Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA – COPPE/UFRJ PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA CURSO DE NIVELAMENTO PARA O MESTRADO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GIULIO MASSARANI FEVEREIRO/2008 1 1 - Solução da EDO de 1a ordem Spiegel, p. 162. EQUAÇÃO DIFERENCIAL SOLUÇÃO Separação de Variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) 02211 =+ dyygxfdxygxf ( ) ( ) ( ) ( ) cdyyg ygdx xf xf =+ ∫∫ 1 2 2 1 Equação Linear de 1a Ordem ( ) ( )xQyxP dx dy =+ cdxeQye dxPdxP +∫=∫ ∫ Equação de Bernoulli ( ) ( ) nyxQyxP dx dy =+ ( ) ( ) ( ) cdxeQne dxPndxPn +∫−=∫ ∫ −− 11 1ν onde ny −= 1ν . Se 1=n , a solução é ( ) cdxPQy +−= ∫ln Equação Exata ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM onde xNyM ∂∂=∂∂ ( ) ( ) ( )[ ] cdydxyMyxNdxyxM =∂∂−+ ∫ ∫∫ ,, Equação Homogênea ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= x yF dx dy ( ) cF dx +−= ∫ νν νln onde xy=ν . Se ( ) νν =F , a solução é cxy = . ( ) ( ) 0=+ dyxyxGdxxyyF ( ) ( ) ( ) cFG dGx +−= ∫ ννν ννln , onde xy=ν . Se ( ) ( )νν FG = , a solução é cxy = . 2 Série de Exercícios no 1 – EDO de 1a ordem Referência: F. Ayres Jr., "Theory and Problems of Differential Equations", Schaum Publishing, Nova Iorque (1952). (1) xxxydx dyx 23 23 −++= R.: ( ) Cxxxxxy +−+= ln462 23 (prob. 2, p. 35) (2) ( ) ( ) 01 23 =−+ dxyxdyx , ( ) 21 =y R.: ( )33 14 xy += (prob. 5, p. 17) (3) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0sensencoscos =−++ dyyxxdxxyy R.: ( ) ( ) Cxyyx =+ sencos (prob. 1c, p. 26) (4) dyxdxydyx 24 =− R.: ( ) Cxyx =− 44 (prob. 3, p. 17) (5) ( ) ( ) 032 =−++ dyxydxyx R.: ( ) Cx yxxxyy =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−++ arctan422ln 22 (prob. 10, p.18) (6) ( )⎩⎨ ⎧ = += 01 2' 3 y exyxy x R.: ( )eexy x −= 2 3 2 - Solução da EDO linear de 2a ordem Forma geral: ( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =++ ''' Solução geral: ( ) ( ) ( )xyxyxy PH += Solução da homogênea ( ( ) 0=xR ): ( ) ( ) ( )xycxycxyH 2211 += Para obter ( )xy2 conhecendo ( )xy1 : ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ = − dx xy exyxy dxxP 2 1 12 Solução particular: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) dttRtytyW tyxyxytyxyxy x P ∫ −= 21 2121 1 , , em que ( ) ( )[ ]tytyW 21 , é o wronskiano, definido por ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )tyty tyty tytyW '' , 21 21 21 = 4 Série de Exercícios no 2 – Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2a Ordem (1) Determinar a solução geral de x yxy 1'2'' =+ sabendo que uma solução da homogênea é ( ) 11 =xy . R.: ( ) ( )xx ccxy ln21 ++= (2) Determinar a solução geral da equação ( ) ( ) 01'12'' =−+−− yxyxxy sabendo que uma solução é ( ) xexy =1 . R.: ( ) xececxy xx ln21 += (3) Resolver ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = +=+− xxy xy x yxy 1 2 3 '3'' R.: ( ) ( )xxxxcxcxy ln2321 −−+= (4) Resolver ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+++− xxy y x y x xy 1 22 0 1 2 ' 1 2 '' R.: ( ) ( )1221 −+= xcxcxy 5 Soluções da Equação Diferencial e de Diferenças com Coeficientes Constantes Eq. Diferencial Ordinária Eq. de Diferenças ( )xRyayay =++ 21 ''' ( )nRyayay nnn =++ ++ 2112 dx dyDy = , 2 2 2 dx ydyD = ( ) ( )∫=− x dfxfD ηη1 EeD = 1+= nn yEy , 22 += nn yyE nnn yyy −= +1∆ nnnn yyyy +−= ++ 122 2∆ 1+= ∆E ( )( ) ( )xRyrDrD =−− 21 ( )( ) ( )nRyrErE =−− 21 ( ) ( )rPeeDP rxrx = ( ) ( ) ( ) ( )xurDPexueDP rxrx += ( ) ( )rPrrEP nn = ( ) ( ) ( ) ( )nurEPrnurEP nn = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧+⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ particular solução homogênea da solução geral solução ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+= ≠+= 2121 2121 , , 1 21 rrexccxy rrececxy xr H xrxr H ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= −−x trrrxrP ddttReeexy ηηη 1212 ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+= ≠+= 21121 212211 , , rrrnccny rrrcrcny n H nn H ( ) ( )( ) ( )nRrErEnyn 21 1 −−= ( )DP é um polinômio no operador D ; ( )EP é um polinômio no operador E ; 6 Solução da EDO de 2a ordem com coeficientes constantes (Spiegel, p. 163) Equação linear homogênea de 2a ordem 0 2 2 =++ by dx dya dx yd a, b são constantes reais Sejam m1, m2 as raízes de m2 + am + b = 0. Então existem 3 casos. Caso 1. m1, m2 reais e distintas. xmxm ececy 21 21 += Caso 2. m1, m2 reais e iguais. xmxm xececy 21 21 += Caso 3. m1 = p + qi, m2 = p – qi: ( )qxcqxcey px sencos 21 += onde 2ap −= , 42abq −= . Equação linear não- homogênea de 2a ordem ( )xRby dx dya dx yd =++ 2 2 a, b são constantes reais Existem 3 casos correspondentes àqueles acima. Caso 1. ( ) ( )∫ ∫ − − −+ −++= dxxRe mm e dxxRe mm eececy xm xm xm xm xmxm 2 2 1 1 21 12 21 21 Caso 2. ( ) ( )∫ ∫ − − − ++= dxxRxee dxxRexexececy xmxm xmxmxmxm 21 1121 21 Caso 3. ( ) ( ) ( )∫ ∫ − − − ++= dxqxxRe q qxe dxqxxRe q qxeqxcqxcey px px px px px sen cos cos sen sencos 21 Equação de Euler ou Cauchy ( )xSby dx dyax dx ydx =++ 2 2 2 Fazendo-se tex = , a equação se torna ( ) ( )teSby dt dya dt yd =+−+ 1 2 2 e pode ser resolvida como nos dois casos acima. 