129437318-Resumao-de-Matematica

Prévia do material em texto

Chaves indicam 0 inicio e 0 fim de uma marca9ao e uma
virgula separa os elementos. EXEMPLO: Em A = {4, 8,
16}, 4, 8 el6 sao chamados elementos ou integrantes de
urn conjunto; os eonjuntos sao finitos (acabam ou tern urn
elemento final), exceto quando indicado 0 contrario.
No meio do conjunto indica cOlltilluafiio de UIIl pat/riio.
£XEMPLO: B = {5, 10, 15, ... ,85, 90}.
No fim da sequencia indica cOlljullto illfillito (sem
elemento final). EXEMPLO: C = {3, 6, 9,12, ... }.
I Este simbolo significa "assim como".
E Significapertellce. EXEMPLO: SeA = {4, 8, 12}, entao
12 E A, porque 0 numero 12 faz parte do conjunto A.
(to Significa Iliio pertellce. EXEMPLO: Se B = {2,4, 6, 8}, entao
3 ~ B, porque 0 numero 3 nao integra 0 conjunto B.o COlljullto vazio: urn conjunto que nao conta com nenhum
elemento. Tambem pode ser representado por { }.
C Signifiea subcolljullto e e grafado comoS.
'l- Signifiea Iliio e sllbcOlljlllltO; e representado por $.
Ac B lndicaquecadaelementodoconjuntoAtambemfazparte
doB. £XEMPLO: SeA= {3,6} e B~ {1,3,5,6, 7, 9},entao
A C B porque 3 e 6, presentes em A, fazem parte de B.
2 ft E 0 IIIlmero de SUbCOlljlllltOS quando 11 equivale ao
numero de elementos. EXEMPLO: SeA ~ {4, 5, 6},A tern
8 subconjuntos, porque A tern 3 elementos e 23 = 8.
OPERAC;OES
AuB Indica a IIlltaO do
conjunto A com 0 B; todos os
elementos deste conjunto sao OU
urn elemento do conjuntoA OU
do B; assim, para unir dois
conjuntos, e preciso agrupar
todos os elementos em urn unico
conjunto grafando apenas uma
vez cada urn dos numeros repetidos.
EXEMPLO: SeA = {2, 4,6,8,10, 12} e B = {3, 6,9,12,15,
18}, entao A U B = {2, 3, 4, 6, 8, 9,10,12,15, 18}.
AIlB Indica a illtersefiio do
conjunto A com 0 B; todos os
elementos fazem parte TANTO
do conjunto A COMO do B; ou
seja, para fazer a interse9aO, e
preciso separar os elementos que
aparecem NOS DOlS conjuntos.
EXEMPLO: Se A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {3, 6, 9, 12,
15, 18}, entao All B = {6, 12}.
A Indica 0 complemellto de
A; ou seja, todos os elemen!os COMP0lEMENTO
do conjunto universal que NAO -
fazempartedeA.£XEMPLO:Se A A
o universal e 0 conjunto de
numerosinteiroseA={0,1,2,3,
... },entao A={-I,-2,-3,-4, ... }..•.•... --------"
A = B Quando todos os elementos do conjunto A tambem
fazem parte do eonjunto B e vice-versa, mesmo
aparecendo em ordem diferente.
£XEMPLO: Se A = {5, 10} e B = {1O, 5}, entao A = B.
II(A) Indica 0 Ilumero de elementos do cOlljunto A e
equivale it representa<;ao em numeros cardinais.
EXEMPLO: Se A = {2, 4, 6}, entao 11 (A) = 3.
A - B Significa equivale a; ou seja, 0 conjunto A e 0 B tern
o mesmo numero de elementos, embora estes nao
sejam necessariamente os mesmos.
EX£MPLO: Se A = {2, 4, 6} e B = {6, 12, 18}, entao
A - B, porque 11 (A) = 3 ell (B) = 3.
A (lB = 0 Indica conjulltos desarticulados e sem elementos
em comum. £XEMPLO: SeA= {3,4, 5}e B = p,8, 9},
entao A (lB = 0, porque nao ha elementos comuns.
• a + b e urn numero real; quando se somam dois numeros
reais, 0 resultado tambem e urn numero real.
£XEMPLO: 3 e 5 san numeros reais, 3 + 5 ~ 8, e
a soma, no caso 8, tamhem e urn numero real.
• a - b e urn numero real; quando se subtraem dois numeros
reais, 0 resultado tambem e urn numero real.
EXEMPLO: 4 e 11 san nllmeros reais, 4 - I I ~ -7, e a
diferen9a, no caso -7, tambem e urn numero real.
• (a)(b) e urn numero real; quando se multiplicam dois
numeros reais, 0 resultado tambem e urn numero real.
EXEMPLO: 10 e -3 sao numeros reais, (10)(-3) = -30, e 0
produto, -30, tambem e urn nllmero real.
• a/b e urn numero real se b >" 0; quando se dividem dois
numeros reais, 0 resultado e urn nllmero real, a nao ser que
o denominador (divisor) seja zero.
EXEMPLO: -20 e 5 san numeros rea is, -20 I 5 = - 4, e 0
quociente, no casu - 4, tambem e urn numero real.
• a + b = b + a; podemos somar os numeros em ordens
distintas e 0 resultado sera 0 mesmo. EXEMPLO: 9 + 15 =
24e 15+9=24,assim9+ 15= 15+9.
• (a)(b) = (b)(a); podemos multiplicar os numeros em
distintas ordens e 0 resultado sera 0 mesmo. EXEMPLO:
(4)(26) = 104 e (26)(4) = 104, assim (4)(26) = (26)(4).
• a - b >"b - a; quando alteramos a ordem dos numeros na
subtra9ao, 0 resultado se altera, ou seja, nao ha propriedade
comutativa para subtra9ao. £XEMPLO:8 - 2 = 6, mas 2 - 8 =-{j.
