CD - Aula 5

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Setembro de 2018
Engenharia Elétrica
Comunicação Digital
Aula 05
Douglas Brustolin de Lima
Setembro de 2018
 Transformada Z
 Introdução
 A teoria de controle clássico utiliza o tempo contínuo e a transformada de
Laplace para representar um sistema ou um sinal em frequência, pois até
meados da década de 80, a maioria dos controladores era implementada
utilizando eletrônica analógica.
 Contudo, hoje a maioria dos sistemas de controle utiliza computadores digitais
(usualmente microprocessadores ou microcontroladores) com a necessidade
de hardware de entrada e saída de sinais analógicos e digitais.
 Portanto é necessário avaliar como a teoria de controle pode ser ampliada
para ser utilizada diretamente em computadores digitais.
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Análise de Sistemas Discretos
 Como se viu nas aulas anteriores os sistemas de tempo discreto são sistemas 
dinâmicos cujas variáveis mudam de estado, apenas em instantes discretos de 
tempo chamados kT , onde T é o período de tempo entre os instantes de 
amostragem ( k= 0, 1, 2, 3, ...).
 Estes sistemas, por exemplo, atualmente estão disponíveis em
processadores embarcados. Neste caso as variáveis contínuas do sistema
necessitam ser amostradas, para que o controlador possa realizar as
operações de controle necessárias. Posteriormente é realizada a operação
de reconstrução do sinal controlado.
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 Os sistemas que usam elementos digitais no controle de grandezas contínuas 
requerem a conversão dos respectivos sinais em valores, que representam a 
amplitude do sinal num dado instante no tempo.
 Estes elementos são chamados genericamente de sample & hold, em
sistemas controlados por computador esta operação é realizada por
conversores analógico- digital (A/D).
 Um sistema sample & hold convencional, apresentado na Figura 1,
consiste de um interruptor, que se fecha para admitir um sinal de entrada
x(t) a cada T segundos, convertendo-o numa série de impulsos .*( )x t
Análise de Sistemas Discretos
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Figura 1 – Conjunto sample & hold.
Análise de Sistemas Discretos
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 A conversão de um sinal analógico na sua correspondente versão amostrada é
uma aproximação, que implica a substituição da variação contínua das
variáveis, por um conjunto finito de valores. Este processo é chamado de
quantização e, em geral, conduz a um pior desempenho do sistema de
controle.
 A operação inversa, ou seja, a reconstrução do sinal é realizada por
elementos denominados de retentores (hold). Em sistemas controlados por
computador é realizada por conversores digital-analógico (D/A).
 Os retentores mais simples convertem o sinal amostrado num sinal com
amplitude constante, entre dois instantes consecutivos de amostragem ,
este processo é conhecido como zero-order hold (retentor de ordem zero). A
Figura 2 ilustra uma operação sample & hold aplicada a um sinal contínuo
x(t) .
*( )x t
( )Tx t
Análise de Sistemas Discretos
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Figura 2 – Operação sample & hold em um sinal contínuo.
Análise de Sistemas Discretos
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 A Fig. 3 é uma representação esquemática dos sinais de interface entre os 
algoritmos de controle digital e o processo contínuo.
Fig. 3: Representação esquemática dos sinais de interface entre os elementos do 
controle digital.
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 Conversão Analógica Digital
 Os sinais do processo são contínuos , entretanto o computador só pode
trabalhar utilizando a informação do processo de forma digital. Por esta
razão, os sinais do processo devem ser convertidos para um sinal digital
utilizando um conversor analógico-digital (A/D).
 Assim como os sinais gerados pelo controle digital devem ser convertidos 
utilizando um conversor digital-analógico (D/A).
 A conversão do sinal y(t) é uma operação que consiste de dois estágios:
 Amostragem;
 Quantização.
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1. Amostragem: A leitura de um sinal contínuo num determinado período de
amostragem (h) converte num sinal discreto. O período de amostragem entre
duas amostragens sucessivas é usualmente constante e determina a frequência
de amostragem. O sinal amostrado pode ser representado por (1).
 Conversao Analógica Digital
(1)
 Onde y(t<0) = 0 e representa um impulso de área unitária que
ocorre no tempo t = kh.
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 A Figura 4 mostra uma implementação em Simulink, onde é gerado um sinal 
contínuo e outro sinal amostrado. O efeito da amostragem pode ser 
verificado na Figura 5.
Fig.4: Sinal contínuo e sinal 
amostrado.
Fig. 5: Efeito da amostragem do sinal 
contínuo.
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Sistemas Discretos
 Um sinal variante no tempo pode ser amostrado com um intervalo de tempo
“T”, formando uma sequência de valores discretos. Aplicando esta sequência
discreta num sistema dinâmico contínuo, teremos uma resposta que será
definida apenas nos instantes de amostragem, como ilustrado abaixo.
Figura 8. Sistema de amostragem de um sinal e(t) 
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Sistemas Discretos
 O trem de impulsos é composto de vários impulsos definido por:( )t ( )t
 A área do impulso é igual a 1, o que expressa a magnitude do impulso.( )t