7 Série de Exercícios no 3 - Equação Diferencial Ordinária com Coeficientes Constantes e Equação de Diferenças com Coeficientes Constantes (1) 02''' =−+ yyy , ( ) 10 =y e ( ) 10' =y R.: ( ) xexy = (2) 05'4'' =++ yyy , ( ) 10 =y e ( ) 00' =y R.: ( ) ( ) ( )xexexy xx sen2cos 22 −− += (3) ( )xyy 2sen43'2'' +=+ R.: ( ) ( ) ( )xxxeccxy x 2cos 2 1 2sen 2 1 2 32 21 −−++= − (4) 2'' 4 3 xy y x e+ = + , ( ) 00 =y , ( ) 20' =y R.: ( ) ( ) ( ) xexxxxy 5 3 8 1 4 1 2cos 40 19 2sen 10 7 2 +−+−= (5) xyyy 234'5'' −=++ R.: ( ) 8 11 2 14 21 +−+= −− xececxy xx (6) ( )xxyy cos9'' =+ R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1cos 3 sen 3 cos sen8 32y x c x c x x x x= + + + (7) ( )tyy ωω cos'' 20 =+ , 0ωω ≠ R.: ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 2 2 0 1 cos sen cosy x c t c t tω ω ωω ω= + + − 8 (8) ( ) ( )⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= =++− =++− = 00 1,10 022 1344 2 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 x dt dxx x dt dxx dt dx dt dxx dt dx dt xd t R.: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= − 41 41 203 209 0 34 156 152 42 ttt eeex (9) nyy nn =++ 31 , 10 =y R.: ( ) 416 1 3 16 17 ny nn +−−= (10) 022 12 =+− ++ nnn yyy , 10 =y , 11 =y R.: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ny nn 4sen2 2 π (11) 123 12 −=+− ++ nnn yyy , 20 =y , 41 =y R.: nn ny 21++= 9 3 – Séries Séries numéricas ∑∞ = +++++= 1 321 ...... r nr wwwww ∑∞ =1r rw 321321 to) truncamende (erro 1 (soma) 11 nn R nr r S n r r r r wwwS ∑∑∑ ∞ +== ∞ = +==convergente O jeito é tocar um tango argentino! divergente ∑∞ =1r rw 321321 to) truncamende (erro 1 (soma) 11 nn R nr r S n r r r r wwwS ∑∑∑ ∞ +== ∞ = +==convergente O jeito é tocar um tango argentino! divergente Teorema: Se a seqüência { }rw converge para α , então ( )∑∞ =+ −=− 1 11 r rr www α Teorema: Se a seqüência { }rw é divergente, então (a) ( )∑∞ = + − 1 1 r rr ww é divergente; (b) ∑∞ = + =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 1 11 111 r rr www ( )0≠rw . 10 Testes para verificação da convergência de séries Teste da comparação: séries-padrão Série geométrica: ∑∞ = − 1 1 r rak ⎩⎨ ⎧ ≥ < divergente,1 econvergent,1 k k Série "p": ∑∞ =1 1 r pr ⎩⎨ ⎧ ≤ > divergente,1 econvergent,1 p p Convergência e erro de truncamento das séries positivas Teste Erro de truncamento ( )∫∞→ bb dxxw1lim existe (teste da integral) ( )∫∞→< bnbn dxxwR lim 1lim 1 <+ ∞→ r r r w w (teste da razão) '1 1 L wR nn −< + 1' 1 <= + n n w wL 1lim 1 <∞→ r rr w (teste da raiz) ( )11 1 1 1 ++ + −< nn n n w wR Erro de truncamento na série alternada convergente, ( )∑∞ = +− 1 11 r r r a 1+< nn aR 11 Série de Exercícios no 4 – Séries numéricas Referência: W. Kaplan, "Advanced Calculus", Addison-Wesley, Cap. 6 (1969). (1) Prove a convergência: ensaio da comparação. ∑∞ = −2 3 1 1 n n ( )∑∞ =1 2 sen n n n (2) Prove a divergência: ensaio da comparação. ∑∞ = −− + 1 2 53 5 n nn n ( )2 1 lnn n n ∞ = ∑ (3) Prove a convergência: ensaio da integral. ∑∞ = +1 2 1 1 n n ( )22 1 lnn n n ∞ = ∑ (4) Prove a convergência: ensaio da razão. ( )∑∞ = − 1 ! 1 n n n ∑ ∞ =1 3 1 n n (5) Prove a convergência: ensaio da raiz. ∑∞ =1 1 n nn ∑ ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +1 12n n n n (6) Prove a convergência: ensaio das séries alternadas. ( ) ( )∑ ∞ = − 2 ln 1 n n n ( ) ( )∑∞ = − 2 ln1 n n n n 12 (7) Calcule a soma com três algarismos significativos exatos. 7.1) ∑∞ =1 ! 1 n n R.: 1,718 7.2) Função de Bessel de 1a espécie e ordem zero no ponto 1=x ( ) ... 642422 1 222 6 22 4 2 2 0 +⋅⋅−⋅+−= xxxxJ R.: 0.7656 7.3) ( ) ... !99 1 !77 1 !55 1 !33 1 1sen 1 0 −⋅+⋅−⋅+⋅−=∫ dxx R.: 0.9461 7.4) Integral elíptica de 1ª espécie: ( ) ( )( )∫ −== 2 0 2122 sen1 2, π θ θπ k dkFK ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ ⋅⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅ ⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+== ...5,0 642 531 5,0 42 31 5,0 2 1 1 2 2;5,0 6 2 4 2 2 2ππFK 13 Séries de Potências Desenvolvimento em série de Taylor de ( )xf nas vizinhanças de ax = : ( ) ( )∑∞ = −= 1k k k axcxf , ( )( ) !k afc k k = Raio de convergência da série: 1 lim +∞→ = k k k c cR Erro de truncamento: ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 !1 ++ + −+= n n n axn fR ξ , xa << ξ (Fórmula de Lagrange) Série no 5: Séries de Potências (1) Desenvolver f em série de Taylor nas vizinhanças de a e determinar a região de convergência da série. a) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − += x xxf 1 1 ln 2 1 , 0=a R.: ... 7531 1 ln 2 1 753 ++++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − + xxxx x x ( )11 <<− x b) ( ) xxf 1= , 1=a R.: ( ) ( )∑∞ = −−= 0 11 1 n nn x x ( )20 << x 14 (2) Determinar a região de convergência das séries: a) ... 7531 1 ln 2 1 753 ++++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − + xxxx x x R.: 11 <<− x b) ( ) ... 720 61 24 5 2 1sec 642 ++++= xxxx R.: 2 π<x c) ( ) ... 