Matemática-01

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Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
FUNCÃO AFIM / FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição função afim.: Uma função definida por f: R→R 
chama-se afim quando existem constantes a, b que 
pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b 
para todo x ∈ R. A lei que define função afim é: 
 
O gráfico de uma função afim é uma reta não 
perpendicular ao eixo Ox. 
 
Domínio: D = lR ....... 
Imagem: Im = lR ..... 
 
São casos particulares de função afim as funções 
lineares e constante. 
 
Obs.: coeficiente angular: 
m = tg α = yB – yA 
 xB – xA 
Problema 
 
Durante a discussão da reforma do sistema 
previdenciário, na década de 1990, aventou-se a 
hipótese de ser adotada a chamada “fórmula 95”. 
Segundo ela, os trabalhadores teriam direto à 
aposentadoria quando a soma do número de anos 
trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. 
Com que idade poderia aposentar-se uma pessoa que 
tivesse começado a trabalhar com 23 anos? 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
1. Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa cada 
um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor? 
Já vimos que podemos representar quantidades 
desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, temos: 
pacote menor = x 
pacote maior = x + 6 
Onde x representa o peso do pacote menor. 
Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22 
Efetuando as devidas equações: 
x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses 
x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes 
2x + 6 = 22 
2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros 
2x = 16 
2x/2 = 16/2 Efetuar uma divisão por 2, nos dois 
membros 
x = 8 Desse modo, o peso do pacote menor 
é de 8 kg e do pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg . 
 
2. Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. 
Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas 
custam R$ 64,00? 
Equacionando o problema: 
Preço da cadeira: x 
Preço da estante: 3x 
Equação correspondente: x + 3x = 64 
Resolução: 
x + 3x = 64 
4x = 64 _ x = 64/4 = 16 _ x = 16 
Verificação da raiz: 
16 + 3 . 16 = 64 
16 + 48 = 64 
64 = 64 
A estante custa R$ 48,00. 
 
3. Sabendo que o quádruplo de um número somado com 
9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é 
esse número. 
Um número: x 
Quádruplo do número: 4x 
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6 
Resolução: 
4x + 9 = x + 6 
4x - x = 6 - 9 passar + 9 para o segundo membro (fica-
9) e + x para o primeiro membro (fica - x). 
3x = - 3 como a operação inversa de :3 é 
x3,temos: x = - 3/3 
x = - 1 Portanto, o número procurado é -1. 
 
4. (PM SP 2012). Ao somar todos os gastos da semana, 
Maria somou, por engano, duas vezes o valor da conta 
do supermercado, o que resultou num gasto total de R$ 
832,00. Porém, se ela não tivesse somado nenhuma vez 
a conta do supermercado, o valor encontrado seria R$ 
586,00. O valor correto dos gastos de Maria durante essa 
semana foi 
(A) R$ 573,00. 
(B) R$ 684,00. 
(C) R$ 709,00. 
(D) R$ 765,00. 
(E) R$ 825,00. 
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Definição função quadrática: Função Polinomial do 2º 
Grau ou Função Quadrática é a função real definida por: 
f(x) = ax2 + bx + c, 
onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. 
 
gráfico 
 
 
 
EQUAÇÃO INCOMPLETA EM b 
 
Uma equação do 2° grau é dita incompleta em b 
quando o valor de b é igual a zero. 
Ex.: 
𝑥2 − 100 = 0 (a = 1 / b = 0 / c = -100) 
 
#DICA: quando uma equação do 2° é incompleta em b 
suas raízes têm uma particularidade. 
 
 
 
 
EQUAÇÃO INCOMPLETA EM c 
Uma equação do 2° grau é dita incompleta em c 
quando o valor de c é igual a zero. 
Ex.: 
2𝑥2 + 10𝑥 = 0 (a = 2 / b = 10 / c = 0) 
 
#DICA: quando a equação do 2° é incompleta em c 
suas raízes têm uma particularidade. 
 
 
 
 
 
SOBRE O ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Vértice da função 
O vértice V (−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
) indica o ponto de mínimo (se 
a > 0), ou máximo (se a< 0); 
Ex.: 
 
O ponto f(0) = (0,c) 
 
Problema 
(ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e 
alastra-se com determinada rapidez. Em geral, 
essa rapidez é diretamente proporcional ao 
número de pessoas desse público que conhece o 
boato e diretamente proporcional também ao 
número de pessoas que não o conhece. Em outras 
palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o 
público-alvo e x o número de pessoas que conhece 
o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma 
constante positiva característica do boato. 
Considerando o modelo acima descrito, se o 
público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima 
rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for 
conhecido por um número de pessoas igual a: 
 
a) 11000 
b) 22000 
c) 33000 
d) 38000 
e) 44000 
 
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#DICA: lembre da ideia do vértice 
 
Questão 01 
Em um concurso os participantes devem responder a um 
total de 20 questões. Para cada resposta correta o 
candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada 
perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros 
que um candidato obteve considerando que ele totalizou 
35 pontos. 
 
(A) 5 acertos e 15 erros 
(B) 15 acertos e 5 erros 
(C) 5 acertos e 5 erros 
(D) 1
5 acertos e 15 erros 
(E) 15 acertos e 10 erros 
 
Questão 02 
Em um teste de 25 questões, cada acerto 
vale 4 pontos e cada erro vale -1 ponto. 
Weverton respondeu todas as questões e 
marcou 65 pontos. A quantidade de 
questões que ele acertou foi de: 
 
(A) 15 
(B) 16 
(C) 17 
(D) 18 
(E) 19 
 
Questão 03 
(ENEM - 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do 
atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma 
passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto 
com impulsão em um só pé será feito de modo que o 
atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a 
impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual 
o salto é realizado. 
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). 
 
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de 
estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo 
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, 
do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 
m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e 
considerando os seus estudos, a distância alcançada no 
primeiro salto teria de estar entre 
 
(A) 4,0 m e 5,0 m. 
(B) 5,0 m e 6,0 m. 
(C) 6,0 m e 7,0 m. 
(D) 7,0 m e 8,0 m. 
(E) 8,0 m e 9,0 m. 
 
 
Questão 04 
Um concurso de vestibular foi aplicado a 32.000 
candidatos. Sabe-se que 15.000 candidatos acertaram 
mais de 10 questões. Sabe - se também que 20.000 
candidatos acertaram menos do que 20 questões. Pode 
se concluir que o número de candidato que acertaram 
mais de 10 questões e menos de 20 questões foi igual 
a: 
 
(A) 2500 
(B) 3.000 
(C) 3.500 
(D) 4.000 
(E) 4.500 
 
Questão 05 
(ENEM – 2013) A temperatura T de um forno (em graus 
centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo 
com a expressão 𝑇(𝑡) = − 
𝑡2
4
+ 400, com t em 
minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só 
é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39 ºC. 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se 
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 
 
(A) 19,0 
(B) 19,8 
(C) 20,0 
(D) 38,0 
(E) 39,0 
Questão 06 
(ENEM – 2013) A parte interior de uma taça foi gerada 
pela rotação 
de uma parábola em torno de um eixo z, conforme 
mostra a figura. 
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A função real que expressa a parábola,no plano 
cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) = 
3
2
𝑥2 − 6𝑥 +
𝐶, onde C é a medida da altura do líquido contido na 
taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, 
representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo 
x. 
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, 
em centímetros, é. 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
Questão 07 
(ENEM – 2013) Durante uma aula de Matemática, o 
professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema 
de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa 
a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e 
V, como se segue: 
I — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9; 
II — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x 
variando de −1 a 1; 
III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 
1), (−1, 2) e (−2, 2); 
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), 
(2, 2) e (1, 2); 
V — é o ponto (0, 0). 
A seguir, o professor representa corretamente os cinco 
conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, 
composta 
de quadrados com lados medindo uma unidade de 
comprimento, cada, obtendo uma figura. 
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
 
