Optica geometrica

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Óptica Geométrica 1
Figura 1.1 Formação de arco-íris primário e secundário pela refração e reflexão da 
luz em gotas de chuva sobre a praia de Ka’anapali, em Maui, Havaí.
O Q U E A P R E N D E R E M O S 8
1.1 Raios de luz e sombra 8
Problema resolvido 1.1 Sombra de uma bola 9
1.2 Reflexão e espelhos planos 11
Imagem formada por um espelho plano 12
Exemplo 1.1 Comprimento de um espelho 14
1.3 Espelhos curvos 15
Espelhos esféricos convergentes 15
Espelhos esféricos divergentes 18
Exemplo 1.2 Imagem formada por um espelho 
convergente 20
Aberração esférica 21
Espelhos parabólicos 22
Parábolas de rotação 23
1.4 Refração e a Lei de Snell 24
Princípio de Fermat 25
Exemplo 1.3 Profundidade aparente 25
Problema resolvido 1.2 Deslocamento dos 
raios de luz em materiais transparentes 26
Reflexão interna total 28
Fibra óptica 29
Problema resolvido 1.3 Fibra óptica 30
Miragens 31
Dispersão cromática 32
Polarização por reflexão 33
O Q U E JÁ A P R E N D E M O S | 
G U I A D E E S T U D O PA R A E X E R C Í C I O S 34
Guia de resolução de problemas 35
Questões de múltipla escolha 35
Questões 35
Problemas 37
8 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
O estudo da luz é dividido em três campos: óptica geométrica, óptica ondulatória e óptica 
quântica. Este capítulo discute a óptica geométrica, na qual luz é caracterizada como raios. A 
óptica quântica se utiliza do fato de a luz ser quantizada, sua energia é localizada em partículas 
pontuais chamadas fótons (Capítulos 4 e 5).
Arcos-íris (Figura 1.1) podem ser vistos somente quando há gotas de água no ar e o sol 
está atrás do observador. Por quê? O motivo tem a ver em como as gotas de água refletem e 
refratam a luz – os dois processos ópticos que são o assunto principal deste capítulo.
Já vimos que luz é uma onda, mas neste capítulo iremos examinar situações em que o 
comprimento de onda é pequeno quando comparado às demais dimensões físicas do siste-
ma. Nesse caso, podemos ignorar o caráter ondulatório da luz e considerar somente como 
a luz viaja pelo ar – ou vidro ou água ou qualquer outro meio. Modelar a luz dessa forma é 
suficiente para explicar a óptica de espelhos, lentes e outros dispositivos ópticos, incluindo 
prismas e até mesmo arco-íris. Mais adiante, no Capítulo 3, iremos examinar sistemas nos 
quais o comprimento de onda não é tão pequeno e veremos como isso origina outros fenô-
menos ópticos.
Este capítulo considera em primeiro lugar a luz visível, mas lembre-se que as leis da refle-
xão, refração e formação de imagem também se aplicam a outros tipos de ondas eletromagné-
ticas. Por exemplo, muitas propriedades úteis das ondas de rádio são baseadas na reflexão e na 
refração.
1.1 Raios de luz e sombra
Vimos que as ondas eletromagnéticas se espalhavam esfericamente a partir de uma fonte pon-
tual. As esferas concêntricas amarelas na Figura 1.2 representam o espalhamento de frentes de 
onda esféricas da luz emitida por uma lâmpada incandescente (uma frente de onda é o local 
geométrico dos pontos que têm o mesmo valor instantâneo para o campo elétrico). As flechas 
pretas são os raios de luz, os quais são perpendiculares à frente de onda em cada ponto do 
espaço e apontam na direção e no sentido da propagação da luz. As ondulações em vermelho 
representam o campo elétrico oscilante.
Ondas luminosas longe da fonte podem ser tratadas como ondas planas cujas frentes de 
onda viajam em linha reta (Figura 1.3). Esses planos viajando podem ainda ser representados 
por vetores paralelos ou por flechas perpendiculares às superfícies dos planos. Neste capítulo, 
iremos tratar a luz como um raio viajando em uma linha reta enquanto dentro de um meio 
homogêneo. Tratando a luz como raios nos permitirá analisar e resolver um grande número de 
problemas práticos, ambos geometricamente e por meio de várias construções.
A experiência do dia a dia nos diz que a luz viaja em linha reta. Não podemos enxergar 
facilmente que a luz é uma estrutura ondulatória ou uma estrutura quântica, visto que os com-
primentos de onda da luz visível (400-700 nm) são pequenos comparados às estruturas que 
formam a nossa experiência do cotidiano (algumas notáveis exceções, como películas de sabão, 
serão discutidas no Capítulo 3).
 ■ Em situações nas quais o comprimento de onda é pequeno 
comparado a outras escalas de comprimento em um sistema 
físico, ondas de luz podem ser descritas como raios lumino-
sos, movendo-se em trajetórias retilíneas, representando a 
direção de uma onda luminosa se propagando.
 ■ A lei da reflexão estabelece que o ângulo de incidência é igual 
ao ângulo de reflexão.
 ■ Espelhos podem focalizar luz e produzir imagens governadas 
pela equação dos espelhos, a qual estabelece que o inverso da 
distância ao objeto mais o inverso da distância à imagem é 
igual ao inverso da distância focal do espelho.
 ■ A luz é refratada (muda de direção) quando incide sobre um 
contorno entre dois meios opticamente transparentes.
 ■ A Lei de Snell estabelece que o produto do índice de refração 
do meio do raio luminoso incidente vezes o seno do ângulo 
de incidência no contorno é igual ao produto do índice de 
refração do meio do raio luminoso refratado vezes o seno do 
ângulo da luz transmitida.
 ■ Quando a luz atravessa o contorno entre dois meios e o ín-
dice de refração do segundo meio é menor do que o índice 
de refração do primeiro meio, há um ângulo crítico de inci-
dência acima do qual não há refração e, em vez disso, a luz é 
totalmente refletida.
O Q U E A P R E N D E R E M O S
Figura 1.2 Luz se espalhando de 
uma fonte. Amarelo: frentes de onda 
esférica; vermelho: campo elétrico 
oscilante; preto: raios.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 9
Uma pessoa posicionada fora do brilho dos raios do Sol irá ver sombras causadas pelos obje-
tos sob a luz do Sol. Os limites das sombras serão delimitados com razoável precisão; dessa forma, 
o indivíduo concluirá que a luz se propaga em linhas retas e os objetos bloqueiam os raios de luz 
vindos do Sol quando eles colidem com o objeto. Uma sombra é criada onde a luz é interceptada, 
enquanto áreas iluminadas são criadas onde os raios de luz não interceptados continuam em li-
nhas retas e atingem o solo ou outras superfícies. A sombra não é completamente escura, porque 
a luz é espalhada por outras superfícies e ilumina parcialmente a área sombreada, e o limite da 
sombra não é completamente preciso, pois o Sol tem um diâmetro não desprezível. Apesar disso, a 
formação de sombras ainda fornece credibilidade à hipótese do movimento retilíneo da luz.
Essa observação pode ser feita de uma forma mais controlada colocando-se um cartão 
contendo um pequeno orifício no meio na frente da luz emitida por uma lâmpada incandes-
cente (Figura 1.4), o que produz uma mancha circular brilhante sobre a tela – a imagem. Assim, 
uma abertura menor irá produzir uma imagem menor sobre a tela. Uma abertura maior irá 
produzir uma imagem maior.
Se a fonte luminosa for suficientemente pequena (“tipo pontual”), a semelhança de triân-
gulos na Figura 1.4 pode ser utilizada para achar a relação entre o tamanho da abertura (r), o 
tamanho da imagem (R), a distância entre a fonte luminosa e a abertura (d) e a distância entre 
a abertura e a tela (D):
 
(1.1)
Essa equação é referida algumas vezes como a lei dos raios.
Figura 1.3 Planos representando frentes de onda de uma onda de luz se 
propagando. As oscilações senoidais em vermelho representam o campo 
elétrico ou magnético oscilante. As flechas pretas são os corresponden-
tes raios de luz que são sempre perpendiculares à frente de onda.
d D
R
r
Figura 1.4 Luz brilhando através de uma abertura sobre uma tela.
PROBLEMA RESOLVIDO 1.1 Sombra de uma bola
A luz de uma pequena lâmpada incandescente cria a sombra de uma bola sobre uma parede. O 
diâmetro da bola é de14,3 cm e o diâmetro da sombra da bola é de 27,5 cm. A bola está afastada 
1,99 m da parede.
PROBLEMA
A que distância se encontra a lâmpada incandescente da parede?
SOLUÇÃO
P E N S E
A lâmpada incandescente é pequena, significando que podemos desprezar seu tamanho e tratá-la 
como uma fonte pontual. O triângulo formado pela lâmpada e pela parede é semelhante ao triân-
gulo formado pela lâmpada e pela sombra. Foi fornecida a distância da bola até a parede, assim 
podemos achar a distância da lâmpada até a bola, adicionando esse comprimento à distância da 
bola à parede, obtendo a distância da lâmpada até a parede.
Continua → 
10 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
D E S E N H E
A Figura 1.5 mostra o desenho de uma lâmpada incandescente projetando a sombra de uma bola 
sobre uma parede.
P E S Q U I S E
O triângulo formado pela lâmpada e pela bola é semelhante ao triângu-
lo formado pela lâmpada e pela sombra. Usando a equação 1.1, pode-
mos escrever:
onde r é o raio da bola, R é o raio da sombra projetada sobre a parede, 
d é a distância da lâmpada até a bola e D é a distância da bola até a 
parede.
S I M P L I F I Q U E
Podemos rearranjar a lei dos raios, obtendo
Isolando os termos envolvendo a distância da lâmpada à bola no lado esquerdo, obtemos
Resolvendo para a distância da lâmpada à bola leva a
A distância da lâmpada até a parede dlâmpada é
C A L C U L E
Colocando nossos valores numéricos, temos
A R R E D O N D E
Registramos nosso resultado com três algarismos significativos
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
Avaliando nosso resultado, calculamos a razão de r/d e comparamos o resultado com a razão 
R/(d+D), que devem ser iguais de acordo com a lei dos raios – equação 1.1. A partir do exposto 
anterior, notamos que a distância da lâmpada até a bola é 2,16 m. A primeira razão é
.
A segunda razão é
.
Nossas razões concordam dentro do erro de arredondamento; assim, nossa resposta parece razoável.
d D
r R
Bola Parede
Lâmpada
incandescente
Figura 1.5 Lâmpada projetando a sombra de uma bola sobre 
uma parede.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 11
Vamos finalizar esta discussão introdutória dos raios de luz e do traçado dos raios de luz com 
uma observação muito importante: o sentido dos raios é reversível. Na discussão que segue da 
reflexão e refração em superfícies através de fronteiras entre diferentes meios, raios de luz irão 
surgir com um sentido implícito, como se emergissem dos objetos e então espalhados ou refra-
tados. Mas todos os traçados de raios são igualmente válidos se o sentido dos raios é revertido. 
Guarde isso em mente conforme continuamos com os exemplos e as derivações.
1.2 Reflexão e espelhos planos
Alguns objetos (lâmpadas incandescentes, fogo, Sol) emitem luz e, portanto, são fontes pri-
márias de luz. Objetos que não são fontes primárias de luz podem ser vistos porque eles 
refletem a luz. Há dois tipos diferentes de reflexão: difusa e especular. Na reflexão difusa, as 
ondas luminosas ao colidirem com a superfície do objeto são espalhadas randomicamen-
te. Na reflexão especular, todas elas são refletidas da mesma forma. A maioria dos objetos 
apresenta reflexão difusa, na qual a cor da luz refletida é uma propriedade não somente do 
comprimento de onda da luz incidente antes da reflexão, mas também das propriedades da 
superfície do objeto que reflete a luz. A diferença entre reflexão difusa e especular está na 
rugosidade da superfície na escala do comprimento de onda da luz. Para uma superfície 
mostrando reflexão especular, os vetores normais locais na superfície (setas vermelhas na 
Figura 1.6b) estão alinhados, ao passo que para uma superfície mostrando reflexão difusa 
eles não estão (Figura 1.6a).
Um espelho é uma superfície que reflete luz de forma especular. Aqui estudaremos so-
mente os espelhos “perfeitos” – aqueles que não absorvem qualquer luz e que refletem 100% da 
luz incidente, independente da intensidade da luz incidente. Vimos que luz é um tipo de onda 
eletromagnética. A luz visível consiste em ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda 
de aproximadamente 400 nm a 700 nm. Para um espelho ser considerado perfeito, ele deve 
refletir 100% da luz incidente pelo menos nesta faixa de comprimentos de onda. Não se atinge 
perfeição em espelhos de forma fácil.
Espelhos convencionais de banheiros consistem em uma peça de vidro com uma arma-
dura de metal por trás. Normalmente eles são suficientes para nossas necessidades, mas não 
são espelhos perfeitos. Você pode verificar isso com auxílio de uma caixa de remédios com 
três lados espelhados. Abra as laterais da esquerda e da direita até o ponto em que fiquem 
defronte uma da outra, parecendo paralelas, e então coloque sua cabeça entre elas. Você verá 
um grande número de suas próprias reflexões, com a luz emitida de sua cabeça ricochete-
ando para frente e para trás várias vezes entre os dois espelhos até que atinja seus olhos. A 
imagem formada pela luz que sofreu múltiplas reflexões é notavelmente fosca (Figura 1.7). 
A razão é que cada reflexão absorve uma fração de intensidade da luz incidente, talvez da 
ordem de 1%.
Em 1998, Yoel Fink, na época um estudante de graduação no MIT, inventou o “omnidirec-
tional dieletric mirror”, que pode ser considerado perfeito no sentido definido anteriormente, 
com perda por absorção menor que 0,0001%. Ele fez isso utilizando muitas camadas alterna-
das, de aproximadamente 1 �m de espessura, de um polímero e um vidro semicondutor. Essa 
pesquisa foi feita inicialmente com financiamento do “Defense Advanced Research Projects 
Agency” (DARPA), e agora essa tecnologia está sendo implementada com sucesso para criar 
Como uma segunda avaliação do nosso resultado, podemos analisar os casos limite e ver se 
eles concordam com nossas expectativas. O que acontece com nosso resultado no caso limite em 
que a distância d da lâmpada até a bola é grande comparada à distância D da bola até a parede? 