.·a/b>" b/a; quando alteramos a ordem dos numeros na divisao,
o resultado se altera, ou seja, nao ha propriedade comutativa
para a divisao. £X£MPLO:8/2 = 4, mas 2/8 ~ 0,25.
• (a + b) + e = a + (b + c); somando os numeros em qualquer
disposi9ao, obtemos 0 mesmo resultado.
EXEMPLO:(2 + 5)+9= 7 + 9 = 16 e2 +(5 + 9)=2 + 14= 16,
assim (2 + 5) + 9 = 2 + (5 + 9).
• (ab)e = a(be); multiplieando os numeros em qualquer
disposi9ao, obtemos 0 mesmo resultado.
£X£MPLO: (4x5)8 = (20)8 = 160 e 4(5x8) = 4(40) = 160,
assim (4x5)8 = 4(5x8).
• A propriedade associativa nao se aplica a subtra9ao ou a divisao.
EXEMPLOS:(10 -4) - 2 = 6 - 2 = 4, mas 10 - (4- 2) = 10-
2 = 8; para divisao (12/6)/2 = (2)/2 = I, mas 12/(612)= 12/3 =
4. Observe que os resultados sao distintos.
• a + 0 = a; zero e 0 elemento neutro da adi9ao, porque seu
acrescimo (soma) nao altera 0 resultado.
EXEMPLO: 9 + ° = 9 e ° + 9 = 9.
• a{I)=a; I eaidentidade(elementoneutro)paraamultipliea9ao
porque ao se multiplicar urn numero por I nada muda.
£XEMPLO: 23(1) = 23 e (1)23 = 23.
• 0 casu da subtra9ao e da divisao, a identidade e urn
problema. E certo que 45 - °= 45, mas °- 45 = -45 e nao
45.0 mesmo vale para a divisao: 4/1 = 4, mas 1/4 = 0,25
e por isso a identidade nao permanece em casu de inversao.
• a + (-a) = 0; urn numero somado ao seu inverso aditivo
(numero com sinal oposto) semp"e resultara em zero.
EXEMPLO: 5 + (-5) = ° e (-5) + 5 = 0.
A exce9ao e zero, porque ° + ° = 0, porque 0 zero nao
possui simetrico aditivo.
• a (1Ia) = I; urn numero vezes seu inverso multiplicativo
ou reciproco (numeral escrito na forma de fra9ao) sempre
sera igual a I. £X£MPLO: 5( 1/5) = I. A exce9ao e zero,
porque este numero nao pode ser multiplicado por nenhum
outro e resultar em urn produto de I.
• a{b + c) = ab + ac ou a(b - c) = ab - ac; cada termo dentro
dos parenteses deve ser multiplicado pelo termo antes do
parentese. EXEMPLO: 4(5 + 7) = 4(5) + 4(7) = 20 + 28 =48.
Trata-se de urn exemplo simples, e a propriedade
distributiva nao e necessaria para a obten9ao do resultado.
Quando se trata de uma variavel, a propriedade torna-se
essencial.
£XEMPLO: 4(5a + 7) = 4(5a) + 4(7) = 20a + 28.
• REFLEXlVA: a = a; ambas as partes da equa9ao sao
iguais. £X£MPLO: 5 + k = 5 + k.
• SIMETRICA: Se a = b, entao b = a. Esta propriedade
permite trocar as duas partes de uma equa9ao.
£X£MPLO:4a-7=9 -7a +15 torna-se 9-7a + 15 =4a-7.
• TRANSITIVA: Se a = b e b = c, entao a = c. Permite
reunir os elementos que forem iguais entre si.
£XEMPLO: Em 5a - 6 = 9k e 9k = a + 2, pode-se eliminar
o termo comum 9k e ligar 0 termo seguinte a equa9ao:
5a - 6 = a + 2.
• PROPRIEDADE DE ADI<;AO DE IGUALDADE:
Se a = b, entao a + c = b + c. Esta propriedade per mite
acrescentar qualquer numero ou termo algebrico a qualquer
equa9ao, desde que ele seja acrescido aos dois lados.
EXEMPLO:5=5; se foracrescid03 a urn lado,aequa9aopassa
a ser 8 = 5 (0 que e errado), mas, se 0 mesmo valor for somado
nos dois lados, tem-se uma equa9ao correta: 8 = 8. Tambem
5a +4= 14 torna-se5a +4 +(-4)= 14+(-4) se for acrescido
-4 em ambos os lados. Resulta a equa9ao 5a = 10.
• PROPRIEDADE DE MULTIPLICA<;AO DE
IGUALDADE: Se a = b, entao ac = bc quando c >"O.
Permite multiplicar ambos os lados da equa9ao por urn
numero diferente de zero. EXEMPLO: Se 4a = -24, entao
(4a)(0,25) = (-24)(0,25) e a = -6. Note que os dois lados
foram multiplicados por 0,25.
• N~MEROS NATURAlS: p, 2, 3, 4, 5, ... , II, 12, ... }
• NUMEROSINTEIROS: { ,-4,-3,-2,-1, 0, 1,2,3,4, ... }
• SEQUENCIAIS: {O, 1,2, ,10, II, 12, 13, ... }
• NUMEROS RACIONAIS:{p/q I p e q sao numeros
inteiros, q>"O}; os conjuntos de numeros naturais, numeros
inteiros e sequenciais, assim como os numeros que podem
ser grafados em fra90es, sao subconjuntos dos numeros
raeionais.
• NUMEROS IRRACIONAIS: {xl x e urn numero real,
mas nao urn numero racional}; os conjuntos de numeros
racionais e irracionais nao tern elementos em comum e por
iss.o sao conjuntos desarticulados.
• NUMEROS REAIS: {x I x e a coordenada de urn ponlo em
uma linha numerica}; a uniao do conjunlo de numeros
racionais com urn conjunto de numeros irracionais equivale
ao .conjunto de numeros ~eais.