(E) 
 
 
 
 
 
 
Questão 08 
Um professor de matemática dá uma dica sobre sua 
próxima prova. Ele diz que uma das questões da prova 
será uma equação do segundo grau e que a solução 
resultará nas raízes -3 e +3. Tomando a dica do 
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professor, os alunos sabem que a questão, em 
específico, terá forma de 
(A) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
(B) 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
(C) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 
(D) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 
(E) 𝒃𝒙 = 𝟎 
 
 
Questão 09 
(ENEM – 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos 
de diferentes potências, que representam consumos e 
custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico 
é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e 
o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O 
consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é 
diretamente proporcional à potência do aparelho. 
Considerando as características apresentadas, qual dos 
gráficos a seguir representa a relação entre a energia 
consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente 
elétrica (i) que circula por ele? 
(A) (D) 
 
 
 
 
 
 
 
(B) (E) 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10 
(ENEM – 2011) O prefeito de uma cidade deseja 
construir uma rodovia para dar acesso a outro município. 
Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram 
duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km 
construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 
000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por 
km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 
000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão 
de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma 
delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar 
a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura 
escolher qualquer uma das propostas apresentadas? 
 
(A) 100n + 350 = 120n + 150 
(B) 100n + 150 = 120n + 350 
(C) 100(n + 350) = 120(n + 150) 
(D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) 
(E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RAZÃO 
Definição: O conceito de razão é a forma mais comum e 
prática de fazer a comparação relativa entre duas 
grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos 
comparando a primeira com a segunda, que passa a ser 
a base da comparação. Exemplo: se a área de um 
retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo 
mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos: 
𝟐𝟏𝟎
𝟑𝟎𝟎
= 
𝟕
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟕 
Estamos calculando o quanto a área menor representa 
da maior. Em outras palavras, a área menor representa 
0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação 
muito significativa e fácil de ser feita. 
 
RAZÃO: Dados dois números reais a e b, 
com b diferente de zero, chamamos de razão entre 
a e b ao quociente
𝑎
𝑏
= 𝑘.Observe que k é um 
número real. O numerador a chamamos de antecedente, 
e o denominador b chamamos de consequente dessa 
razão (lê-se “a está para b”). A razão k indica o valor do 
número a quando comparado ao número b, tomando-o 
como unidade. 
OBS.: b ≠ 0 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Segundo uma reportagem, a razão entre o número total 
de alunos matriculados homens em um curso e o número 
de mulheres desse curso, nessa ordem, é de nove para 
sete. Esta reportagem ainda indica que são 140 os 
alunos homens desse curso. Com base nestes dados, 
pode-se afirmar, corretamente, que o número total de 
alunas mulheres matriculadas neste curso é: 
(A) 180 
(B) 260 
(C) 490 
(D) 520 
(E) 630 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (ENEM – 2011) Um mecânico de uma equipe de 
corrida necessita que as seguintes medidas realizadas 
em um carro sejam obtidas em metros: 
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; 
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, 
respectivamente, 
(A) 0,23 e 0,16. 
(B) 2,3 e 1,6. 
(C) 23 e 16. 
(D) 230 e 160. 
(E) 2 300 e 1 600. 
 
#DICA :transformação de unidade 
 
 
PROPORÇÃO 
 
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões. 
𝒂𝟏
𝒃𝟏
= 
𝒂𝟐
𝒃𝟐
= 𝒌 
onde a1, a2, b1, b2 são números reais 
com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que 
chamamos de constante da proporção (Lê-se 
“a1 está para b1 assim como a2está para b2”).O 
antecedente da primeira razão (a1) e o consequente 
da segunda (b2) são chamados de extremos, 
enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o 
antecedente da segunda razão (a2) são chamados 
de meios. 
 
Propriedade fundamental da proporção 
O produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. O que denotamos por: 
 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 ↔ 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 
 
 
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Pela comutatividade do produto, podemos 
escrever a mesma proporção de várias maneiras 
distintas: 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 ↔
𝑑
𝑐
= 
𝑏
𝑎
 ↔
𝑑
𝑏
= 
𝑐
𝑎
 ↔
𝑎
𝑐
= 
𝑏
𝑑
, 
entre outros. 
Problema 
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de 
economia de água, equipamentos e utensílios como, por 
exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 
litros de água por descarga em vez dos 15 litros 
utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme 
dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT). 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da 
substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que 
gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma 
bacia sanitária ecológica? 
a) 24 litros 
b) 36 litros 
c) 40 litros 
d) 42 litros 
e) 50 litros 
 
#DICA: lembre da propriedade fundamental da proporção 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
(ENEM – 2004) As “margarinas” e os chamados “cremes 
vegetais” são produtos diferentes, comercializados em 
embalagens quase idênticas. O consumidor, para 
diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção 
os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito 
pequenas.As figuras que seguem representam rótulos 
desses dois produtos 
 
 
 
Uma função dos lipídios no preparo das massas 
alimentícias é torna-las mais macias. Uma pessoa 
que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal 
para preparar uma massa cuja receita pede 200 g 
de margarina, não obterá a consistência desejada, 
pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que 
é, em relação à recomendada, aproximadamente. 
(A) o triplo. 
(B) o dobro. 
(C) a metade. 
(D) um terço. 
(E) um quarto. 
Solução 
 
Primeiro calculamos a porcentagem de lipídios que seria 
necessário para deixar a massa alimentícia na 
consistência ideal, para isso ela deveria ser preparada 
com 200g de Margarina, que possui 65% de Lipídios em 
500g. 
𝟓𝟎𝟎𝒈
𝟐𝟎𝟎𝒈
= 
𝟔𝟓% 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒑í𝒅𝒊𝒐𝒔
𝒙
 
X * 500 = 200 * 65% de Lipídios 
 
X = 13000% de Lipídios 
 500 
X = 26 % de Lipídios 
Agora, calculamos a porcentagem de Lipídios em 200g 
de Creme vegetal, que possui 35% de lipídios em 500g. 
𝟓𝟎𝟎𝒈
𝟐𝟎𝟎𝒈
= 
𝟑𝟓% 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒑í𝒅𝒊𝒐𝒔
𝒙
 
X * 500 = 200 * 35% de Lipídios 
 
X = 7000% de Lipídios 
 500 
X = 14 % de Lipídios 
 
De acordo com os cálculos podemos concluir que: a 
massa alimentícia tem uma consistência ideal com 26 % 
de Lipídios sendo ela preparada com 200g de 
Margarina. Como foi usado o Creme Vegetal no lugar da 
Margarina e obtivemos 14 % de lipídios em 200g de 
creme, Logo a massa não tem a consistência deseja 
porque foi utilizada aproximadamente a metade de 
Lipídios necessários. 
 