Esse é um caso análogo à luz do Sol atingindo a bola e projetando uma sombra. Nessa situação, 
sabemos que a sombra é aproximadamente do mesmo tamanho que a bola. E o caso limite na 
nossa fórmula r/d=R/(d+D) confirma tal fato, uma vez que d � D vemos que r/d=R/(d+D) ≈ R/d 
e assim r ≈ R.
O que acontece com o caso inverso, com d � D, onde a lâmpada está muito próxima da bola 
quando comparada à distância entre a bola e a parede? O tamanho da sombra diverge. Nossa fór-
mula também mostra esse caso limite, porque R=(d+D)r/d ≈ rD/d � r, ou seja, o raio da sombra 
se torna muito grande comparado ao raio da bola.
Figura 1.7 Reflexão da luz entre dois 
espelhos planos quase exatamente 
paralelos.
(a)
(b)
Figura 1.6 Orientação dos vetores 
normais para uma superfície mostran-
do (a) reflexão difusa e (b) reflexão 
especular.
12 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
ferramentas extremamente avançadas de cirurgia a laser, sendo outro exemplo de como os 
avanços na pesquisa em física moderna continuam conduzindo a descobertas tecnológicas fan-
tásticas, mesmo em um campo há muito tempo estabelecido como a óptica geométrica.
Começaremos com espelhos planos, delgados. Para reflexão dos espelhos planos, há uma 
lei simples para raios de luz incidente sobre a superfície do espelho conhecida como a lei da re-
flexão: o ângulo de incidência �i é igual ao ângulo de reflexão �r, os quais são sempre medidos 
a partir da normal à superfície, que é definida como uma linha perpendicular à superfície do 
espelho plano. Como consequência, o raio incidente, a normal e o raio refletido se encontram 
no mesmo plano (Figura 1.8).
Matematicamente, a lei da reflexão é dada por
 (1.2)
Raios paralelos incidentes em um espelho plano são refletidos de tal forma que os raios refleti-
dos também são paralelos (Figura 1.9), pois toda normal à superfície (linha tracejada na Figura1.8) é paralela a outras normais.
Imagem formada por um espelho plano
Uma imagem pode ser formada pela luz refletida de um espelho plano. Por exemplo, quando 
você para na frente de um espelho, vê a sua imagem que parece estar atrás do espelho. Essa per-
cepção ocorre porque o cérebro assume que os raios de luz que alcançam os olhos viajaram em 
linhas retas sem mudança de direção. Assim, se os raios de luz parecem se originar em um ponto 
(digamos, atrás do espelho), o olho (ou câmera) vê uma fonte de luz naquele ponto, esteja ou 
não a fonte de luz lá. Esse tipo de imagem, da qual a luz não emana, é denominado de imagem 
virtual. Pela sua natureza, imagens virtuais não podem ser mostradas em uma tela. Em contras-
te, imagens reais são formadas em um local no qual você pode fisicamente colocar um objeto, 
como uma tela ou um dispositivo de carga acoplada (CCD) de uma câmera.
O próximo exemplo irá esclarecer a noção de imagem virtual. Na Figura 1.10, cada ponto 
na superfície da chama da vela emite luz, com os raios de luz se afastando orientados radial-
mente. Um observador pode localizar a chama da vela no espaço traçando de forma reversa os 
raios de luz até o ponto onde eles se interceptam. A maioria desses raios está traçada em cinza, 
e os raios de luz que atingem o espelho estão realçados em preto. Cada um deles foi refletido de 
acordo com a lei básica da reflexão (equação 1.2), com o ângulo de reflexão relativo à normal 
à superfície sendo igual ao ângulo de incidência. Os raios refletidos também têm um ponto no 
qual eles se interceptam, o qual é encontrado dando-se continuidade aos raios refletidos atrás 
do espelho (linhas escuras tracejadas). Entretanto, para o observador, a luz parece se originar 
de um ponto atrás do espelho, que é a localização da imagem formada pelo espelho.
�r
�i
Figura 1.8 O ângulo de incidência é 
igual ao ângulo de reflexão pela re-
flexão da luz em um espelho plano. A 
linha tracejada é normal (perpendicu-
lar) ao espelho.
(a)
(b)
Figura 1.9 (a) Raios de luz paralelos 
em um espelho plano. (b) Setas so-
brepostas aos raios de luz.
Figura 1.10 Imagem de uma vela como vista em um espelho (linha azul).
Capítulo 1 Óptica Geométrica 13
Imagens formadas por espelhos planos aparecem invertidas esquerda-direita porque os 
raios de luz incidentes sobre a superfície do espelho são refletidos de volta sobre o outro lado 
da normal. Assim, temos o termo imagem do espelho. Aprofundaremos esse ponto a seguir, 
com o auxílio das Figuras 1.12 e 1.13.
No entanto, primeiro vamos considerar quantitativamente o processo da formação de 
imagens com um espelho plano (Figura 1.11) a partir da utilização da técnica do traçado de 
raios. Veremos que uns poucos raios são suficientes para construir a imagem e estamos livres 
para selecionar os mais convenientes.
Para esta construção de imagem, escolhemos o caso em que um objeto com altura h0 é 
colocado a uma distância d0 do espelho. Seguindo a convenção usual, o objeto é representado 
por uma seta, que indica a altura e orientação do objeto. O objeto está orientado de forma que a 
origem da seta esteja no eixo óptico, o qual é definido como normal ao plano do espelho (para 
um espelho plano, o eixo óptico pode ser mostrado passando por qualquer ponto do espelho, 
mas mais adiante, quando examinarmos os espelhos curvos, veremos que há uma localização 
única para o eixo óptico.) Três raios de luz determinam onde a imagem é formada.
 1. O primeiro raio de luz parte do fundo da seta ao longo do eixo óptico. Esse raio reflete 
diretamente sobre si mesmo. A extrapolação desse raio refletido ao longo do eixo 
óptico para a direita do espelho indica que a parte inferior da imagem está localizada 
sobre o eixo óptico.
 2. O segundo raio de luz parte do topo da seta paralelo ao eixo óptico e é refletido dire-
tamente sobre si mesmo. A extrapolação desse raio passando o espelho é mostrada na 
Figura 1.11 como uma linha tracejada.
 3. O terceiro raio parte do topo da seta e atinge o espelho onde o eixo óptico intercepta 
o espelho, e é refletido com um ângulo igual ao seu ângulo de incidência. A extrapo-
lação do raio refletido é mostrada como uma linha tracejada na Figura 1.11.
As extrapolações desses dois últimos raios se interceptam em um ponto onde o topo da ima-
gem se forma (Figura 1.11). É evidente que todos os raios oriundos da seta que atingem o 
espelho – não somente os dois raios mostrados aqui – extrapolam-se de tal forma que eles in-
terceptam a imagem. A imagem tem uma altura hi e está localizada a uma distância di à direita 
do espelho. Na Figura 1.11 o triângulo amarelo é congruente com o triângulo azul. Assim,
 (1.3)
e
 (1.4)
Por convenção, o sinal da distância da imagem, para uma imagem virtual produzida por 
um espelho, é negativa. Dessa forma, usamos o valor em módulo para a distância da imagem na 
equação 1.4. A imagem produzida por um espelho plano tem a mesma distância em relação ao 
espelho do que o objeto posicionado na frente dele. Além disso, a imagem aparece na posição 
vertical e do mesmo tamanho do objeto. Por que as imagens do espelho aparecem invertidas 
esquerda-direita e não invertidas de cima para baixo? Uma pessoa posicionada em frente a um 
espelho plano observa sua imagem conforme a Figura 1.12. A imagem vista por uma pessoa pode 
ser construída com dois raios de luz conforme mostrado, mas, é claro, os raios de luz se originam 
de todos os pontos visíveis da pessoa. A imagem é ereta (tem a mesma orientação que o objeto, 
não “invertida”) e virtual (é formada atrás da superfície do espelho).
do di
ho hi
�r
�r
90°��r90°��iRaio 3
Raio 2
Raio 1
Objeto Imagem
Espelho
plano
Eixo
óptico
�i
Figura 1.11 Diagrama de raios para a imagem formada por um espelho plano.
Figura 1.12 Uma pessoa em pé na 
frente de um espelho vê uma imagem 
virtual de si mesma.
14 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
E sobre a aparente inversão esquerda-direita? Na Figura 1.13, a imagem virtual é 
novamente construída com dois raios, sendo que todos os outros apresentam mesmo 
comportamento. A figura mostra que de fato o espelho faz uma inversão de trás para 
frente e não inversão esquerda-direita ou de cima para baixo. Se você segurar uma 
seta apontando para a direita e olhar no espelho, a seta ainda estará apontando para 
a direita! Você pode notar que uma pessoa real tem seu relógio no seu pulso direito. 
Ela observa que seu eu virtual usa o relógio no pulso esquerdo somente porque o 
cérebro imagina que a imagem foi formada por uma rotação de 180º através de um 
eixo vertical e não por uma inversão de trás para frente. Se você acha isso muito com-
plicado, talvez a seguinte visualização funcione: suponha que você pinte as letras da 
sua universidade sobre sua testa preparando-se para o grande jogo. Então você pega 
um pedaço de fita adesiva branca, colocando-a sobre as letras pintadas em sua testa. 
Conforme você retira a fita, parte da tinta gruda nela. Se você colocar a fita mais longe, você 
verá a parte adesiva da fita que entrou em contato com a tinta, e as letras impressas nela estão 
tipo revertidas pelo espelho. Olhar a sua imagem no espelho é exatamente como olhar a parte 
adesiva da fita.
Se você observar uma imagem de si mesmo através de uma webcam em seu computador, 
você se verá como as outras pessoas o veem – a imagem da webcam não é invertida de trás para 
frente. Essa imagem é confusa devido a sua longa experiência vendo-se através de um espelho. 
Cada movimento que você faz parece ir no sentido oposto daquela imagem que você esperava. 
Por essa razão, alguns pacotes de software de videoconferência apresentam agora uma imagem 
invertida que representa a inversão de trás para frente inerente a uma imagem de espelho, o que 
está mais de acordo com a experiência comum.
Figura 1.13 Uma pessoa sentada na frentede um espelho vê a imagem dela mesma no 
espelho.
EXEMPLO 1.1 Comprimento de um espelho
PROBLEMA
Um indivíduo com 184 cm de altura deseja comprar um espelho no qual ele possa enxergar todo 
o seu corpo. Seus olhos distam 8 cm do topo de sua cabeça. Qual é a altura mínima necessária 
para o espelho?
SOLUÇÃO
Por simplicidade, representamos o indivíduo por uma haste de 184 cm de altura com os olhos 
a 8 cm do topo da haste (este número não importa, conforme a discussão que segue mostrará), 
segundo apresentado na Figura 1.14.
�r
�i
8 cm
184 cm
Topo da cabeça
Olhos
Pés
Pessoa
Espelho
Imagem
Figura 1.14 Distância e ângulos para um indivíduo em pé na frente de um espelho, que é a linha azul.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 15
1.3 Espelhos curvos
Quando a luz é refletida a partir da superfície de um espelho curvo, os raios de luz seguem a 
lei da reflexão em cada ponto da superfície. Os raios de luz que são paralelos antes de atingir 
o espelho são refletidos em diferentes direções, considerando a parte do espelho que eles atin-
gem. Dependendo de quando o espelho é côncavo ou convexo, podem ser formados raios de 
luz convergentes ou divergentes.
Espelhos esféricos convergentes
Considere um espelho esférico com uma superfície refletora no seu lado interno. Esse é um es-
pelho côncavo. A Figura 1.16 representa esta superfície esférica refletora como o segmento de 
um círculo. O eixo óptico do espelho, representado aqui pelo desenho de uma linha horizontal 
tracejada, é uma linha através do centro da esfera, marcado como C na Figura 1.16. Imagine 
que um raio de luz horizontal acima do eixo óptico está incidindo sobre a superfície do espe-
lho, paralelo ao eixo óptico. A lei da reflexão se aplica no ponto onde o raio de luz atinge o espe-
lho. A normal à superfície neste ponto, a linha tracejada na Figura 1.16, é uma linha radial que 
passa pelo centro da esfera. No triângulo isósceles da Figura 1.16, você pode notar que cada um 
dos lados mais curtos do triângulo possui cerca de metade do comprimento do lado mais lon-
go, indicando que �r é pequeno. Portanto, o raio refletido cruza o eixo óptico aproximadamente 
na metade do caminho entre o espelho e o ponto C.
Agora suponha que existam vários raios de luz horizontais incidentes sobre o espelho es-
férico (Figura 1.17). Cada raio de luz obedece a lei da reflexão em cada ponto. Dessa forma, 
cada raio irá cruzar o eixo óptico na metade do caminho entre o espelho e o ponto C. Esse 
ponto de cruzamento F é chamado de ponto focal. A menos que especificado de outra forma, 
considera-se que todos os raios horizontais estejam próximos o suficiente do eixo óptico para 
passar através de F na reflexão.
O ponto F é metade do caminho entre o ponto C e a superfície do espelho. O ponto C está 
localizado no centro da esfera, assim a distância de C da superfície do espelho é simplesmente 
o raio do espelho, R. Dessa forma, o foco f de um espelho esférico convergente é
 (1.5)
Raios de luz incidentes sobre um espelho convergente verdadeiro são mostrados na Figura 1.18.
Primeiro, considere qual caminho a luz oriunda dos pés do indivíduo deve 
percorrer para atingir seus olhos. A luz partindo dos pés é representada por uma 
seta vermelha na Figura 1.14. O ângulo de incidência sobre o espelho, �i , é igual 
ao ângulo de reflexão do espelho, �r. Podemos desenhar dois triângulos que in-
cluem esses ângulos (Figura 1.15).