8 3 22 1 432 tan +++++= xxxxe x R.: 2 π<x d) ( ) ...11 4321 −+−+−=− − xxxxx R.: 11 <<− x (3) Resolver 224'2'' 2 ++=+− xxxyxyy com o auxílio da série ∑∞ = = 0n n n xcy . R.: ( ) ... 1134 1 405 1 126 1 45 1 12 1 3 1 ... 63 1 6 1 ... 405 2 45 2 3 2 1 10976432 74 1 963 0 ++++++++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−−= xxxxxxx xxxcxxxcxy (Ayres, prob. 7, p. 204) (4) Resolver em série de potências nas vizinhanças de 0=a : ( ) dxx x∫ + 311 . R.: ( ) ...612963 10741 5963 741 463 41 33 1 2 1 1 65432 31 −⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅−=+∫ xxxxxdxxx 15 (5) Calcular ( )∫ + 1 0 311 dx x x com duas casas decimais exatas. R.: ( ) 0028,06342,01 1 0 31 ±=+∫ dxxx (6) Calcular ( )1erf com duas casas decimais exatas, sendo a função erro definida do modo ( ) ∫ −= x u duex 0 22erf π Sugestão: ∑∞ = = 0 !r r t r te R.: ( ) 0008,08434,01erf ±= (7) Quantos termos são necessários para o cálculo de ( ) ( )[ ]∑ ∞ = + −+ − 0 21 1 19,11 1 2 n n n ππ com erro inferior, em módulo, a 210− ? R.: 4102× termos. 16 4 – Solução em série de potências da EDO de 2a ordem Solução da EDO linear e homogênea de 2a ordem Nas vizinhanças do ponto ordinário x = a Nas vizinhanças do ponto regular singular x = a válida no intervalo comum de convergência do desenvolvimento em série de Taylor de P(x) e Q(x) nas vizinhanças do ponto a A solução geral contempla pelo menos uma solução da forma válida no intervalo comum de convergência do desenvolvimento em série de Taylor de nas vizinhanças do ponto a. A convergência em a deve ser pesquisada. (Teorema de Fuchs) (Teorema de Frobenius) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞ = +=−= 0 21 n n n xByxAyaxcxy ( ) ( )( )∑∞ = +−= 0n n n axcxy λλ ( ) ( ) ( )xPaxxp −= ( ) ( ) ( )xQaxxq 2−= ( ) ( ) 0''' =++ yxQyxPy Solução da EDO linear e homogênea de 2a ordem Nas vizinhanças do ponto ordinário x = a Nas vizinhanças do ponto regular singular x = a válida no intervalo comum de convergência do desenvolvimento em série de Taylor de P(x) e Q(x) nas vizinhanças do ponto a A solução geral contempla pelo menos uma solução da forma válida no intervalo comum de convergência do desenvolvimento em série de Taylor de nas vizinhanças do ponto a. A convergência em a deve ser pesquisada. (Teorema de Fuchs) (Teorema de Frobenius) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞ = +=−= 0 21 n n n xByxAyaxcxy ( ) ( )( )∑∞ = +−= 0n n n axcxy λλ ( ) ( ) ( )xPaxxp −= ( ) ( ) ( )xQaxxq 2−= ( ) ( ) 0''' =++ yxQyxPy 17 Equação Solução Polinômios Euler 0'''2 =++ byaxyyx Transformação: tex = ( ) 01 2 2 =+−+ by dt dya dt yd ( ) 21 mm BxAxxy += 21 mm ≠ são raízes de ( ) 012 =+−+ bmam ___ Bessel ( ) 0''' 2222 =−++ ynxxyyx λ ( ) ( ) ( )xBYxAJxy nn λλ += 0≠x ___ Legendre ( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− ynnxyyx ,...3,2,1,0=n ( ) ( ) ( )xBVxAUxy nn += ( ) ( ) ( )( )( ) ... !4 312 !2 1 1 42 −++−+−−= xnnnnxnnxUn ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ... !5 4231 !3 21 53 −++−−++−−= xnnnnxnnxxVn 11 <<− x ( ) ( )nnnnn xdxdnxP 1!21 2 −= ( ) 10 =xP , ( ) xxP =1 ( ) ( )13 2 1 2 2 −= xxP Chebyshev ( ) 0'''1 22 =+−− ynxyyx ,...3,2,1,0=n ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅= 22 , 2 3 , 2 1 , 2 1 , 2 1 , 2 , 2 xnnFBxnnFAxy 11 <<− x ( ) ( )( )xnxTn 1coscos −⋅= ( ) 10 =xT , ( ) xxT =1 , ( ) 12 22 −= xxT Laguerre ( ) 0'1'' =+−+ nyyxxy ,...3,2,1,0=n Solução em série de potências: ( ) ( )∞−= ,1,1 nFxy ( ) ( )xnnnxn exdxdexL −= ( ) 10 =xL , ( ) 11 +−= xxL , () 2422 +−= xxxL Hermite 02'2'' =+− nyxyy ,...3,2,1,0=n ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅= 22 ,1, 2 1 , 2 1 , 2 xnFBxnFAxy ( ) ( ) ( )221 xnnxnn edxdexH −−= ( ) 10 =xH , ( ) xxH 21 = , ( ) 24 22 −= xxH (ver definição das funções utilizadas nas próximas páginas) 18 Funções de Bessel de Primeira Classe de Ordem n: ( ) ( ) ( )( )∑ ∞ = + ++ −= 0 2 1! 21 k knk n knk xxJ Γ ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = − − −+ −= 0 2 1! 21 k nkk n nkk xxJ Γ Funções de Bessel de Segunda Classe de Ordem n: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++−−−−−+ ≠− = ∑∑ ∞ = +− = − − 0 21 0 2 ,...2,1,0 !! 2 1 1 2!1 1 2ln 2 ,...2,1,0 sen cos k nk k n k nk n nn n n knk xknkxknxJx n n xJnxJ xY ΦΦππγπ π π em que ...5775156,0=γ é a constante de Euler e ( ) ( ) 00,1... 4 1 3 1 2 1 1 =+++++= ΦΦ k k . Funções Modificadas de Bessel de Primeira Classe de Ordem n: ( ) ( )( )∑ ∞ = + ++= 0 2 1! 2 k kn n knk xxI Γ ( ) ( ) ( )∑ ∞ = − − −+= 0 2 1! 2 k nk n nkk xxI Γ 19 Funções Modificadas de Bessel de Segunda Classe de Ordem n: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ −+ +−−−++− ≠− = ∑ ∑ ∞ = + − = −+ − 0 2 1 0 21 ,...2,1,0 !! 2 2 1 2!11 2 1 2ln1 ,...2,1,0 sen2 k nkn n k nkk n n nn n n knk xknk xknxIx n n xIxI xK ΦΦ γ π π Função Hipergeométrica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) nn xnn nnxF ∑∞ = −++ −++−+++= 1 1...1! 1...11...1 1,,, γγγ βββαααγβα Função Hipergeométrica Confluente: ( ) ( ) ( )( ) ( ) nn xnn nxF ∑∞ = −++ −+++= 1 1...1! 