3a Lista de Cálculo I

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01. 
 (a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 
2 2y x x 
 no ponto 
( 3,3)
. 
 (b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a). 
 (c) Usando o GeoGebra, faça os gráficos da parábola e 
da reta tangente. Como verificação, dê um zoom em 
direção ao ponto (-3,3) até que parábola e a reta tangente 
fiquem não distinguíveis. 
 
02. 
 (a) encontre a inclinação da tangente à curva 
2 / ( 3)y x 
 no ponto onde 
.x a
 
 (b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos 
pontos cujas coordenadas x são 
 (i) – 1 (ii) 0 (iii) 1 
 
03. Para a função g cujo gráfico é dado, disponha os 
seguintes números em ordem crescente e explique seu 
raciocínio: 
0 ( 2) (0) (2) (4)g g g g   
 
 
 04. Se a reta tangente a 
( )y f x
 em 
 4,3
 passa no 
ponto (0, 2), encontre 
(4)f e (4)f  . 
 
 05. Se 
2( ) 3 5f x x x 
, encontre 
(2)f 
 e use-o para 
achar uma equação da reta tangente à parábola 
23 5y x x 
 no ponto (2, 2). 
 
06. Encontre 
( )f a
, onde 
2 1
( )
3
t
f x
t



. 
 
07. Cada limite representa a derivada de alguma função 
f
em algum numero a. Estabeleça 
f
e a em cada caso. 
(a) 
h
h
h
1)1(
lim
10
0


 (b) 
5
322
lim
5 

 x
x
x
 
08. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o 
gráfico de sua derivada em I-IV. Dê razões para suas 
escolhas. 
 
 
 
 
09. O gráfico de f é dado. Estabeleça, explicando, os 
números nos quais f não é diferenciável. 
 
(a) (b)
 
 
 
10. Mostre que a função 
|6|)(  xxf
não é 
diferenciável em 6. Encontre uma fórmula para 
f 
 e 
esboce seu gráfico. 
11. A derivada esquerda e a direita de f em a são 
definidas por 
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
f a
h


 
  
e 
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
f a
h


 
 
 
se esses limites existirem. Então 
( )f a
 existe se e 
somente se essas derivadas unilaterais existirem e forem 
iguais, 
(a) Encontre 
(4)f
 e 
(4)f
 encontre a função 
0 se 0
( ) 5 se 0 4
1
se 4
5
x
f x x x
x
x

 

   

 

 
(b) Esboce o gráfico de f. 
(c ) Onde f é descontinua? 
(d) Onde f não é diferenciável? 
 
12. Ache os pontos sobre a curva 
2 ³ 3 ² 12 1y x x x   
onde a tangente é horizontal. 
13. Trace um diagrama para mostrar que há duas retas 
tangentes à parábola 
²y x
 que passa por meio do ponto 
(0, 4)
. Ache as coordenadas dos pontos onde essas retas 
intersectam a parábola. 
14. A reta normal à curva C no ponto P é, por definição, 
a reta que e é perpendicular a reta tangente a C no ponto 
P. Ache uma Equação da reta normal à parábola 
1 ²y x 
 no ponto 
 2, 3
. Esboce a parábola e sua reta 
normal. 
15 . Onde a reta normal à 
- ²y x x
 no ponto 
 1,0
intersecta a parábola uma segunda vez? Esboce. 
56. Em quais números a função g é diferenciável? 
 
1 2 , 1
²,se 1 1
,se 1
x se x
g x x x
x x
 

   
 
 
16. Seja 
 
²,se 2
, se 2
x x
f x
mx b x

 
 
. Ache os valores de 
 e m b
tais que a função é diferenciável em toda parte. 
17. Uma reta tangente a hipérbole é traçada no ponto P. 
(a) Mostre que o ponto médio do segmento de reta a 
partir dessa reta tangente é P. 
(b) Mostre que o triângulo formado pela reta tangente e 
os eixos coordenados tem sempre a mesma área, não 
importando onde P esteja localizado sobre a hipérbole. 
18. Trace um diagrama ilustrando duas retas 
perpendiculares que se encontram no eixo y, ambas retas 
tangentes à parábola 
²y x
. Onde estas retas se 
intersectam? 
 
(c)
(d)