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5 SÉRIES DE FOURIER Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1 apresentou sua obra Theorie Analytique de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica. Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado, Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para resolver inúmeras equações diferenciais parciais. 5.1 Séries de Fourier Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série trigonométrica. 5.1.1 Definição Chama-se série trigonométrica a uma série da forma: ........)2()2cos()()cos( 2 2211 0 +++++ xsenbxaxsenbxa a ou, sob uma forma mais compacta: ∑∞ = ++ 1 0 ))()cos(( 2 n nn nxsenbnxa a (1) As constantes nn baa ,,0 (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica. Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2pi, dado que sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2pi. Neste livro, não trataremos sobre 1 FOURIER,Jean Baptiste Joseph. (1768 – 1830). Estudou a teoria matemática de condução do calor. Estabeleceu equações diferenciais parciais referentes à difusão do calor e solucionou-as usando séries de funções trigonométricas. convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal. 5.1.2 Determinação dos coeficientes da série Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2pi, pode ser representada por uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-pi,pi), isto é, que seja a soma desta série: ∑∞ = ++= 1 0 ))()cos(( 2 )( n nn nxsenbnxa a xf (2) Suponhamos que a integral da função do primeiro membro desta igualdade é igual à soma das integrais dos termos da série (2), isto é possível desde que a série proposta convirja absolutamente. A série pode então ser integrada termo a termo de -pi a pi: ∫∑ ∫∫∫ − ∞ = −−− ++= pi pi pi pi pi pi pi pi ))()cos(( 2 )( 1 0 dxnxsenbdxnxadxadxxf n n n (3) Calculando as integrais separadamente, obtemos: dxa∫ − pi pi 2 0 = 0.api 0))cos( =∫ − pi pi dxnxan 0))( =∫ − pi pi dxnxsenbn Assim: 0 0 . 2 )( adx a dxxf pi pi pi pi pi == ∫∫ −− ∫ − = pi pi pi dxxfa )(10 Para calcular os outros coeficientes da série, utilizaremos as seguintes integrais auxiliares; se n e k forem inteiros e se n ≠ k, tem-se: ∫pi pi- cos(nx).cos(kx) dx = 0 ∫pi pi- cos(nx).sen(kx) dx = 0 ∫pi pi- sen(nx).sen(kx) dx = 0 E se n = k: ∫pi pi- cos2 (kx) dx = pi ∫pi pi- sen(kx).cos(kx) dx = 0 ∫pi pi- sen2 (kx) dx = pi Para determinar ka para 0≠k , multipliquemos os dois membros da igualdade abaixo por cos(kx): ∫∑ ∫∫∫ − ∞ = −−− ++= pi pi pi pi pi pi pi pi ))()cos(( 2 )( 1 0 dxnxsenbdxnxadxadxxf n n n ∫∑ ∫∫∫ − ∞ = −−− ++= pi pi pi pi pi pi pi pi ))cos()()cos()cos(()cos( 2 )cos()( 1 0 dxkxnxsenbdxkxnxadxkx a dxkxxf n n n ∫∫ −− == pi pi pi pi pi.)(cos)cos()( 2 kk adxkxadxkxxf ∫ − = pi pi pi dxkxxfak )cos()( 1 De modo análogo, ao multiplicarmos a expressão (3) por sen(kx), obtém-se: ∫ − = pi pi pi dxkxsenxfbk )()( 1 Ex.1: Dada uma função periódica de período 2pi definida como segue: f(x) = x2 onde -pi < x < pi, calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica: ao = pi 1 ∫pi pi- x2dx = pi 1 . pi pi− 3 3x = pi 1 + 33 33 pipi = pi pi 3 2 3 = 3 2 2pi an = pi 1 ∫pi pi- x2cos(nx)dx = pi 1 ( ) pi pi− − ∫ xdxnnxnnxx 2.)sen(sen.2 = pi 1 ( ) pi pi− −+ )sen(2)cos(2sen. 32 2 nx nn nxx n nxx an = pi 1 2 )cos(4 n npipi = = =− ... 