Letra C 
ESPAÇO PARA ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 01 
(ENEM - 2011) Algumas pesquisas estão sendo 
desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores 
teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, 
para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 
mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 
7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que 
as necessidades diárias dos dois micronutrientes para 
uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de 
ferro e 10 mg de zinco. 
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas 
necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas 
arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva 
completamente todos os micronutrientes oriundos 
desses alimentos. 
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria 
comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente. 
(A) 58 g e 456 g 
(B) 200 g e 200 g 
(C) 350 g e 100 g 
(D) 375 g e 500 g 
(E)400 g e 89 g 
Questão 02 
Em um certo teatro, as poltronas são 
divididas em setores. A figura apresenta a 
vista do setor 3 desse teatro, no qual as 
cadeiras escuras estão reservadas e as 
claras não foram vendidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão que representa a quantidade de 
cadeiras reservadas do setor 3 em relação 
ao total de cadeiras desse mesmo setor é 
 
(A) 
𝟏𝟕
𝟕𝟎
 
(B) 
𝟏𝟕
𝟓𝟑
 
(C) 
𝟓𝟑
𝟕𝟎
 
(D) 
𝟓𝟑
𝟏𝟕
 
(E) 
𝟕𝟎
𝟏𝟕
 
 
 
 
Questão 03 
O esporte de alta competição da atualidade produziu 
uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do 
corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, 
morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O 
americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies 
da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 
horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com 
a turma o texto sobre a capacidade do maratonista 
americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 
centímetros, que representaria o percurso referido. 
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 
jun. 2011 (adaptado). 
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma 
pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo 
professor e a percorrida pelo atleta? 
 
(A)1 : 700 
(B) 1 : 7 000 
(C) 1 : 70 000 
(D) 1 : 700 000 
(E) 1 : 7 000 000 
 
Questão 04 
(ENEM – 2013) Um dos grandes problemas enfrentados 
nas rodovias brasileiras é o excesso de carga 
transportada pelos caminhões. Dimensionado para o 
tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das 
estradas se deteriora com o peso excessivo dos 
caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na 
capacidade de frenagem e no funcionamento da 
suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. 
Ciente dessa responsabilidade e com base na 
experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro 
sabe que seu caminhão pode carregar no máximo 1 500 
telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão 
carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, 
podem ser acrescentados à carga de modo a não 
ultrapassar a carga máxima do caminhão? 
 
(A) 300 tijolos 
(B) 360 tijolos 
(C) 400 tijolos 
(D) 480 tijolos 
(E) 600 tijolos 
 
Questão 05 
(ENEM – 2015)Um pesquisador, ao explorar uma 
floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de 
comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento 
da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da 
pegada, na fotografia, estão indicados no esquema. 
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A largura e o comprimento reais da pegada, em cm, são, 
respectivamente, iguais a: 
 
(A) 4,9 e 7,6 
(B) 8,6 e 9,8 
(C) 14,2 e 15,4 
(D) 26,4 e 40,8 
(E) 27,5 e 42,5 
 
 
 
 
Questão 06 
(ENEM – 2009)O mapa abaixo representa um bairro de 
determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido 
das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi 
planejado e que cada quadra representada na figura é 
um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. 
 
 
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o 
tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade 
constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, 
demoraria para chegar até o ponto Y? 
 
(A) 25 min 
(B) 15 min 
(C) 2,5 min 
(D) 1,5 min 
(E) 0,15 min 
 
 
 
Questão 07 
(ENEM – 2013) A figura apresenta dois mapas, em que 
o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas. 
 
Há interesse em estimar o número de vezes que foi 
ampliada a área correspondente a esse estado no mapa 
do Brasil. 
Esse número é 
(A) menor que 10. 
(B) maior que 10 e menor que 20. 
(C) maior que 20 e menor que 30. 
(D) maior que 30 e menor que 40. 
(E) maior que 40. 
 
Questão 08 
(ENEM – 2013) A Secretaria de Saúde de um município 
avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno 
de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser 
usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. 
Na fase de implantação do programa, o aluno que 
morava mais distante da escola realizou sempre o 
mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 
000, por um período de cinco dias. 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
 
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de 
implantação do programa? 
(A) 4 
(B) 8 
(C) 16 
(D) 20 
(E) 40 
 
 
Questão 09 
(ENEM – 2009)A música e a matemática se encontram 
na representação dos tempos das notas musicais, 
conforme a figura seguinte. 
 
Um compasso é uma unidade musical composta por 
determinada quantidade de notas musicais em que a 
soma das durações coincide com a fração indicada como 
fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de 
compasso for
1
2
,poderia ter um compasso ou com duas 
semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo 
possível a combinação de diferentes figuras. 
Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula 
é
𝟑
𝟒
,poderia ser preenchido com 
 
(A) 24 fusas. 
(B) 3 semínimas.(C) 8 semínimas. 
(D) 24 colcheias e 12 semínimas. 
(E) 16 semínimas e 8 semicolcheias. 
 
Questão 10 
(ENEM – 2009) Uma escola lançou uma campanha para 
seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos 
naõ perecíveis para doar a uma comunidade carente da 
regiaõ. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 
10 dias trabalharam 3 horas diaŕias, arrecadando 12 kg 
de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a 
trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes ate ́ o 
teŕmino da campanha. 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final 
do prazo estipulado seria de 
(A) 920 Kg 
(B) 800 Kg 
(C) 720 Kg 
(D) 600 Kg 
(E) 570 Kg 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
Os princípios que levaram à elaboração da Geometria 
Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta 
e do plano. O ponto era considerado um elemento que 
não tinha definição plausível, a reta era definida como 
uma sequência infinita de pontos e o plano definido 
através da disposição de retas. 
 
 
 
OBS.: condição de existência de uma triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS E PERÍMETRO 
 
 
OBS.: ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
 
 
 
 
Problema 
(ENEM – 2013)Para o reflorestamento de uma área, 
deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um 
terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a 
figura. Cada rolo de tela que será comprado para 
confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. 
 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada 
para cercar esse terreno é 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 11 
(E) 12 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
(ENEM – 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu 
salão de beleza para melhorar o conforto dos seus 
clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de 
dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 
g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de 
área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás 
propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que 
o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com 
área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar 
uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo 
possível com gás. A área do salão que deve ser 
climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes 
representados por três retângulos e um trapézio). 
 
Avaliando-se todas as informações, serão necessários 
 
(A) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade 
do tipo B. 
(B) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo 
B. 
(C) duas unidades do tipo A e duas unidades do 
tipo B. 
(D) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo 
B. 
(E) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades 
do tipo B. 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
Solução: 
Devem ser calculadas as áreas de cada ambiente. Aquele 
cuja área seja menor ou igual a 35 m2, deve ser utilizado 
o aparelho do modelo A, pois cobrirá a área e será mais 
econômico na utilização do gás. Para os ambientes que 
tiverem área entre 35 e 45 m2, o modelo B é o 
apropriado, apesar de gastar mais gás propano, é o que 
cobre a área. Os ambientes I, II e III têm a forma 
retangular, suas áreas são calculadas pela fórmula A=Bh 
e o IV tem a forma de um trapézio, A= (B+b)⋅h/2 . Assim 
AI=8x5= 40m2, AII= (14-8) x5 = 6x5= 30m2, AIII= 6x(9-
5) = 6x4= 24m2 e AIV= (6+4)⋅72 = 10x72=35m2. 
Assim, o modelo A será utilizado nos ambientes II e III 
e o modelo B nos ambientes I e IV, obedecendo à 
indicação do fabricante de que "o aquecedor deve ser 
instalado em um ambiente com área menor do que a da 
sua cobertura". 
(C) 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 
 
Questão 01 
(ENEM – 2011) Em uma certa cidade, os moradores de 
um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à 
prefeitura municipal a construção de uma praça. A 
prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá 
construí-la em formato retangular devido às 
características técnicas do terreno. Restrições de 
natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no 
máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura 
apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos 
terrenos disponíveis para a construção da praça: 
 
Terreno 1: 55 m por 45 m 
Terreno 2: 55 m por 55 m 
Terreno 3: 60 m por 30 m 
Terreno 4: 70 m por 20 m 
Terreno 5: 95 m por 85 m 
 
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às 
restrições impostas pela prefeitura, os moradores 
deverão escolher o terreno. 
 
