Integrais Definidas - Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral I – 2014.2 
 
Integrais Definidas 
 
 Desde cedo em nossas vidas escolares aprendemos a calcular a área de figuras planas 
simples tais como 
 
 
 
 
 
 
Elas eram dadas por fórmulas bem determinadas para cada tipo de figura. No entanto, 
para figuras mais gerais, como definir e calcular sua área? O problema surge especialmente 
quando temos regiões com lados curvos, pois para polígonos podemos usar o método de dividi-
los em triângulos e assim encontrar suas áreas. 
 Por exemplo, a área do polígono ao lado será dada pela soma das 
áreas 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 dos triângulos, que já sabemos calcular 
𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3. 
 
 O que faremos inicialmente com uma região 𝑆 que está sob a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) de 𝑎 até 𝑏 
é aproximar sua área pela área de figuras que sabemos facilmente calcular. 
 Suponha que queiramos encontrar a área da região 𝑆 dada abaixo. 
 
 
 
 
 
Vamos dividir o intervalo [𝑎, 𝑏], sucessivamente em 2, 4 e 8 partes. Em cada intervalo 
consideremos o retângulo cuja base é o próprio intervalo e a altura é dada pelo valor de 𝑓 em 
seu extremo direito. Observe que nesse caso a soma das áreas dos retângulos é superior àquela 
que procuramos, mas que a aproximação é melhor quanto maior é a quantidade de intervalos 
considerados. 
 
 
 
Usando a mesma ideia, porém utilizando o extremo inferior do intervalo, obtemos 
 
 Note que a área dos retângulos é menor que a procurada e que a aproximação é melhor 
quando aumentamos a quantidade de intervalos. 
 
Exemplo 1: Estime o valor da área abaixo do gráfico de 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1 no intervalo de zero a 
um. 
 
Solução: A região de nosso interesse é dada ao lado. A princípio tomaremos o extremo superior 
e em seguida o inferior de cada um dos intervalos. 
𝐼1 = [0,
1
4
] 𝐼2 = [
1
4
,
1
2
] 𝐼3 = [
1
2
,
3
4
] 𝐼4 = [
3
4
, 1] 
𝐴1 =
1
4
𝑓 (
1
4
) +
1
4
𝑓 (
1
2
) +
1
4
𝑓 (
3
4
) +
1
4
𝑓(1) 
 =
1
4
(−
1
16
+ 1 −
1
4
+ 1 −
9
16
+ 1 − 1 + 1) 
 =
1
4
(−
1
16
−
1
4
−
9
16
+ 3) =
1
4
(
−1 − 4 − 9 + 48
16
) 
 =
1
4
∙
34
16
=
17
32
. 
 
𝐴2 =
1
4
𝑓(0) +
1
4
𝑓 (
1
4
) +
1
4
𝑓 (
1
2
) +
1
4
𝑓 (
3
4
) 
=
1
4
(−0 + 1 −
1
16
+ 1 −
1
4
+ 1 −
9
16
+ 1) 
=
1
4
(−
1
16
−
1
4
−
9
16
+ 4) =
1
4
(
−1 − 4 − 9 + 64
16
) 
=
1
4
∙
50
16
=
25
32
. 
 Dessa forma, 
17
32
< 𝐴𝑅 <
25
32
. 
 Se quisermos uma aproximação melhor basta aumentarmos a quantidade de intervalos. 
 
Definição: Uma partição 𝑃 de um intervalo [𝑎, 𝑏] é um conjunto finito 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} 
onde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. 
 
 Uma partição 𝑃 de [𝑎, 𝑏] divide [𝑎, 𝑏] em 𝑛 intervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. A 
amplitude do intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] é indicada por ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. Assim, 
∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 ∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 ∆𝑥3 = 𝑥3 − 𝑥2 … 
 Os números ∆𝑥1 , ∆𝑥2, … , ∆𝑥𝑛 não são necessariamente iguais. O maior deles é 
denominado amplitude da partição 𝑃 e indicado por 𝑚á𝑥 ∆𝑥𝑖 . 
 Seja 𝑅 a região abaixo do gráfico de 𝑓 ≥ 0 e 
entre as retas 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. Consideremos uma 
partição 𝑃 do intervalo [𝑎, 𝑏] de forma que 
∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ⋯ = ∆𝑥𝑛, 
ou seja, dividiremos a largura do intervalo [𝑎, 𝑏] por 𝑛, 
obtendo 
∆𝑥𝑖 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
, ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛. 
 Por simplicidade chamaremos este valor de ∆𝑥. Com esse procedimento conseguiremos 
subdividir a região 𝑅 em 𝑛 faixas 𝑅1 , 𝑅2, … , 𝑅𝑛 de igual largura e [𝑎, 𝑏] em 𝑛 intervalos 
[𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] 
onde 𝑥0 = 𝑎 e 𝑥𝑛 = 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 
 Tomando o extremo direito de cada um dos subintervalos, vamos aproximar cada uma 
das faixas 𝑅𝑖 por um retângulo de base ∆𝑥 e altura 𝑓(𝑥𝑖). Assim, o i-ésimo retângulo tem área 
𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥. Com isso teremos uma aproximação para o 
que entendemos como a área de 𝑅. Ela será dada por 
𝐴𝑛 = 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
= ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
. 
 Esse número é chamado Soma de Riemann de 
𝑓, relativa a partição 𝑃 e aos números 𝑥𝑖 . 
Observe que essa aproximação será melhor quanto maior for a quantidade de subintervalos. 
 