Esses dois triângulos são congruentes, já que �i = �r, cada um deles tem um 
ângulo reto e eles compartilham um lado comum. Portanto, os lados verticais 
de cada triângulo devem ter o mesmo comprimento. A soma dos dois lados é 
igual à altura da pessoa menos a distância do topo da cabeça do indivíduo até 
seus olhos. Dessa forma, o lado vertical de cada triângulo tem o comprimento de 
(184 cm − 8 cm)/2, conforme indicado na Figura 1.15.
Vemos agora que o fundo do espelho precisa se estender somente até uma 
altura de (184 cm − 8 cm)/2 = 88 cm acima do piso. Uma análise semelhante 
dos dois triângulos congruentes nos fornece o lado de cima do espelho, o qual 
deve ser (8 cm)/2=4 cm abaixo do topo da cabeça do indivíduo. Assim, a altura 
mínima do espelho é 184 cm – 88 cm = 92 cm. Esse espelho tem exatamente 
metade da altura do indivíduo. Então, um espelho que tem metade do tamanho 
de um indivíduo permite a visualização de todo o seu corpo. Esse resultado não 
depende da distância dos olhos até o topo da cabeça do indivíduo ou o quão 
perto do espelho o indivíduo está. Entretanto, ele depende de como o espelho 
está pendurado, devendo ser posicionado de forma que o topo do espelho esteja a meio caminho 
entre os seus olhos e o topo da sua cabeça.
�r
�i
(184 cm - 8 cm)/2
(184 cm - 8 cm)/2
Olhos
Pés
Pessoa
Espelho
Figura 1.15 Dois triângulos congruentes formados pela 
luz vinda dos pés do indivíduo.
C F
Figura 1.17 Vários raios de luz para-
lelos refletidos através do ponto focal 
de um espelho côncavo.
�r
�i
C
Figura 1.16 Um raio de luz horizon-
tal é refletido através do ponto focal 
de um espelho côncavo.
16 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
Agora vamos considerar a formação de imagens reais com um espelho con-
vergente, tal como o da Figura 1.19. Um objeto com altura h0 é colocado à distân-
cia d0 do espelho, onde d0 > f. O objeto é representado por uma seta, que indica a 
altura e orientação do objeto. O objeto é orientado de forma que a origem da seta 
esteja sobre o eixo óptico, o qual, como antes, é normal à superfície do espelho 
esférico ao longo da linha passando através do centro C da esfera. Quatro raios de 
luz determinam onde a imagem é formada.
 1. O primeiro raio de luz parte da base da seta ao longo do eixo óptico e 
normalmente não é mostrado. Esse raio meramente indica que a origem 
da imagem está localizada sobre o eixo óptico.
 2. O segundo raio de luz parte do topo da seta paralelo ao eixo óptico e 
refletido através do ponto focal do espelho.
 3. O terceiro raio parte do topo da seta, passa através do centro da esfera, C, 
e então é refletido voltando sobre si mesmo.
 4. O quarto raio parte do topo da seta, passa através do ponto focal, F, e se 
reflete voltando de forma paralela ao eixo óptico.
Os últimos três raios se cruzam em um ponto onde a imagem do topo do objeto 
é formada (Figura 1.19). De fato, todos os raios da ponta de seta que atingem o 
espelho – não somente os três mostrados aqui – se cruzam na imagem. Dessa 
forma, dizemos que o espelho focaliza os raios para formar a imagem.
A reconstrução do caso especial mostrado na Figura 1.19 descreve uma ima-
gem real (do mesmo lado do espelho que o objeto, não atrás do espelho), com 
altura hi à distância di da superfície do espelho. Essa imagem tem uma altura hi, à 
qual é designado um valor negativo para indicar que a imagem é invertida e está à 
distância di do espelho. Por convenção, essa distância da imagem é definida como 
positiva devido ao fato de que a imagem se encontra do mesmo lado do espelho que o objeto. 
A imagem é invertida e, nesse exemplo, tem seu tamanho reduzido conforme o objeto que 
produziu a imagem. Uma imagem é chamada de real quando uma tela colocada na posição da 
imagem fornece uma precisa projeção da imagem naquele ponto. Para uma imagem virtual, os 
raios de luz não passam através da imagem e, portanto, nenhuma luz atinge uma tela colocada 
na posição da imagem.
Agora vamos reconstruir outro caso para um espelho convergente, onde d0 < f (Figura 
1.20). O objeto se encontra sobre o eixo óptico, e três raios de luz determinam onde a imagem 
é formada.
 1. O primeiro raio meramente indica que a origem da imagem se encontra sobre o eixo 
óptico e normalmente não é mostrado.
 2. O segundo raio parte do topo do objeto paralelo ao eixo óptico e é refletido através do 
ponto focal.
 3. O terceiro raio deixao topo do objeto ao longo de um raio e é refletido de volta sobre 
si mesmo através do centro da esfera.
(a)
(b)
Figura 1.18 (a) Raios de luz paralelos refletidos 
para o ponto focal por um espelho convergente. (b) 
A mesma imagem com as setas sobrepostas.
ho
hi
do
di
f
R
Espelho
FC
Figura 1.19 Imagem produzida por um espelho convergente de um objeto com distância do objeto maior do que o foco do espelho.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 17
Os raios refletidos claramente são divergentes. Para determinar a localização da imagem, de-
vemos extrapolar os raios refletidos para o outro lado do espelho. Esses dois raios se cruzam a 
uma distância di da superfície do espelho, produzindo uma imagem com altura hi.
Nesse caso, a imagem é formada no lado oposto do espelho em relação ao objeto, uma 
imagem virtual – por convenção, é atribuído um valor negativo à quantidade di para indicar 
que a imagem é virtual. Para um observador, a imagem aparece como se estivesse atrás do 
espelho, como foi o caso para o espelho plano. A imagem é ereta e maior que o objeto. Esses 
resultados para do < f são um tanto diferentes daqueles para do > f. Espelhos de barbear ou para 
maquiagem são geralmente espelhos convergentes, cuja face é posicionada mais próxima do 
que o foco, produzindo uma imagem ereta e maior.
Antes de tratar sobre os espelhos divergentes, vamos formalizar a convenção de sinais para 
distâncias e alturas.
 1. Todas as distâncias no mesmo lado do espelho que o objeto são definidas como positi-
vas, e todas as distâncias no lado oposto do espelho em relação ao objeto são definidas 
como negativas. Portanto, f e do são positivas para espelhos convergentes.
 2. Para imagens reais, di é positivo; para imagens virtuais, di é negativo.
 3. Se a imagem é direita, então hi é positivo, enquanto se a imagem é invertida, hi é ne-
gativo.
Podemos derivar a equação do espelho (equação 1.6), a qual relaciona a distância do objeto do, 
a distância da imagem di e o foco do espelho f:
 (1.6)
Os sinais dos termos nessa equação são baseados nas convenções recém-definidas.
DEMONSTRAÇÃO 1.1 Equação do espelho esférico
A equação do espelho esférico pode ser derivada começando por um 
espelho esférico que tem um comprimento focal f. Um objeto de al-
tura ho se encontra sobre o eixo óptico à distância do da superfície do 
espelho (Figura 1.21).
Desenhe um raio a partir do topo do objeto paralelo ao eixo óptico 
que se reflete através do ponto focal. Faça um segundo raio do topo 
do objeto passando pelo ponto focal e se refletindo paralelamente 
ao eixo óptico. A imagem é formada com altura hi à distância di do 
espelho. Forme um triângulo reto com altura ho e base do (triângu-
lo verde 1 na Figura 1.21). Forme também um segundo triângulo 
reto com –hi > 0 como altura e di como base (triângulo verde 2 na 
Figura 1.21). Utilize a lei da reflexão para um raio atingindo o es-
pelho sobre o eixo óptico – os ângulos indicados nos dois triângu-
ho hi
do di
f
R
Espelho
C F
Figura 1.20 Imagem produzida por um espelho convergente com distância menor do objeto do que o foco do espelho.
di
do
ho
f
Espelho
2
1
hi
Figura 1.21 Os dois triângulos semelhantes 1 e 2 na derivação da 
equação do espelho esférico.
Continua →
18 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
A ampliação m do espelho é definida como
 (1.7)
Note que a ampliação m é negativa para a situação usada na derivação. Algebricamente, isso 
ocorre porque hi < 0. O significado de m negativo é que m < 0 nos informa que a imagem é 
invertida. A Tabela 1.1 resume as características das imagens formadas por um espelho conver-
gente para cinco diferentes classes de distâncias do objeto.
Espelhos esféricos divergentes
Suponha que temos um espelho esférico com a superfície refletora sobre o lado de fora da 
esfera (Figura 1.23).
Este é um espelho convexo, e os raios refletidos divergem. Na Figura 1.23, essa superfície 
esférica refletora é indicada por um semicírculo. O eixo óptico do espelho é uma linha através 
los são os mesmos, portanto os dois triângulos são similares.
Assim,
 
ou
 (i)
Agora vamos observar a mesma geometria, mas considerar dois 
triângulos diferentes. Um triângulo reto (triângulo amarelo 4 na 
Figura 1.22) é definido pela altura –hi e pelo comprimento da 
base di – f. O segundo triângulo (triângulo amarelo 3 na Figura 
1.22) é definido pela altura ho e pela base f. Esses dois triângulos 
são congruentes, assim
 
ou
 
Substituindo a equação (i) para a razão dos comprimentos deri-
vados anteriormente, obtemos
Multiplicando ambos os lados dessa equação por f, temos
Finalmente, dividindo ambos os lados dessa equação pelo produto fdi leva à equação do espelho 
esférico:
di
do
ho
f
Espelho
4
3
hi
Figura 1.22 Os dois triângulos semelhantes 3 e 4 na derivação da 
equação do espelho esférico.
Características da imagem para espelhos convergentesTabela 1.1
Caso Tipo de imagem Orientação da imagem Ampliação
do< f Virtual Ereta Aumenta
do= f Real Ereta Imagem no infinito
f < do< 2f Real Invertida Aumenta
do= 2f Real Invertida Mesmo tamanho
do > 2f Real Invertida Reduzida
C
�i
�r
Figura 1.23 Reflexão de um raio de 
luz horizontal em um espelho esférico 
divergente.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 19
do centro da esfera, representada pela linha horizontal pontilhada. Imagine que um raio 
de luz horizontal acima do eixo óptico incide sobre a superfície do espelho. No ponto 
em que o raio de luz atinge o espelho, a lei da reflexão se aplica.
Em contraste com o espelho convergente, a normal aponta para fora do centro da 
esfera. Quando extrapolamos a normal através da superfície da esfera, ela intercepta o 
eixo óptico da esfera no seu centro, marcado como C na Figura 1.23. Quando observa-
mos o raio refletido, parece que ele vem do centro da esfera.
Suponha que muitos raios horizontais estão incidindo sobre esse espelho esférico 
(Figura 1.24). Cada raio de luz obedece a lei da reflexão. Os raios divergem e parece que 
não formam qualquer tipo de imagem. Entretanto, se os raios refletidos são extrapo-
lados através da superfície do espelho, todos eles irão interceptar o eixo óptico em um 
ponto, o qual é chamado de ponto focal do espelho divergente.
A Figura 1.25a mostra cinco raios de luz paralelos incidentes sobre um espelho 
esférico divergente real. As linhas pontilhadas na Figura 1.25b representam a extrapola-
ção dos raios refletidos mostrando o ponto focal.
Agora, vamos discutir as imagens formadas pelos espelhos 
divergentes (Figura 1.26). Novamente, usamos três raios.
 1. O primeiro raio estabelece que a origem da seta esteja 
sobre o eixo óptico e em geral não é mostrada.
 2. O segundo raio parte do topo do objeto, viajando para-
lelamente ao eixo óptico, e é refletido a partir da super-
fície do espelho de forma que sua extrapolação cruze 
o eixo óptico a uma distância da superfície do espelho 
igual ao comprimento focal do espelho.
 3. O terceiro raio se origina no topo do objeto e é orien-
tado de forma que sua extrapolação intercepte o centro 
da esfera. Esse raio é refletido voltando sobre si mesmo.
Os raios refletidos divergem, mas os raios extrapolados con-
vergem a uma distância di a partir da superfície do espelho no 
lado do espelho oposto ao do objeto. Os raios convergem a uma 
distância hi acima do eixo óptico, formando uma imagem ereta, 
reduzida no lado do espelho oposto ao do objeto. Essa imagem é 
virtual, pois os raios de luz de fato não passam através dela. Essas 
características (imagem ereta, reduzida, virtual) são válidas para 
todas as distâncias do objeto em relação ao espelho divergente. 
Esses espelhos são geralmente usados em lojas para fornecer aos 
funcionários na frente da loja uma ampla visãonos corredores 
abaixo e para o espelho retrovisor externo do lado do passageiro 
nos automóveis.
No caso de um espelho divergente, o comprimento focal f 
é negativo, já que o ponto focal do espelho está no lado oposto 
ao do objeto. Um valor negativo também é atribuído ao raio de 
uma espelho divergente. Assim,
A distância ao objeto do é sempre tomada como positiva. Rear-
ranjando a equação dos espelhos (equação 1.6), que também é 
válida para um espelho divergente, obtemos
 (1.8)
Se do é sempre positivo e f é sempre negativo, di é sempre negativo. Aplicando a equação 1.7 
para a ampliação, percebemos que m é sempre positivo. Examinado a Figura 1.26 também 
notamos que a imagem é sempre reduzida em tamanho. Dessa forma, um espelho divergente 
(mesmo que do > ) sempre produzirá uma imagem virtual, ereta e reduzida.
CF
Figura 1.24 A reflexão de raios de luz pa-
ralelos a partir da superfície de um espelho 
divergente.
(a)
(b)
Figura 1.25 (a) Raios de luz paralelos refletidos a partir de um espe-
lho esférico divergente. (b) As setas correspondem aos raios de luz, 
com as linhas pontilhadas representando os raios de luz extrapolados.
Você se encontra a 2,50 m em 
frente de um espelho diver-
gente com comprimento focal 
f = −0,500 m. O que você vê no 
espelho? (A resposta “Eu mes-
mo” não é boa o suficiente!)