1...1 1,, γγγ αααγα 20 Soluções generalizadas de famílias de Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem ( ) ( ) 0=∇+∇ ygxyf k , em que o operador ∇ é definido por 'xyy =∇ Família Solução Bessel ( )( ) 022 =+−∇−∇ yxpyba m ( )( ) 022 =−−∇−∇ yxpyba m ( ) ( )0 2 ,2 ≠−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + m m ab m pxBY m pxAJxxy mmba ννν ( ) ( )0 2 ,2 ≠−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + m m ab m pxBK m pxAIxxy mmba ννν 0≠x Hipergeométrica Confluente ( )( ) ( ) 0=+∇−+∇+∇ ycqxyba p 0≠p ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= − −− p qxF p qxBx p qxFAxxy pp a p a ,2,1,, 1 γγαγα γ p ac −=α , 1+−= q abγ Hipergeométrica ( )( ) ( )( ) 0=+∇+∇−+∇+∇ ydcqxyba p 0≠p Nas vizinhanças de 0=x : ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−−+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−−= −−− − pp ab pa pa qx p ab p bd p bcFqxBx qx p ab p ad p acFAxxy ,1,, ,1,, Para 1>x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−−+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−−= −−−− −−− 1 1 ,1,, ,1,, pp da pa pp ca pa qx p cd p bd p adFqxBx qx p dc p bc p acFqxAxxy 21 Série de Exercícios no 6 – Solução de EDO linear de 2a ordem em série de potências. (1) Resolver nas vizinhanças de x = 0 ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == =+++ 10',00 01ln''' yy yxxyy R.: ( ) 11... 432 1ln 432 ≤<−+−+−=+ xxxxxx Solução geral: ( ) 11... 126 ... 120246 1 43 1 543 0 ≤<−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++−= xxxxcxxxcxy Solução particular: ( ) 11... 18020126 6543 ≤<−−++−−= xxxxxxxy (2) Resolver nas vizinhanças de x = 1 ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == =+− 211'1 0ln'2''2 yy yxxyyx Sugestão: faça 1−= xt R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10... 4 1 3 1 2 1 1ln 432 ≤<+−−−+−−−= xxxxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10...1 48 1 1 12 1 1 2 1 1 2 1 2 1 432 ≤<+−+−+−+−+= xxxxxxy (3) Resolver nas vizinhanças de x = 0 e fornecer o intervalo de convergência da resposta ( ) ( )⎩⎨ ⎧ −== =++ 10'10 2'3'' yy xyexyy x 22 R.: ∑∞ = = 0 !n n x n xe , ∞<<∞− x ( ) ∞<<∞−−++−−= xxxxxxy ... 316 5 2 1 432 (4) Resolver a equação de Euler: 1'''2 =−+ yxyyx R.: tex = , ( ) 11 −+= −BxAxxy (5) Resolver nas vizinhanças de x = 0: a) ( )⎩⎨ ⎧ = =+ 00 0''21 y yyx λ R.: ( ) 01 23 =+−∇∇ yxy λ b) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+−+ ∞→ 0lim 029'2'' 32 xy yxxyyx x R.: ( )( ) 0921 3 =−+∇−∇ yxy c) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = =+−+ 00 01''' 234 y yxyxyx R.: ( ) 011 2 2 =−−∇ y x y d) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =−−+ 00 0 1 ' 1 '' 2 y y x xy x y R.: ( )( ) 011 =+−∇+∇ xyy e) ( ) 03'1''2 =+++ yyxxy R.: ( ) 03 2 1 2 1 =+∇+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∇∇ yxy f) ( ) 0 4 1 '2 2 3 ''1 =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− yyxyxx R.: 0 2 1 2 1 2 1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∇⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∇−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +∇∇ yxy 23 g) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= =+− 1 2 ',00 04''' 3 πyy yxyxy R.: ( ) 042 4 =+−∇∇ yxy h) 0 16 1 ''' 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++ yxxyyx R.: 0 16 1 22 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −∇ yxy i) 0''' =−− x yyy R.: ( ) ( ) 011 =+∇−−∇∇ yxy (6) Resolva o problema de condução de calor na aleta triangular: ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= =−+ finito é0 constante,1 0''' 22 y TTy xyxyyx ap Ω R.: 022 =−∇ xyy Ω ( ) ( ) ( )( )210 21 0 2 2 LI xITTxy ap Ω Ω−= 24 5 – Problema de Sturm-Liouville Homogêneo de 2a ordem Forma da EDO linear e homogênea de 2a ordem: ( ) ( ) ( )[ ] 0''' 321 =+++ XxgxgXxgX µ ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 0'' =++ xXxpxqxXxs µ onde ( ) ( )∫= dxxgxs 1exp , ( ) ( ) ( )xsxgxq 2= , ( ) ( ) ( )xsxgxp 3= O Problema de Sturm-Liouville ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ =++ 0' 0' 0'' 21 21 bXlbXl aXkaXk xXxpxqxXxs µ Teorema 1: os valores característicos são reais e formam uma seqüência infinita ......321 <<<<< nµµµµ sendo nn µ∞→lim infinito. Teorema 2: as funções características ( )xX m e ( )xX n correspondentes a mµ e nµ são ortogonais em relação à função peso ( )xp em [ ]ba, , isto é ( ) ( ) ( ) nmdxxXxXxpb a nm ≠=∫ ,0 25 Desenvolvimento de ( )xf em série de funções ortogonais ( ){ }xφ em relação à função peso ( )xp em ( )ba, Teorema 3: sejam ,...,...,, 321 nφφφφ as funções características do problema de Sturm-Liouville. Sejam f e 'f contínuas por partes no intervalo bxa ≤≤ . Então a série ( ) ( )∑∞ = = 0n nn xAxf φ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫= b a n b a n n dxxxp dxxxfxp A 2φ φ converge para ( ) ( ) 2 −++ xfxf em cada ponto do intervalo aberto bxa << . OBS.: ( ) ( )xfxf xx +→=+ lim (limite de f à direita no ponto x ) ( ) ( )xfxf xx −→=− lim (limite de f à esquerda no ponto x ) Para funções contínuas, ( ) ( )−=+ xfxf . Séries de Fourier: muitas funções podem também ser representadas como séries de Fourier, as quais são formadas por combinações lineares