• NUMEROS IMAGINARIOS: {ai I a e urn numero real e
i e 0 numero cuja segunda potencia e -I}; ;2 = - I; os
conjuntos de numeros reais e imaginarios nao tern
el"mentos comuns e sao conjuntos desarticulados.
• NUMEROS COMPLEXOS: {a + bi I a e b sao numeros
reais e i e 0 numero cuja segunda pOlencia
e - I}; 0 conjunto de numeros reais e 0 de imaginarios san
subconjuntos dos numeros complexos.
e TOTAL ou SOMA e 0 resultado da adiyao. Os numeros
acrescidos sao chamados parcel as . EXEMPLO: Em 5 + 9
=14,05 e 0 9 sao parcelas e 0 14 e 0 total.
e DIFEREN<;:A eoresultadodasubtrayao. 0 nlimerosubtraido
e chamado de subtraendo. 0 numero do qual 0 subtraendo e
extraido e denominado minuendo. EXEMPLO: Em 25 - 8 =
17,025 eo minuendo, 0 8 e 0 subtraendo e 017 e a diferenya.
e PRODUTO e 0 resultado deumaoperayaodemultiplicayao.
Os numeros multiplicados sao chamados de fatores.
EXEMPLO: Em 15 x 6 ~ 90, 015 eo 6 sao fatores e 0 90
e 0 produto da multiplicayao.
e QUOCIENTE e 0 resultado de uma divisao. 0 numero
dividido e chamado de dividendo e aquele pelo qual
ocorre a divisao e chama do de divisor. Se restar urn
numeral no final da operayao de divisao, ele recebe 0 nome
de resto. EXEMPLO: Em 45 .;- 5 = 9, que tambem pode ser
representado por 45Li.(le-se 5 divide 45) ou 45/5, 045 e
o dividendo, 0 5 e 0 divisor e 0 9 e 0 quociente.
e 0 EXPOENTE indica 0 numero de vezes que a base e
multiplicada por si me sma, isto e, funciona como urn fator.
EXEMPLO: Em 53, 0 5 e a base e 0 3 corresponde ao
expoente e 53 = (5)(5)(5) = 125. Observe que a base, no
caso 5, foi multiplicada por si me sma 3 vezes.
e NUMEROS PRIMOS sao numeros naturais maiores que
1 e que possuem apenas dois divisores: ele mesmo e 0
numero 1. EXEMPLO: 7 e urn numero primo porque pode
ser dividido apenas por 7 e por 1; 13 e urn numero primo
porque pode ser dividido apenas por dois divisores: 13e 1.
e NUMEROS COMPOSTOS sao numeros naturais que
possuem mais de dois divisores. EXEMPLO: 15 e urn
numero composto porque 1, 3, 5 e 15 podem ser
multiplicados e resultar em 15; 9 e urn numero composto
porque 1, 3 e 9 podem ser multiplicados e resultar em 9.
e oMA.xIMO DIVISOR COMUM(MDCl de urn conjunto
de numeros e 0 maior numero natural que pode dividir cada
um dos numeros de urn conjunto; ou seja, 0 maior numero
natural que dividira todos os numeros do conjunto sem
resto. EXEMPLO: 0 maximo divisor comum de 12,30 e 42
e 6, porque 6 e 0 maior numero que divide igualmente 12,
30 e 42 sem deixar resto.
eo MINIMO MULTIPLO COMUM (MMCl de um
conjunto de numeros e 0 menor numero natural que pode
ser dividido em uma conta exata (sem resto) por todos os
numeros do corijunto. EXEMPLO: 0 minimo multiplo
com urn de 2, 3 e 4 e 12, porque, embora todos os numeros
do conjunto sejam divisores exatos de diversos dividendos,
como 48,36,24 e 12,0 menor e 12.
eo DENOMINADOR de uma frayao e 0 numero que fica
embaixo e indica 0 divisor da referida frayao. EXEMPLO:
No caso de 5/8, 0 numero 8 e 0 denominador e tamb"m 0
divisor da divisao.
eoNUMERADORde uma frayaoe0 numero que fica emcima,
ou seja, 0 dividendo da operayao de divisao expressa na frayao.
EXEMPLO: No caso da frayao 3/4, 0 nlimero 3 eo numerador
e tambem corresponde ao dividendo da operayao de divisao.
eA CASA DECIMAL de cada digito em um numero de base
dez depende de sua posiyao em relayao it virgula decimal.
A posiyao dos numeros representa a multiplicayao por dez.
EXEMPLO: Em 324, 0 3 equivalea300porquee 3 vezes 102
(102 = 100).02 equivale a 20 porque e 2 vezes 101 (101 =
10) e 0 4 equivale a 4 vezes porque e 4 vezes 100 (100 ~ 1).
Existe uma virgula decimal invisivel it direita do 4. Em
5,82,05 equivale a 5 vezes 1porque e 5 vezes 100(100= 1),
o 8 equivale a 8 vezes um decimo porque e 8 vezes 10-1
(10-1 = 0,1 = 1/10) e 0 2 equivale a 2 vezes urn centesimo
porque e 2 vezes 10-2 (10-2 = 0,01 = 1/100).
e Escreva 0 numero que esta depois da virgula decimal na
posiyao de numerador (em cima) da frayao.
e Escreva a casa decimal do ultimo digito como deno-
minador (embaixo) da frayao. Todos os numeros it esquerda
da virgula decimal sao numeros inteiros.
EXEMPLO: Em 4,068,0 ultimo numero antes da virgula
decimal e 0 8, que ocupa a casa dos milesimos. Por isso,
4,068 e representado por 41gg"
e Note que 0 numero de zeros no denominador equivale ao de
digitos existentes depois da virgu1ano numero original.
e Escreva os numeros decimais na vertical alinhando pelas
virgulas, para que as casas decimais correspondentes
fiquem uma sobre as outras.
e ADI<;:AO
EXEMPLO: 23,045 + 7,5 + 143 + 0,034 ficaria:
23,045
7,5
143,0 porque existe uma virgula decimal
0,034 apos 0 numero 143.