1.1 Pausa para teste
20 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
R
Espelho
do di
ho hi
f
F C
Figura 1.26 Imagem formada por um objeto colocado defronte um espelho esférico divergente.
EXEMPLO 1.2 Imagem formada por um espelho convergente
Considere um objeto de 5,00 cm de altura colocado a 55,0 cm de um espelho convergente com 
distância focal 20,0 cm (Figura 1.27).
Figura 1.27 Um objeto (seta ver-
de) que forma uma imagem através 
de um espelho convergente.
 
PROBLEMA 1
Onde é formada a imagem?
SOLUÇÃO 1
Podemos usar a equação do espelho para achar a distância da imagem di em termos da distância 
do objeto do, e da distância focal do espelho f,
Foi especificado que o espelho é convergente, assim o comprimento focal é positivo. A distância 
da imagem é
PROBLEMA 2
Qual é o tamanho e a orientação da imagem formada?
SOLUÇÃO 2
A ampliação é dada por
onde ho é a altura do objeto e hi é a altura da imagem formada. A altura da imagem é então
A ampliação lateral é
Assim, a imagem formada é invertida e reduzida.
Um pequeno objeto é posicio-
nado em frente a um espelho 
convergente de raio R = 7,50 
cm de forma que a distância da 
imagem iguala-se à distância do 
objeto. A que distância o pe-
queno objeto está do espelho?
a) 2,50 cm
b) 5,00 cm
c) 7,50 cm
d) 10,0 cm
e) 15,0 cm
1.1 Exercícios
de sala de aula
Capítulo 1 Óptica Geométrica 21
Aberração esférica
As equações que demonstramos para espelhos esféricos e 
 se aplicam somente para raios de luz que estão próximos ao eixo 
óptico. Se os raios de luz estão longe do eixo óptico, eles não serão focalizados 
através do ponto focal do espelho, levando a uma distorção da imagem. Estri-
tamente falando, não há um ponto focal preciso nessa situação. Essa condição 
é chamada de aberração esférica.
A Figura 1.28 mostra vários raios de luz próximos do eixo óptico inci-
dente no espelho esférico convergente. Os raios incidentes mais longe do eixo 
óptico são refletidos de modo que eles atravessam o eixo óptico mais próximo 
ao espelho do que os raios que incidem sobre o espelho mais próximo ao eixo. 
Conforme os raios aproximam-se do eixo óptico, eles são refletidos através de 
pontos cada vez mais próximos ao ponto focal.
DEMONSTRAÇÃO 1.2 Aberração esférica para espelhos convergentes
Até agora assumimos que os raios de luz paralelos ao eixo óptico e que estão próximos ao 
eixo são refletidos de forma que cruzam o eixo óptico no ponto focal do espelho. O ponto 
focal se encontra na metade do raio de curvatura do espelho. Entretanto, os raios de luz 
que estão longe do eixo óptico não são refletidos através do ponto focal. Para derivar uma 
expressão para o ponto no qual os raios paralelos que estão afastados do eixo óptico cru-
zam o eixo, desenhamos a seguinte geometria na Figura 1.29.
Partimos de um raio de luz paralelo ao eixo óptico e a uma distância d deste. O raio 
se reflete e cruza o eixo a uma distância y do espelho. O raio faz um ângulo � em relação à 
normal à superfície do espelho, o qual é o raio R do espelho esférico. A lei da reflexão nos diz 
que o ângulo de incidência do raio sobre a superfície do espelho é igual ao ângulo de reflexão.
Defina a distância do centro do espelho esférico ao ponto no qual o raio refletido 
cruza o eixo óptico como x. Desenhe uma linha do ponto onde o raio cruza o eixo per-
pendicular à normal. Isso forma dois triângulos retângulos congruentes com ângulo �, 
hipotenusa x, e lados adjacentes R/2, tal que
Podemos expressar também � em termos de d como
A distância y é dada por
Relembrando a identidade trigonométrica cos(sen–1(x)) = podemos reescrever nosso resul-
tado para y como
Continua →
Figura 1.28 Raios de luz paralelos incidentes sobre um 
espelho esférico convergente, mostrando a aberração 
esférica.
�
�
d
x y
C F
R
2
R
2
Figura 1.29 Geometria para a aberração es-
férica de um espelho esférico convergente.
22 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
Espelhos parabólicos
Os espelhos parabólicos têm uma superfície que reflete a luz de uma fonte distante para o pon-
to focal incidente em qualquer lugar sobre o espelho. Assim, todo o tamanho do espelho pode 
ser usado para coletar luz e formar imagens que não sofrem de aberração esférica. A Figura 
1.30 mostra raios de luz vertical incidentes sobre um espelho parabólico. Todos 
os raios são refletidos através do ponto focal do espelho.
Se uma parábola é descrita por uma equação y(x) = ax2, então seu ponto focal 
está localizado no ponto (x = 0, y = 1/(4a)). Seu comprimento focal é, portanto,
 (1.9)
Os espelhos parabólicos são mais difíceis de fabricar do que espelhos esféri-
cos e são mais caros. Os maiores telescópios refletores usam espelhos parabólicos 
de forma a evitar aberração esférica. Muitos faróis de automóveis usam refletores 
parabólicos com a mesma ideia, mas enviam luz no sentido oposto: a fonte de 
luz é colocada no ponto focal, e o refletor envia luz para fora em um feixe forte 
paralelo ao eixo óptico, conforme ilustrado na Figura 1.31. No entanto, em um 
futuro não muito distante, faróis de automóveis incandescentes irão provavel-
mente ser trocados por faróis de LED, que usarão pequenas lentes para realizar 
a mesma tarefa.
A Figura 1.31(a) mostra a luz alta e a luz baixa dos faróis de um veículo. Os 
refletores parabólicos para os faróis são facetados. Uma face é uma área plana so-
bre o refletor. Essas faces ajudam a produzir a distribuição de luz necessária para 
os faróis. A Figura 1.31(b) mostra a lâmpada de luz para o feixe de luz do farol no 
foco do espelho parabólico, que funciona como um refletor para a luz produzida 
pela lâmpada, formando um feixe de luz paralelo e focalizado.
Podemos ver que para d R, 1 � (d/R)2 � 1 e y � R/2, o que concorda com a equação 1.5. Pode-
mos fazer uma aproximação melhor utilizando a expansão em série de Maclaurin
Tomando x � (d/R) 1, podemos fazer a aproximação
Assim, a quantidade de aberração esférica é dada aproximadamente por
x
y
f
Figura 1.30 Raios de luz refletidos por um espelho 
parabólico.
Figura 1.31 (a) Montagem do farol 
para um carro. A luz da esquerda é 
a luz baixa, e a luz da direita é a luz 
alta. (b) O desenho mostra a luz alta 
com a lâmpada no foco do refletor 
parabólico.
Considere um espelho esférico 
convergente com R = 7,20 cm 
sem assumir que os raios de luz 
incidentes estão próximos do 
eixo óptico do espelho. Entre-
tanto,os raios incidentes são 
paralelos ao eixo. Calcule a posi-
ção na qual os raios de luz refle-
tidos interceptam o eixo óptico 
se os raios incidentes estão
a) 0,720 cm afastado do eixo 
óptico.
b) 0,800 cm afastado do eixo 
óptico.
c) 1,80 cm afastado do eixo 
óptico.
d) 3,60 cm afastados do eixo 
óptico.
1.2 Pausa para teste
Refletor
parabólico
Bulbo de luz
(a) (b)
Capítulo 1 Óptica Geométrica 23
As antenas de TV por satélites (“discos”) encontradas em muitos 
telhados também têm forma parabólica. Esses discos de satélites não 
são espelhos no sentido de que eles não refletem luz visível de forma 
especular. Mas eles ainda são espelhos parabólicos na faixa de compri-
mentos de onda usada para transmissão de TV por satélite.
Parábolas de rotação
Para aplicações ópticas de precisão, obviamente é melhor ter espelhos 
parabólicos. Por exemplo, no Capítulo 2 veremos que espelhos para-
bólicos enormes são usados em telescópios. Uma maneira muito inte-
ressante de fabricar espelhos parabólicos é colocando um líquido em 
movimento de rotação. Em cada ponto sobre a superfície do líquido, a 
superfície será perpendicular à força do fluido agindo sobre aquele ele-
mento de superfície. Esta força deve ser somada à força da gravidade 
agindo no elemento de superfície, –mg para fornecer a força centrípe-
ta resultante, a qual é necessária para manter o elemento de superfície 
sobre uma trajetória circular (Figura 1.32). No sistema de coordenadas 
xy escolhido aqui, a força centrípeta é –m�2 .
O ângulo � do elemento de superfície em relação à horizontal é dado por � = dy/dx (veja 
Figura 1.32). O mesmo ângulo pode também ser usado para expressar as componentes da força 
. A componente vertical de tem que equilibrar a força da gravidade, e a componente hori-
zontal tem que fornecer a força centrípeta resultante,
Dividir essas duas equações uma pela outra leva a � = (�2/g)x. Anteriormente, nós mostramos 
que � = dy/dx, assim
Integrando, então, resulta na forma desejada para a superfície
que é uma parábola. Como o comprimento focal de uma parábola do tipo y = ax2 é f = 1/(4a), o 
comprimento focal deste espelho parabólico obtido de um líquido em rotação é
A rotação de superfícies líquidas tem sido usada com sucesso para construir grandes es-
pelhos para telescópios. Um espelho desse tipo é mostrado na Figura 1.33. Neste momento, há 
projetos para construir uma versão bem maior desse tipo de telescópio na Lua. Mesmo que por 
enquanto isto possa parecer ficção científica, um telescópio desse tipo seria muito mais barato 
de construir do que um com espelho sólido. Como não há atmosfera na Lua, o telescópio não 
sofreria os efeitos da distorção atmosférica ocasionada em todos os telescópios baseados na 
superfície da Terra. E ele pode ser construído em uma escala muito maior do que é possível 
com os telescópios baseados em satélites tipo o Telescópio Espacial Hubble. (Falaremos sobre 
telescópios com muito mais detalhes no Capítulo 2.)
Suponha que você tem um telescópio de espelho líquido de comprimento focal f1, e você quer 
dobrar esse comprimento focal. Que ajustes você tem que fazer à velocidade angular de rotação de 
seu espelho líquido?
a) reduzi-la por um fator de 0,5 b) reduzi-la por um fator de 0,707 c) mantê-la igual
d) aumentá-la por um fator de 0,707 e) aumentá-la por um fator de 2
1.2.3 Exercícios de sala de aula
F
dy
dx
–mg
�
�
Figura 1.32 Geometria de uma parábola em rotação e diagrama 
de corpo livre para um elemento de fluido da superfície. A força 
 exercida pelo fluido sobre o elemento de superfície é mostrada 
em magenta. Ele precisa equilibrar a força da gravidade (verme-
lho) e fornecer a força centrípeta (verde) necessárias para man-
ter o elemento se movendo em uma trajetória circular.
Mostre que a derivada de y(x) = 
(�2/2g)x2 para a superfície de 
um líquido em rotação pode ser 
obtida a partir de argumentos de 
conservação de energia.
1.3 Pausa para teste
Figura 1.33 Telescópio de espelho 
líquido da University of British Co-
lumbia.
24 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
1.4 Refração e a Lei de Snell
A luz viaja a velocidades diferentes em materiais opticamente transparentes. A razão da ve-
locidade da luz no vácuo dividido pela velocidade da luz no material é chamada de índice de 
refração do material. O índice de refração n é dado por
 
(1.10)
onde c é a velocidade da luz no vácuo e v é a velocidade da luz no meio. A velocidade da luz em 
um meio físico tal como vidro é sempre menor do que a velocidade da luz no vácuo. Assim, o 
índice de refração de um material é sempre maior do que ou igual a 1, e por definição, o índice 
de refração do vácuo é 1. A Tabela 1.2 lista os índices de refração de alguns materiais comuns. 
Em geral, o índice de refração é uma função do comprimento de onda da luz, mas a tabela for-
nece os valores para a luz visível. Voltaremos à dependência do comprimento de onda no fim 
desta seção na discussão sobre dispersão cromática.
Quando a luz atinge a superfície limite entre dois materiais transparentes, parte dela é 
refletida, mas normalmente parte da luz cruza o contorno para o outro material e é refratada 
no processo. Refração significa que os raios de luz não viajam em uma linha reta durante a 
passagem de um meio para outro, mas mudam de direção. Quando a luz cruza uma superfície 
partindo de um meio com um índice de refração menor n1 para um meio com um índice de 
refração maior n2, os raios de luz alteram sua direção desviando-se no sentido da normal à 
superfície (Figura 1.43). Mudança de direção no sentido da normal significa que o ângulo de 
refração �2 é menor do que o ângulo de incidência �1.
A Figura 1.35 mostra raios de luz reais no ar incidentes sobre uma superfície limite entre 
ar e vidro. Os raios de luz são refratados no sentido da normal. A luz refletida também pode 
ser observada.
Quando a luz cruza uma superfície vinda de um meio com um índice de refração mais 
alto n1 para um meio com um índice de refração mais baixo n2, os raios de luz são desviados, se 
afastando da normal (Figura 1.36). Desviar afastando-se da normal indica que �2 > �1.
A Figura 1.37 mostra raios de luz reais no vidro incidente sobre a superfície entre vidro e 
ar. Os raios de luz são refratados se afastando da normal.
A partir das medidas dos ângulos de incidência e de refração dos raios em meios com 
diferentes índice de refração, podemos construir uma lei de refração baseada em observa-
ções empíricas, a qual pode ser expressa 
como
 (1.11)
onde n1 e �1 são o índice de refração e o 
ângulo de incidência (relativos à normal à 
superfície) no primeiro meio, e n2 e �2 são o 
índice de refração e o ângulo do raio trans-
mitido (relativos à normal à superfície) no 
segundo meio. Essa lei de refração também 
Índices de refração
para alguns materiais 
comuns*
Tabela 
1.2
Material
Índice de 
refração
Gases
Ar 1,000271
Hélio 1,000036
Dióxido de Car-
bono
1,00045
Líquidos
Água 1,333
Álcool metílico 1,329
Álcool etílico 1,362
Glicerina 1,473
Benzeno 1,501
Óleo típico 1,5
Sólidos
Gelo 1,310
Fluoreto de cálcio 1,434
Quartzo fundido 1,46
Sal 1,544
Poliestireno 1,49
Acrílico típico 1,5
Vidro típico 1,5
Quartzo 1,544
Diamante 2,417
* Para luz com comprimento de onda 
de 589,3 nm
�1
�2
n2
n1
n2 > n1
Figura 1.34 Raio de luz refratados na superfí-
cie de separação de dois meios com n1 < n2. O 
raio refletido não é mostrado.