 
(A) 1. 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4. 
(E) 5 
 
Questão 02 
(ENEM – 2010) A loja Telas & Molduras cobra 
20 reais por metro quadrado de tela, 15 
reais por metro linear de moldura, mais uma 
taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista 
plástica precisa encomendar telas e 
molduras a essa loja, suficientes para 8 
quadros retangulares 
(25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma 
segunda encomenda, mas agora para 8 
quadros retangulares (50 cm × 100 cm). 
 
O valor da segunda encomenda será 
 
(A) o dobro do valor da primeira 
encomenda, porque a altura e a largura dos 
quadros dobraram. 
1. (B) maior do que o valor da primeira encomenda, 
mas não o dobro. 
1. (C) a metade do valor da primeira encomenda, 
porque a altura e a largura dos quadros 
dobraram. 
1. (D) menor do que o valor da primeira encomenda, 
mas não a metade. 
1. (E) igual ao valor da primeira encomenda, porque 
o custo de entrega será o mesmo. 
 
 
Questão 03 
(ENEM – 2012) Para decorar a fachada de um edifício, 
um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos 
de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a 
seguir. 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios 
dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 
1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar 
um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a 
parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2 , e 
outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), 
que custa R$ 50,00 o m2 
 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral?. 
 
(A) R$ 22,00 
(B) R$ 35,00 
(C) R$ 40,00 
(D) R$ 42,50 
(E) R$ 45,00 
 
Questão 04 
(ENEM – 2010) O jornal de certa cidade publicou em 
uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno 
de classificados 
 
Para que a propaganda seja fidedigna à 
porcentagem da área que aparece na 
divulgação, a medida do lado do retângulo 
que representa os 4%, deve ser de 
aproximadamente 
 
 
 
 
(A) 1 mm 
(B) 10 mm 
(C) 17 mm 
(D) 160 mm 
(E) 167 mm 
 
Questão 05 
(ENEM – 2012) Um forro retangular de tecido traz em 
sua etiqueta a informação de que encolherá após a 
primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A 
figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o 
tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na 
largura. A expressão algébrica que representa a área do 
forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y). 
 
 
 
Nestas condições, a área perdida do forro, após a 
primeira lavagem, será expressa por 
 
 
(A) 2xy 
(B) 15 − 3x 
(C) 15 − 5y 
(D) −5y − 3x 
(E) 5y + 3x − xy 
 
Questão 06 
(ENEM - 2013) Nos últimos anos, a televisão tem 
passado por uma verdadeira revolução, em termos de 
qualidade de imagem, som e interatividade com o 
telespectador. Essa transformação se deve à conversão 
do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas 
cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. 
Buscando levar esses benefíciosa três cidades, uma 
emissora de televisão pretende construir uma nova torre 
de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já 
existentes nessas cidades. As localizações das antenas 
estão representadas no plano cartesiano: 
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A torre deve estar situada em um local equidistante das 
três antenas. 
 
O local adequado para a construção dessa torre 
corresponde ao ponto de coordenadas 
 
(A) (65;35) 
(B) (53;30) 
(C) (45;35) 
(D) (50;20) 
(E) (50;30) 
 
Questão 07 
(ENEM – 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado 
em uma região plana, com ruas paralelas e 
perpendiculares, delimitando quadras de mesmo 
tamanho. No plano de coordenadas cartesianas 
seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, 
e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. 
 
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento 
do percurso da linha do metrô subterrâneo que 
atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No 
ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital público. A 
comunidade solicitou ao comitê de planejamento que 
fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua 
distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse 
maior que 5 km. 
 
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê 
argumentou corretamente que isso seria 
automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a 
construção de uma estação no ponto 
 
(A) (-5,0) 
(B) (-3,1) 
(C) (-2,1) 
(D) (0,4) 
(E) (2,6) 
 
Questão 08 
(ENEM – 2015) Uma empresa de telefonia celular possui 
duas antenas que serão por uma nova, mais potente. As 
áreas de cobertura das antenas que serão substituídas 
são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se 
tangenciam no ponto O, como mostra a figura. 
 
 
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região 
de cobertura será um círculo cuja circunferência 
tangenciará externamente as circunferências das áreas 
de cobertura menores. 
 
Com a instalação da nova antena, a medida da 
área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi 
ampliada em 
 
(A) 8π 
(B) 12π 
(C) 16π 
(D) 32π 
(E) 64π 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Definimos Progressão Aritmética (P.A) como sendo 
uma sequência numérica em que cada termo, a partir do 
segundo, é igual a soma do termo anterior com uma 
constante. Na P.A temos a presença de uma constante 
chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio 
da diferença de um termo da sequência pelo seu 
anterior. 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PA 
𝑎𝑛 = 𝑎1+(𝑛−1).𝑟 
 an = Termo geral 
 a1 = Primeiro termo da sequência. 
 n = Número de termos da P.A. ou posição do 
termo numérico na P.A 
 r = Razão 
 
 
 
PROPRIEDADES DE UMA PA 
Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, podemos 
observar as seguintes propriedades: 
 
 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA FINITA 
 
Problema 
 
(ENEM – 2013) As projeções para a produção de arroz 
no período de 2012 – 2021, em uma determinada região 
produtora, apontam para uma perspectiva de 
crescimento constante da produção anual. O quadro 
apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será 
produzida nos primeiros anos desse período, de acordo 
com essa projeção. 
 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que 
deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 
será de 
(A) 497,25 
(B) 500,85 
(C) 502,87 
(D) 558,75 
(E) 563,25 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
(Puc – RS) Tales, um aluno do Curso de Matemática, 
depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar 
para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, 
possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de 
comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, 
duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até 
passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ 
metros. 
 
(A) 55 
(B) 66 
(C) 165 
(D) 275 
(E) 330 
 
Solução: Quando Tales passou pela primeira entrada, 
ele percorreu 11 metros; ao passar pela segunda 
entrada duas vezes, ele percorreu (11.2) 22 metros e 
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dessa maneira Tales prosseguiu até que passou cinco 
vezes pela quinta entrada (11 . 5), percorrendo 55 
metros. Podemos formar uma PA com essas 
informações, sendo que a1 = 11 e a5 = 55. Através da 
fórmula da soma dos termos de uma PA finita, podemos 
identificar quantos metros Tales andou: 
S5 = (11+55).5 = 33.5 = 165 m 
 2 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Progressão geométrica é uma sequência numérica 
que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa 
constante. Nessa progressão, os seus termos a partir 
do segundo é igual ao produto do termo anterior por 
uma constante denominada razão q. 
 
Obs.: Uma seqüência qualquer (a1,a2,a3, .... , an) será 
uma PG se, somente se, 
an = an – 1 . q com n > 1 
 
Termo Geral de uma PG 
 
an = a1 . qn – 1 
Soma dos termos de uma PG 
 
Problema 
 
Considere o padrão de construção representação pelos 
desenhos abaixo. 
 