de senos e cossenos. A seqüência ,...2,1,0,cos,sen =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ n c xn c xn ππ é um conjunto de funções ortogonais em ( )cdd 2, + em relação à função peso ( )1=xp . A série de Fourier de ( )xf , definida em ( )cdd 2, + , é dada por 26 ( ) ∑∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 1 0 sencos n nn c xnb c xnaaxf ππ Em que ( )∫ += cdd dxxfca 2 0 2 1 ( ) ,...3,2,1,cos1 2 == ∫ + ndxc xnxfca cd dn π ( ) ,...3,2,1,sen1 2 == ∫ + ndxc xnxfcb cd dn π A série de Fourier de uma função contínua por partes (como a função periódica de período 2c abaixo) também converge para o valor ( ) ( ) 2 −++ xfxf nos pontos de descontinuidade. d d+2c d+4cd-2cd-4c f (x) ~ ~ ~~ ~ ~ ponto de convergência no descontínuo x d d+2c d+4cd-2cd-4c f (x) ~ ~ ~~ ~ ~ ponto de convergência no descontínuo x Série de Fourier da expansão par de ( )xf , definida em ( ),c c− : 27 ( ) ∑∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= 1 0 cos n n c xnaaxf π c-c f(x) x c-c f(x) x Em que ( )∫= c dxxfca 00 1 ( ) ,...3,2,1,cos2 0 == ∫ ndxc xnxfca c n π Série de Fourier da expansão ímpar de ( )xf , definida em ( ),c c− : ( ) ∑∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 1 sen n n c xnbxf π c-c f(x) x c-c f(x) x Em que ( ) ,...3,2,1,sen2 0 == ∫ ndxc xnxfcb c n π 28 Série no 7 – Problema de Sturm-Liouville (1) Séries de Fourier a) Desenvolver ( ) ⎩⎨ ⎧ ≤≤− ≤≤= 21,2 10, tt tt tf em série só de senos e em série só de cossenos. R.: ( ) ( )( ) ( )∑∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + −= 0 22 2 12 sen 12 18 n n tn n tf ππ ( ) ( ) ( )∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−= 0 22 12cos12 14 2 1 n tn n tf ππ a) Desenvolver ( ) ππ ≤≤−= tttf ,2 R.: ( ) ( ) ( )∑∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= 1 2 2 cos1 4 3 n n n tntf π (2) Problema de Sturm-Liouville: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == =+− 01,00 0'3'' 2 yy xyyxy λ a) Mostrar que os valores característicos são as raízes de ( ) 02 =nJ λ , isto é n 1 2 3 4 ... nλ 5,1356 8,4172 11,6198 14,7960 ... b) Mostrar que as funções características são ( ) ( )xJxxy nn λ22= . c) Mostrar que a função peso é ( ) 31xxp = . (3) Determinar os valores característicos nλ do problema de Sturm-Liouville 29 ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == =−+ 0',00 0'' 22 λ λ yy yxay Sugestão: faça xt −= λ . R.: raízes de 02 2 41 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ naJ λ . (4) Determinar os valores e funções característicos e a função peso do seguinte problema de Sturm-Liouville: ( ) ( ) ( ) 01,00 01'2'' 2 == =++− yy yyy λ R.: ( ),...2,1,0== nnn πλ , ( ) ( )xneAxy xnn πsen= , ( ) xexp 2−= 30 Zeros das Funções de Bessel (Spiegel e Liu, p. 311) 31 Abramovitz & Stegun: “Handbook of Mathematical Functions”, Dover, New York, p. 414 32 33 6 – Solução da EDP por separação de variáveis Série no 8: resolver (1) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = ><<∂ ∂=∂ ∂ 0, 0,0 0, 0,0, 1 2 2 taT tT xfxT tax t T x T α R.: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]∑ ∫∞ = −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 1 2 0 expsensen 2 , n nn a n txdxxxfa txT αλλλ • a n n πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . (2) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+∂ ∂ = = ><<∂ ∂=∂ ∂ 0, 0,0 0, 0,0, 1 , 2 2 taT x T tT xfxT tax t T x T ta β α R.: ( ) ( )∑ ∫∞ = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 1 2 0 expsensen 2 , n nna n t a zx a zdxx a zxf a txT α • nz são as raízes de ( ) βa zz nn −=tan (veja tabela na próxima página – Abramovitz e Stegun, 1965) βΩ a1= 1z 2z 3z 4z 5z 6z 0,2 2,654 5,454 8,391 11,41 14,47 17,56 2,800 2,937 3,019 3,06 3,09 π→ 34 Raízes da Equação tg(xn) = λxn (Abramovitz & Stegun p. 224) 35 Raízes da Equação ctg(xn) = λxn (Abramovitz & Stegun p. 225) 36 (3) ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂=∂ ∂ = ><<∂ ∂=∂ ∂ 0 0, 0,0, 1 ,,0 2 2 tat x T x T xxT tax t T x T α R.: ( ) ( ) ( ) [ ]∑∞ = −−+= 1 2 22 expcos 1cos2 2 , n nn txn naatxT αλλππ • a n n πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . (4) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = ><<∂ ∂=∂ ∂ BtaT AtT xfxT tax t T x T , ,0 0, 0,0, 1 2 2 α Sugestão: ( ) ( ) ( ) ( )tTxXxgtxT +=, R.: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]∑ ∫∞ = −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++−= 1 2 0 expsensen 2 , n nn a n txdxxxgxfa Ax a ABtxT αλλλ • a n n πλ = são as raízes de ( ) 0sen =anλ . (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == == <<<<=∂ ∂+∂ ∂ xfxTbxT yaTyT byax y T x T 0,,0, 0,,0 0,0,0 2 2 2 2 a b a b y x T = 0 T = 0 T = 0 T = f(x) a b a b y x T = 0 T = 0 T = 0 T = f(x) 37 R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∞ = ⋅− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 1 0 sen tanh coshtanhsenh sen 2 , n n n nnna n xb yby dxxxf a txT λλ λλλλ • a n n πλ = (6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 3 1 0, 0 , 0 0, , , , , ,0 T T x a y b x y T y f y T a y f y T x b f x