(a)
(b)
Figura 1.35 (a) Raios de luz refratada 
quando cruzam a superfície entre ar e vi-
dro. (b) Setas sobrepostas aos raios lumi-
nosos. As linhas tracejadas são normais à 
superfície.
�1
�2
n2
n1
n2 < n1
Figura 1.36 Raios de luz refratados na superfí-
cie entre dois meios ópticos com n1 > n2.
Capítulo 1 Óptica Geométrica25
é chamada de Lei de Snell. Ela não pode ser provada usando somente óptica de raios; 
entretanto, no Capítulo 3 esta lei será deduzida usando óptica ondulatória.
O índice de refração do ar é muito próximo de 1, conforme mostrado na Tabela 1.2, e 
neste livro iremos assumir sempre que o índice de refração do ar nar = 1. É muito comum 
para a luz incidir em vários meios a partir do ar, dessa forma escrevemos a fórmula para 
refração da luz incidente sobre uma superfície com índice de refração nmeio como
 
 (1.12)
onde �ar é o ângulo de incidência (em relação à normal à superfície) para luz no ar e �meio 
é o ângulo do raio de luz refratado (em relação à normal à superfície) no meio. Note que 
�ar é sempre maior do que �meio!
Observe também que para a luz oriunda de um meio para o ar, a fórmula é a mesma 
(equação 1.12)! Esse é um caso especial de uma regra geral obtida anteriormente: todos 
os valores definidos pelo traçado de raios continuam válidos se o sentido dos raios de 
luz é revertido. Por exemplo, mudando o sentido das setas sobre a linha vermelha na 
Figura 1.36 ainda leva a um caminho fisicamente válido para um raio de luz que cruza a 
fronteira entre os dois meios.
Princípio de Fermat
Citamos há pouco que a Lei de Snell não pode ser provada somente com a óptica de 
raios. Mas há um qualificador para essa afirmação, em que se você aceitar o Princípio 
de Fermat, então a Lei de Snell emerge automaticamente. O Princípio de Fermat, ou 
princípio do menor caminho, conforme expresso por Fermat em 1657, afirma que a trajetória 
realizada por um raio de luz entre dois pontos no espaço é o caminho que levar o menor tempo.
Como podemos provar a Lei de Snell dessa forma? O ponto-chave é a conexão entre a velo-
cidade da luz em um meio, v, e o índice de refração, n, que foi estabelecido na equação 1.10. Se a 
luz se move em diferentes velocidades em dois meios, então o Princípio de Fermat é completa-
mente equivalente a vencer uma corrida de aquatlo, que nós já resolvemos no nosso livro Mecâ-
nica, Capítulo 2, Exemplo 2.6, e no texto que segue. Naquele problema, calculamos o ângulo com 
o qual um competidor deve nadar para a costa numa corrida que consiste em nadar para a praia 
(com uma dada velocidade) e correr ao longo da praia (com outra velocidade). Vencer a corrida 
significa obter o menor tempo, que é exatamente o que postula o Princípio de Fermat.
Se você aceitou o Princípio de Fermat e quer provar a Lei de Snell, então tudo o que você 
tem que fazer é rever a solução para o Exemplo 2.6. Mas, é claro, 
você pode perguntar de onde vem o Princípio de Fermat. Usar o 
tempo mínimo para vencer uma corrida parece óbvio. Porém, o que 
faz os raios de luz entender que eles devem ir do ponto A até o pon-
to B no menor tempo possível? A resposta para isso pode ser en-
contrada no Princípio de Huygens. Entretanto, para ganhar a com-
preensão da física por trás desse princípio, precisamos esperar até o 
Capítulo 3, quando revisitaremos o modelo da luz como uma onda.
(a)
(b)
Figura 1.37 (a) Raios de luz refratada quando 
cruzam a superfície entre o vidro e o ar. (b) 
Setas sobrepostas aos raios luminosos. As li-
nhas tracejadas são normais à superfície.
�2
�2
�2
�1
�2
�1
daparente
daparente
dreal
drealx
x
x
Figura 1.38 Você está olhando para a superfície de um lago em um 
ângulo de �2 = 45,0
o e vê um peixe sob a água. Os raios emitidos pelo 
peixe que atingem os seus olhos são mostrados no cone semitranspa-
rente, com o centro da linha do cone representado por uma linha sólida.
EXEMPLO 1.3 Profundidade aparente
Você está em pé à beira de um lago e olhando para a água em um ân-
gulo de �2 = 45,0° com a vertical conforme mostrado na Figura 1.38.
Você vê um peixe na lagoa. A profundidade real do peixe é 
dreal = 1,50 m.
PROBLEMA
Qual é a profundidade aparente do peixe do seu ponto de vista?
SOLUÇÃO
Raios de luz do peixe são refratados na superfície da água para os 
seus olhos em um ângulo de 45,0o conforme mostra a Figura 1.38. 
Continua →
26 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
Na figura, mostramos não somente um raio, mas uma coleção de raios emitidos de um ponto 
sobre o corpo do peixe em torno do raio central (cone semitransparente). Onde os olhos veem a 
intersecção desses raios é onde localizamos o peixe.
A profundidade aparente do peixe está localizada ao longo da linha vermelha pontilhada mos-
trada na Figura 1.38 extrapolada da direção dos raios de luz conforme chegam em seus olhos. Esta 
linha extrapolada faz um ângulo de �2 = 45,0° com a normal em relação à superfície da água.
Usando a Lei de Snell, podemos calcular o ângulo �2 que os raios de luz do peixe devem fazer 
na superfície da água:
Usando nar = 1,00 e nágua = 1,333 da Tabela 1.2, podemos calcular [�1]:
Definimos a distância horizontal entre o ponto onde os raios de luz cruzam a superfície da água e 
o peixe como x, como mostrado na Figura 1.38. Podemos, então, definir o triângulo vermelho e o 
triângulo azul. No triângulo vermelho temos
e no triângulo azul
Resolvendo cada uma dessas duas equações para x e igualando uma à outra, obtemos
que podemos resolver para a profundidade aparente do peixe:
Assim, o peixe parece estar mais próximo da superfície da água do que ele realmente está.
Se o mesmo peixe que nada na 
mesma profundidade é visto por 
um observador diferente, e esse 
outro observador vê o peixe sob 
um ângulo �2 maior do que o 
valor especificado no Exemplo 
1.3, então ele vê o peixe a uma 
profundidade aparente que é
a) maior do que a calculada no 
Exemplo 1.3.
b) a mesma que calculamos no 
Exemplo 1.3.
c) menor do que aquela calcula-
da no Exemplo 1.3.
1.3 Exercícios
de sala de aula
PROBLEMA RESOLVIDO 1.2 Deslocamento dos raios de luz em 
materiais transparentes
Um raio de luz no ar incide sobre uma folha de material transparente com espessura t = 5,90 cm e 
com índice de refração n = 1,5. O ângulo de incidência é �ar = 38,5° (Figura 1.39a).
PROBLEMA
Qual é a distância d que o raio é deslocado após passar sobre a folha?
SOLUÇÃO
P E N S E
Os raios de luz são refratados para a normal conforme entram na folha transparente e se refratam 
afastando-se da normal quando deixam a folha transparente. Após passar pela folha, o raio de luz 
é paralelo ao raio de luz incidente, mas está deslocado. Usando a Lei de Snell, podemos calcular 
o ângulo de refração na folha transparente. Tendo este ângulo, podemos usar trigonometria para 
calcular o deslocamento dos raios de luz que passaram pela folha.
D E S E N H E
A Figura 1.39b mostra um desenho do raio de luz passando sobre uma folha transparente.
(a)
t
d
n
�ar
�ar
(b)
t
d
L
�ar
�meio
�meio�dif
n
Figura 1.39 (a) Raio de luz inciden-
te sobre uma folha de material trans-
parente com espessura t e índice de 
refração n. (b) Ângulos de incidência 
e refração conforme o raio entra e sai 
da folha.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 27
P E S Q U I S E
O raio de luz incide sobre a folha com um ângulo �ar. A Lei de Snell relaciona o ângulo incidente 
ao ângulo refratado, �meio, através do índice de refração do material transparente n,
 (i)
Podemos resolver esta equação para o ângulo de refração:
 (ii)
Chamemos de L a distância que o raio de luz percorre na folha transparente. Usando a Figura 
1.39b, podemos relacionar a espessura t da folha com o ângulo de refração:
 (iii)
Se �dif é a diferença entre o ângulo de incidência e o ângulo de refração, conforme mostrado na 
Figura 1.39b, então
 (iv)
Podemos ver na Figura 1.39b que o deslocamento do raio de luz d pode ser relacionado à distância 
que o raio de luz percorre na folha e a diferença entre o ângulo de incidência e o ângulo refratado,
 (v)
S I M P L I F I Q U E
Podemos combinar as três equações anteriores(ii), (iii) e (iv) para obter
onde, da equação (i)
C A L C U L E
Calculamos primeiro o ângulo de refração, usando a equação (i)
Depois calculamos o deslocamento do raio de luz, usando a equação (v)
A R R E D O N D E
Registramos nosso resultado com três algarismos significativos,
d = 1,57 cm.
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
Se o raio de luz incidisse perpendicularmente sobre a folha (�ar = 0°), o deslocamento do raio 
seria zero. Para calcular qual seria o deslocamento no limite conforme o ângulo de incidência se 
aproxima de �ar = 90°, podemos reescrever a equação (v) como
 Continua →
28 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
Reflexão interna total
Agora vamos considerar a luz viajando em um meio óptico com índice de refração n1 e que 
cruza o limite com outro meio óptico com um índice de refração n2 tal que n2< n1. Nesse caso, 
a luz é curvada se afastando da normal. Conforme aumentamos o ângulo de incidência �1, o 
ângulo da luz transmitida �2 se aproxima de 90
o. Quando �1 excede o ângulo para o qual �2 = 
90o, ocorre reflexão interna total em vez de refração; toda a luz é refletida internamente. O 
ângulo crítico �c para o qual se tem reflexão interna total é dado por
ou
 (1.13)
já que sen 90o = 1. Você pode perceber dessa equação que a reflexão interna total pode ocorrer 
somente para luz viajando através de um meio com um índice de refração maior para um meio 
com um índice de refração menor, pois o seno do ângulo não pode ser maior do que 1. Para 
ângulos menores do que �c, parte da luz é refletida e parte é transmitida. Para ângulos maiores 
do que �c, toda a luz é refletida e nada é transmitido.
Se o segundo meio é o ar, então podemos fazer n2 = 1 e obter uma expressão para o ân-
gulo crítico para reflexão interna total para luz deixando um meio com índice de refração n e 
entrando no ar:
 (1.14)
A reflexão interna total é ilustrada na Figura 1.40. Nessa figura, raios de luz estão viajando em 
vidro com índice de refração n da direita embaixo para a esquerda em cima. Na Figura 1.40a, raios 
de luz estão incidindo no contorno entre vidro e ar e são refratados de acordo com a Lei de Snell. 
Na Figura 1.40b, raios de luz estão incidindo sobre o contorno sob o ângulo crítico de reflexão 
interna total, �c. Nesse ângulo, os raios refratados têm um ângulo �2 = 90
o, conforme ilustrado pela 
seta tracejada. Os raios de luz na Figura 1.40c estão incidindo sobre o contorno com um ângulo 
maior do que o ângulo crítico de reflexão interna total, �1 > �c, e assim toda luz é refletida.
usando a identidade trigonométrica sin (�–�) = sen � cos � – cos � sen �. Tomando �ar = 90°, obtemos
Portanto, nosso resultado deve estar entre zero e a espessura da folha. Nosso resultado é d = 1,57 
cm, comparado com d = 5,90 cm para ar = 90°, assim ele parece consistente.
No problema resolvido 1.2, 
assumimos que o material 
transparente estava imerso no 
ar. Se o colocarmos imerso em 
outro material, digamos água, o 
que você deveria esperar para o 
deslocamento do raio de luz sob 
o mesmo ângulo de incidência? 
Assuma que o índice de refração 
daquele material transparente 
ainda é maior do que o da água.
a) Ele será maior.
b) Ele será o mesmo.
c) Ele será menor.
1.4 Exercícios
de sala de aula
(a) (b) (c)
n
Ar
�2
�1
n
Ar�2 = 90°
�c�c
n
Ar
�1�1
Figura 1.40 Raios de luz viajando através do vidro com índice de refração n da direita embaixo para a 
esquerda em cima estão incidindo no contorno entre vidro e ar. Os painéis de cima são fotos e os painéis 
de baixo são desenhos ilustrando as trajetórias dos raios de luz. (a) A luz é refratada no contorno. Uma 
pequena quantidade de luz também é refletida no contorno, mas é muito fraca para ser vista na foto. 
(b) A luz está incidindo sobre o contorno sob o ângulo crítico para reflexão interna total. (c) A luz é 
totalmente refletida de volta no contorno.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 29
Fibra óptica
Uma aplicação importante da reflexão interna total é a transmissão da luz em fibras ópticas. A 
luz é injetada em uma fibra sempre que o ângulo de incidência na superfície externa da fibra é 
maior do que o ângulo crítico para reflexão interna total. A luz é então transportada pelo com-
primento da fibra conforme ela ricocheteia repetidamente dentro da fibra óptica. Dessa forma, 
fibras ópticas podem ser usadas para transportar luz de uma fonte para um destino. A Figura 
1.41 mostra um maço de fibras ópticas com o final das fibras apontando para a câmera. A outra 
extremidade das fibras ópticas está conectada a uma fonte de luz. Note que as fibras ópticas 
podem transportar luz em outras direções e não apenas em uma linha reta. A fibra pode ser cur-
vada tanto quanto o raio de curvatura da dobra não seja pequeno o suficiente para permitir que 
a luz viajando na fibra óptica tenha ângulos de incidência �i menores do que �c. Se �i < �c, a luz 
será absorvida pelo revestimento em torno da superfície da fibra. Esses argumentos se aplicam a 
fibras ópticas com diâmetros do núcleo maiores do que 10 μm, isto é, um núcleo com diâmetro 
grande comparado ao comprimento de onda da luz.