173,579
e Regra: Sempre divida por urn numero inteiro.
e Se 0 divisor for um numero inteiro, simplesmente divida e
traga a virgula decimal para 0 quociente (resultado).
EXEMPLO: 0,16~
\..-0,04
e Se 0 divisor for um numero decimal, coloque a virgula
decimal atras do ultimo digito. Mova a virgula decimal no
dividendo, na mesma quantidade de "casas". Divida e traga
a virgula decimal para dentro do quociente (resultado).
t
EXEMPLO: 3~~
"-.1.0,
e Esse processo funciona porque tanto 0 divisor como 0
dividendo sao de fato multiplicados por uma potencia de
dez, isto e, 10, 100, 1000 ou 10000, para mover a virgula
decimal.
EXEMPLO: .3...S x 100 = 350 = 70
0,05 x 100 5
e Se os numeros a serem somados tiverem 0 mesmo sinal,
SOME-OS. 0 resultado tambem tera 0 mesmo sinal.
EXEMPLOS: (-4) + (-9) = -13 e 5 + 11 = 16.
e Se os numeros a serem somados tiverem sinais diferentes,
SUBTRAIA-OS. 0 resultado vai apresentar 0 sinal do
numero mais alto (ignore os sinais ou considere apenas 0
valor absoluto dos numeros para identificar 0 maior).
EXEMPLOS: (-4) + (9) ~ 5 e (4) + (-9) = -5.
o Teorema Fundamental da Aritmetica determina que
todos os numeros compostos podem ser grafados como urn
produto unico dos numeros primos. EXEMPLO: 15 = (3)(5),
em que 15 e composto e tanto 3 como 5 sao primos; 72 =
(2)(2)(2)(3)(3), em que 72 e composto e tanto 2 como 3 sao
primos; note que 72 equivale a (8)(9), mas isso nao demonstra
o teorema, porque nem 8 nem 9 sao numeros primos.
e Escreva os nlimeros decimais na vertical alinhando pelas
virgulas, para que as casas decimais fiquem uma sobre as
outras.
e Acrescente zeros apos 0 ultimo digito depois da virgula
decimal no minuendo (numero do alto) se necessario (tanto
o minuendo quanta 0 subtraendo devem ter 0 mesmo
numero de digitos apos a virgula decimal).
e EXEMPLO: Em 340,06 - 27,3057, 0 340,06 tem apenas 2
digitos apos a virgula e por isso e preciso acrescer zeros,
uma vez que 27,3057 conta com 4 digitos apos a virgula.
Assim, a operayao passa a ser: 340,0600 - 27,3057.
e Mude a subtra9ao para adi9ao do numero oposto; a - b =
a + (-b); ou seja, altere 0 sinal de subtrayao pelo de adiyao e
mude 0 sinal do numero que vem depois do sinal de subtrayao
para 0 sinal contrario. Veja as seguintes regras de adiyao:
EXEMPLOS:
(8) - (12) ~ (8) + (-12) = - 4;
(-8) - (12) = (-8) + (-12) = -20;
(-8) - (-12) ~ (-8) + (12) = 4.
Observe que 0 sinal do numero em frente ao sinal de
subtrayao nunca se altera.
e DESCR1<;:AO:Aordem naqual seefetua a adi,ao, a subtra,ao,
a multiplica,ao e a divisao determina 0 resultado.
eORDEM
1.Parenteses: Quandohouver, todas as operayoes grafadas
entre parenteses devem ser feitas primeiro. 0 mesmo vale
para os simbolos { } (chaves) e [] (colchetes).
2. Expoentes: Numerais com expoentes sao solucionados
em segundo lugar, quando houver.
3. Multiplica9ao e Divisao: Estas opera,oes devem ser
solucionadas em terceiro lugar, obedecendo it ordem em
que aparecem, da esquerda para a direita.
4. Adi9ao e Subtra9ao: Estas operayoes devem ser
solucionadas em quarto lugar, obedecendo it ordem em
que aparecem, da esquerda para a direita.
e Conte 0 numero de digitos depois da virgula decimal em
todos os fatores.
e Conte 0 numero de digitos depois da virgula decimal no
resultado. Esse numero deve apresentar amesma quantidade
de digitos apos a virgula decimal em todos os fatores. Nao
e precise alinhar os fatores pela virgula para fazer a
multiplicayao.
EXEMPLO: Em (3,05)(0,007), multiplique os numeros e
conte os 5 digitos que estao depois da virgula de modo a
colocar cinco digitos depois da virgula no resultado da
opera,ao. Assim, (3,05)(0,007) = 0,02135.
Esse processo funciona porque 0,3 multiplicado por 0,2
pode ser grafado na forma de frayao, 3/10 vezes 2/10, que
equivale a 6/100 e tambem a 0,06 como numero decimal-
dois digitos depois da virgula decimal no problema e
tambem no resultado.
Em multiplica,ao e divisao, siga estas regras para
determinar 0 sinal do resultado:
e Se os numeros tiverem 0 mesmo sinal, 0 resultado sera
POSITIVO.
e Se os numeros tiverem sinais diferentes, 0 resultado
sera NEGATIVO.
e No caso de urn numero ser maior que outro, aplicam-
se as mesmas regras acima para determinar 0 sinal do
resultado.
EXEMPLOS: (-2)(-5) ~ 10; (-7)(3) ~ -21; (-2)(9) =-18.
NEGATIVO DUPLO
e -(-a) = a, ou seja, 0 sinal na frente do parentese muda 0
sinal do conteudo entre parenteses. EXEMPLOS: -(-3) ~
+3; -(3) = -3; -(5a - 6) = -5a + 6.
• Dividanumerador (em cima) e denominador( embaixo) pelo
mesmo nlimero, obtendo uma fra9aOequivalente com termos
menores. 0 processo pode ser repetido.