 O sinal amostrado e*(t) pode ser descrito pela seguinte relação:
 Portanto, o sinal discreto e*(t) será definido apenas nos instantes de 
amostragens
, 0,1,2,3...t kT k 
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Exemplo de um Controle Discreto: Guiagem de um Sistema Interceptor
 O sistema de guiagem direciona o vôo de um míssil no espaço para
interceptar o veículo aeroespacial inimigo. A defesa usa mísseis com o
objetivo de interceptar e destruir o bombardeiro antes que ele lance as
bombas. Uma ilustração é mostrada na figura abaixo.
Figura 9. Sistema de guiagem de um míssil
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 O radar detecta a posição do alvo e o rastreia, fornecendo informações
discretas necessárias para a determinação das variações angulares e de
deslocamento do alvo.
 Estas informações (dados) são enviadas interruptamente ao computador que
estima (calcula) a trajetória do alvo. O radar também rastreia o míssil
fornecendo informações discretas ao computador de calcula sua trajetória.
 O computador compara as duas trajetórias e determina a correção necessária
na trajetória do míssil para produzir uma rota de colisão. As informações
discretas sobre a correção da trajetória são enviadas ao míssil pelo rádio de
comando.
 O sistema de controle do míssil (controlador digital) converte essas informações
em deslocamentos mecânicos das suas superfícies de controle, modificando
sua trajetória de vôo, fazendo-se entrar na rota de colisão.
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O diagrama de blocos deste sistema de controle está mostrado na figura abaixo 
(parte A).
Figura 10. Diagrama em bloco de um sistema de guiagem de um míssil
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 O projeto destes sistemas requer conhecimentos nas áreas: comunicação,
processamento digital de sinais, engenharia de computação e teoria de
controle digital.
Figura 10. Sistema Radar + Computador Digital + Telemetria
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Transformada – Z
 A transformada de Laplace é uma transformada muito útil para a engenharia
de controle. Para analisar sistemas de controle discretos, vamos aplicar a
transformada de Laplace em um sinal discreto e veremos que o resultado será
a transformada Z. Considere o sinal discreto (amostrado) e*(t) mostrado na
figura 8, aplicando-se a transformada de Laplace na equação 1.1, teremos:
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A equação (2.7) mostra a transformada de Laplace do sinal amostrado e*(t) . Por
motivo de simplicidade, define-se a variável Z da seguinte maneira:
Logo, a equação(2.7) torna-se:
Desta forma, chega-se ao domínio da variável Z, e a equação (2.9) é denominada 
como transformada Z de e(kT) , ou seja:
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O aluno poderá chegar ao mesmo resultado, utilizando qualquer caminho da figura
abaixo, porém o caminho da transformada Z é o mais indicado.
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Observação: Sendo “s” uma variável complexa, , a variável z também 
é complexa:
A equação (2.10) é uma progressão geométrica (P.G.) logo, para determinar a
transformada Z de sinais amostrados, é importante relembrar que a soma de uma
P.G. Infinita com o primeiro termo a1 e razão q, q < 1, é dada pela Eq. (2.11):
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Exemplo 1:
Suponha que um sinal exponencial tenha sido amostrado com um
período de amostragem T, conforme mostrado abaixo:
Sendo a > 0. A transformada Z deste sinal amostrado será dada por:
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Ou ainda,
Expandindo o somatório, teremos:
Verifica-se que é uma P.G. com razão:
E o termo inicial:
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Logo, supondo q <1, temos:
Ainda:
Desta forma, a transformada Z do sinal exponencial amostrado é dada pela 
equação (2.18).
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Considere o sinal amostrado y(kT) dado abaixo:
Exemplo 2:
A transformada Z deste sinal é dada por:
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Logo,
Substituindo, teremos:
Logo,
Ou ainda,
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 Sendo a transformada Z uma função de variável complexa, é conveniente
representa-la no plano Z complexo. Neste, plano, a região |Z| = 1 corresponde
ao círculo de raio unitário.
Transformada Z
 Os valores de Z para os quais a transformada Z existe (ou a série converge)
definem uma região chamada Região de Convergência (ROC).
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 Assim, é possível que a transformada Z convirja mesmo que a transformada
de Fourier não convergir. Para a transformada de Fourier convergir, a ROC da
transformada Z deve conter o círculo unitário. Uma transformada Z só está
completamente definida se sua ROC estiver determinada.
Exercício 1:
Determine a transformada Z da sequência x[n] da Tabela 1
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Solução:
Exercício 2:
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Solução:
Aplicando a definição da transformada:
Como T=1s, tem-se:
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Transformada Z Inversa
 O resultado final de um projeto de controlador digital (discreto) é expresso em 
Z, para verificar o resultado do projeto, é necessário determinar a sua resposta 
no tempo. 
 A transformada Z inversa permite obter x[n] de X(z). A transformada Z inversa 
é definida matematicamente pela Equação 2.24.
11[ ] ( )
2
nx n X z z dz
j
 