T x f x ⎧∂ ∂+ = < < < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ = =⎪⎪⎩ a b y x T = f1(x) T = f3(x) T = f2(x)T = f4(x) a b y x T = f1(x) T = f3(x) T = f2(x)T = f4(x) Sugestão: pelo Princípio da Superposição, T = f1(x) T = f3(x) T = f2(y)T = f4(y) T (x,y) T = f1(x) T 1(x,y) 0 T = f3(x) T 2(x,y) T = f4(y) T 3(x,y) T = f2(y)T 4(x,y) 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + = = T = f1(x) T = f3(x) T = f2(y)T = f4(y) T (x,y) T = f1(x) T 1(x,y) 0 T = f3(x) T 2(x,y) T = f4(y) T 3(x,y) T = f2(y)T 4(x,y) 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , , , ,T x y T x y T x y T x y T x y= + + + S-L em x (prob. 5) S-L em x S-L em y S-L em y R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4, , , , ,T x y T x y T x y T x y T x y= + + + S-L em x (prob. 5) S-L em x S-L em y S-L em y R.: (S-L: problema de Sturm-Liouville) 38 (7) 2 2 2 2 2 0, , (Equação de Poisson) 0 ao longo do perímetro a x a b y b x y ψ ψ ψ ⎧∂ ∂+ + = − < < − < <⎪ ∂ ∂⎨⎪ =⎩ 2a 2b y x ψ = 0 ψ = 0 ψ = 0 ψ = 0 2a 2b y x ψ = 0 ψ = 0 ψ = 0 ψ = 0 Sugestão: ( ) ( ) ( )yxgxfyx ,, +=ψ R.: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∞ = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−= 0 0 2222 cos cosh cosh cos 2 , n n n na n xb ydxxax a xayx λλ λλψ ,...2,1,0, 2 12 =+= n a n n πλ são as raízes de ( ) 0cos =anλ . (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ == ==∂ ∂ <<<<=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ rfbrTrT zaT r T bzar z T r T rr T z 1 ,0 2 2 2 2 ,,00, 0, 0,0,0 1 z 0 f1(r) 0 2a b z 0 f1(r) 0 2a b R.: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )rJb z drrrJ drrJrrf zrT n n n n a n a n λλ λ λ λ 0 1 0 2 0 0 01 senh senh , ⋅⋅= ∑ ∫ ∫∞ = • nλ são as raízes de ( ) 00 =aJ nλ : 39 a1λ a2λ a3λ a4λ a5λ a6λ 2,405 5,520 8,654 11,79 14,93 18,07 3,12 3,133,14 3,14 3,14 π→ (ver Spiegel & Liu) (9) bzarz T r T rr T <<<<=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 0,0,0 1 2 2 2 2 f1(r) f2(r) 2a bf3(r) = f1(r) 0 0 0 0 0 0 + + f2(r) f3(r) T1(r,z) T2(r,z) T3(r,z) f1(r) f2(r) 2a bf3(r) = f1(r) 0 0 0 0 0 0 + + f2(r) f3(r) T1(r,z) T2(r,z) T3(r,z) ( ) ( ) ( ) ( )zrTzrTzrTzrT ,,,, 321 ++= S-L em r S-L em r S-L em z R.: ( ) ( ) ( ) ( )zrTzrTzrTzrT ,,,, 321 ++= S-L em r S-L em r S-L em z R.: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⋅= ∫ ∑∞ = a n n n n n n n n n drrJrrf aJa A aJ rJ b z AzrT 0 012 1 2 0 1 01 2 0 senh senh , λλ λ λλ λ ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = ⋅−= ∫ ∑∞ = a n n n n n n n n n drrJrrf aJa B aJ rJ b zb BzrT 0 022 1 2 0 1 02 2 0 senh senh , λλ λ λλ λ ( ) ( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫ ∑∞ = b n n n dzz b nzf b B a b nI r b nI z b nCzrT 0 3 1 0 0 3 sen 2 sen, π π π π 40 (10) ( )( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = ≤≤≤=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ 0, 00, constante,, 0,,0 11 0 2 2 22 2 πφ φ φθφ πθθ φφφ r r a ar rrrr 0φ 0 0 a θ r 0φ 0 0 a θ r R.: ( ) ( )∑∞ = = 1 sen, n n n nrEr θθφ ( ) ( )∫ ∫= π π θθ θθφ 0 2 0 0 sen sen dna dn E n n (11) ( )( ) ( ) 2 2 , 0 , 1 0, 0 , 0 ,1 u u u x y x y u y u y u x x π π ⎧∂ ∂− = < < >⎪∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩ R.: ( ) ( ) ( )( ) ( )21 1 1 1 , 2 sin n n y n u x y e nx n ∞ + − = −= − ∑ (12) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ,0 1 , 0 , 0 ,0 , 0 0, , 0 x u u x l t x t uu x x t u t u l t α ϕ ⎧∂ ∂= < < >⎪∂ ∂⎪ ∂⎪ = =⎨ ∂⎪⎪ = =⎪⎩ R.: ( ) ( ) 0 1 2 , sin sin cos l n n x n x n au x t x dx t l l l l π π πϕ∞ = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∫ 41 (13) ( ) ( ) ( ) 2 2 1, 1 , 0 1 , 0 ,0 1 0, é finito 1, 0 , constante τ θ θ θ β τβ β β τ θ β θ τ θ θ τβ ⎧ ∂ ∂ ∂+ = < < >⎪∂ ∂ ∂⎪⎪ =⎪⎨⎪⎪∂ +Ω = Ω⎪∂⎪⎩ R.: ( ) ( ) ( )0 1 , expn n n n D Jθ β τ λ β λ β∞ = = −∑ , ( )( ) 1 00 1 2 00 n n n J d D J d β λ β β β λ β β = ∫∫ Para achar os nλ : ( ) ( )1 0 0n n nJ Jλ λ λ+Ω = Ω 1λ 2λ 3λ 4λ 0 0,0000 3,8317 7,0156 10,1735 1 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 ∞ 3,1153 5,5201 8,6537 11,7942 3,1153 3,1336 3,1405 π→ (Abramovitz e Stegun, 1965) (14) ( )( ) ( ) 2 2 2 1 1 0, 1, 1, , , 0 u u r r r r r u u r u r π θ πθ θ θ π π ⎧ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + = > − < <⎪ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪ − = =⎪⎪⎩ 42 R.: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , 2 sin n n n u r r n n θ θ −∞ − = −= ∑ (15) ( )( ) ( ) 2 2 , 0 , 0 ,0 0 0, 0, , (constante) v v v x a t x x t v x v t v a t V α β⎧ ∂ ∂ ∂= + < < >⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎪⎩ Sugestão: fazer ( ) ( ) ( ), ,v x t f x x t= +Ω R.: ( ) ( ) ( )* 2 1 , exp sin exp 2n nn nv x t f x D x x t a β π λα ∞ = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ( ) exp 1 exp 1 x f x V a β α β α ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 0 * 2 0 1 exp exp sin 2 1 exp exp sin 2 a n a nf x x x x dx aD nx x x dx a β β π α α α β β π α α α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ ∫ 43 7 – Transformadas Integrais ( ) ( ) ( ),b a f p f x K p x dx= ∫ Transformada ( )f p ( )f