 
 
Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na 
Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados 
congruentes, sendo um deles retirado, como indica a 
figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é 
repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. 
 
Nessas condições, a área restante na Etapa 
6 será de 
 
a) 100(1/4)5 
b) 100(1/3)6 
c) 100(1/3)5 
d) 100(3/4)6 
e) 100(3/4)5 
 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
(Fuvest – SP) Determine quantos múltiplos de 9 há 
entre 100 e 1000. 
Solução: 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos 
seus algarismos for igual a um número múltiplo de 9. 
Então a progressão deve começar a partir do 108, 
que é o primeiro número divisível por 9, e terminar 
no número 999. Dessa forma, temos que o primeiro 
termo é igual a 108, o último termo igual a 999 e a 
razão será 9. 
an = a1 + (n – 1) * r 
999 = 108 + (n – 1) * 9 
999 = 108 + 9n – 9 
999 – 108 + 9 = 9n 
9n = 900 
n = 900/9 
n = 100 
Entre os números 100 e 1000 existem 100 múltiplos 
de 9 
 
CURIOSIDADE 
As progressões foram estudadas desde povos muito 
antigos como os babilônicos. Inicialmente, procurou-se 
estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, 
onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que 
observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, 
pois para poderem plantar na época certa e assim 
garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber 
quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade 
de se conhecer o padrão desse acontecimento. 
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela 
Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. 
Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios 
criaram um calendário solar composto de doze meses, 
de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e 
Nephthys. 
Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três 
estações de quatro meses cada uma: período de semear, 
período de crescimento e período da colheita 
 
 
 
 
 
Questão 01 
(ENEM – 2010) Uma professora realizou uma 
atividade com seus alunos utilizando canudos de 
refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi 
representado por um canudo. A quantidade de 
canudos (C) de cada figura depende da quantidade 
de quadrados (Q) que formam cada figura. A 
estrutura de formação das figuras está representada 
a seguir:Que expressão fornece a quantidade de canudos em 
função da quantidade de quadrados de cada figura? 
 
(A) C = 4Q. 
(B) C = 3Q + 1 
(C) C = 4Q – 1 
(D) C = Q + 3. 
(E) C = 4Q – 2 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
(ENEM – 2012) Jogar baralho é uma atividade que 
estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, 
que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete 
colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, 
a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a 
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a 
sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra 
forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas 
colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é 
(A) 21 (B) 24 (C) 26 (D) 28 (E) 31 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
(ENEM – 2011) O número mensal de passagens de uma 
determinada empresa aérea aumentou no ano passado 
nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 
33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 
36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para os 
meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas 
por essa empresa em julho do ano passado? 
(A) 38000 
(B) 40500 
(C) 41000 
(D) 42000 
(E) 48000 
 
 
 
 
Questão 04 
Ao financiar uma casa no total de 20 anos, 
Carlos fechou o seguinte contrato com a 
financeira: para cada ano, o valor das 12 
prestações deve ser igual e o valor da 
prestação mensal em um determinado ano é 
R$ 50,00 a mais que o valor pago, 
mensalmente, no ano anterior. 
Considerando que o valor da prestação no 
primeiro ano é de R$ 150,00, determine o 
valor da prestação no último ano 
 
(A) R$ 900,00 
(B) R$ 1000,00 
(C) R$ 1100,00 
(D) R$ 1200,00 
(E) R$ 1300,00 
 
 
 
Questão 05 
(ENEM – 2008) Fractal (do latim fractus, fração, 
quebrado) – objeto que pode ser dividido em partes que 
possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria 
fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o 
comportamento dos fractais – objetos geométricos 
formados por repetições de padrões similares. 
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares 
da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos 
seguintes passos: 
1. Comece com um triângulo equilátero (Figura 1); 
2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a 
metade do tamanho do lado do triângulo anterior e 
faça três cópias; 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
3. Posicione essas cópias de maneira que cada 
triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices 
de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra 
a Figura 2; 
4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 
para cada cópia dos triângulos obtidos no 
passo 3 (Figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o procedimento descrito, a Figura 4 da 
sequência apresentada acima é 
 
(A) 
 
 
 
 
 
(B) 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
(D) 
 
 
 
 
 
(E) 
 
 
 
 
 
Questão 06 
(UFSM, 2008) Uma fábrica vendia 12 camisetas por 
mês para certa rede de academias desde janeiro de um 
determinado ano. Devido ao verão, essa venda foi 
triplicada a cada mês, de setembro a dezembro. O total 
de camisetas vendidas nesse quadrimestre e a média 
de vendas, por mês, durante o ano, foram, 
respectivamente, 
 
(A) 1.536 e 128 
(B) 1.440 e 128 
(C) 1.440 e 84 
(D) 480 e 84 
(E) 480 e 48 
 
 
 
 
 
Questão 07 
Observe a sequência de figuras abaixo (figura1, figura2, 
figura3, e assim por diante). 
 
 
 
A quantidade dos menores triângulos da figura 7 é 
(A) 4096 
(B) 4064 
(C) 4049 
(D) 4032 
(E) 4016 
 
 
 
Questão 08 
Uma jovem seria contratada como vendedora para 
trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas 
semanas que antecederiam o natal. O dono da loja 
ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias 
seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A 
jovem achou a proposta humilhante. Recusou o 
trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria 
recebido pelos 12 dias de trabalho? 
 
(A) R$ 4095,00 
(B) R$ 2048,00 
(C) R$ 1024,00 
(D) R$ 512,00 
(E) Foi melhor assim 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razões trigonométricas 
Ao compararmos duas grandezas por meio 
de uma divisão estaremos dando sentido ao 
conceito de razão. A palavra razão é 
etimologicamente ligada ao termo ratio, que 
traduzido do latim significa, entre outras 
coisas, rateio, repartição. 
 
Observação: as relações são dadas tomando 
como referência o ângulo α. 
 
SOH CAH TOA 
 
 
 
 
#DICA: O seno de um ângulo é igual ao 
cosseno do seu complementar. 
Ex.: 
 
 
 
 
 
RELAÇÃO COM ÂNGULOS NOTÁVEIS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 
1- (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de altura e 
seu topo é visto dos pontos A e B, sob ângulo 
de 45° e 30°, como representa a figura a seguir. 
 
Se esses pontos estão alinhados com base do 
coqueiro, quantos metros, aproximadamente, A 
dista de B? 
 
 
(A)9,4m 
(B)11,8m 
(C)14,6m 
(D)16,2m 
(E)19,5m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
2- Um observador em uma planície vê ao longe uma 
torre de transmissão segundo um angulo de 30º. Apos 
caminhar uma distancia de 40m em direção à torre, ele 
passa a vê-la segundo um angulo de 45º. A altura da 
torre é 
 
 
(A) 𝟒𝟓m 
(B) 𝟓𝟓m 
(C) 𝟔𝟒m 
(D) 𝟖𝟎m 
(E) 94m 
 
 
 
Questão 01 
Um pedaço de papel, em forma retangular, tem vértices 
nos pontos A, B, C e D. Dobra-se o papel de tal forma 
que o vértice C fique sobre o lado AD, conforme mostra 
a figura a seguir. 
 
 
Sabendo que AB = 6 cm, calcule o comprimento 
da dobra BE. 
 
(A) 6 cm 
(B) 7 cm 
(C) 8 cm 
(D) 9 cm. 
(E) 10 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
(CEFET – MG) - Um menino mantém uma pipa presa a 
um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai 
perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste 
de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 30°. 
A pipa atinge o solo ficando com a linha esticada, 
conforme a figura. Desprezando-se a altura da criança, 
calcule a distância final entre ela e a pipa, em metros. 
.
 