(2.24)
 A Equação 2.24 mapeia uma função no domínio da variável contínua e 
complexa z, para o domínio da variável discreta n . 
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 O modo mais simples de obter a transformada Z inversa é a partir da
combinação das propriedades da transformada z com pares transformados
conhecidos. Se não for possível encontrar uma equivalência a partir deste
procedimento, então é necessário utilizar um método analítico como, por
exemplo:
 Método dos resíduos;
 Expansão em frações parciais;
 Divisão polinomial;
 Expansão em séries.
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Exercício 3:
Obtenha a transformada inversa Z da função dada . Utilizando o MATLAB.
2
( )
3 2
z
X z
z z

 
Solucao:
a) Coloque a função na forma: 
2
( ) 1
3 2
X z
z z z

 
b) Na janela Command Window do MATLAB, introduza dois vetores referentes 
aos coeficientes do numerador e denominador de :
( )X z
z
>>B=[1];
>>A= [1 -3 2];
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c) Utilize a função residue para obter os resíduos (r) , polos (p) e termos diretos 
(k) da expansão em frações parciais, como mostrado na Figura.
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d) Sabendo-se que resíduos, polos e termos diretos de uma expansão parcial da 
razão entre dois polinômios representada pela função é dada por:
1 2
1 2
( )
s
r rX z
k
z z p z p
  
 
e) Com os dados obtidos no MATLAB de , 
obtém-se a expansão:
1 2 1 2r =1, r =-1; p =2, p =1 e k = 0
( ) 1 1
( )
1 2 1 2
X z z z
X z
z z z z z

     
   
f) Aplicando a transformada Z inversa tabelada, obtém-se:
 1 1 1( )
1 2
z z
Z X z Z Z
z z
          
    
( ) -1 2 , 0, 1, 2,...nx nT n  
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Exercício 4:
Obter a representação no domínio do tempo discreto para a função , utilizando o 
MATLAB.
1 2 3
18
( )
18 3 4
X z
z z z  

  
a) Como a função é do tipo ;
b) Na janela Command Window do MATLAB, introduza dois vetores referentes 
aos coeficientes do numerador e denominador de :
>>num=18;
>>den=[18 3 -4 -1];
c) Utilize a função residuez para obter os resíduos (r), polos (p) e termos diretos 
(k) da expansão em frações parciais usando o método .
1( )X z
( )X z
1( )X z
Solucao:
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d) Sabendo-se que os resíduos, polos e termos diretos de uma expansão parcial 
da razão entre dois polinômios representada pela função é dada por :
1( )X z
1) 1 ( )1
1 1
( ... (1) (2) ... ( 1)
1 (1) 1 ( )
m nnrrX z k k z k m n z
p z p n z
   
 
       
 
e) Com os dados obtidos
, no MATLAB, obtém-se a expansão de 
1 2 3 1 2 3r =0.36, r =0.24, r =0.40; p =0.50, p =-0.33, p = -0.33 e k=0
: 
1( )X z
1
1 1 1
0,36 0,24 0,40
( )
1 0,5 1 0,33 1 0,33
X z
z z z

  
  
  
f) Aplicando a transformada Z inversa tabelada, obtém-se:
[ ] 0,36(0,5) [ ] 0,24( 0,33) [ ] 0,40( 0,33) [ ]n n nx n u n u n u n    
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Exercício 5:
Dado: (2 1)
( )
( 1)( 0,5)
z z
X z
z z