x Transformada de ( )'f x e ( )''f x Complexa de Fourier ( ) ( ) ipxE f x f x e dx∞ −−∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )1 12 ipxE f p f p e dpπ ∞− −∞ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 2''E f x p E f x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )lim lim ' 0 x x f x f x→±∞ →±∞= = Cosseno de Fourier ( ) ( ) ( )0 cosC f x f x px dx∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )1 02 cosC f p f p px dpπ ∞− ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( ) 2'' ' 0C f x p C f x f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )lim lim ' 0 x x f x f x→∞ →∞= = Seno de Fourier ( ) ( ) ( )0 sinS f x f x px dx∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( )1 02 sinS f p f p px dpπ ∞− ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) ( ) 2'' 0S f x p S f x pf⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )lim lim ' 0 x x f x f x→∞ →∞= = Laplace ( ) ( ) 0 pxL f x f x e dx ∞ −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ ( )[ ] ( )∫ +−∞→− = ωωωπ ia ia st dssfeipfL lim211 ( ) ( ) ( )' 0L f x pL f x f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 ' 0L f x p L f x pf f⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 44 Transformada Ordem da Derivada Domínio da Variável Condições Limites “Naturais” Complexa de Fourier 2 ( ),−∞ ∞ ( ) ( )lim lim ' 0x xf x f x→±∞ →±∞= = Cosseno de Fourier 2 [ )0,∞ Em ( )' 0f ( ) ( )lim lim ' 0 x x f x f x→∞ →∞= = Seno de Fourier 2 [ )0,∞ Em ( )0f ( ) ( )lim lim ' 0 x x f x f x→∞ →∞= = Laplace 1 [ )0,∞ Em ( )0f Laplace 2 [ )0,∞ Em ( )0f e ( )' 0f 45 Transformada de Laplace: Teoremas ( ) ( ) ( ) 0 stL f t f t e dt f s ∞ −⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ ∫ ( )L f t⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )f t ( ) ( )1 2aL f t bL f t⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )1 2af t bf t+ 1 sf k k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )f kt ( )ske f s− ( ) ( )u t k f t k− − ( )f s k− ( )kte f t ( )d f s ds − ( )tf t ( ) ( )1 2L f t L f t⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 t f t f t f f t dη η η⋅ = −∫ ( ) ( )1 20t f t f dη η η= −∫ ( )f s é uma função analítica exceto para um número finito de pólos is a= (ou infinito porém enumerável) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∑ =− == i stas sfesfLtf iRes1 is a= é um pólo simples: ( ) ( ) ( ){ }Res lim ii st st is as a e f s s a e f s→= ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ is a= é um pólo duplo: ( ) ( ) ( )2Res lim ii st st is as a de f s s a e f s ds→= ⎧ ⎫⎡ ⎤ = −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Antes de empreender a longa viagem de volta, verifique se: ( ) ( ) 0 lim lim s t sL f t f t→∞ → ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , ( ) ( )0lim lims tsL f t f t→ →∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 46 Transformada de Laplace de algumas funções Referência: Carslaw & Jaeger, “Operation Methods in Applied Mathematics”, Dover, N. York ( )[ ]tfL ( )tf sa n es − −− ⋅21 ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅ t at n n 2 erfc4 2 i ,...2,1,0=n sb e sa + − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +− + − tb t abe t e tbabt a 2 erfc 2 2 4 π ( )sbs e sa + − ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +− ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + tb t a b e b t a tbab 2 erfc 2 erfc 2 ω− − s e sa ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −− t t aet t aee aa t ωω ωω ω 2 erfc 2 erfc 2( )saK 0 t e t a 2 4 2 − ( )asK 0 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − << at at at para 1 0para0 22 ( )220 asbK + ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ >− − << bt bt bta bt para cos 0para0 22 22 ( )asIe as 0−π ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<− > at tat at 20para 2 1 2para0 22 asbbs ee +−− − ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − − << bt bt btaJab bt para 0para0 22 22 1 ( ) n n an ass 22 −− ( ) 0para >n t atI n 47 1+n s a n s ea ( ) ( ) 1para22 −>natIat nn 22 22 as e asb − −− ( )⎪⎩⎪⎨⎧ >− << btbtaI btpara para 00 22 0 bsasb ee −−− −22 ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > − − << bt bt btaIab btparapara 00 22 22 1 ( ) 22 22 2 22 asb n e asa ass −−⋅ − −− ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −>>−⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + − << 1epara 00 22 2 nbtbtaI bt bt btpara n n onde: ( ) ( )∫∞ −= η ξξη derfc nn erfc1ii para ,...2,1=n , com ( ) ( ) ∫∞ −== η ξ ξπηη de 22 erfcerfc0i 48 Série no 9 – Transformada de Laplace Resolver: (1) ( ) ( ) ( ) '' 3 ' 2 1 0 0, ' 0 1 y y y u t y y ⎧ + + = −⎪⎨ = =⎪⎩ R.: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 1 1 1 2 2 t tt ty t e e e e u t− − − −− − ⎡ ⎤= − + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2) ( ) ( ) ( ) 0 ' 2 6 2, 0 ' ' 0 0 5, 0 6 t y y z d t y z z y z τ τ⎧ + + = − >⎪⎪ + + =⎨⎪ = − =⎪⎩ ∫ R.: ( ) 42 4 3t ty t e e−= − − , ( ) ...................z t = (3) ( )( ) ( ) 2 2 , 0, 0 0, 1 ,0 lim , 0 y y t t y t y y t ν →∞ ⎧∂Ω ∂ Ω= > >⎪ ∂ ∂⎪⎪Ω =⎨⎪Ω = Ω =⎪⎪⎩ R.: ( ), erfc 2 yy t tνΩ = (4) Resolver o sistema para ( ),V V x t= : 49 ( ) ( ) ( ) 0 , 0, 0 0, , , 0 0, , , constante VRI x t x V IC t x t I x t V x t x V x t V ∂⎧ = − > >⎪ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = −⎨ ∂ ∂⎪ = = =⎪⎪ = =⎩ ( )lim , é finito x V x t→∞ , R e C são constantes. R.: ( ) ( ) 1 2 0, erfc 2 CR x V x t V t ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (5) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ,0 , 1 , 0 , 0 ,0 0, 0 0, 0, , constante x a t u u x a t x c t uu x t uu t k x ⎧∂ ∂⎪ = < < >∂ ∂⎪⎪ ∂⎪ = =⎨ ∂⎪⎪ ∂⎪ = =∂⎪⎩ R.: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 1 1 2 1 2 18 , sin cos 2 22 1 n n n x n ctx au x t ck c c a an π π π ∞ = ⎡ ⎤− − −= +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ (6) ( ) ( ) 2 2 , 0, 0 ,0 0, 1 V Vx x x t x t V x V t ∂ ∂⎧ + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩ R.: ( ) 2 2 2 1 , , 1 , t t x V x t x t x ⎧ + <⎪= ⎨ + ≥⎪⎩ 50 (7) ( )( ) 2 2 0 1 1 ,0 0, 0 , , 0 U U U r r r k t U r x a U a t U t ⎧∂ ∂ ∂+ =⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎪ = < <⎨⎪ = >⎪⎪⎩ R.: ( ) ( ) 20 0 1 1 , 1 2 exp n n n n n rJ aU r t U k t J a λ λ λ λ ∞ = ⎧ ⎫⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎝ ⎠= − −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ nλ são as raízes positivas de ( )0 0J λ = . (8) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' cosh 0 , 0 t F t k F x k t x dx F C⎡ ⎤+ − = =⎣ ⎦∫ R.: ( ) 2 21 2 k tF t C ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ (9) ( ) ( ) 0, 0, 0 ,0 0, 0, T Tx x t x t T x T t t ∂ ∂⎧ + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩ R.: ( ) 2 2, 2 2 x xT x t t u t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 51 (10) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 0 , constante n n n n ck c c t c c t A θ θ ++ ∂⎧ + − = −⎪ ∂⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎪⎩ k e θ são constantes R.: ( ) ( ) 1 1 0 k ut n n n Ac t u e du n θ θ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟− ⎝ ⎠= Γ ∫ (11) ( )( ) ( ) 2 0 , 0, 0 ,0 0 0, , lim , 0 x U Uk hU x t t x U x U t F U x t →∞ ∂ ∂⎧ = − > >⎪ ∂ ∂⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎪⎩ R.: ( ) 20 30 1, exp 42 tx xU x t F hu du kuk uπ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ (12) ( ) ( ) ( ) , 0, 0 ,0 0, 0 T Tx T xF t x t x t T x T t ∂ ∂⎧ + + = > >⎪ ∂ ∂⎨⎪ = =⎩ R.: ( ) ( )2 2 0 , ttT x t xe e F dη η η−= ∫ (13) Sistema mecânico com um grau de liberdade 52 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 , 0 , ' 0 ' , constantes d y dya b cy f t a m g dt dt y y y y ⎧ + + = =⎪⎨⎪ = =⎩ R.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 2'y t f t h t y t y tψ ψ= ⋅ + + , em que m y referencial força externa f(t) c, constante da mola b, constante de amortecimento m y referencial força externa f(t) c, constante da mola b, constante de amortecimento ( ) ( )1 Hh t y ta= , ( ) ( ) ( )1 'H H bt y t y t a ψ = + , ( ) ( )2 Ht y tψ = , e a função Hy é a solução de ( ) ( ) 2 2 0 0 0, ' 0 1 H H H H H d y dyb c y dt a dt a y y ⎧ + + =⎪⎨⎪ = =⎩ (14) ( ) ( ) 00, , ,0 F F S S F S F Fa S S T T T t T T T t T t T T z T ∂⎧− = −⎪ ∂⎪∂⎪ = −⎨ ∂⎪⎪ = =⎪⎩ R.: ( ) ( ) ( )0 00 0 exp exp 2 tS S Fa S T T z u I zu du T T − = − −− ∫ ( ) ( ) ( )00 0 exp exp 2 zFa F Fa S T T t u I tu du T T − = − −− ∫ 53 8 – Gênese da Equação Diferencial q n Volume de controle Entra – sai, por unidade de tempo, da grandeza conservativa através da superfície do VC Geração da grandeza conservativa, por unidade de tempo, no VC Acumulação no tempo da grandeza conservativa =+ q n Volume de controle Entra – sai, por unidade de tempo, da grandeza conservativa através da superfície do VC Geração da grandeza conservativa, por unidade de tempo, no VC Acumulação no tempo da grandeza conservativa =+ ∫∫∫ ∂∂=+⋅− VCVCSC dVtWdVAdSnq ( )∫∫ =⋅ VCSC dVdS qnq div (Teorema da Divergência) ( ) t WA ∂ ∂=+− qdiv 54 Divergente ( ) z v y v x v v zyx ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=⋅∇ Laplaciano ( ) 2222222 z sysxss ∂∂+∂∂+∂∂=∇ Coordenadas retangulares: Gradiente [ ] x ss x ∂ ∂=∇ , [ ] y ss y ∂ ∂=∇ , [ ] z ss z ∂ ∂=∇ Divergente ( ) ( ) z vv r rv rr v zr ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=⋅∇ θ θ11 Laplaciano ( ) 222222 11 z ssrrsrrrs ∂∂+∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂∂∂∂=∇ θ rθ z x y ( )zyx ,, ( )zr ,,θ • ou x y z Coordenadas cilíndricas rθ z x y ( )zyx ,, ( )zr ,,θ • ou x y z Coordenadas cilíndricas Gradiente [ ] r ss r ∂ ∂=∇ , [ ] θθ ∂ ∂=∇ s r s 1 , [ ] z ss z ∂ ∂=∇ Divergente ( ) ( ) ( ) φθ θθθ φ θ ∂ ∂+ ∂ ∂+∂ ∂=⋅∇ v r v r vr rr v r sen 1 sen sen 11 2 2 Laplaciano ( ) 2 2 22 2 2 2 2 sen 1 sen sen 11 φθ θθθθ ∂ ∂+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂=∇ s r s rr sr rr s ( )φθ ,,r φ z x y ( )zyx ,, • r θ ou z x y Coordenadas esféricas ( )φθ ,,r φ z x y ( )zyx ,, • r θ ou z x y Coordenadas esféricas Gradiente [ ] r ss r ∂ ∂=∇ , [ ] θθ ∂ ∂=∇ s r s 1 , [ ] θθφ ∂ ∂=∇ s r s sen 1