 
(A) 90 m 
(B) 45√𝟑m 
(C) 50√𝟑m 
(D) (10√𝟑 + 60) m 
(E) (10√𝟑 + 78) m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de 
comprimento, faz ângulo de 30° com o plano 
horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira 
eleva-se verticalmente de: 
 
(A) 6√𝟑m 
(B) 12 m 
(C)13,6 m 
(D) 9√𝟑 m 
(E) 18 m 
 
 
 
 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
Questão 04 
Um arame de 18 metros de comprimento é esticado 
do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um 
poste vestical. Sabendo que o ângulo formado pelo 
arame com o solo é de 30°, calcule a altura do poste. 
 
(A) 36 m 
(B) 18m 
(C) 9 m 
(D) 8 m 
(E) 4,5 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 
Na figura a seguir, I é o encentro do triângulo ABC e PQ 
é paralelo a BC. 
 
 
Sendo AC = 18 cm e AB = 10 cm, a medida do perímetro 
do triângulo APQ é igual a 
 
(A) 24 cm 
(B) 25 cm 
(C) 26 cm 
(D) 27 cm 
(E) 28 cm 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na 
base de um prédio, conforme mostra a figura 
 
Se ela caminhar 120 metros em linha reta, chegará a um 
ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um 
ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do 
ponto A, andando em linhareta no sentido de A para B, 
para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo 
de 30°? 
 
(A) 120 m 
(B) 160 m 
(C) 240 m 
(D) 360 m 
(E) 460 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 07 
(UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória 
retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º 
(suponha que a região sobrevoada pelo avião seja 
plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura 
atingida pelo avião? 
 
(A) 500 m 
(B) 1 000 m 
(C) 1 500 m 
(D) 2 000 m 
(E) 2 100 m 
 
 
 
 
 
 
Questão 08 
(Cefet – PR) A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo 
Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo 
de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se 
na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. 
Portanto, determine em quilômetros, a distância entre o 
posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório 
Quadros? 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm 
por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as 
medidas dos lados, por meio das seguintes 
relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações 
utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a 
hipotenusa. 
Essas relações somente são válidas se aplicadas no 
triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto 
(90º) e outros dois ângulos agudos. Nos casos 
envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos 
senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular 
medidas e ângulos desconhecidos. 
 
LEI DOS SENOS 
 
 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
 
 
 
 
 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
 
 
Ex.: 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
1-No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 
45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 
metros. Com base nesses valores determine a medida 
de x. 
 
 
 
 
2-Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo 
da figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01 
Tomando a imagem abaixo como referência, qual é a 
distância da casa até o ponto B, aproximadamente? 
Dados: sem 22º = 0,37; sem 28º = 0,47 
 
 
(A) 150 m 
(B) 200 m 
(C) 255 m 
(D) 300 m. 
(E) 355 m 
 
Questão 02 
Para construir uma ponte sobre o rio, conforme a figura, 
um engenheiro fez as seguintes medidas: segmento AB 
= 30m, ângulo BÂC = 105 º e ângulo CBA = 45º. O 
engenheiro instalou o teodolito no ponto B. Com base 
nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o 
comprimento AC da ponte. 
 
 
 
(A) 10√𝟔 m 
(B) 15√𝟔 m 
(C) 20√𝟔 m 
(D) 25√𝟔 m. 
(E) 30√𝟔 m 
 
 
 
Questão 03 
(UNICAMP) A água utilizada na casa de um sítio é 
captada e bombeada do rio para uma caixa d´água a 50 
metros de distância. A casa está a 80 metros de distância 
da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa 
d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60º. Pretende-
se bombear água do mesmo ponto de captação até a 
casa, quantos metros de encanamento serão 
necessários? 
 
(A) 40 m 
(B) 50 m 
(C) 55 m 
(D) 60 m 
(E) 70 m 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
Questão 04 
Para calcular a distância entre duas árvores 
situadas nas margens opostas de um rio, nos 
pontos A e B, um observador que se encontra 
junto a A afastasse 20 m da margem, na direção 
da reta AB, até o ponto C e depois caminha em 
linha reta até o ponto D, a 40 m de C, do qual 
ainda pode ver as árvores. 
Tendo verificado que os 
ângulos e medem, respectivamente, 
cerca de 15° e 120°, que valor ele encontrou para 
a distância entre as árvores, se usou a 
aproximação = 2,4? 
 
 
(A) 45 m 
(B) 46 m 
(C) 47 m 
(D) 48 m 
(E) 49 m 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 
(UNB – modelo ENEM) Um observador, situado no 
ponto A, distante 30 m do ponto B, vê um edifício 
sob um ângulo de 30º, conforme a figura. 
Baseado nos dados da figura, determine a altura 
do edifício da figura, determine a altura do 
edifício em metros. 
 
 
Dados: sem 75º = 0,96; sem 60º = 0,86; sem 30º = 0,5 
 
(A) 5√𝟐 m 
(B) 10√𝟐 m 
(C) 15√𝟐 m 
(D) 20√𝟐 m 
(E) 25 √𝟐m 
 
 
 
 
Questão 06 
Em uma região plana, três árvores estão 
dispostos conforme mostra a figura ao lado. 
Determine a distância x entre as árvores B e 
C. 
 
 
(A) 20 √𝟐m 
(B) 30 √𝟐m 
(C) 40 √𝟐m 
(D) 50 √𝟐m 
(E) 60 √𝟐m 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 07 
(FGV – MODELO ENEM) A polícia já havia 
comprovado que o único supermercado da 
cidade fora arrombado entre 7h e 7h15min 
da manhã. A quantia de R$ 1 895,00 havia 
sido roubada do caixa. Os únicos suspeitos 
eram dois seguranças do próprio 
supermercado: Luís e Pedro. Foram tomados 
seus depoimentos e um croqui foi feito: 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
1.º suspeito: Luís 
“Saí da minha casa para trabalhar às 6h20min. Fui de 
bicicleta, em linha reta, direto da minha casa ao 
supermercado. Vou, como todos os dias, a uma 
velocidade média de 18 km/h. Quando cheguei, vi a 
porta arrombada e muitos curiosos observando." 
2.º suspeito: Pedro 
“Fui direto da minha casa ao supermercado, em linha 
reta, de bicicleta a uma velocidade média de 24 km/h. 
Saí da minha casa exatamente às 6h. Quando cheguei, 
vi a porta arrombada e o carro da polícia estacionado em 
frente." 
Com base nos depoimentos e no croqui, descubra o 
provável culpado. Use as aproximações que julgar 
convenientes: 
sen 40° = 0,6 sen 68° = 0,9 sen 72° = 0,9 
cos 40° = 0,8 cos 68° = 0,4 cos 72° = 0,3 
tg 40° = 0,8 tg 68° = 2,5 tg 72° = 3,1 
(A) Pedro 
(B) Luís 
(C) Pedro e Luís percorreram a mesma distância, 
logo os dois são culpados 
(D) Luís, pois levou 45 minutos até o 
supermercado 
(E) Não há como determinar quem é o culpado 
apenas pelos depoimentos e o croqui 
 
 
 
 
 
 
Questão 08 
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança 
um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área 
de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 
1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado 
o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram 
em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a 
terça parte da área de extração, conforme mostra a figura. 
 
