Lista de exercícios - Coordenadas Polares

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Cálculo III 
Coordenadas Polares 
Integrais Duplas em coordenadas polares 
Prof. Cassiano Moccio 
 
1) Esboce os pontos em coordenadas polares 
𝑎) (3,
𝜋
 4 
) 𝑏) (5,
2𝜋
 3 
) 𝑐) (1,
2
 2 
 ) 
 
𝑑) (4,
7𝜋
 6 
) 𝑒) (−6,−𝜋) 𝑓) (−1,
9𝜋
 4 
) 
 
2) Plote o ponto cujas coordenadas polares são dadas. Então encontre as coordenadas 
cartesianas do ponto. 
𝑎) (3,
𝜋
 2 
) 𝑏) (2√ 2 ,
3𝜋
4
) 𝑐) (−1,
𝜋
 3 
) 
 
3) As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. 
i) Encontre as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto 𝑟 > 0 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
ii) Encontre as coordenadas polares (𝑟, 𝜃) do ponto 𝑟 < 0 e 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
𝑎) (1, 1) 𝑏) (2√ 3 , −2) 
 
4) Esboce a região do plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem as condições dadas. 
𝑎) 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 𝑏) 0 ≤ 𝑟 ≤ 4 −
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
𝜋
 6 
 𝑐) 2 ≤ 𝑟 ≤ 3 
5𝜋
3
≤ 𝜃 ≤
7𝜋
3
 
𝑑) 4 ≤ 𝑟 ≤ 7 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
Exercícios Desafio 
5) Encontre a distância entre os pontos com coordenada polares 
𝑃𝐴 = (1,
𝜋
 6 
) e 𝑃𝐵 = (3,
3𝜋
4
) 𝑈𝑠𝑎𝑟 
{
 
 
 
 𝑠𝑒𝑛
𝜋
 6 
= 0,5 cos
𝜋
 6 
=
√ 3 
2
 
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
 4 
=
√ 2 
2
 cos
3𝜋
 4 
= −
√ 2 
2
 
 
𝐷𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 
Cálculo III 
Coordenadas Polares 
Integrais Duplas em coordenadas polares 
Prof. Cassiano Moccio 
 
6) Em cada parte, é dado um ponto em coordenadas retangulares. 
Encontre dois pares de coordenadas polares para o ponto, um par satisfazendo 
𝑃1 = 𝑟 ≥ 0 𝑒 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 𝑃2 = 𝑟 ≥ 0 𝑒 − 2𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 0 
𝑎) (−5,0) 𝑏) (2√ 3 , −2) 𝑐) (0,−2) 𝑑) (−8,−8) 𝑒) (−3, 3√ 3 ) 𝑓) (1, 1) 
 
7) Esboce as curvas em coordenadas polares 
 
𝑎) 𝜃 =
𝜋
 3 
 𝑏) 𝑟 = 3 𝑐) 𝑟 = 6. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑) 2𝑟 = cos 𝜃 
 
8) ∫ ∫𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
7
4
2𝜋
𝜋
 
 
9) ∬(3𝑥 + 4𝑦2) 𝑑𝐴 𝑅: 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 𝑒 𝑦 ≥ 0 
𝑅
 
 
10) Determine uma integral dupla 
escrita em coordenadas polares que 
descreva o volume da semiesfera de 
equação √4 − 𝑥2 − 𝑦2 limitada 
inferiormente pelo plano 𝑥𝑦 e 
depois determine o volume. 
Você aprendeu no colégio que o 
volume de uma esfera pode ser 
calculado pela formula 𝑉 = 
4𝜋𝑟3
3
 
Compare o valor encontrado com o valor determinado usando a formula descrita acima. 
 
11)∬𝑒−𝑥
2−𝑦2𝑑𝐴 
𝑅
 𝑅: 𝑥 = √4 − 𝑦2 𝑒 𝑦 ≥ 0 
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Coordenadas Polares 
Integrais Duplas em coordenadas polares 
Prof. Cassiano Moccio 
 
12) Calcule o volume do sólido 
limitado pela paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 
e acima do disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 
 
 
 
 
 
13)∫ ∫ 𝑒𝑥
2+𝑦2
√1−𝑥2
0
𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
 
 
14) ∫ ∫ cos 𝜃. 𝑟 
𝑠𝑒𝑛 𝜃
0
𝑑𝑟𝑑𝜃 
𝜋
 2 
0
 
 
15) ∬
1
1 + 𝑥2 + 𝑦2
𝑅
 𝑑𝐴 𝑅: 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑥, 𝑥2 + 𝑦2 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Integrais Duplas em coordenadas polares 
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R E S P O S T A S 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
2) 𝑎) 𝑃 = (0, 3) 
 
𝑏) 𝑃 = (−2, 2) 
 
𝑐) 𝑃 = (−
1
 2 
, −
√ 3 
2
) 
 
 
 
3) 𝑎) 𝑖 (√ 2 ,
𝜋
 4 
) 𝑖𝑖 (−√ 2 ,
5𝜋
 4 
) 𝑏) 𝑖 (4,
11𝜋
6
) 𝑖𝑖 (−4,
5𝜋
6
) 
 
 
4) 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
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Integrais Duplas em coordenadas polares 
Prof. Cassiano Moccio 
 
 
5) 𝐷𝐴𝐵 =
1
 2 
 √40 + 6√ 6 − 6√ 2 
 
 
6) 𝑎) (5, 𝜋), (5, −𝜋) 𝑏) (4,
11𝜋
 6 
) , (4, −
𝜋
 6 
) 𝑐) (2,
3𝜋
 2 
) , (2, −
𝜋
 2 
) 
 
 𝑑) (8√ 2 ,
5𝜋
 4 
) , (8√ 2 , −
3𝜋
 4 
) 𝑒) (6,
2𝜋
 3 
 ) , (6, −
4𝜋
 3 
) 𝑓) (√ 2 ,
𝜋
 4 
) , (√ 2 , −
7𝜋
 4 
) 
 
7) 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
8) 𝐼 =
33𝜋
2
 9) 𝐼 =
255𝜋
2
 10) 𝑉 =
16𝜋
3
 𝑢𝑣 11) 𝐼 =
𝜋
 2 
. (1 − 𝑒−4) 
 
12) 𝑉 =
81𝜋
2
 13) 𝐼 =
𝜋
 4 
. (𝑒 − 1) 14) 𝐼 =
1
 6 
 15)
𝜋. ln 5
8