 
. Determinar a transformada Z inversa.
Solução:
Colocando na forma 
2
( ) (2 1) 2 1
( 1)( 0,5) 0,5 0,5
X z z z
z z z z z
 
 
   
Utilizando a função residue do MATLAB para obter os resíduos (r), polos (p) e 
termos diretos (k) da expansão em frações parciais.
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Reescrevendo com os dados obtidos no MATLAB:( )X z
z
( ) 0,66 1,33
1 0,5
X z
z z z
 
 
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Logo:
0,66 1,33
( )
1 0,5
z z
X z
z z
 
 
Aplicando a transformada Z inversa da Tabela, tem-se: 
 1 1 1
0,66 1,33
( )
1 0,5
z z
Z X z Z Z
z z
     
   
   
 
 
[ ] [0,66 0,66 ]. [ ]nx n u n 
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Equações as Diferenças
 A equação as diferenças é um conjunto de valores que representa um sistema
discreto no domínio do tempo contínuo.
`
 Aplicando-se uma convolução entre a equação as diferenças e um sinal de
entrada no domínio do tempo contínuo, resulta em um sinal de saída, também
no domínio do tempo contínuo.
 Isso significa, que a partir de um sistema discreto descrito por um vetor de
números, representando um sistema no domínio discreto (Z) e um outro vetor,
representando um sinal amostrado no domínio do tempo (t) é possível calcular a
saída do sistema.
 Isto é realizado, por meio de um processo que permite calcular a equação as
diferenças, através da função de transferência do sistema no plano Z.
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Solução de Equações as Diferenças Usando Transformada Z
 A Figura a seguir ilustra o diagrama de blocos de um sistema discreto, cuja 
dinâmica pode ser descrita por uma equação as diferenças, onde x[n] é a 
entrada e y [n] é a saída. Normalmente, a entrada é conhecida e as condições 
da saída , isto é , , etc.também são conhecidas.
[ 1], [ 2], [ 3]y y y  
 O número de condições iniciais para resolver a equação às diferenças é a
ordem da própria equação as diferenças, que é a ordem do sistema. Assim,
se for de 1ª ordem precisa-se de y[-1] ; se for de 2ª ordem precisa de y[-1] e
y[-2].
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 Em geral um sistema dinâmico discreto com entrada x(k) e saída y(k) pode ser 
descrito por uma equação às diferenças linear. A Equação 2.25 apresenta a 
forma genérica de uma equação às diferenças.
1 0 1 0( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )n n ny k n a y k n a y k b x k n b x k n b x k             
(2.25)
 Aplicando-se a propriedade de translação (time shift) da transformada Z na 
Equação 2.25, esta se transforma numa equação algébrica em z. 
 A aplicação do método da transformada Z é útil para a solução das equações 
as diferenças, de forma semelhante ao uso da transformada de Laplace na 
solução das equações diferenciais ordinárias.
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Dada a equação às diferenças de 1ª ordem, com condições iniciais nulas, . 
Utilize a transformada Z e resolva a equação.
Exercício 5:
[ 1] 0y  
[ ] 3 [ 1] [ ]y n y n x n  
Solução:
Aplicando-se a transformada Z a cada termo da equação dada, e a propriedade da 
translação, tem-se:
1( ) 3 . ( ) ( )Y z z Y z X z 
Colocando-se em evidência, obtém-se:
( )Y z
1( ).(1 3 ) ( )Y z z X z 
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Logo:
1
( ) . ( ) . ( )
1 31 3
z
Y z X z X z
zz
 
 
A solução do problema consiste em achar a transformada inversa de , ou 
seja:
( )Y z
 1[ ] ( )y n Z Y z
Se é um impulso unitário discreto, por exemplo, tem-se . 
Logo a transformada inversa Z é dada por:
[ ] [ ]
0
x n u n ( ) 1X z 
  1
3
1[ ] ( )
z
Z
z
y n Z Y z 
 
  
 

Ou seja:
[ ] ( 3) . [ ]ny n u n 
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Dada a equação às diferenças, com as seguintes condições iniciais y[0] = 0 e 
y[1] = 1. Utilize a transformada Z e resolva a equação.
Exercício 6:
( 2) 3 ( 1) 2 ( ) 0y k y k y k    
Solução:
Aplicando o método da transformada Z a equação dada, obtém-se:
2 2( ) (0) (1) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) 0z Y z z y zy zY z zy Y z     
Substituindo-se pelas condições iniciais y[0]=0 e y[1]=1 , tem-se:
2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 0z Y z z zY z Y z   
Logo:
( )
2 1 23 2
z z z
Y z
z zz z
  