6, 4, 2, n n 4 5 3, 1, n 4 2 2n bn = pi 1 ∫pi pi- x2 sen(nx) dx = pi 1 pi pi− ++− )cos(2)(2)cos(. 32 2 nx nn nxxsen n nxx = 0 f(x) = x2 = )...4cos( 4 4)3cos( 3 4)2cos( 2 4)1cos( 1 4 3 2222 2 xxxx +−+−pi Ex.2: Dada uma função periódica de período 2pi definida como segue, calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica: f(x) = ≤< ≤≤− pi pi xx xx 0,2 0, ao = pi 1 ∫pi pi- f(x)dx = pi 1 . + ∫∫ − pi pi 0 0 2xdxxdx = pi 1 + − pi pi 0 2 02 2 xx = pi 1 +− 2 2 2 pi pi = pi pi 2 2 = 2 pi an = pi 1 + ∫∫ − pi pi 0 0 )cos(2)cos( dxnxxdxnxx = pi 1 0 22 1)cos(1 pi pi − − n n n = - 2 2 npi , n = 1, 3, 5, …. bn = pi 1 + ∫∫ − pi pi 0 0 )sen(2)sen( dxnxxdxnxx = pi 1 n npipi cos3− = n3 n3 − ...6,4,2 ...5,3,1 = = n n f(x) = ....)2( 2 3)3cos( 9 2)(3)cos(2 +−−+− xsenxxsenx pipi pi 5.1.3 Propriedade Indiquemos a propriedade seguinte de uma função f(x) de período 2pi: ∫∫ + − = piλ λ pi pi ϕϕ 2 )()( dxxdxx λ - número qualquer A propriedade mencionada significa: A integral de uma função periódica ϕ(x) sobre um segmento arbitrário de comprimento igual ao período tem sempre o mesmo valor. Como resultado da propriedade acima, temos a simplificação de alguns cálculos: a0 = pi 1 ∫ + piλλ 2 )( dxxf bn = pi1 ∫ + piλλ 2 )sen()( dxnxxf an = pi1 ∫ + piλλ 2 )cos()( dxnxxf Ex.: f(x) = x de período 2pi sobre o segmento 0 ≤ x ≤ 2pi ao= pi 1 2 22 0 xxdx =∫ pi pi pi 2 0 1 = 2pi an= pi 1 =∫ dxnxx )cos(20 pi pi1 pi2 0 2 )cos()sen(. − n nx n nxx = 0 bn = pi 1 =∫ dxnxx )sen(20 pi - n2 f(x) = pi - sen(x) - 2 2 sen(2x) - 3 2 sen(3x) - 4 2 sen(4x) - … 5.1.4 Séries de Fourier de funções pares e ímpares Se tivermos o desenvolvimento de Fourier de uma função f(x) ímpar, o produto f(x).cos(nx) é uma função ímpar e f(x).sen(nx) uma função par, logo: a0 = pi 1 ∫ − pi pi dxxf )( = 0 an = pi 1 ∫ − pi pi )cos()( nxxf = 0 bn = pi 1 ∫ − = pi pi pi 2)()( nxsenxf dxnxsenxf∫ pi0 )()( Em conseqüência do exposto acima, a série de Fourier de uma função ímpar apenas contém senos e a série de Fourier de uma função par apenas contém co-senos. 5.1.5 Séries de Fourier de funções de período 2 Como uma grande parte dos problemas práticos que envolvem as séries de Fourier trata de períodos que envolvem números inteiros, procuramos nesta seção abordar períodos quaisquer 2 . Assim, os coeficientes de Fourier podem ser generalizados como: ao = 1 ∫ − dxxf )( an = 1 ∫ − dxxnxf picos)( bn = 1 ∫ − dxxnsenxf pi)( ∑∞ = ++= 1 0 ))()cos(( 2 )( n nn xnsenbxna a xf pipi Como exemplo, apresentamos o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica f(x) = |x|, de período 2 = 6, definidano intervalo [ 3− ,3 ]. |x| = 2 - 2 4 pi . ++ 23 3cos 1 cos xx pipi = 2 3 - 2 3.4 pi . ++ 23 3 3cos 1 3 cos xx pipi 5.1.6 Séries de Fourier somente em senos e co-senos Nesta seção apresentamos os coeficientes de Fourier para uma função f(x) qualquer, podendo desenvolvê-la à vontade, numa série de senos ou de co-senos, válida no intervalo de (0,pi). Para o desenvolvimento em co-senos, os coeficientes an se determinam pela fórmula: an = dxnxxf∫pipi 0 )cos()( 2 Para o desenvolvimento em senos, os coeficientes bn são dados por: bn = dxnxsenxf∫pipi 0 )()( 2 Devido a esta abrangência para o desenvolvimento de funções em séries de Fourier, podemos concluir que uma função f(x), que não seja nem par nem