 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a 
porcentagem da área do terreno que coube a João 
corresponde, aproximadamente, a 
(Considere = 0,58) 
 
 
a) 50% 
b) 43% 
c) 37% 
d) 33% 
e) 19% 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01 
(ENEM – 2015) Um investidor inicia um dia com x ações 
de uma empresa. No decorrer desse dia, ele efetua 
apenas dois tipos de operações, comprar ou vender 
ações. Para realizar essas operações, ele segue estes 
critérios: 
I. vende metade das ações que possui, assim que seu 
valor fica acima do valor ideal (Vi); 
II. compra a mesma quantidade de ações que possui, 
assim que seu valor fica abaixo do valor mínimo (Vm); 
III. vende todas as ações que possui, quando seu valor 
fica acima do valor ótimo (Vo). 
O gráfico apresenta o período de operações e a variação 
do valor de cada ação, em reais, no decorrer daquele dia 
e a indicação dos valores ideal, mínimo e ótimo. 
 
(A) 3 
(B) 4(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
Questão 02 
Atualmente existem diversas locadoras de 
veículos permitindo uma concorrência 
saudável para o mercado fazendo com que 
os preços se tornem acessíveis. Nas 
locadoras P e Q, o valor da diária de seus 
carros depende da distância percorrida, 
conforme o gráfico. 
 
O valor pago na locadora Q é menor ou igual 
àquele pago na locadora P para distâncias, 
em quilômetros, presentes em qual(is) 
intervalo(s)? 
 
(A) de 20 a 100. 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
(B) de 80 a 130. 
(C) de 100 a 160 
(D) de 0 a 20 e de 100 a 160. 
(E) de 40 a 80 e de 130 a 160. 
 
Questão 03 
Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora 
de telefonia celular ofereceu aos clientes que utilizavam 
até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um 
valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até 
100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 
ligações, será cobrado um valor adicional de R$ 0,10 por 
ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 
300 e 500 ligações, será cobrado um valor fixo mensal 
de R$ 32,00. Com base nos elementos apresentados, o 
gráfico que melhor representa a relação entre o valor 
mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas 
é: 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
Questão 04 
A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com 
diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua 
aplicação, foi desenvolvida uma “caneta” na qual pode 
ser inserido um refil contendo 3 mL de insulina, como 
mostra a imagem. 
 
Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de 
insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é 
necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a 
retirar possíveis bolhas de ar. 
A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 
10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. 
Qual o número máximo de aplicações por refil que o 
paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? 
(A) 25 
(B) 15 
(C) 13 
(D) 12 
(E) 8 
Questão 05 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
Um arquiteto está reformando uma casa. De modo 
a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar 
tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 
40 tábuas de 540 cm, 30 de 810cm e 10 de 1080cm, 
todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um 
carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de 
mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que 
as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, 
mas de comprimento menor que 2m. Atendendo o 
pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: 
 
(A) 105 peças 
(B) 120 peças 
(C) 210 peças 
(D) 243 peças 
(E) 420 peças 
Questão 06 
Segundo dados apurados no Censo 2010, para 
uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 
anos ou mais de idade e que teve algum tipo de 
rendimento em 2010, a renda média mensal apurada 
foi de R$ 1 202,00. 
A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais 
pobres correspondeu a apenas 1,1 % do total de 
rendimentos dessa população considerada, enquanto 
que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais 
ricos correspondeu a 44,5% desse total. 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 
2011(adaptado). 
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média 
mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% 
mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 
10% mais pobres? 
 
(A) 240,40 
(B) 548,11 
(C) 1 723,67 
(D) 4 026,70 
(E) 5 216,68 
 
Questão 07 
Um casal realiza um financiamento 
imobiliário de R$ 180 000,00, a ser pago em 
360 prestações mensais, com taxa de juros 
efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação 
é paga um mês após a liberação dos 
recursos e o valor da prestação mensal é de 
R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo 
devedor (valor devido antes do pagamento). 
Observe que, a cada pagamento, o saldo 
devedor se reduz em R$ 500,00 e considere 
que não há prestação em atraso. 
 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, 
a ser pago ao banco na décima prestação é de 
 
(F) 2 075,00. 
(G) 2 093,00. 
(H) 2 138,00. 
(I) 2 255,00. 
(J) 2 300,00. 
 
Questão 08 
O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos 
plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua 
extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, 
tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos 
mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que 
o ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton 
(quilotoneladas).? 
 
De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens 
PET recicladas destinadas à produção de tecidos e 
malhas, em kton, é mais aproximada de 
 
(F) 16,0 
(G) 22,9 
(H) 32,0 
(I) 84,6 
(J) 106,6 
 
Questão 09 
Em uma escola, a probabilidade de um aluno 
compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa 
escola, que estão em fase final de seleção de 
intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados 
para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a 
um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma 
pergunta em inglês que pode ser respondida por 
qualquer um dos alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido 
e ter sua pergunta oralmente respondida em 
inglês é 
(A) 23,7% 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
(B) 30,0% 
(C) 44,1 % 
(D) 65,7% 
(E) 90,0% 
 
Questão 10 
A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, 
está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, 
cobrindo um terreno de 8 hectares de área. 
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro 
quadrado. 
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta 
pelo terreno da piscina? 
 
(A) 8 
(B) 80 
(C) 800 
(D) 8 000 
(E) 80 000 
 
Questão 11 
Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de 
fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será 
construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um 
dos lados do triângulo deve ter o comprimento de 
exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo 
construído com essas características. 
 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes 
dois a dois que podem ser construídos é 
(A) 3 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 10 
Questão 12 
Um show especial de Natal teve 45 000 ingressos 
vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de 
futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 
catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas 
catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. 
O público foi igualmente dividido pela quantidade de 
portões e catracas, indicados no ingresso para o show, 
para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos 
aqueles que compraram ingressos irão ao show e que 
todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas 
indicados. 
(A) 1 hora 
(B) 1 hora e 15 minutos 
(C) 5 horas 
(D) 6 horas 
(E) 6 horas e 15 minutos 
Questão 13 
As notas de um professor que participou de um processo 
seletivo, em que a banca avaliadora era composta por 
cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se 
que cada membro da banca atribuiu duas notas ao 
professor, uma relativa aos conhecimentos específicos 
da área de atuação e outra, aos conhecimentos 
pedagógicos, e que a média final do professor foi dada 
pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela 
banca avaliadora. 
 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora 
resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas 
ao professor. 
A nova média, em relação à média anterior, é 
(A) 0,25 ponto maior 
(B) 1,00 ponto maior 
(C) 1,00 ponto menor 
(D) 1,25 ponto maior 
(E) 2,00 pontos menor 
 
Questão 14 
Uma torneira não foi fechada corretamentee ficou 
pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a 
frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se 
que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL. 
Qual foi o valor mais aproximado do total de água 
desperdiçada nesse período, em litros? 
 
(A) 0,2 
(B) 1,2 
(C) 1,4 
(D) 12,9 
(E) 64,8 
 
Questão 15 
O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite 
qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de 
lactação (em dias) pela produção média diária de leite 
(em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). 
Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente 
quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por 
mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo 
(alimentação, vacinação e outros). Na comparação de 
duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem 
maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de 
cinco vacas: 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
Dados relativos à produção das vacas 
 
Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca 
mais eficiente é a 
 
(A) Malhada 
(B) Mamona 
(C) Maravilha 
(D) Mateira 
(E) Mimosa 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
Questão 01 
(ENEM – 2012) Maria quer inovar sua loja de 
embalagens e decidiu vender caixas com diferentes 
formatos. Nas imagens apresentadas estão as 
planificações dessas caixas. Quais serão os sólidos 
geométricos que Maria obterá a partir dessas 
planificações? 
 