EXEMPLO: 20 + 4 S
32+4 "8
ADlc;io
t+~=~ onde uO
• Mude para fra90es equivalentes com urn denominador
comum.
2 1 S .
EXEMPLO: No caso de "3 + 4 + 6" slga estes passos:
1.1dentifique 0minimo denominador comum determinando
o menor numero pelo qual podem ser divididos de forma
exata (sem resto) todos os denominadores. EXEMPLO: 3,
4 e 6 san divisores de 12.
2.Multiplique 0 numerador e 0 denominador de cada fra9aOde
modo que 0 valornao mude,mas que se obtenha 0denominador
comum.
EXEMPLO' ~x.i !x~ ~x~ _~ ~ 10
. 3 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 - 12 + 12 + 12
3.Some os numeradores e mantenha 0mesmo denominador,
porque a soma das fra90es depende de partes iguais.
EXEMPLO: A + {2 + f~= i~=1{2 =1t
SUBTRAc;io _
1!. _ Q = a - b onde co"O
c c c
• Altere as fra90es equivalentes para adotarum denominador
comum.
I. Encontre 0 minimo denominador comum determinando 0
menor valor que pode ser dividido sem resto por todos os
denominadores (n6mero inferior da fra9aO).
EXEMPLO: ~ - t
2. Multiplique 0 numerador e 0 denominador pelo mesmo
numero de modo que 0 valor da fra9aO nao mude, mas se
obtenha 0 denominador comurn.
EXEMPLO: ~-*~j=~-J
3.Subtraia os numeraaores e mantenha 0mesmo denominador,
porque a subtra9aO das fra90es consiste em encontrar a
diferen9a entre as partes iguais.
EXEMPLO: ~
~
MULTIPLlCAc;io
1!. x Q = a x b onde co"O e dol'Oc d cxd
• NAO e preciso achar denominador comum.
1. Multiplique os numeradores (em cima) e multiplique os de-
nominadores (embaixo). Em seguida, simplifique 0 resultado.
2 6 _ 12 + 12 _ 1
EXEMPLO: 1"x 12 - 36 + 12 -1"
2.0U sirnplifique todos os numeradores (em cima) com qual-
quer denominador (embaixo) e depois multiplique os nume-
radores e os denominadores.
I 2
EXEMPLO: -t. x if = 1.-
,31 lZ6 3
DIVISio
1I.+Q=1I.x.d= axd onde c*O' MO' b;tO
c d c b cxb "
.NAO e preciso achar denominador comum.
1.Troque 0 sinal de divisiio pelo de multiplica9ao; ou
seja, inverta a fra9aO que funciona como divisora e
inverta 0 sinal da Opera9aO.
EXEMPLO: t + -t passa parat x t
2.Em seguida, efetue a opera9iio de multiplica9iio como
indicado acima. 2 1
EXEMPLO: ~ x % - 2
Jf3 £1- 3
Aspecto gerais
• Definifiio de nitmeros mistos:Numeros inteiros seguidos
de fra90es; ou seja, numero inteiro acrescido de uma fra9aO.
EXEMPLO: 4± significa 4+±
• Fra90es improprias sao fra90es com um numerador (nlimero
superior) maior do que 0 denominador (numero inferior).
• Conversoes
I.Numero misto para fra9ao impropria: Multiplique 0 deno-
minador (embaixo) pelo numero inteiroe some 0 numerador( em
cima) para encontrar 0 numerador da fra9ao impropria. 0 deno-
minador da fra9aOimpropria 6 0 mesmo do nUmeromisto.
(+}
EXEMPLO: 52= 3x5+2 =12to 3 3
2.Fra9iioimpropria para numero misto:Divida0 denominadorpelo
numeradore registre0 restosobre0 divisor(0 divisor60mesmodo
denominadorda fra9aOimpr6pria).
EXEMPLO' 17 significa 17l2.-.
. 5 1§ 3~
2 5
• Some os numeros inteiros.
• Some as fra90es seguindo os passos da adi9aOdescritos na
respectiva parte deste guia.
• Se 0 resultadoconstituiuma fra9aOimpr6pria,mude-a para urn
nllineromistoe some; nume:ointeiro@re~SUltanteaor;sultado~nal.
EXEMPLO' 4-+7- = 11- = 11+1-= 12-. 5 5 5 5 5
• PRIMEIRO SUBTRAIAA FRAC;AO.
1.Se a fra9ao do numero maior for maior do que a fra9aOdo
nUmeromenor, sigaosprocedimentos para subtra9aOde fra90es
descritos neste guia e em seguida subtraia os numeros inteiros.
EXEMPLO: 7~-2i=S~ =St
2.Caso contnirio, "empreste" UM do numero inteiro e some a
fra9aO (6 preciso que os denominadores sejam comuns)
antes de subtrair. 6':' = S + 1.+ ~ = S2.
, 7 7 7
5 5
EXEMPLO: - 37" = - 37"
2,!
ATALHO PARA 0 "EMPRESTIMO": Siinplifique 0
numero inteiro porum, substitua 0 numerador pela soma
(adi9aO) do numerador e do denominador da fra9aO e
mantenha 0mesmo denommador. /"'<
6~ = 5 +L!:.J.= 52
7~ 7
EXEMPLO: -32= -327 7
2.±
7
Transforme os numeros mistos em uma fra9aO impropria e
siga os passos para multiplica9aO e divisao de fra90es.
RAZAO, PROPOR
• Dejinifiio: COmpara9aOentreduas quantidades.
• Formas: 3 para 5, 3:5, 3/5, 3.
5
• Definifiio: Porcentagem significa "por 100" ou "em cada 100:'
• Percentual e fra90es equivalentes
1.Percentuais podem ser escritos como fra9aO, com 0 numero
sobre 100 e simplificando ou reduzindo.