Um tipo de fibra óptica usada para comunicação digital consiste em um núcleo de vidro 
envolto por revestimento feito de vidro com um índice de refração menor do que o do núcleo. 
O revestimento é então coberto para prevenir danos (Figura 1.42).
Para uma fibra óptica comercial típica, o material do núcleo é de SiO2 dopado com Ge para 
aumentar o índice de refração. A fibra óptica comercial típica pode transmitir luz por 500 m 
com pequenas perdas. A luz é gerada usando-se diodos emissores de luz (LEDs) para produzir 
luz com longo comprimento de onda. A luz é gerada por pulsos curtos. Pequenas perdas de luz 
não afetam o sinal digital porque os sinais digitais são transmitidos como bits binários em vez 
de sinais analógicos. O tanto quanto esses bits forem registrados corretamente, a informação 
é transmitida impecável, em contraste com os sinais analógicos, que seriam imediatamente 
degradados com qualquer perda no sinal. A cada 500 m os sinais são recebidos, amplificados e 
retransmitidos. Dessa forma, altas taxas de transmissão de dados que são imunes à interferên-
cia podem ser transmitidas por longas distâncias. Esse cenário explica a física por trás da fibra 
óptica que é o suporte principal da internet moderna.
Fibras ópticas também são usadas para transmissão de sinais analógicos, se a distância so-
bre a qual o sinal tem que ser transportado não é muito grande, somente de uns poucos metros. 
Uma aplicação de transmissão de sinais analógicos via fibra óptica é o endoscópio, e dispositivos 
similares como o boroscópio. Um endoscópio é utilizado para olhar dentro do corpo humano 
sem a necessidade de cirurgia, enquanto o boroscópio é utilizado para ver locais pequenos e de 
Figura 1.41 Luz transportada de 
uma fonte de luz pela fibra óptica.
Figura 1.42 A estrutura de uma fibra 
óptica incorporando reflexão interna 
total.
Núcleo Núcleo
Revestimento
Revestimento
Capa
Figura 1.43 (a) Um endoscópio. (b) 
Uma imagem de dentro do estômago 
usando um endoscópio.(a)
Lente ocular
(b)
Fonte de luz
Fibra óptica
Lente
30 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
difícil acesso em máquinas. Um endoscópio típico é mostrado na Figura 1.43a. O endoscópio 
usa pequenas lentes para produzir uma imagem da área de interesse. A imagem produzida pelas 
lentes é focalizada em uma extremidade de um punhado de centenas de fibras ópticas. Esse 
punhado de fibras ópticas tem um diâmetro pequeno e é flexível o suficiente para ser inserido 
dentro do corpo humano através de vários orifícios, como o esôfago. Cada fibra transporta um 
pixel de imagem para a outra extremidade do punhado de fibras ópticas onde uma segunda len-
te reproduz a imagem que estásendo vista pelo profissional da área da saúde. Um endoscópio 
pode ter de 7.000 a 25.000 fibras produtoras de imagem. Além disso, outro conjunto de fibras 
ópticas transporta luz para iluminar a região de interesse. Em geral, a extremidade final do en-
doscópio pode ser remotamente articulada para observar as áreas desejadas.
PROBLEMA RESOLVIDO 1.3 Fibra óptica
Considere uma longa fibra óptica com índice de refração n = 1,265 que está cercada por ar – não 
há revestimento. A extremidade da fibra é polida para ser plana e perpendicular ao comprimento 
da fibra. Um raio de luz de um laser incide do ar no centro da face circular da fibra óptica.
PROBLEMA
Qual é o ângulo máximo de incidência para este raio de luz que será confinado e transportado 
pela fibra óptica? Despreze qualquer reflexão quando a luz penetra na fibra.
SOLUÇÃO
P E N S E
O raio de luz será refratado conforme entra na fibra óptica. Uma vez dentro da fibra óptica, se o 
ângulo de incidência sobre a superfície da fibra óptica é maior do que o ângulo crítico para refle-
xão interna total, então a luz é transmitida sem perda.
D E S E N H E
A Figura 1.44 mostra um desenho do raio de luz entrando na fibra óptica e se refletindo na 
superfície interna.
P E S Q U I S E
O ângulo crítico para reflexão interna total �c na fibra para luz vinda do ar é dado por
 (i)
onde n é o índice de refração da fibra óptica. Para a luz entrando na fibra óptica, a Lei de Snell nos 
diz que uma vez que nar = 1,
 sen �ar � n sen �meio, (ii)
onde �meio é o ângulo do raio de luz refratado na fibra. Da Figura 1.44 podemos ver que
 �meio � 90° � �c. (iii)
S I M P L I F I Q U E
Podemos resolver a equação (ii) para obter o ângulo máximo de incidência,
�ar � sen
�1(n sen �meio).
Usando a equação (iii) podemos escrever
�ar � sen
�1(n sen(90° � �c)) � sen
�1(n cos �c)
onde usamos a identidade trigonométrica sen(90o – �) = cos �. Podemos usar a equação (i) para obter
�ar
�c
n
90° � �c
Figura 1.44 Luz entrando numa fibra óptica 
e perfazendo reflexão interna total.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 31
Miragens
Miragens são geralmente associadas com viagens em desertos. Parece que vemos um oásis com 
água a distância. Quando nos aproximamos deste lugar aprazível, ele desaparece. Entretanto, 
não é preciso viajar pelo deserto para observar o fenômeno. Em geral, podemos enxergar uma 
miragem quando estamos viajando por uma longa autoestrada em um dia muito quente. Um 
exemplo de tal miragem é mostrado na Figura 1.45a.
A miragem é causada pela refração no ar próximo à superfície da estrada quente. O ar próxi-
mo à superfície da estrada está mais quente do que o ar afastado da superfície. Como mostrado na 
Figura 1.45b, o índice de refração do ar diminui conforme sua temperatura se eleva. Portanto, o ar 
próximo à estrada tem um índice de refração menor do que o ar mais frio acima dele. Quando a luz 
de objetos distantes passa através dessa camada, ela é refratada para cima, como ilustrado na Figura 
1.45c. A aparência de água é criada por luz refratada do céu. Vemos a imagem como se fosse luz 
refletida a partir da superfície da água, como pode ser notado da Figura 1.45a. Outros objetos tam-
bém são visíveis na miragem mostrada na Figura 1.45a, tais como árvores e faróis de automóveis. 
Mantendo-se em movimento, rapidamente percebemos que não há água sobre a pista.
C A L C U L E
Colocando os valores numéricos, temos
A R R E D O N D E
Registramos nosso resultado com quatro algarismos significativos, pois o índice de refração foi 
dado com essa precisão:
S O L U Ç ÃO A LT E R N AT I VA
O ângulo crítico para reflexão interna total para a fibra óptica é
A Lei de Snell na entrada da fibra óptica nos fornece
Logo, �meio = 37,77
o = 90o – �c = 90
o – 52,23o = 37,77o, e nosso resultado parece coerente.
1,00030
1,00028
1,00026
1,00024
1,00022
1,00020
0 20 806040
Ar frio, maior n
Estrada
Objeto
distante
Imagem
aparente
Ar quente, menor n
n a
r
T (°C)
(b)
(a)
(c)
Figura 1.45 (a) Uma miragem na estrada 
quente. Parece haver água sobre a pista e 
os objetos parecem refletidos a partir da 
superfície da água. (b) Índice de refração 
do ar como uma função da temperatura. 
(c) Diagrama de raios mostrando luz de 
um objeto distante sendo refratada pela 
camada de ar próxima à superfície da es-
trada quente.
32 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
Dispersão cromática
O índice de refração de um meio óptico depende do comprimento de onda da luz viajando na-
quele meio. A dependência do índice de refração com o comprimento de onda da luz significa 
que luz de diferentes cores é refratada diferentemente na interface entre dois meios ópticos. 
Esse efeito é chamado de dispersão cromática.
Em geral, o índice de refração para um dado meio óptico é maior para pequenos com-
primentos de onda do que para comprimentos de onda maiores. Portanto, a luz azul é mais 
refratada do que a luz vermelha. Podemos notar que �b � �r na Figura 1.46.
A luz branca consiste da superposição de todos os comprimentos de onda visíveis. Quan-
do um feixe de luz branca é projetado através de um prisma de vidro (Figura 1.47), a luz branca 
incidente é separada nos diferentes comprimentos de onda visíveis, pois 
cada comprimento de onda é refratado em um ângulo diferente. A Fi-
gura 1.47 mostra três raios refratados, para luz vermelha, verde e azul, 
mas a luz branca contém um contínuo de comprimentos de onda, como 
podemos observar em um arco-íris.
Um arco-íris é um exemplo comum de dispersão cromática (Figura 
1.48). Quando gotas de ar estão suspensas no ar e você observa as gotas 
de água com o Sol nas costas, você vê um arco-íris. A luz branca do Sol 
penetra na gota de água, se refrata na superfície da gota, e é transmiti-
da através da gota para o outro lado. Aqui há reflexão interna total, e é 
transmitida novamente para a superfície da gota, onde deixa a gota e de 
novo é refratada. Nos dois passos da refração, o índice de refração é di-
ferente para comprimentos de onda distintos. O índice de refração para 
luz verde é 1,333, enquanto o índice de refração para luz azul é 1,337, 
e para a vermelha é 1,331. Ocorre um contínuo de índices de refração 
para todas as cores.
Um arco-íris típico é mostrado na Figura 1.1, onde você pode ver 
a luz azul na parte interna do arco-íris e a luz vermelha na parte exter-
na. O arco do arco-íris apresenta um ângulo médio de 42° em relação à direção do Sol. Outra 
característica do arco-íris é evidente nesta fotografia: a região interna do arco-íris parece 
mais brilhante do que as regiões externas do arco. Você pode entender esse fenômeno obser-
vando a trajetória que os raios de luz percorrem conforme são refratados nas gotas de chuva 
(Figura 1.49).
Você pode ver apartir desse diagrama que a maior parte da luz que é refratada e refletida 
de volta para o observador tem um ângulo menor do que 42°. Para ângulos menores do que 
42°, a maior parte da luz é refratada e refletida de volta para o observador, embora não haja 
uma separação observável dos comprimentos de onda porque as cores dispersadas por um raio 
se misturam com as cores dispersadas por outro raio e formam luz branca. Para ângulos gran-
des, não há luz enviada de volta para o observador por esse processo – dessa forma, do lado 
externo do arco do arco-íris aparece muito menos luz. Mesmo assim alguma luz ainda aparece 
lá porque é espalhada por outras fontes.
A Figura 1.1 também tem um arco-íris secundário. O arco-íris 
secundário aparece com um ângulo maior do que o arco-íris primário, 
e nele a ordem das cores é invertida. O arco-íris secundário é criado 
por luz que se reflete duas vezes dentro das gotas de chuva (Figura 
1.50). Em contraste com a situação mostrada na Figura 1.48, quando o 
raio na Figura 1.50 atinge a gota pela terceira vez (apósuma refração 
e uma reflexão), nem toda a luz se refrata e deixa a gota. Ao contrá-
rio, uma parte dela perfaz reflexão interna total novamente e então se 
refrata para fora da gota, formando o arco-íris secundário. Na Figura 
1.50, é possivel notar que o ângulo com que emergem os raios azul e 
vermelho é invertido comparado com o raio azul e com o vermelho 
da Figura 1.48 para o arco-íris primário. Para o arco-íris secundário 
também há um ângulo preferido, nesse caso de aproximadamente 50°, 
no qual os raios paralelos entrando na gota se espalham para o arco-
-íris secundário.
n
�1
�b
�r
Figura 1.46 Dispersão cromática 
para luz refratada através da superfí-
cie entre dois meios ópticos.
n � 1,5
Figura 1.47 A luz branca incidindo sobre um prisma de vi-
dro é separada nas suas cores componentes pela dispersão 
cromática.
Figura 1.48 A dispersão cromática 
em uma gota de água esférica produz 
um arco-íris.
42°
Figura 1.49 Trajetórias percorridas por raios de luz paralelos em 
uma gota de água esférica.
Capítulo 1 Óptica Geométrica 33
Finalmente, combinando nossas observações para os arco-íris primário e secundário 
leva a um entendimento quantitativo do fenômeno físico por trás da Figura 1.1. Os ângu-
los observados dos arco-íris primário e secundário em relação ao Sol são mostrados na 
Figura 1.51.
Polarização por reflexão
Agora vamos lidar com uma forma de criar luz polarizada, ou pelo menos parcialmente po-
larizada. Quando a luz é incidente a partir do ar em um meio óptico tal como vidro ou água, 
parte da luz é refletida e parte da luz é refratada. A luz refletida nessa situação é parcialmente 
polarizada. Quando a luz é refletida em certo ângulo, chamado de ângulo de Brewster, �B, a luz 
refletida é completamente polarizada na horizontal, conforme ilustrado na Figura 1.52.
O nome ângulo de Brewster foi dado após o físico escocês Sir David Brewster (1781-1868) 
ter demonstrado este efeito em 1815. O ângulo de Brewster ocorre quando os raios refletidos 
são perpendiculares aos raios refratados. A Lei de Snell dos diz que
nar sen�B � nvidro sen�r ,
onde �r é o ângulo do raio refratado. A Figura 1.52 mostra que
180° � �B � �r � 90°
pois os raios refletidos e os raios refratados são perpendiculares um ao 
outro. Essa relação entre os ângulos pode ser escrita como
�r � 90° � �B .
