EDOS_ORDEM_1_NUMERICO

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS DE 1a ORDEM
MÉTODOS NUMÉRICOS
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11 – MÉTODOS NUMÉRICOS P/ EDOS de 1a ORDEM
• Quando uma fórmula explícita não puder ser obtida para a solução 
de uma EDO, ou quando a mesma é muito complicada, empregam-
se métodos numéricos para o cálculo aproximado da solução.
• O método de iteração de Picard é capaz de fornecer soluções
aproximadas para EDOs, no entanto, não é interessante uma vez
que o procedimento iterativo deve ser repetido para cada ponto x
em que se desejar a solução.
A - MÉTODOS PASSO A PASSO
• Métodos passo a passo são os métodos que a partir da condição
inicial, y0 = y(x0) e, procedendo sob um processo de marcha (passo 
a passo), calculam valores aproximados da solução y(x) nos vários
pontos nodais de uma malha previamente escolhida.
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• Por exemplo, para um problema unidimensional, a malha espacial
pode ser obtida empregando-se um passo uniforme h (conforme
figura), de forma que:
1 0 2 0 3 0; 2 ; 3x x h x x h x x h= + = + = +
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- MÉTODO DE EULER
• A idéia de obtenção da solução é obtida a partir da definição da
expansão de uma função em torno de um ponto (Série de Taylor):
2
( ) ( ) '( ) ''( )
2
hy x h y x hy x y x+ = + + +" (1)
• Para pequenos valores de h, as potências h2, h3, …, são muito
pequenas. Logo sugere-se que a expansão seja:
( ) ( ) '( )y x h y x h y x+ ≅ + (2)
'( ) ( , )y x f x y=• Da equação diferencial:
( ) ( ) ( , )y x h y x h f x y+ ≅ + (3)
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• A expressão anterior sugere o seguinte procedimento de marcha
a) No primeiro passo, a partir da informação em x = x0:
1 0 0 0( , )y y h f x y= + (4)
1 0( ) ( )y x y x h= +- Que é uma aproximação para: 
b) No segundo passo, a partir da aproximação anterior:
2 1 1 1( , )y y h f x y= + (5)
2 0( ) ( 2 )y x y x h= +- Que é uma aproximação para: 
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c) De uma maneira gera, o método é escrito como:
1 ( , )n n n ny y h f x y+ = + (6)
• Geometricamente, o método é uma aproximação da curva y(x) por 
um polígono cujo 1o lado é tangente à curva em x0 (figura abaixo).
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Observações:
• Obviamente, este método não é usado na prática, pois o erro
introduzido ao longo do procedimento de marcha cresce com o 
acréscimo da coordenada de marcha.
• No entanto, ele explana claramente o princípio dos métodos
baseados em Série de Taylor.
• O método de Euler pertence à classe de métodos numéricos
denominados de métodos de 1a ordem, pois a expansão foi
truncada no termo contendo apenas a primeira potência de h.
• A omissão dos outros termos causa um erro, o qual é denominado 
de erro de truncamento.
• Caso mais termos sejam retidos na expansão, métodos numéricos 
de ordens mais elevadas e mais precisos são obtidos.
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Exemplo 1: Método de Euler
Aplique o Método de Euler para o seguinte PVI escolhendo uma malha
com h = 0.2.
' ; (0) 0y x y y= + =
Solução:
( , ) ; 0.2f x y x y h= + =- Para este problema:
- Logo, a Eq. (3) torna-se: 1 0.2( )n n n ny y x y+ = + +
- A aproximação acima é comparada com a solução exata (como?) e 
os resultados são mostrados na tabela a seguir:
( ) 1xy x e x= − −
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Tabela 1 - Método de Euler
' ; (0) 0y x y y= + =
n xn yn 0.2(xn + yn)
Solução
Exata Erro
0 0.0 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.2 0.000 0.040 0.021 0.021
2 0.4 0.040 0.088 0.092 0.052
3 0.6 0.128 0.146 0.222 0.094
4 0.8 0.274 0.215 0.426 0.152
5 1.0 0.489 ------ 0.718 0.229
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- MÉTODO DE EULER MELHORADO (Heun)
• A retenção de mais termos na série, para gerar métodos mais
precisos, leva no entanto a alguns problemas práticos.
• A substituiçao de y’ = f(x,y) na expansão produz:
2 3
( ) ( ) ' ''
2 6
h hy x h y x hf f f+ = + + + +" (7)
• Observe, porém, que y em f é função de x. Logo:
' 'x y x yf f f y f f f= + = + (8)
• As outras derivadas de ordens mais elevadas, f’’, f’’’ tornam-se 
muito mais complexas e trabalhosas !
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• A estratégia é evitar a avaliação de tais derivadas e substituí-la pela
avaliação de f apenas, em valores “apropriados” de (x,y). 
“Apropriados” no sentido de tornar a ordem do método a mais
elevada possível.
• O primeiro método a utilizar esta estratégia é o denominado
Método de Euler Melhorado (Método de Heun).
• Em cada passo avalia-se inicialmente um valor auxiliar:
*
1 ( , )n n n ny y h f x y+ = + (9)Método de Euler
• Em seguida, avalia-se a aproximação final:
*
1 1 1( , ) ( , )2n n n n n n
hy y f x y f x y+ + +⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ (10)
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• O Método de Euler Melhorado tem uma interpretação física simples:
- No intervalo xn para xn + h/2, a solução y é aproximada pela
linha reta que passa por (xn, yn) com inclinação f(xn, yn), e 
então continua-se ao longo de uma linha reta com inclinação
f(xn+1, y*n+1) até que se alcance a posição xn+1 em x.
