duas retas corresponde às coordenadas desse ponto 
comum a ambas. 
Considerando as retas r e s e as suas respectivas 
equações gerais: ax + by + c = 0 e dx + ey + f = 0, 
representando-as em um plano cartesiano, iremos 
perceber que são concorrentes, pois possui o ponto P 
em comum. 
O ponto P(a, b) indica 
a intersecção entre as 
retas r e s. 
A inexistência de P 
indica que as retas são 
paralelas distintas ou 
paralelas 
coincidentes. 
 O sistema formado com as equações gerais das retas 
terá como solução o par ordenado P(a, b) que 
representa o ponto de intersecção. 
 
II. Ângulo entre Retas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre duas retas r e s concorrentes e não-
perpendiculares, formam-se ângulos, dentre os quais 
determinaremos a medida . 
 
Dependendo da posição das duas retas no plano, o 
ângulo  pode ser agudo ou obtuso. 
Logo: 
 
tg = 
sr
sr
mm1
mm
+
−
 
 
Essa relação nos fornece o ângulo agudo  entre r 
e s, pois tg   0. O ângulo obtuso ’ será o 
suplemento de . 
 
Caso particular: 
 
 
 
 
 
Se uma das retas for vertical, teremos: 
 
tg  = 
rm
1
 
 
 
 
Lista 04: Intersecção e Ângulo entre 
duas Retas no Plano 
 
I. Intersecção entre Duas Retas no Plano 
 
01. Determine a intersecção das retas x – 5y = 14 
e 3x + 2y = -9. 
 
02. Determine as coordenadas do ponto P(a, b), 
intersecção das retas r e s em cada caso: 
a) r: 2x + y − 1 = 0 e s: 3x + 2y −4 = 0 
b) r: x + 2y − 3 = 0 e s: x − 2y + 7 = 0 
c) r: 2x + 3y − 8 = 0 e s: 2x − 4y + 13 = 0 
 
 
• 
x 
y 
P 
r 
s 
 b 
a 
 
Geometria Analítica – Lista 04 – Elaborada por Profa. Maricélia Soares 
 
 
03. Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e 
B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos 
C(−4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de 
intersecção das retas r e s. Determine as 
coordenadas do ponto P. 
 
04. Determine os pontos de intersecção da reta de 
equação x + 2y − 4 = 0 com os eixos. 
 
05. Determine a equação da reta que passa pela 
origem dos eixos coordenados e pela intersecção das 
retas 2x + y − 6 = 0 e x −3y + 11 = 0. 
 
06. Quais são as coordenadas dos vértices de um 
triângulo, sabendo que as retas suportes dos lados 
desse triângulo têm equações x + 2y − 1 = 0, x − 2y 
− 7 = 0 e y − 5 = 0, respectivamente? 
 
07. Determine a equação da reta s que passa pela 
intersecção das retas m e n, de equações x − y + 2 = 0 
e 3x − y + 6 = 0, respectivamente, e é paralela à reta 
r, de equação y = 1x
2
1
− . 
 
08. O ponto M é o ponto de intersecção das 
diagonais AC e BD de um quadrilátero ABCD. 
Sendo A(0, 0), B(3, 0), C(4, 2) e D(0, 5) os vértices do 
quadrilátero, determine as coordenadas do ponto M. 
 
II. Ângulo entre Duas Retas no Plano 
 
09. Determine o ângulo agudo formado pelas retas: 
a) 6x − 2y + 5 = 0 e 4x + 2y − 1 = 0 
b) x − 3 y + 1 = 0 e 3x + 2 = 0 
c) 3 x – 3y – 1 = 0 e x – 2 = 0 
 
 
 
10. A reta r, cujo coeficiente angular é m1 = 
3
1
, 
faz um ângulo de 30º com a reta s, cujo 
coeficiente angular é m2. Calcule m2. 
 
11. Seja uma reta r que passa pelo ponto A (1, 1) e 
faz um ângulo de 450 com a reta s, de equação x − 
2y + 2 = 0. Determine a equação da reta r. 
 
12. Seja  o ângulo agudo formado pelas retas de 
equações x − 3y − 7 = 0 e x − l3y − 9 = 0. 
Determine  e represente as retas no plano 
cartesiano. 
 
13. Determine a equação da reta r do gráfico a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
• 
45º 
r s