Substituindo isso na Lei de Snell resulta em
nar sen�B � nvidro sen(90° � �B) � nvidro cos(�B),
o que pode ser rearranjado para finalmente obtermos
 (1.15)
onde fizemos uso da identidade trigonométrica tg� � sen�/cos�. A equação 
1.15 é chamada de Lei de Brewster.
O fato de que a luz no ar, refletida a partir de superfícies como a água, 
ser de forma parcial polarizada horizontalmente significa que aquele brilho da luz do Sol na 
superfície da água pode ser bloqueado por óculos de sol cobertos com filtro cuja polarização 
permita somente a passagem de luz verticalmente polarizada através dele.
Figura 1.50 Dispersão cromática e dupla refração em 
uma gota de chuva produzindo o arco-íris secundário.
Arco-íris
secundário
42°50°
Arco-íris
primário
Figura 1.51 Geometria do espalhamento da luz na formação dos arco-íris 
primário e secundário.
A luz do Sol atinge um pedaço 
de vidro sob um ângulo de in-
cidência de �i = 33,4
o. Qual é a 
diferença no ângulo de refração 
entre o raio de luz vermelha 
(λ = 660,0 nm) e o raio de luz 
violeta (λ = 410,0 nm) dentro 
do vidro? O índice de refração 
para luz vermelha é n = 1,520, 
e o índice de refração para luz 
violeta é n = 1,538.
a) 0,03° d) 0,26°
b) 0,12° e) 0,82°
c) 0,19°
1.5 Exercícios
de sala de aula
nar = 1,0
Polarizada perpendicular
ao plano de incidência
Não polarizada
Parcialmente polarizada paralela
ao plano de incidência
nvidro = 1,5
�B�B
�r
Figura 1.52 A luz não polarizada incide do ar no vidro. 
Quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo de Brews-
ter, �B, a luz refletida é 100% polarizada perpendicular ao 
plano de incidência. A luz refratada é parcialmente polariza-
da paralela ao plano de incidência.
34 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
 ■ O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, �i = �r.
 ■ A distância focal de um espelho esférico é igual à metade do 
raio de curvatura, f = R. O raio R é positivo para espelhos 
convergentes (côncavos) e negativo para espelhos divergentes 
(convexos).
 ■ Para imagens formadas com espelhos esféricos, a distância do 
objeto, a distância da imagem e a distância focal do espelho 
estão relacionadas pela equação do espelho, 
Aqui, do é sempre positivo, enquanto di é positiva se a ima-
gem estiver do mesmo lado do espelho que o objeto e nega-
tiva se a imagem estiver do outro lado. A distância focal f é 
positiva para espelhos convergentes (côncavos) e negativa 
para espelhos divergentes (convexos).
 ■ A luz é refratada (muda de direção) ao cruzar a interface en-
tre dois meios com diferentes índices de refração. Essa refra-
ção é governada pela Lei de Snell: n1 sen �1 = n2 sen �2.
 ■ O ângulo crítico para reflexão interna total na interface en-
tre dois meios com diferentes índices de refração é dado por 
sen �c = (n2 ≤ n1). 
 ■ O ângulo de Brewster, �B, é o ângulo de incidência de luz a 
partir do ar para um meio com índice de refração maior na 
qual a luz refletida está completamente polarizada na direção 
horizontal. O ângulo é dado pela Lei de Brewster: tg �B = n2/n1, 
onde n2 > n1.
O Q U E JÁ A P R E N D E M O S | G U I A D E E S T U D O PA R A E X E R C Í C I O S
Aberração esférica, p. 21
Ampliação, p. 18
Ângulo de Brewster, p. 33
Dispersão cromática, p. 32
Eixo óptico, p. 13
Equação do espelho, p. 17
Espelho, p. 11
Espelho côncavo, p. 15
Espelho convexo, p. 19
Fibras ópticas, p. 29
Foco, p. 15
Frentes de onda, p. 8
Imagem, p. 12
Imagem real, p. 12
Imagem virtual, p. 12
Índice de refração, p. 24
Lei da reflexão, p.12
Lei de Brewster, p. 33
Lei de Snell, p. 24
Lei dos raios, p. 9
Óptica geométrica, p. 8
Ponto focal, p. 15
Princípio de Fermat,
p. 25
Princípio do menor 
caminho, p. 25
Raios de luz, p. 8
Reflexão interna total,
p. 28
Refração, p. 24
T E R M O S – C H AV E
 �i, ângulo de incidência
�r, ângulo de reflexão
�t = �i, lei da reflexão
�c, ângulo crítico de reflexão total
do, distância ao objeto
di, distância à imagem
f, distância focal
ho, altura do objeto
hi, altura da imagem
n = , índice de refração
n1 sen �1 = n2 sen �2, Lei de Snell
tg �B = n2/n1, n2 > n1, Lei de Brewster
N OVO S S Í M B O L O S E E Q UAÇ Õ E S
1.1 
Dessa forma, você vê uma versão ereta e pequena de você 
mesmo.
1.2 Podemos usar o resultado da Demonstração 1.2
Notamos que conforme nos 
aproximamos do eixo óptico, 
a distância do ponto de 
cruzamento se aproxima da 
distância focal f = R/2 = 3,60 cm.
1.3 Energia cinética de rotação K = mω2x2; Energia 
potencial U = mgy. Iguale-as e encontre x2ω2/2g.
R E S P O S TA S D O S T E S T E S
Distância ao 
eixo (cm)
Distância ao 
espelho (cm)
0,72 3,58
0,8 3,58
1,8 3,48
3,6 3,04
Capítulo 1 Óptica Geométrica 35
1. Desenhar um diagrama grande, com indicações claras e 
precisas, deve ser o primeiro passo para resolver quase todos 
os problemas de óptica. Inclua todas as informações que você 
tem e todas as informações que você precisa encontrar. 
Lembre-se que os ângulos são medidos a partir da normal 
para a superfície e não da superfície para ela mesma.
2. Será necessário, normalmente, desenhar somente dois raios 
principais para localizar a imagem formada por espelhos, 
mas você deve desenhar um terceiro raio para checar se todos 
foram desenhados de no correto. Mesmo que seja necessário 
resolver um problema usando a equação do espelho, um dese-
nho preciso pode ajudá-loa encontrar a resposta aproximada 
e a conferir seus cálculos.
3. Quando você calcula distâncias para espelhos, lembre-se 
da convenção de sinais e seja cuidadoso para usá-las corre-
tamente. Digamos que se um diagrama indica uma imagem 
invertida, mas seus cálculos não têm um sinal negativo, volte 
para a equação inicial e confira os sinais de todas as distâncias 
e os comprimentos focais.
G U I A D E R E S O L U Ç ÃO D E P R O B L E M A S
1.1 A lenda diz que Arquimedes ateou fogo na frota romana 
quando esta invadia Siracusa. Arquimedes criou um espelho 
________ enorme e focalizou os raios do Sol nos navios ro-
manos.
a) plano c) parabólico convergente
b) parabólico divergente
1.2 Quais das seguintes interfaces combinadas têm o menor 
ângulo crítico?
a) luz indo do gelo para o diamante.
b) luz indo do quartzo para o acrílico.
c) luz indo do diamante para o vidro.
d) luz indo do acrílico para o diamante.
e) luz indo do acrílico para o quartzo.
1.3 Para reflexão especular de um raio de luz, o ângulo de 
incidência
a) deve ser igual ao ângulo de reflexão.
b) é sempre menor do que o ângulo de reflexão.
c) é sempre maior do que o ângulo de reflexão.
d) é igual a 90° − ângulo de reflexão.
e) pode ser maior do que, menor do que ou igual ao ângulo 
de reflexão.
1.4 Parado em uma piscina cheia de água, em que condições 
você verá um reflexo do cenário do lado oposto através da re-
flexão interna total da luz do cenário?
a) Seus olhos nivelados com a água.
b) Observando a piscina a um ângulo de 41,8o.
c) Sob nenhuma condição.
d) Você observa a piscina a um ângulo de 48,2o.
1.5 Você está usando um espelho e uma câmera para tirar 
seu retrato. Você focaliza a câmera em você mesmo através do 
espelho. O espelho está a uma distância D de você. Para que 
distância você deve colocar o ajuste do foco na câmera?
a) D b) 2D c) D/2 d) 4D
1.6 Qual é o fator de ampliação para um espelho plano?
a) +1 c) maior do que +1
b) −1 d) não é definido para um espelho plano
Q U E S TÕ E S D E M Ú LT I P L A E S C O L H A
1.7 A figura mostra a dife-
rença entre o perfil do índi-
ce de refração de uma fibra 
chamada de índice degrau 
comparada ao perfil do ín-
dice de refração em uma fi-
bra chamada de índice gra-
dual. Analisando a luz se 
propagando através da fibra 
da perspectiva da óptica de 
raios, comente a trajetória 
seguida pelos raios ao en-
trarem em cada uma das 
duas fibras.
Q U E S TÕ E S
Revestimento 
Núcleo
Raio
Índice de refração, n
50 �m
125 �m
nnúcleo
nrevestimento
Revestimento
Núcleo
Raio
Índice de refração, n
Índice gradualÍndice degrau
50 �m
125 �m
nnúcleo � n(r)
nrevestimento
36 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
1.8 Uma placa de Plexiglas de 2,00 cm de espessura e índice 
de refração de 1,51 é colocada sobre um livro de física. A placa 
tem lados paralelos. O texto está na altura y = 0. Considere 
dois raios de luz que estão deixando a letra “t” do texto sob a 
placa de Plexiglas e se dirigindo para um observador que está 
acima do Plexiglas, olhando para baixo. Desenhe sobre a figu-
ra a posição aparente y do texto sob a placa de Plexiglas. Dica: 
De onde no Plexiglas esses raios parecem se originar para o 
observador? Usando dois raios A e B após terem deixado o 
Plexiglas, determine a altura aparente (posição y) do texto sob 
o Plexiglas conforme visto pelo observador. Este experimento 
pode ser feito por você facilmente. Se você não tem um bloco 
de vidro ou uma placa de Plexiglas, você pode usar um copo 
de água com fundo chato sobre o texto.
Observador
Plexiglas
n1 = 1,51
Ar
n2 = 1,00
y = 0
25,0°
A B
D = 2,00 cm
1.9 Um único espelho esférico côncavo é usado para criar 
uma imagem de uma fonte com 5,00 cm de altura que está 
localizada na posição x = 0 cm, a qual está 20 cm à esquerda 
do ponto C, o centro de curvatura do espelho, conforme mos-
trado na figura. O tamanho do raio de curvatura do espelho 
é 10,0 cm. Sem 
mover o espelho, 
como podemos 
reduzir a aberra-
ção esférica pro-
duzida por este 
espelho? Haverá 
alguma desvan-
tagem na sua 
aproximação para 
reduzir a aberra-
ção esférica?
1.10 Se você 
enxerga um objeto no fundo de uma piscina, a piscina parece 
menos funda do que ela realmente é.
a) Do que você aprendeu, calcule o quão funda uma piscina 
parece ser se ela tem de fato 4 m de profundidade e você olha 
diretamente para baixo. O índice de refração da água é 1,33.
b) A piscina parecerá mais ou menos funda se você olhar para 
ela por outro ângulo que não o vertical? Responda qualitativa-
mente, sem usar uma equação.
1.11 Porque existe refração? Isto é, qual a razão física de uma 
onda se mover com uma velocidade diferente em um novo 
meio em relação ao meio original?
1.12 Muitos dispositivos com fibras ópticas têm especificados 
os ângulos mínimos de curvatura. Por quê?
1.13 Um estudante de física está observando um disco de bate-
ria, a parte de cima tem a forma aproximada de uma superfície 
esférica côncava. A superfície é suficientemente polida de for-
ma que ele mal consegue formar o reflexo do seu dedo quando 
colocado acima do disco. Conforme ele move seu dedo se 
aproximando e se afastando da superfície, você pergunta a ele o 
que ele está fazendo. Ele responde que está estimando o raio de 
curvatura do disco da bateria. Como ele pode fazer isso?
1.14 Responda se verdadeiro ou falso com uma explicação 
para o seguinte: O comprimento de onda da luz do laser de He-
-Ne na água é menor do que seu comprimento no ar – o índice 
de refração da água é 1,33.
1.15 Entre os instrumentos que os astronautas da Apollo dei-
xaram na Lua estão refletores usados para refletir feixes de raio 
laser de volta para a Terra, o que permitiu medir a distância 
Terra-Lua com uma precisão jamais obtida até então (incerte-
zas da ordem de uns poucos centímetros em relação a 384.000 
km), para estudo de ambos, mecânica celestial e atividade de 
placas tectônicas na Terra. Os refletores não são espelhos ordi-
nários, mas uma rede de cantos de cubos, cada um consistindo 
em três espelhos planos fixos, perpendiculares uns aos outros, 
como faces adjacentes de um cubo. Por quê? Explique o fun-
cionamento e as vantagens dessa configuração.
1.16 Um prisma triangular de 45o –45o –90o pode ser usado 
para reverter um raio de luz. A luz entra perpendicular à hipo-
tenusa do prisma, reflete-se nas arestas e emerge perpendicu-
lar à hipotenusa novamente. As superfícies do prisma não são 
espelhadas. Se o prisma é feito de vidro com índice de refração 
nvidro = 1,520 e o prisma está cercado por ar, o raio de luz será 
refletido com uma perda mínima de intensidade (há perdas 
por reflexão conforme a luz entra e sai de um prisma).
a) Isso irá ocorrer se o prisma estiver debaixo da água, a qual 
tem um índice de refração de nH2O = 1,333?
b) Tais prismas são usados de preferência em espelhos, para 
desviar o caminho óptico em binóculos de qualidade. Por quê?
1.17 Um objeto tem sua imagem formada por um espelho 
esférico convergente conforme mostrado na Figura 1.19, du-
plicada a seguir. Suponha que um pano preto é colocado entre 
o objeto e o espelho de forma que ele cubra tudo o que está do 
lado de cima do eixo do espelho. Como será afetada a imagem?
di
f
do
R
Espelho
ho
�hi�
1.18 Você está debaixo da água em um lago e olha para a su-
perfície, notando que o Sol está no céu. O Sol está realmente 
mais alto do que você observa ou ele está mais abaixo?