Definição: A área 𝐴 da região 𝑅 que está sob o gráfico de uma função contínua 𝑓 é o limite das 
somas das áreas dos retângulos aproximantes: 
𝐴 = lim
𝑛→ ∞
𝐴𝑛 = lim
𝑛→ ∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 = lim
𝑛→ ∞
𝑛
𝑖=1
[𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥]. 
 
 Futuramente mostraremos que este limite sempre existe quando 𝑓 é contínua. 
 Embora tenhamos escolhido os ∆𝑥𝑖′𝑠 todos com mesma largura e o extremo direito de 
cada subintervalo para estabelecer a altura dos retângulos aproximantes poderíamos ter feito 
uma escolha mais geral. Dada uma partição 𝑃 qualque, para cada índice 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 seja 𝑐, 
um número em [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] escolhido arbitrariamente. A soma de Riemann será 
𝐴𝑛 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
e a área 
𝐴 = lim
𝑚á𝑥∆𝑥𝑖→ 0
𝐴𝑛 = lim
𝑚á𝑥∆𝑥𝑖→ 0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖 .
𝑛
𝑖=1
 
 
 Limites como esse aparecem em diversas situações e por isso recebem um nome 
especial. 
 
Definição: Se 𝑓 é uma função contínua definida em 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Então a integral definida de 𝑓 
de 𝑎 para 𝑏 é 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→ ∞
 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑚á𝑥∆𝑥𝑖→ 0
 ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
. 
 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é chamada de Integral de Riemann em [𝑎, 𝑏]. Nessa simbologia o termos são 
denominados 
∫ : sinal de integral 
𝑓(𝑥): integrando 
𝑎 e 𝑏: limites de integração 
𝑎: limite inferior 
𝑏: limite superior 
 
Observação: A integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é um número e portanto independe a 𝑥. 
 Assim, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑝)𝑑𝑝.
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
 Se 𝑓 assumir valores positivos e negativos 
interpretamos a integral definida como a diferença 
entre a soma das áreas dos retângulos que estão 
acima do eixo 𝑥 e a soma das áreas dos que estão 
abaixo deste eixo. Ou seja, se denotarmos por 𝐴1 a 
área acima do eixo 𝑥 e por 𝐴2 a área abaixo, então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2.
𝑏
𝑎
 
 
Exemplo 2: Calcule as integrais 
(a) ∫ √1 − 𝑥2𝑑𝑥
1
0
 
(b) ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥
2
0
 
 
Solução: 
(a) A função que queremos integrar tem a propriedade de ser não-negativo. Além disso, se 
fizermos 
𝑦 = √1 − 𝑥2 
Obteremos 
𝑦2 = 1 − 𝑥2 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 
que por sua vez é a equação de uma circunferência de centro 𝑃(0,0) 
e raio 1. Como estamos considerando o intervalo [0, 1] podemos 
interpretar a integral como uma área. Note que procuramos um 
quarto da área de uma circunferência de raio 1. Logo, 
∫ √1 − 𝑥2𝑑𝑥 =
1
4
𝜋 ∙ 12 =
1
4
𝜋 ∙ 1 =
𝜋
4
.
1
0
 
(b) O integrando agora é 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1. Observemos o gráfico 
dessa função no intervalo [0,2]. Podemos considerar duas regiões: 
𝑅1 abaixo do eixo 𝑥 e 𝑅2 acima deste eixo. Ambas as regiões são 
triângulos. Dessa forma, 
∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 =
1
2
(1 ∙ 1) −
1
2
(1 ∙ 1) =
1
2
−
1
2
= 0.
2
0
 
∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto baseado nos livros 
 GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Vol. 1. Ed. LTC.,2001. 
 STEWART, J., Cálculo, V.1. Ed. Thomson Pioneira, 2005.