  
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Calculando-se a transformada inversa , obtém-se:
[ ]y k
[ ] ( 1) ( 2)k ky k     0,1,2,...k 
, para 
Resolvendo-se para 
0, 1, 2, 3, 4,...k 
[0] 0; [1] 1; [2] 3; [3] 7; [4] 15y y y y y      
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Transformada Fourier
• Vantagem:
– Análise direta do espectro (componentes de 
freqüência) do sinal discreto;
• Desvantagens: 
– A manipulação algébrica não é prática;
– Existem muitos sinais discretos cuja 
transformada de Fourier não existe. 
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Transformada Z
)()( 1 XzX r 
j
n
n rezznxzX  


 qual no ,][)(
A transformada de Fourier é um caso 
específico da transformada Z.
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54
Transformada Z
• Critério de convergência da Transformada de Fourier :


n
nx ][
Critério de convergência da Transformada Z:




n
nrnx ][
A convergência depende, 
também, dos valores de r,
ou seja do |z|.
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55
Região de Convergência
• Qual o intervalo de valores de r que garante 
a convergência da Transformada Z?
• Ex.:
][][ nunx 
n
n
znuzX 


 ][)(
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IFBA/GPSC
56
Região de Convergência
1:
1
][
0
0




















rROC
r
er
znu
n
n
n
jwnn
n
n
Re
Im
Representação Polar
Circunferência 
Unitária
ROC
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IFBA/GPSC
57
Representação Útil
• zer= zeros de X(z), ou seja, as raízes do 
polinômio no numerador ( Num(z) ).
• p= pólos de X(z), ou seja, as raízes do 
polinômio no denominador ( Den(z) ).
))...()((
))...()((
)(
)(
)(
21
21
N
M
pzpzpz
zerzzerzzerz
zDen
zNum
zX



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IFBA/GPSC
58
Região de Convergência (ROC): 
Propriedades
• A região de convergência é um disco ou um 
anel centrado na origem;
• A região de convergência não contém pólos;
• Se a região de convergência contém a 
circunferência unitária (r=1) existe a 
transformada de Fourier.
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IFBA/GPSC
59
Seqüência de Tempo Positivo
• O sinal é nulo para n < 0.
Ex.:
n
. . .
x[n]
A região de convergência (ROC) é composta pela 
área externa ao maior pólo de valor absoluto finito.
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60
Exemplo
1
)(
][][



z
z
zX
nunx
1: rROC
Circunferência 
Unitária
. . .
n
x[n] Im
Re
x
1
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IFBA/GPSC
61
Seqüência de Tempo Negativo
• O sinal é nulo para n > 0.
Ex.:
x[n]
. . .
n
A região de convergência (ROC) é composta pela 
área interna ao menor pólo de valor absoluto 
finito.
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IFBA/GPSC
62
Exemplo:
• Pólos: z=2 e z=3
• Zeros: z=12/5
2:
)3/1)(2/1(
6
5
2
)(
][)32(][





rROC
zz
z
zX
nunx nn
Re
Im
2 3
x x
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IFBA/GPSC
63
Seqüência Bilateral
• x[n] não é de tempo positivo ou 
negativo. 
. . .
n
. . .
1 2:ROC p r p 
P1 maior pólo que contribui para n > 0
P2 menor pólo que contribui para n < 0
Setembro de 2018
IFBA/GPSC
64
Exemplo:
1 1
[ ] [ ] [ 1]
3 2
1
2
12
( )
1 1
3 2
: 1/ 3 1/ 2
n n
x n u n u n
z z
X z
z z
ROC r
   
       
   
 
 
 
  
   
  
  
Re
Im
1/12
-1/3
x xoo
1/2
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IFBA/GPSC
65
Seqüência de Duração Finita
• Têm duração limitada de n=N1 até 
n=N2.
n
N2N1
 A ROC contém todo plano z, exceto 
possivelmente em z=0 e/ou z=
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Exemplos
• Ex.:
x[n]=[n], ROC contém todos os valores 
de z, incluindo z=0 e z=.
• x[n]=[n-1], ROC contém todos os valores 
de z, excluindo z=0.
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Estabilidade
• O sistema h[n] é estável se 




n
nh ][
 Então: 
Um sistema é estável se a ROC contém a 
circunferência unitária.
Um sistema Causal é Estável se todos os pólos estão 
dentro círculo unitário
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