Exercícios de Cálculo de Integrais em Variáveis Complexas

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FFCLRP-USP 3a¯ LISTA - Varia´veis Complexas
Professor : Marcelo Rempel Ebert
1. Calcule
∫
γ
f(z)dz onde f e γ sa˜o dadas por:
a) f(z) = y − x− 3x2i e γ e´ o segmento de reta que une z = 0 a z = 1 + i.
b) f(z) = zz e γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2pi.
c) f(z) = (z + 2)/z e γ(t) = 2eit, 0 ≤ t ≤ pi.
d) f(z) = exp(z) e γ e´ o segmento de reta que une z = pii a z = 1.
d) f(z) = exp(z) e γ e´ a poligonal ao longo dos eixos coordenados ligando z = pii a
z = 1.
Respostas: a) 1− i; b) zero c) −4 + 2pii d) 1 + e d) 1 + e
2. Seja γ1 um caminho fechado no domı´nio interior a um outro caminho fechado γ2, onde
γ1 e γ2 sa˜o orientados no sentido anti-hora´rio. Se uma func¸a˜o f e´ holomorfa na regia˜o
fechada entre γ1 e γ2, justifique porque∫
γ1
f(z)dz =
∫
γ1
f(z)dz.
3. Usando integral indefinida, determine o valor da integral
∫ 2i
−2i
dz
z
nos casos:
a) Ao longo de um caminho contido no semi-plano x ≥ 0.
b) Ao longo de um caminho contido no semi-plano x ≤ 0.
Respostas: a) pii, b) −pii
4. Se γ e´ o c´ırculo |z| = 3 descrito no sentido anti-hora´rio e se
g(z0) =
∫
γ
2z2 − z − 2
z − z0 dz
mostre que g(2) = 8pii. Qual e´ o valor de g(z0) quando |z0| > 3?
5. Seja γ a fronteira do quadrado, cujos lados esta˜o sobre as retas x = ±2 e y = ±2,
orientada no sentido anti-hora´rio. Deˆ o valor das integrais:
a)
∫
γ
e−zdz
z−pii/2 b)
∫
γ
cos z
z(z2+8)
dz c)
∫
γ
zdz
2z+1
Respostas: a) 2pi, b) pii/4 c) −pii/2
6. Sendo f holomorfa no interior de e sobre um caminho fechado orientado γ, mostre que∫
γ
f
′
(z)
z − z0dz =
∫
γ
f(z)
(z − z0)2dz
onde z0 e´ um ponto na˜o pertencente a γ.
7. Seja γ o c´ırculo |z| = 2 que se situa no primeiro quadrante. Mostre que
|
∫
γ
dz
z2 + 1
| ≤ pi
3
8. Mostre que
∫
γ
ekz
z
dz = 2pii, onde k e´ uma constante real e γ(t) = eit, 0 ≤ t ≤ 2pi. Use
esse resultado para mostrar que∫ pi
0
ek cos t cos(k sin t)dt = 2pi.