ímpar, pode ser desenvolvida no intervalo (0,pi) numa série de senos ou de co-senos, ou ainda numa série de senos e co-senos. É importante notar, entretanto, que a série de Fourier em senos e co-senos correspondentes à f(x) no intervalo de (-pi,pi) é única, o mesmo não acontece quando o intervalo se reduz a (0,pi), neste caso há uma infinidade de séries em senos e co-senos juntos, que satisfazem a função. Apresentamos, a seguir, dois exemplos de desenvolvimento de Fourier, apenas em séries de senos ou de co-senos. Ex. 1: f(x) = x [0, pi] em séries de senos. x = 2 +− 2 2 1 xsensenx Ex. 2: f(x) = x [0, pi] em séries de co-senos. x = pi pi 4 2 − +− 23 3cos 1 cos xx 5.1.7 Aplicações das séries de Fourier Torna-se relevante notarmos que podemos fazer aproximações de funções por séries, até mesmo porque muitas vezes nem chegamos a conhecer a função em sua forma analítica quando trabalhamos com experimentos, sejam eles em campo, laboratório, trabalho ou no dia-a-dia. Cabe, no entanto, ressaltarmos que quando desejamos uma aproximação muito boa para uma função nas vizinhanças de um ponto, a série de Taylor, vista no capítulo 3, seria uma boa escolha, porém, a função em questão deve obedecer algumas restrições, como ser suave, no sentido que podemos derivá-la até uma determinada ordem. Além disso, esta aproximação é local, e não global como no caso das séries de Fourier. Para funções periódicas a série de Fourier é muito mais adequada para fazermos tais aproximações. A seguir, utilizamos uma ferramenta computacional para representar uma função, que chamamos onda quadrada: f( )x .4 pi sin( )x sin( ) .3 x 3 sin( ).5 x 5 sin( ).7 x 7 0 5 10 2 1 0 1 2 f( )x x Notar que, com quatro parcelas, já ocorre uma aproximação da função desejada. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita para a representação da função: f(x) = pi pi <≤ <<−− x x 0,1 0,1 Em cursos de engenharia ou tecnologia na área elétrica, por exemplo, consideramos a onda um sinal elétrico, sendo que a primeira parcela sendo nula, indica que o sinal estaria acima e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal. A segunda parcela [(4/pi). sen(x)] tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do período) do sinal. Por esta igualdade, é chamada oscilação fundamental do sinal. As parcelas seguintes têm freqüências múltiplas [(4/3pi).sen(3x), (4/5pi).sen(5x), ...] da fundamental e são chamadas oscilações harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal. Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental. Os coeficientes an e bn são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico. Notar que só existem harmônicos ímpares neste exemplo e, se consideramos o componente contínuo no sinal quadrado, ele deixa de ser uma função ímpar e, portanto, nem todos os ak precisam ser nulos. Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de freqüência em uma faixa infinita. Assim, os circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do sinal original. Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. Num processo usado para variar iluminação em residências, por exemplo, onde o controle de algumas centenas de watts, isso não representa problema. Já num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts, harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em outros aparelhos eletrônicos. Neste caso, ligam-se ou desligam-se seqüências de ciclos inteiros e o que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos. Exercícios Resolvidos 5.1 Apresentamos, a seguir, o desenvolvimento de algumas funções em séries de Fourier e, em seguida, o gráfico destas séries com algumas parcelas: 1. f(x) = 3x + 1 0 < x < 6 Em série de senos: bn = ( ) +∫ 61361.2 6 0 xnsenx pi = ( ) ( ) ( ) 6 0 6 cos 186 cos 136 6 1.2 ++− ∫ dxn xn n xn x pi pi pi pi = ( ) ( ) ( ) 6 0 2 6 1086 cos 136 6 1.2 ++− xnsen nn xn x pi pipi pi = ( ) ( ) ( ) ( ) −++− 0.1086108cos114 6 1.2 22 pipi pi pipi pi nn nsen nn n = pin 20.2 n = 1, 3, ... = pin 18.2 n = 2, 4, ... f(x) = 3x + 1 = − + − 6 3 3 40 6 2 2 36 6 40 xsenxsenxsen pi pi pi pi pi pi 0 7.5 15 22.5 30 20 10 0 10 20 f( )x x 2. f(x) = x p/ 0 < x ≤ 1 0 < x < 2 2 – x p/ 1 < x < 2 Em série de senos: bn= 2 . 2 1 −+ ∫∫ dxxnsenxdxxnxsen 2)2(2 2 1 1 0 pipi bn = ( ) 2 1 1 0 2 4cos24 2 cos22 2 2cos2 2 cos2 − − + + − ∫∫ dxnxnxndxxnxnn x pipipipipipipipi bn = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 2 2 4 2 cos22 2 4 2 cos2 − − + + − xnsen n xnx n xnsen n xn n x pi pi pi pi pi pi pi pi bn = ( ) ( ) − − + + − 2 4) 2 cos(2 2 4 2 cos2 22 pi pi pi pi pi pi pi pi nsen n n n nsen n n n x bn = ( ) 2 8 pin sen 2 pin = ( ) 2 8 pin n = 1, 5, 9, … - ( ) 2 8 pin n = 3, 7, 11, … f(x) = 2 8 pi sen 2 1 pix - ( ) 23 8 pi sen 2 3 pix + ( ) 25 8 pi sen 2 5 pix - ( ) 27 8 pi sen 2 7 pix + …….. 0 2.5 5 7.5 10 2 1 0 1 2 f( )x x 3. f(x) = x -3 < x < 3 ao = 3 1 ∫∫ −− = 3 3 23 3 2 xdxx = 0 an = 0 (a função é ímpar, apresenta apenas o coeficiente bn) bn = 3 1 3 3 3 3 3 cos3 3 cos.3. 3 1 3 − − + −= ∫∫ dxxnnxnnxdxxnsenx pipipipipi bn = 3 1 ( ) 3 3 2 3 9 3 cos.3. − + − xnsen n xn n x pi pi pi pi bn = 3 1 ( ) ( ) ( ) − − pi pi pi pi n n n n cos9cos.9. 2 bn = 3 1 ( ) − pi pi n n cos.18. bn = pin 6 − n = 2, 4 pin 6 n = 1, 3 f(x) = + pi 6 sen 3 1 pix - pi2 6 sen 3 2 pix + pi3 6 sen 3 3 pix - pi4 6 sen 3 4 pix ... 0 5 10 15 20 4 2 0 2 4 f( )x x Exercícios 5.1 1. Desenvolver em séries de Fourier válida de -pi a pi as funções abaixo: a) f(x) = 2x b) g(x) = x – 4 c) h(x) = 3x2 2. Desenvolver em séries de senos para 0 < x < pi as funções: a) f(x) = -3x b) g(x) = 3 – x 3. Desenvolver em séries de Fourier f(x), sendo: f(x) = 3 no intervalo de (-pi,0) 4 no intervalo de [0, pi) 4. Desenvolver em séries de Fourier: a) f(x) = x, para -3< x < 3 b) f(x) = 2, para -20< x < 0 1, para 0 ≤ x < 20 5. Achar a série de Fourier a cada função dada: a) f(x) = x + 1 , -1 ≤ x < 0 1 – x , 0 ≤ x ≤ 1 f(x+2) = f(x) b) g(x) = x2 – 1 de [-pi,pi] 6. Desenvolver: a) f(x) = x2 , -pi< x < pi b) f(x) = x2 , -4< x < 4 c) f(x) = x2 , em série de senos de 0 a pi. 7. Desenvolver em séries de senos: f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1 1 , 1 ≤ x ≤ 2 8. Desenvolver em séries de co-senos: g(x) = 1 – x , com 0 ≤ x ≤ 3 9. Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que: ....... 7 1 5 1 3 11 4 +−+−= pi 10. Desenvolver em séries de Fourier de [-pi,pi]: f(x) = 2x – 7 11. Através da série de Fourier para a onda triangular, mostrar que: ....... 5 1 3 11 8 22 2 +++= pi 12. Desenvolver em séries de Fourier: f(x) = 0 , -4 < x < 0 ex , 0 < x < 4.
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