GEOMETRIA_EXERCICIOS

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GEOMETRIA
1) Calcular o ângulo entre os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2)
	cos Ө = u.v/|u|.|v|			 	u.v = (1) (-1) + (1) (2) + (4) (2) = 9
	|u| = √(1)2 + (1)2 + (4)2 = 3√2		cos Ө = 9 / 3(√2) x 3 = (√2) / 2
	
	|v| = √(-1)2 + (2)2 + (2)2 = 3				Ө = 45º
2) Determine o ângulo interno B do triângulo ABC, onde, A (3,-3,3), B (2,-1,2) e C (1,0,2)
	u = BA = A-B = (1,-2,1)	v = BC = C-B = (-1,1,0)
	
u.v = (1) (-1) + (-2) (1) + (1) (0) = -3
		
|u| = √(1)2 + (-2)2 +(1)2 = √6 		|v| = √(-1)2 + (1)2 + (0)2 = √2
cos B = u.v / |u|.|v| = -3 / √6 . √2 = - (√3) / 2 → B = 150º
3) Verifique se o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,-1) e C(2,2-2) é retângulo
	d(AB) = |AB| = √(2-2)2 + (3-1)2 + (1+1)2 = √8
	
d(A,C) = |AC| = √(2-2)2 + (3-2)2 + (1+2)2 = √10
d(B,C) = |BC| = √(2-2)2 + (1-2)2 + (-1+2)2 = √2
 
Usando Pitágoras: d(A,C) = √(√8)2 + (√2)2 = √10 → Portanto, o triângulo é retângulo.
4) Se u = (2,1,-1) forma um ângulo de 60º com o vetor AB, onde A(3,1,-2) e B(4,0,m), calcule m
	Cos Ө = u . AB / |u|.|AB| , onde Ө = 60º → cos Ө = ½
	AB = B – A = (1,-1,m+2)	 →	u . AB = (2).(1) + (1).(-1) + (-1).(m+2) = - (m+1)
	|u| = √6 |AB| = √2 + (m+2)2 
	½ = - (m+1) / √6 . √2 + (m+2)2	→	m2 + 8m + 16 = 0 → m = - 4
5) Qual o valor de m para que os vetores u = mi + 5j – 4k e v = (m+1)i = 2j = 4k sejam ortogonais?
	Condição: u . v = 0 (produto escalar nulo)
	u . v = m (m+1) + 5.2 + (-4).4 = 0 → m2 + m – 6 = 0 → m = 2 ou m = -3
6) Calcule n de modo que seja de 30º o ângulo entre os vetores u=(1,n,2) e j.
	cos Ө = u.j / |u|.|j|	 →	Ө=30º →	cos Ө = (√3)/2
	j = (0,1,0)
	u . j = 1x0 + nx1 + 2x0 = n
	|u| = √n2 + 5 e |j| = 1	→	(√3)/2 = n / √n2 + 5	→ n2 = 15 → n = +/- √15
EXERCÍCIOS EXTRAS – PÁGINA 28
1) Dados os vetores u=(1,2,-1) e v=(0,-1,3), calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores 3u e v-u.
	3u = (3,6,-3)
	v-u = (-1,-3,4) 	→	Área = | 3u x (v-u) |
			i j k i j
3u x (v-u) = 3 6 -3 3 6		→ usando a regra de sarrus
		 -1 -3 4 -1 -3
	= (24i + 3j -9k) – (-6k + 9i + 12j) = 15i – 9j – 3k = (15,-9,-3)
	Área = √(15)2 + (-9)2 + (-3)2 = √315 = 3√35 u.a
2) Calcule a área do triângulo de vértices A(1,-2,1), B(2,-1,4) e C(-1,-3,3).
	Considerando u e v, dois vetores com origem no ponto A, tal que u=AB e v=AC:
	u = B – A = (1,1,3) e v = C –A = (-2,-1,2) → Área = ½ | u x v|
		 i j k i j
u x v = 1 1 3 1 1		→ usando a regra de sarrus
		 -2 -1 2 -2 -1
	u x v = (2i – 6j – k) – (-2k -3i + 2j) = 5i – 8j + k = (5,-8,1)
	Área = ½ √25 + 64 + 1 = ½ x √90 = 3/2 √10 u.a
3) Determine a de modo que os vetores u=(3,1,-1) e v=(a,0,2) geram um paralelogramo de área 2√6.
	Área = | u x v = 2√6
		 i j k i j
u x v = 3 1 -1 3 1	→ usando a regra de sarrus
		 a 0 2 a 0
u x v = (2i – aj) – (ak + 6j) = 2i – (a+6)j – ak = (2 , - (a+6) , - a)
Área = √(2)2 + [-(a+6)]2 + (-a)2 = 2√6 → a2 + 6a + 8 = 0 → a = - 4 ou a = - 2
4) Verifique se os vetores u=(3,-1,4), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,0) são coplanares.
	Vetores coplanares → produto misto é nulo → [u,v,w] = u . (v x w) = 0
		 3 -1 4 3 -1
[u,v,w] = 1 0 -1 1 0	→ usando a regra de sarrus
		 2 -1 0 2 -1
	[u,v,w] = (2-4) – (3) = - 5 → [u,v,w] ≠ 0 → NÃO são coplanares.
5) Determine m de modo que os vetores u = (m,2,-1), v = (1,-1,3) e w = (0,-2,4) sejam coplanares.
	[u,v,w] = 0
		 m 2 -1 m 2
[u,v,w] = 1 -1 3 1 -1	→ usando a regra de sarrus
		 0 -2 4 0 -2
	(-4m + 2) – (-6m + 8) = 0 → 2m = 6 → m = 3
6) Verifique se os pontos A (1,2,4) , B (-1,0,-2) , C (0,2,2) e D (-2,1,-3) estão no mesmo plano.
Considerando u, v e w, três vetores com origem no ponto A, tal que u = AB, v = AC e w = AD, então u, v e w serão coplanares se [u,v,w] = 0, e assim, os pontos A, B, C e D estarão no mesmo plano.
u = B – A = (-2,-2,-6) v = C – A = (-1,0,-2) w = D – A = (-3,-1,-7)
	 -2 -2 -6 -2 -2
[u,v,w] = -1 0 -2 -1 0	 → usando a regra de sarrus
		 -3 -1 -7 -3 -1
	[u,v,w] = (- 12 - 6) – (- 4 – 14) = ( - 18) + 18 = 0 → Portanto, SÃO coplanares.