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Observações:
• É um Método Preditor-Corretor, pois em cada passo da malha, 
primeiro se prever um valor com a Eq. (9) , posteriormente se 
corrige pela Eq. (10).
• É um Método de Segunda Ordem, pois o erro de truncamento é 
da ordem de h3.
Algorítmo do Método de Euler Melhorado
• O algorítmo avalia a solução do PVI y’ = f(x,y), y(x0) = y0 em
pontos equidistantes x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, …, xN = x0 + Nh.
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• ENTRADA: Valores iniciais de x0, y0, h e número de passos N.
• SAIDA: Aproximação yn+1 para a solução y(xn+1) em 
xn+1 = x0 + (n+1)h, onde n = 0, …, N-1.
xn = x0 yn = y0
LOOP: n = 0, 1, …, N-1
xn+1 = xn + h
k1 = h f(xn, yn)
k2 = h f(xn+1, yn+ k1)
yn+1 = yn + (k1+ k2)/2
Imprime xn+1 e yn+1
xn = xn+1 yn = yn+1
FIM LOOP
FIM (Euler Melhorado)
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Exemplo 2: Método de Euler Melhorado
Aplique o Método de Euler Melhorado para o PVI do exemplo anterior 
sob as mesmas condições de malha.
Solução:
( , ) ; 0.2f x y x y h= + =- Para este problema:
- Logo, do algorítmo: 1 0.2( )n nk x y= +
[ ]2 0.2 0.2 0.2( )n n n nk x y x y= + + + +
[ ]1 0.2 2.2 2.2 0.22n n n ny y x y+ = + + +
1 0.22( ) 0.02n n n ny y x y+ = + + +
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Tabela 2 - Método de Euler Melhorado
' ; (0) 0y x y y= + =
n xn yn
0.22(xn + yn) 
+ 0.02
Solução
Exata Erro
0 0.0 0.0000 0.0200 0.0000 0.0000
1 0.2 0.0200 0.0684 0.0214 0.0014
2 0.4 0.0884 0.1274 0.0918 0.0034
3 0.6 0.2158 0.1995 0.2221 0.0063
4 0.8 0.4153 0.2874 0.4255 0.0102
5 1.0 0.7027 ------ 0.7183 0.0156
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- MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
• Um dos métodos de maior aplicação prática.
• Em cada passo deve-se primeiro calcular quatro quantidades
auxiliares k1, k2, k3 e k4, para a partir de então um novo valor yn+1.
• Pode ser mostrado que o erro de truncamento é da ordem de h5, 
logo o é um método de quarta ordem.
Algorítmo do Método de Runge-Kutta
• O algorítmo avalia a solução do PVI y’ = f(x,y), y(x0) = y0 em
pontos equidistantes x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, …, xN = x0 + Nh.
18• ENTRADA: Valores iniciais de x0, y0, h e N.
• SAIDA: Aproximação yn+1 para a solução y(xn+1) em 
xn+1 = x0 + (n+1)h, onde n = 0, …, N-1.
LOOP: n = 0, 1, …, N-1
k1 = h f(xn, yn)
k2 = h f(xn + h/2, yn+ k1/2)
k3 = h f(xn + h/2, yn+ k2/2)
k4 = h f(xn + h, yn+ k3)
xn+1 = xn + h
yn+1 = yn + (k1+ 2k2 + 2k3 + k4)/6
Imprime xn+1 e yn+1
FIM LOOP
FIM (Runge-Kutta)
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Exemplo 3: Método de Runge-Kutta
Aplique o Método de Runge Kutta de 4a Ordem para o PVI do exemplo
anterior sob as mesmas condições de malha.
Solução:
( , ) ; 0.2f x y x y h= + =- Para este problema:
- Logo, do algorítmo:
1 0.2( )n nk x y= +
[ ]2 10.2 0.1 0.5n nk x y k= + + +
[ ]3 20.2 0.1 0.5n nk x y k= + + +
[ ]4 30.2 0.2n nk x y k= + + +
- Fazendo as substituições (não recomendadas !):
1 0.2214( ) 0.0214n n n ny y x y+ = + + +
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Tabela 3 - Método de Runge-Kutta
' ; (0) 0y x y y= + =
n xn yn
0.2214(xn + yn) 
+ 0.0214
Solução
Exata
Erro
(x106)
0 0.0 0.000 000 0.021 400 0.000 000 0
1 0.2 0.021 400 0.070 418 0.021 403 3
2 0.4 0.091 818 0.130 289 0.091 825 7
3 0.6 0.222 107 0.203 414 0.222 119 11
4 0.8 0.425 521 0.292 730 0.425 541 20
5 1.0 0.718 251 ------ 0.718 282 31
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Tabela 4 - Erro Produzido pelos 3 Métodos
' ; (0) 0y x y y= + =
Erro
n xn
Solução 
Exata Euler EulerMelhorado
Runge-
Kutta
1 0.2 0.021 403 0.021 0.0014 0.000 003
2 0.4 0.091 825 0.052 0.0034 0.000 007
3 0.6 0.222 119 0.094 0.0063 0.000 011
4 0.8 0.425 541 0.152 0.0102 0.000 020
5 1.0 0.718 282 0.229 0.0156 0.000 031