30% = {ooo = 130
4,5%=~= 19~0 = 2g0
2.As fra90es podem ser transformadas em porcentagens
adotando 0 denominador 100. 0 numerador 6 0 numero
percentual.
Perimetro: 0 perfmetro, P,de uma forma bidimensionaJ e a so-
ma do comprimento de todos os seus lados. Area: A area, A, de
uma forma bidimensional e 0 ntimero de unidades quadradas
(unidades de area: m', cm' etc.) que podem ser colocadas dentro
do espa~o delimitadopelos lados da figura.Obs.:A area e obtida
por UffUl combinagiio que multiplica bases e alturas, as quais
sempre formam entre si iingulos de 90°, exceto em cfrculos.
Volume: 0 volume, V,de uma forma tridimensional e 0 ntimero
de unidades cubicas (unidades de volume: m3, cm3 etc.) que
podem ser colocadas no espa~o delimitadopelos lados da figura.
Areado Quadrado: II
A=hb; se h=8 e b=8, pois os lados do quadrado sao h
do mesmo tamanho, entao: A=64 unidades quadradas. b
Areado Retfulgulo:
A=hb; se h=4 e b=12, entao:
A=(4) (12), A=48 unidades quadradas .
Area do Triingulo:
A=b x hl2; se h=8 e b=12, entao:
A=12 x 8/2, A=48 unidades quadradas.
Areado Paralelogramo:
A=hb; se h=6 e b=9, entao:
A=(6)(9), A=54 unidades quadradas.
Area do Trapezio:
A=(b[+bl)hJ2; se h=9, b1=8 e bl=12,
entao: A=(8+ 12)9/2, A=9 x20/2,
A=90 unidades quadradas. bl
Areado Cfrculo: __
A=nr2; se n=3,14 e r=5, entao: A=(3,14) (5)2,
A=(3,14) (25), A=78,5 unidades quadradas.
Circunferencia:C=2nr, C=(2) (3,14) (5) =31,4 unidades.
-~
b
~
b
bl
Teorema de Pitagoras:
Seurn triingulo retfulZuJotern hipotenusa c
e ladosa e b, entao c =a2+b2
Volumedo Prisma Retangular:
V=lwh;se 1=12,w=3 e h=4, entao:
V=(12) (3) (4), V=144 unidades ctibicas.
~b
a
he:t:Pw I
e[]J
e e
~h
Volumedo Cubo:
V=e3, ja que em urn cuba todos os lados, e, tern
o mesmo tamanho. See=8, entao: V=(8) (8) (8),
V=512 unidades ctibicas.
Volumedo Cilindro:
V=nr2h; se r=9 e h=8, entao: V=n(9)2(8),
V=3,14(8I)(8), V=2034,n unidades ctibicas.
Volumedo Cone:
V=1I3nr2h; se r=6 e h=8, entao: V=1I3n(6)2(8),
V=113(3, 14) (36) (8), V=301,44 unidades ctibicas.
Volumedo PrismaTriangular~
V=(area do triangulo)h; se 12 tern area
igual a 1/2(5)(12), entao: V=30h, e se h=8,
entao: V=(30)(8), V=240 unidades cubicas.
Volumeda Pirfunidede Base Retangular:
V=I/3(area do retingulo)h; se 1=5 e w=4, 0 retangulo
tern area igual a 20, entao: V=1I3(20)h, e se h=9,
entao: V=1I3(20) (9), v=60 unidades ctibicas.
Volumeda Esfera:
V=~\; se r=5, entao:
V=~, V=J5ffr,523,3 unidades cubicas.
AO E PORCENTAGEM
• Percentual e numeros decimais
I.Para mudar urn percentual para urn numero decimal, mova a
vfrguJa duas casas para a esquerda.
45% = 0,45; 125% = 1,~ ;
EXEMPLOS: 6%~ o,Q§; 3,50/o~O~5
2. Paramudar urn numero decimal para percentual,movaa virgula
duas casas para a direita.
EXEMPLOS: 0,47 = ~%; 3,2 = 3~%; 0,205 = ~5 %
• Definifiio: Rela9aOda igualdade entre duas fra90es ou razoes.
• Formas: 3 esmpara 5 como 9 esmpara 15,3:5 :: 9:15,~ = [95
• Solu~ao: modifique as fra90es para fra90es equivalentes com
denominadores comuns, encontrenumeradores(em cima) iguaise
resolvaa questiio.EXEMPLO: t = -1tr ' 1tr = -1tr ,n = 15
• Multiplique em cruz e resolva a equa9ao resultante.
EXEMPLO: ll.'uI'.1 5 = 21 = 21 +5 = 41-7'''''5' n , n , n 5
• Variaveis sao tetras usadas para representar numeros.
• Constantes sao numeros especificos que nao sac multiplicados
por qualquer variavel.
• Coeficientes sac numeros multiplicados por uma ou mais
variaveis. EXEMPLOS: -4xy tem um coeficiente de -4; 9 m3
tern urn coeficiente de 9; x tern urn coeficiente invisivel de 1.
• Termos sao express5es constantes ou variaveis.
EXEMPLOS: 3a; -5c4d; 25mp3r5; 7.
• Termos semelhantes ou iguais sao os que tern as mesmas va-
riaveis ao mesmQgrau ou valor exponencial. as coeficientes
nao se alteram e podem ser iguais ou nao.
EXEMPLOS: 3 m' e 7 m' sao termos similares porque ambos
tern a mesma variavel a mesma potencia ou ao mesmo valor
exponencial. -15a6b e 6a6b sao termos similares, mas 2x4 e 6x3
nao sao, porque, apesar da mesma variavel, x, urn esta elevado
a potencia 4 e outro a potencia 3.
• Expressiies algebricas sao termos relacionados pela adi,ao ou
subtra,ao. EXEMPLOS: 2s + 4a' - 5 e uma expressao algebrica
com tres termos, 2s, 4a' e 5.
