Lista de exercicios_Limites_Derivadas_1SEM 2019

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Lista de exerc´ıcios de Ca´lculo I - Limites e Derivadas
Andreia Aparecida Costa Silva
25 de Maio de 2019
1. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→0
(x5 − 7x4 + 9)
(b) lim
x→2
(−3x2 + 2x+ 10)
(c) lim
x→−5
(
x2 − 1
x2 + 1
)
(d) lim
x→2
(
x2 − 4
x2 − 2
)
(e) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
(f) lim
x→−2
(x− x3 + 2 |x|)
(g) lim
x→2
(x2 + 3x− 2)2
(h) lim
x→2
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(i) lim
x→1
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(j) lim
x→9
9− t
3−√t
(k) lim
x→2
√
6− x− 2√
3− x− 1
(l) lim
x→3
√
x−√3
x− 3
(m) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5
(n) lim
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2
(o) lim
x→2
(
x2 + x− 6
x− 2
)
(p) lim
x→2
(
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4
)
(q) lim
x→2
(
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
)
1
2. Limites no infinito.
(a) lim
x→+∞
3x+ 2
(b) lim
x→+∞
3x+ 2
(c) lim
x→−∞
x3 + 3x− 1
2x2 + x+ 1
(d) lim
x→+∞
x−√x+ 3
(e) lim
x→∞
3x3 − 5x2 + 4x− 7
(f) lim
x→+∞
x5 + x4 + 1
2x5 + x+ 1
(g) lim
x→+∞
√
x2 + 1− x
(h) lim
x→+∞
senx
(i) lim
x→∞
7x7 − 5x4 + 3x2 − x+ 8
4x7 − 3x3 + 5x− 1
(j) lim
x→−∞
(
2 +
3
x
− 1
x2
)
(k) lim
x→−∞
x5 + 5x
4x5 − 50x3
(l) lim
x→∞
2x7 + 500x
x8 + 1
(m) lim
x→∞
2x7 + 500x
x6 − 900x3
(n) lim
x→∞
√
x2 + 2
2x+ 1
(o) lim
x→0+
3x2 + 2
x3
(p) lim
x→4+
√
x
x− 4
(q) lim
x→4−
√
x
x− 4
(r) lim
x→3+
√
x2 + x+ 2
x2 − 2x− 3
3. Limites infinitos.
(a) lim
x→1−
x− 1
x2 − 1
(b) lim
x→−1−
x− 1
x+ 1
(c) lim
x→−1−
2x2 − x− 1
x2 − 1
2
4. Limite Trigonome´trico Fundamental
(a) lim
x→0
sen(7x)
x
(b) lim
x→0
sen(4x)
5x
(c) lim
x→0
sen(10x)
9x
(d) lim
x→0
sen(2x)
x
(e) lim
x→0
sen(3x)
5x
(f) lim
x→0
tgx
x
(g) lim
x→0
1− cosx
x
(h) lim
x→0
1− cosx
x2
5. Limite Exponencial Fundamental
(a) lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x+2
(b) lim
x→∞
(
1 +
2
x
)x
6. O custo em real da fabricac¸a˜o de x brinquedos e´ dado pela func¸a˜o:
C(x) = 110 + 4x+ 0, 02x2
Encontre a taxa com a qual o custo esta´ variando quando x = 40.
7. Calcule a derivada das func¸o˜es dadas nos pontos indicados em cada item, usando a de-
finic¸a˜o.
(a) f(x) =
√
x ; x0 = 3
(b) g(x) =
1
x
;x0 = −1
8. A func¸a˜o s(t) = −5, 9t2 + 160, chamada func¸a˜o deslocamento, descreve a altura (em
metros) que um objeto cai, em t segundos, de uma altura inicial de 160 metros. Considere
a velocidade no tempo t = a dada por:
lim
t→a
s(a)− s(t)
a− t
(a) Encontre a velocidade do objeto em t = 6. Qual a velocidade de impacto doobjeto
no solo?
(b) Sabendo que a velocidade me´dia do objeto e´ ∆v =
∆t
, deˆ uma interpretac¸a˜o da
velocidade descrita por: lim
t→a
s(a)− s(t)
a− t
3
9. Considere a func¸a˜o
(a) Esboce o gra´fico de f, usando o Geogebra.
(b) Usando o gra´fico, determine o valor dos limites:
i. lim
x→−1
f(x)
ii. lim
x→0
f(x)
iii. lim
x→4
f(x)
10. Considere a func¸a˜o f(x) =
1
x2
e fac¸a o que se pede:
(a) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f, usando o Geogebra.
(b) Analise o valor de f(x) quando x se aproxima de zero pela direita. O que podemos
afirmar sobre o valor do limite lim
x→0+
f(x)?
(c) Analise agora o valor de f(x) quando x se aproxima de zero pela esquerda. O que
podemos afirmar sobre o valor do limite lim
x→0−
f(x)?
(d) O limite de lim
x→0
f(x)?
11. Nos exerc´ıcios abaixo, use o gra´fico para determinar lim
x→c
f(x) e discuta a continuidade da
func¸a˜o f(x).
4
12. Seja f(x) = x2 + 3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f nos pontos;
(a) (1, f(1))
(b) (−2, f(−2))
13. Nos exerc´ıcios abaixo, use o gra´fico para determinar lim
x→c
f(x) e discuta a continuidade da
func¸a˜o f(x).
(a) f(x) =
1
x2 − 9
(b) f(x) = x
√
x+ 4
(c) tg
(pix
2
)
5