1.19 Segurando uma colher na frente do seu rosto, o lado 
convexo na sua direção, estime a localização da imagem e sua 
ampliação.
C
10,0 cm20,0 cm
x
x � 0
Capítulo 1 Óptica Geométrica 37
1.20 Um forno solar usa um grande espelho parabólico (vá-
rios andares de espelhos foram construídos) para focalizar a 
luz do Sol para aquecer um alvo. Uma grande fornalhasolar 
pode derreter metais. É possível obter temperaturas que exce-
dam 6000 K (a temperatura da fotosfera do Sol) em um forno 
solar? Como, ou, por que não?
Um • e dois •• indicam um crescente nível de dificuldade dos 
problemas.
Seção 1.2
1.21 Uma pessoa se senta a 1,0 m na frente de um espelho 
plano. Qual é a localização da imagem?
1.22 Um periscópio consiste em dois espelhos planos e é utili-
zado para ver objetos quando um obstáculo impede a visuali-
zação direta. Suponha que George está olhando através de um 
periscópio para o Homem do Chapéu Amarelo, cujo chapéu 
está a do = 3,0 m do espelho superior, e suponha que os dois 
espelhos planos estejam separados por uma distância L = 0,4 
m. Qual é a distância D da imagem final do chapéu amarelo 
em relação ao espelho de baixo?
1.23 Uma pessoa se encontra no ponto P relativo a dois espe-
lhos planos orientados em 90°, como mostrado 
na figura. A que distância as imagens da pessoa 
estarão uma em relação à outra para o obser-
vador?
• 1.24 Mesmo os melhores espelhos absorvem 
ou transmitem a luz incidente neles. Os espe-
lhos de mais alta qualidade podem refletir 99,997% de inten-
sidade da luz incidente. Suponha um quarto cúbico de 3,00 
m de lado onde construiram-se deste espelhos paredes, teto 
e chão. O quão devagar este quarto ficará escuro? Estime o 
tempo necessário para a luz neste quarto cair a 1,00% do valor 
inicial após a unica fonte de luz apenas ser desligada.
Seção 1.3
1.25 O raio de curvatura de um espelho convexo é 25 cm. 
Qual é sua distância focal?
1.26 Um único espelho esférico côncavo é usado para criar 
uma imagem de uma fonte de 5,00 cm de altura que está loca-
lizada na posição 
x = 0 cm, a qual 
se localiza a 20,0 
cm à esquerda do 
centro de curva-
tura C do espelho, 
conforme mostra 
a figura. O raio 
de curvatura do 
espelho tem um 
tamanho de 10,0 
cm. Calcule a 
posição xi onde 
a imagem é formada. Use o sistema de coordenadas dado no 
desenho. Qual é a altura hi da imagem? A imagem é direita ou 
invertida (direita = apontando para cima, invertida = de cabeça 
para baixo)? Ela é real ou virtual?
1.27 Espelhos convexos são geralmente usados como retro-
visores laterais em automóveis. Em muitos desses espelhos há 
o aviso “Objetos no espelho estão mais próximos do que eles 
parecem”. Assuma que um espelho convexo tem um raio de 
curvatura de 14,0 cm e nele há um carro que está 11,0 m atrás 
do espelho. Para um espelho plano, a imagem estaria a 11,0 m 
e a ampliação seria 1. Encontre a distância da imagem e a am-
pliação para esse espelho.
1.28 Um objeto de 5,0 cm é colocado a uma distância de 30 
cm de um espelho convexo de comprimento focal de 10 cm. 
Determine o tamanho, a posição e a orientação da imagem.
1.29 A ampliação de um espelho convexo é 0,60 vezes para 
um objeto a 2,0 m do espelho. Qual é a distância focal desse 
espelho?
• 1.30 Um objeto está localizado a 100 cm de um espelho côn-
cavo de comprimento focal de 20 cm. Outro espelho côncavo 
de comprimento focal de 5 cm está localizado 20 cm na frente 
do primeiro espelho côncavo. Os lados espelhados dos dois 
espelhos se encontram frente a frente. Qual é a localização da 
imagem final formada pelos dois espelhos e a ampliação total 
dada pela combinação?
•• 1.31 A forma de um espelho elíptico é descrita pela curva 
 com semieixo maior a e semieixo menor b. O 
foco dessa elipse são os pontos (c, 0) e (−c, 0), com c = (a2 – 
b2)1/2. Mostre que qualquer raio de luz no plano xy, que passa 
através de um dos focos, irá se refletir passando pelo outro. 
Galerias de murmúrios fazem uso desse fenômeno com ondas 
sonoras.
Seção 1.4
1.32 Qual é a velocidade da luz no vidro cujo índice de refra-
ção é 1,52?
1.33 Uma fibra óptica com índice de refração de 1,5 é usada 
para transportar luz de comprimento de onda de 400 nm. 
Qual é o ângulo crítico para a luz ser transportada através 
dessa fibra sem perdas? Se a fibra estiver imersa em água? Em 
óleo?
1.34 Um laser de hélio-neon produz luz com comprimento de 
onda de λvac = 632,8 nm no vácuo. Se essa luz passa através da 
água, cujo índice de refração é 1,333, qual será então
a) sua velocidade? c) seu comprimento de onda?
b) sua frequência? d) sua cor?
P R O B L E M A S
P
2 m
2 m
C
10,0 cm20,0 cm
x
x � 0
38 Física para Universitários: Óptica e Física Moderna
1.35 Um raio de luz incide a partir da água com índice de 
refração de 1,333 sobre uma placa de vidro cujo índice de re-
fração é 1,73. Qual é o ângulo de incidência, para termos luz 
refletida totalmente polarizada?
• 1.36 Suponha que você está em pé no fundo de uma piscina 
de mergulho olhando para a superfície acima, que assumimos 
estar calma. Olhando para cima você vê uma janela circular 
para o “mundo exterior”. Se seus olhos estão aproximadamente 
2 metros abaixo da superfície, qual é o diâmetro dessa janela 
circular?
• 1.37 Um raio de luz incide sobre um prisma triangular equilá-
tero de índice de refração 1,23. O raio é paralelo à base do prisma 
quando ele se aproxima do pris-
ma. O raio entra no prisma no 
ponto médio de um de seus lados 
conforme mostrado na figura. 
Qual é a direção do raio quando 
ele emerge do prisma triangular?
• 1.38 Um feixe de laser colima-
do atinge o lado (A) de um bloco de vidro com um ângulo de 
20,0° em relação à horizontal, como mostrado na figura. O bloco 
tem um índice de refração de 1,55 e está imerso no ar com índice 
de refração de 1,00. 
O lado esquerdo do 
bloco de vidro é 
vertical (90° com a 
horizontal) enquan-
to o lado direito (B) 
forma 60° com a 
horizontal. Deter-
mine o ângulo �BT, 
em relação à hori-
zontal na qual a luz 
sai da superfície B.
• 1.39 Em uma fibra de índice degrau, o índice de refração sofre 
uma descontinui-
dade (salto) na in-
terface núcleo-re-
vestimento, 
conforme mostrado 
na figura. A luz in-
fravermelha com 
comprimento de 
onda de 1550 nm se 
propaga em tal fibra 
de índice degrau 
através de reflexão 
interna total na in-
terface núcleo-re-
vestimento. O índi-
ce de refração para 
o núcleo em 1550 
nm é nnúcleo = 1,48. 
Se o ângulo máxi-
mo �max no qual a 
luz pode ser acopla-
da na fibra, de for-
ma que nenhuma luz passe para o revestimento é �max=14,033
o, 
calcule a diferença percentual entre o índice de refração do nú-
cleo e o índice de refração do revestimento.
•• 1.40 Use a Figura 1.49 e prove que o arco do arco-íris pri-
mário representa o ângulo de 42o da direção do Sol.
•• 1.41 Use o Princípio de Fermat para derivar a lei da reflexão.
•• 1.42 O Princípio de Fermat, no qual a óptica geométrica 
pode ser derivada, estabelece que a luz se desloca segundo 
uma trajetória que minimiza o tempo de viagem entre dois 
pontos. Considere um feixe de luz que percorre uma distância 
horizontal D e uma distância vertical h, através de dois gran-
des blocos de material, com uma interface vertical entre os 
materiais. Um dos materiais tem uma espessura de D/2 e índi-
ce de refração n2. Determine a equação envolvendo os índices 
de refração e os ângulos a partir da horizontal que a luz faz 
na interface (�1 e �2), os quais minimizam o tempo para esse 
deslocamento.
Problemas adicionais
1.43 Suponha que sua altura é 2,0 m e você está a 50 cm e em 
pé na frente de um espelho plano.
a) Qual é a distância da imagem?
b) Qual é a altura da imagem?
c) A imagem está invertida ou direita?
d) A imagem é real ou virtual?
1.44 Um raio de luz de comprimento de onda 700 nm viajando 
no ar (n1 = 1,00) incide em uma superfície com líquido (n2 = 
1,63).
a) Qual é a frequência do raio refratado?
b) Qual é a velocidade do raio refratado?
c) Qual é o comprimento de onda do raio refratado?
1.45 Você tem um espelho esférico com raio de curvatura de 
+20 cm (ou seja, a face côncava está de frente para você). Você 
está olhando para um objeto cujo tamanho quer que dobre na 
imagem,assim pode vê-lo melhor. Onde você deve colocar o 
objeto? Onde estará a imagem? Ela será real ou virtual?
1.46 Você está submerso em uma piscina de mergulho. Qual 
é o ângulo máximo que você pode ver a luz vinda acima da 
superfície da piscina? Isto é, qual é o ângulo para reflexão in-
terna total da água para o ar?
1.47 A luz atinge a superfície da água com um ângulo de inci-
dência de 30° em relação à linha normal. Qual é o ângulo entre 
o raio refletido e o raio refratado?
1.48 Um enfeite de árvore de Natal esférico e metálico tem 
um diâmetro de 8,00 cm. Se um Papai Noel está próximo à la-
reira, 1,56 m adiante, onde ele irá ver seu reflexo no ornamen-
to? A imagem é real ou virtual?
1.49 Um dos fatores que faz o diamante ser mu ito brilhante é 
seu ângulo crítico relativamente pequeno. Compare o ângulo 
crítico do diamante no ar em relação ao ângulo crítico do dia-
mante na água.
1.50 Que tipos de imagens, reais ou virtuais, são formadas por 
uma espelho convergente quando o objeto é colocado a uma 
distância do espelho que está
20,0°
n � 1,00 n � 1,55 n � 1,00
A
Horizontal
60,0°90,0°
B
Revestimento 
Revestimento, nrevestimento�? 
Núcleo, nnúcleo � 1,48 
Núcleo
Raio
Ar
Índice de refração, n
9 �m
125 �m
nnúcleo
nrevestimento
�max
�máx
Capítulo 1 Óptica Geométrica 39
a) além do centro de curvatura do espelho,
b) entre o centro de curvatura e metade do centro de curva-
tura, e
c) mais próxima do que metade do centro de curvatura.
1.51 Em que ângulo � mostrado no 
diagrama deve um feixe de luz penetrar 
na água de forma que o feixe refletido 
forme um ângulo de 40° em relação à 
normal à superfície da água?
• 1.52 Um espelho côncavo forma uma imagem real que é 
o dobro do tamanho do objeto. O objeto é então deslocado 
de forma que a nova imagem real produzida tem três vezes o 
tamanho do objeto. Se a imagem foi deslocada de 75 cm em 
relação à sua posição inicial, qual a distância que o objeto foi 
deslocado e qual é a distância focal do espelho?
• 1.53 Que profundidade aparente um ponto no meio de uma 
piscina de 3 m de profundidade terá para uma pessoa em pé 
do lado de fora dela a 2 m na horizontal acima do ponto? Uti-
lize 1,3 como índice de refração da piscina e 1 para o ar.
• 1.54 Na figura, qual é o menor 
ângulo de incidência i para o feixe 
sofrer reflexão interna total na su-
perfície do prisma tendo um índice 
de refração de 1,5?
•• 1.55 A Reflexão e a refração, como todas as características 
clássicas da luz e outras ondas eletromagnéticas, são governa-
das pelas equações de Maxwell. As equações de Maxwell são 
invariantes por translação temporal, ou seja, para cada solução 
da equação, a reversão temporal (tempo negativo) também é 
uma solução.
a) Suponha que alguma configuração de densidade de carga 
elétrica ρ, densidade de corrente campo elétrico e campo 
magnético é solução das equações de Maxwell. Qual é a cor-
respondente solução de tempo-reverso?
b) Como, então, os “espelhos de sentido único” (espelhos uni-
direcionais) funcionam?
•• 1.56 Retorne ao Exemplo 1.3 e use os números fornecidos 
lá. Ainda, assuma que seus olhos estão a uma altura de 1,70 m 
acima da água.
a) Calcule o tempo que leva para a luz percorrer a distância 
entre o peixe e os seus olhos.
b) Calcule o tempo que a luz leva sobre uma linha reta entre o 
peixe e os seus olhos.
c) Calcule o tempo que a luz leva partindo de uma trajetória 
vertical para cima a partir do peixe até a superfície da água e 
então diretamente para os seus olhos.
d) Calcule o tempo que a luz leva em uma linha reta da posi-
ção aparente do peixe para seus olhos.
e) O que você pode afirmar a respeito do Princípio de Fermat 
pelos números anteriores?
1.57 Se você quer construir um espelho líquido de compri-
mento focal de 2,50 m, qual a velocidade angular que você 
deve girar seu líquido?
•• 1.58 Uma proposta para um telescópio baseado no espaço 
é colocar um grande espelho líquido em rotação na Lua. Su-
ponha que você deseje um espelho líquido de 100,0 m de diâ-
metro e queira que ele tenha uma distância focal de 347,5 m. A 
aceleração gravitacional da Lua é 1,62 m/s2.
a) Qual é a velocidade angular de seu espelho?
b) Qual é a velocidade linear de um ponto no perímetro do 
espelho?
c) Qual altura acima do centro se encontra o perímetro do 
espelho?
40°
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Ar Vidro
70°
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