.Equa,iies algebricas sao rela,5es de igualdade entre nominimo
dois termos. EXEMPLOS: 4z = 28 e uma equa,ao algebrica,
assim como 3(a- 4)+ 6a~ 10.Observe que ambos os integrantes
tern sinal igual.
• Inequa~oes algebricas sao equayoes que apresentam os sinais de
>, <, > ou < entre dois termos. EXEMPLOS: 50 < -2x e uma
inequa,iio algebrica, assim como 3 (2n+ 7)> -10.
FORMULAS: % do aumento _ total do aumento ou
100 valor ongmal
(valor original) x (% do au men to) = total do aumento
Se 0 total do aumento nao for informado, pode ser obtido por
meio da seguinte opera,ao: (valor novo) - (valor original) =
total do aumento. EXEMPLO: A empresa X tinha 10.000
empregados em 1992 e 12.000 em 1993. Percentual do
aumento = 12.000 - 10.000 = 2.000
(); n _ 2000 n ~ 20 e % do aumento = 20%
% do aumento 100 - 10000 porque % significa entre 100 .
valor com desconto
---10-0-- = prevo original au
(pre,o original) x (% do desconto) = valor com desconto
Para caleular, (valor com desconto) = (pre,o original) -
(pre~o novo). EXEMPLO: A empresa X passou a vender por
R$ 150 os ternos oferecidos a R$ 250. Qual 0 desconto?
0' d d t n R$100'0 0 escon 0 TOO = R$250
assim n = 40 e % do desconto = 40%
• Tipo I: a(e + d) = ac + ad.
EXEMPLO: 4x3(2xy + y' ) ~ 8x4y + 4x3y2
• Tipo 2: (a + b)(e+d) ~ a(e+d) + b(e+d)= ae + ad + be + bd
EXEMPLO: (2x + y) (3x - 5y) ~ 2x(3x - 5y) + y(3x - 5y) ~ 6x' -
IOxy+ 3xy - 5y2 ~ 6x' - 7xy - 5y2 0mesmo pode ser feito com
oMetodo FOIL para Produtos de Binomios (vejaoResumiio-
ALgebra 1). Trata-se de urn metodo para a multiplica,ao
envolvendo apenas dois termos, que consiste em multiplicar
primeiros term os por primeiros termos, term os extern os entre
si, term os internos entre si e ultimos termos tambem entre si.
COMBINA~AO -
ADI~AO OU SUBTRA~~Q
• REGRA: Combine (some ou subtraia) apenas os
coeficientes dos termos semelhantes e jamais mude os
expoentes durante a opera,ao de adi,ao ou subtra,ao.
a + a = 2a
EXEMPLOS: 4xy3 e -7y3x sao termos semelhantes, embora
x ey3nao estej am na mesma ordem epossam ser combinados
deste modo: 4xyJ +-7yJx ~-3xy3 (note que so os coeficientes
foram combinados, porem os expoentes nao
mudaram); -15a'bc e 3bca5 nao sao termos semelhantes,
porque os expoentes de a sao distintos e nao podem ser
somados ou subtraidos.
• Elimine todas as fra~oes usando a Propriedade de
Multiplica,ao de Igualdade (pode apresentar erro se mal
aplicada).
EXEMPLO: 1/2 (3a + 5) = 2/3 (7a - 5) + 9 seria
multiplicado nos dois lados do sinal de igual pelo menor
denominador comum de 1/2 e 2/3, no caso 6, resultando
3(3a + 5) = 4(7a - 5) + 54. Note que apenas 0 1/2,02/3 e
o 9 foram multiplicados por 6, mas nao 0 conteudo dos
parenteses, que serao solucionados em seguida.
• Simplifique e remova todos os parenteses que houver.
EXEMPLO: 3(3a + 5) = 4(7a - 5) + 54 fica 9a + 15 ~
28a - 20 + 54.
• Combine os termos semelhantes situados do mesmo
lado do sinal de igual. EXEMPLO: 9a + 15 ~ 28a - 20 +
54 passa a ser 9a + 15= 28a + 34 porque os unicos termos
semelhantes do mesmo lado eram -20 e +54.
• Use a Propriedade de Adi~ao de Igualdade para somar
termos semelhantes do mesmo lado do sinal de igual, mais de
uma vez se for preciso. 0 objetivo sera reunir todos os termos
com amesma variavel do mesmo lado do sinal de igual e todas
as constantes sem variaveis do outro lado do sinal.
EXEMPLO: 9a + 15= 28a + 34 passa a ser 9a + 15 - 28a - 15
~ 28a + 34 - 28a -15. Note que tanto -28a e -15 foram somados
nos dois lados do sinal ao mesmo tempo. 0 resultado pass a a
ser -19a = 19 apos a subtra,ao ou adi,ao dos termos.
• Use a Propriedade de Multipliea,ao de Igualdade para achar0
coeficientedavariavell.EXEMPLO: -19a= 19seriamultiplicado
am ambas as partes por -1/19 (ou divididopor -19) para chegar a
I diante de a, e a equa,ao resulta em la = 19(-1/19)ou a ~-1.
• Confirme 0 resultado substituindo-o pela varia vel na
equa~ao original para ver se nao h:i erro.
comissao em R$
100 vendas em R$
(vendas em R$) x (% da comissao) = comissao em R$
EXEMPLO: Um corretor ganhou 4% sobre a venda de uma
casa por R$ 125.000. Caleule a comissao.
% da comissao' --=L _ comissao em R$
o . 100 - R$125.000
ou (R$ 125.000)x (4%)= comissao em R$ = R$ 5.000.
0, AS % damargemde lucm_ margemde lueroemR$F RMUL: 100 pre,o original ou
(pre~o original) x (% da margem de lucro) =margem em R$
Para calcular,(margem em R$) = (pre,o novo)- (pre~o original)
EXEMPLO: Uma empresa compra blusas por R$ 20 e vende par
R$ 44 a unidade. Calcule 0 percentual da margem de lucra.
D 24margememR$ ~ R$ 44 -R$ 20~ R$ 24% damargemdeluera:100= 20
Assim n = 120e % da margem de lucro = 120%.
% do lucra lucra em R$
FORMULAS: 100 total do ganho em R$
ou (total do lucro em R$) x (% lucro) = lucro em R$
Para caleular, lucro R$ = (total do ganho) - (despesas).
EXEMPLO: Uma empresa tem despesas deR$ 150.000 e urn
lucra de R$ 10.000. Caleule 0 percentual do lucro.
Total do lucro = R$ 150000 + R$ 10.000 = R$ 160.000
% d I . n 10000
o 0 ucra. 100 = 160000
aU(R$160.000)x (n) ~ R$ 10.000.Emambosos casas,lucro= 6,25%.
• Definifiio: 35 ~ (3)(3)(3)(3)(3); isto e, 3 recebe 0 nome de
base e emultiplicado por simesmo 5 vezes, pois 0 expoente
e 5. am = (a)(a)(a) ...(a); ou seja, 0 a e multiplicado por si
mesmo m vezes.
• Multiplica,ao de mesma base (bases iguais):
(amHan) = am+n; conserve a base e some os expoentes, no
caso a, ou seja, apenas some os expoentes.
• MUltipliea,ao dos term os semelbantes: Multiplique todos
os termos e nao so os semelhantes.
• REGRA: Multiplique os coeficientes e as variaveis (quer
dizer, some os expoentes com a mesma variavel).
EXEMPLO: (4a4c)(-12a'bJe) = -48a6b3c2,
Note que 4 vezes -12 resulta -48, a4 vezes a2 e igual a a6,
c vezes e resulta e' e b3 foi grafado para indicar a
multiplica,ao por b, mas 0 expoente nao muda no caso de
b porque havia apenas um b no problema.
• Siga os mesmos procedimentos para solucionar uma equa,ao
de primeiro grau descrita ao lado, exceto no seguinte aspecto:
• Exee,ao: Ao aplicar a Prapriedade de Multiplica,ao, 0
sinal de desigualdade deve mudar se voce multiplicar
por um numera negativo.
EXEMPLOS: 4m > -48, 4m(1/4) > -48(1/4), m> -12;
-5x> 65, -5x(-1/5) < 65(-1/5), x < -13
, % da reduyao
FORMULAS: 100 valor original ou
(valor original) x (% da redu~ao) = total reduzido
Para caleular, total reduzido = (pre,o original) - (pre,o novo)
EXEMPLO: Uma empresa tinha 12.000 funcionarios em 1993
e 9.000 em 1994. Calcule a redu,ao.
Total reduzido = 12000 - 9000 = 3000
O/d d -. n _3000
/0 are u,ao. 100 - 12000
Assim, n = 25 e % da redu,ao = 25%.
~ ~
% DE DESPESAS / ~:iw
FORMULAS' % das despesas = despesas em R$
. 100 renda total
ou (renda total) x (% das despesas) = despesas em R$
EXEMPLO: Uma empresa apresentou um faturamento bruto de
R$ 250.000 e lucro liquido deR$ 7.500. Calcule opercentual das
despesas. Despesas: ~ R$ 250.000 - R$ 7.500 = R$ 242.500.
0/ d d . n _ 242500
/0 as espesas. 100 - 250000
Assim, n = 97 e % das despesas = 97%.
FORMULAS: i = prt.
ou (valor total) = (principal) + juros
Em que i = juras
p = principal; soma emprestada
r = taxa de juros
t ~ tempo; expresso no mesmo periodo que a taxa
de juras. Por exemplo: se a taxa for anual, 0
tempo e contado em anos ou partes dele. Se for
mensa I, caleulam-se os meses.
EXEMPLO: Umcliente emprestou R$ 5.000 de um banco a
uma taxa de 6% ao ano. Ao devolver 0 dinheira apos 3 meses,
quais os juras aplicados?
juros em R$ = prt = (R$ 5.000)(6%)(0,25) = R$ 75
Observe que os 3 meses equivalem a 0,25 de um ano.
Soma total = p + i = R$ 5.000 + R$ 75 ~ R$ 5.075.
JUROS COMPOSTOS :~~''fiW:~1II
FORMULA: A=p(l+.ft)Dt
Em que: A ~ valor total
p = principal; soma emprestada
r = taxa de juros, em geral anual
t = tempo, em geral expresso em anos
n = numero total de periodos
A=p(1 +i-)nt
A = 100(1 + .044)(4x8)
A = 100(1.01)32
A = 100(1.3749)
A = 137.49
depositou R$ 100 em uma
caderneta de poupan,a com
Barros, Fischer
& Associados
Resumao
Tradu~ao:MonicaTambelli
Edi,ao: MarciaMenin
Arte:MauricioCioffi
Consultora: CristianeCoppe
Revisao: Marcia Menin
Resumao- Matematica(Serie de Ciancias Exatas, n' 7)e umapublica-
,ao da Barros.Fischer& Associados,sob licen,a editorialde SpringPu-
blishingGroup.Inc.© BarCharts,Inc.2002.USATodosos direitosreser-
vadas. A serie de resumos de ciencias exatas e urna criativa fonte de con-
sulta para ser usada em sala de aula, como ferramenta de apaio na rea-
IiZ8y8.0 de tarefas escolares e como forma de memorizac;ao durante a revi-
sac antes das provas. Duravel e de baixo custo, esta ferramenta de estudo
vai acompanhar voce ate mesmo depois da conclusao de seus estudos.
Enderego: RuaUlpiano.86
Lapa, Sao Paulo,CEP05050-020
Telefone/lax .. 0 (xx)11 3675-0508
Atengao
E expressamente
proibida a reproduc;ao
totalou parcial do con-
teudo desta publica,ao
sem a previa autoriza-
,ao do editor.
I III