 
(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e 
pirâmide 
(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide 
(C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide 
(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma 
(E) Cilindro, prisma e tronco de cone 
 
Questão 02 
(ENEM – 2011) Uma indústria fabrica brindes 
promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é 
obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem 
a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o 
sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele. 
 
Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os 
mesmos. O ponto O e ́central na face superior do cubo. 
Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD, 
BC, AB e CD, nessa ordem. Após os cortes, são 
descartados quatro sólidos. 
Os formatos dos sólidos descartados são 
 
(A) todos iguais 
(B) todos diferentes 
(C) três iguais e um diferente 
(D) apenas dois iguais 
(E) iguais dois a dois 
 
Questão 03 
(ENEM – 2010) Alguns testes de preferência por 
bebedouros de água foram realizados com bovinos, 
envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e 
tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a 
forma de um tronco de cone circular reto, de altura 
igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 
120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é 
um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de 
comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes 
estão ilustrados na figura. 
 
Considerando que nenhum dos recipientes tenha 
tampa, qual das figuras a seguir representa uma 
planificaçaõ para o bebedouro 3? 
 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
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(E) 
 
 
Questão 04 
(ENEM – 2011) E ́ possiv́el usar aǵua ou comida para 
atrair as aves e observa-́las. Muitas pessoas costumam 
usar aǵua com açúcar, por exemplo, para atrair beija-
flores. Mas e ́ importante saber que, na hora de fazer a 
mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar 
para cinco partes de água. Aleḿ disso, em dias quentes, 
precisa trocar a aǵua de duas a três vezes, pois com o 
calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode 
deixála doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, 
tambeḿ pode manter o bico da ave fechado, impedindo-
a de se alimentar. Isso pode ate ́matá-la. 
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência 
Hoje, ano 19, no 166, mar. 1996. Pretende-se encher 
completamente um copo com a mistura para atrair beija-
flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas saõ 
10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de 
aǵua que deve ser utilizada na mistura e ́cerca de (utilize 
π = 3) 
(A) 20 mL 
(B) 24 mL 
(C) 100 mL 
(D) 120 mL 
(E) 600 mL 
 
Questão 05 
 Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo 
apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no 
porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 
10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses 
contêineres (Figura 2). 
 
 
De acordo com as normas desse porto, os contêineres 
deverão ser empilhados de forma a não sobrarem 
espaços nem ultrapassarem a área delimitada. 
Após o empilhamento total da carga e atendendo 
à norma do porto, a altura mínima a ser atingida 
por essa pilha de contêineres é 
 
(A) 12,5 m 
(B) 17,5 m 
(C) 25,0 m 
(D) 22,5 m 
(E) 32,5 m 
 
Questão 06 
(ENEM – 2015) O tampo de vidro de uma mesa quebrou-
se e deverá ser substituído por outro que tenha a forma 
de círculo. O suporte de apoio da mesa tem o formato 
de um prisma reto, de base em forma de triângulo 
equilátero com lados medindo 30cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tampos de vidro 
circulares com cortes já padronizados, cujos raios 
medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 cm e 60 cm. O 
proprietário da mesa deseja adquirir nessa loja o tampo 
de menor diâmetro que seja suficiente para cobrir a base 
superior do suporte da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação da raiz de 3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, 
em cm, é igual a: 
 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
(A) 18 
(B) 26 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 60 
 
Questão 07 
(ENEM – 2014) Um carpinteiro fabrica portas 
retangulares maciças, feitas de um mesmo material. 
Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas 
mais altas, aumentou sua altura em 1/8 , 
preservando suas espessuras. A fim de manter o 
custo com o material de cada porta, precisou reduzir 
a largura. A razão entre a largura da nova porta e a 
largura da porta anterior é: 
 
(A) 1/8 
(B) 7/8 
(C) 8/7 
(D) 8/9 
(E) 9/8 
 
Questão 08 
(ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates 
no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo 
volume. As arestas da barra de chocolate no formato de 
paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de 
comprimento e 4 cm de espessura. 
 
Analisando as características das figuras geométricas 
descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o 
formato de cubo é igual a 
 
(A) 5 cm 
(B) 6 cm 
(C) 12 cm 
(D) 24 cm 
(E) 25 cm 
 
Questão 09 
(ENEM – 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz 
diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo 
especial de peça feita nessa companhia tem o formato 
de um paralelepiṕedo retangular, de acordo com as 
dimensões indicadas na figura que segue. 
 
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria 
na medida da grandeza 
 
(A) massa 
(B) volume 
(C) superfície 
(D) capacidade 
(E) comprimento 
 
Questão 10 
(ENEM – 2010) Dona Maria, diarista na casa da famiĺia 
Teixeira, precisa fazer cafe ́para servir as vinte pessoas 
que se encontram numa reuniaõ na sala. Para fazer o 
cafe,́ Dona Maria dispoẽ de uma leiteira cilińdrica e 
copinhos plaśticos, tambeḿ cilińdricos. 
 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista desejacolocar a quantidade mínima de água na leiteira 
para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso 
ocorra, Dona Maria deverá 
 
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem 
um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
 
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem 
um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
 
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem 
um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
 
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
 
(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo 
 
Questão 11 
(ENEM -2013) As torres Puerta de Europa são duas 
torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa 
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é 
de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura 
de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento 
AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser 
observada na imagem. 
Prof. Del Melo – Matemática 02 – UniENEM/PIAP - 2017 
 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente 
de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se 
que a área da base desse prédio ocupa na avenida um 
espaço 
 
(A) menor que 100 m² 
(B) entre 100 m² e 300 m². 
(C) entre 300 m² e 500 m². 
(D) entre 500 m² e 700 m². 
(E) maior que 700 m². 
 
Questão 12 
(UEMG – 2010) Na figura, abaixo, um fazendeiro (F) 
dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida 
do ângulo é igual a 30º. 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o 
fazendeiro encontrou a medida correspondente a 
 
(A) 200√𝟑 
(B) 100√𝟐 
(C) 150√𝟑 
(D) 250√𝟐 
(E) 200 
Questão 13 
(UEMAG – 2011) Observe a tirinha abaixo: 
 
Supondo que o triângulo demonstrativo da rampa seja 
retângulo, de altura igual a 2 metros, e que essa rampa 
forme um ângulo de 60° com o solo, a distância 
percorrida pelo carrinho até o ponto mais alto da rampa 
foi de 
 
(A) 
𝟑√𝟐
𝟔
 m 
(B) 
𝟒√𝟑
𝟑
 m 
(C) 
√𝟐
𝟐
 m 
(D) 1 m 
(E) 2 m 
 
Questão 14 
(UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros 
de altura, no alto de uma torre perpendicular ao plano 
do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma 
parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados à 
base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o 
ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a 
medida do ângulo CÂD corresponde a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 60º 
(B) 45º 
(C) 30º 
(D) 15º 
(E) 90º 
 
Questão 15 
(ENEM – 2015) O Esquema I mostra a configuração de 
uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, 
chamados de garrafões, correspondem a áreas 
restritivas. 
 
Visando atender as orientações do Comitê Central da 
Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, 
que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista 
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uma modificação nos garrafões das quadras, que 
passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II. 
 
Após executadas as modificações previstas, houve uma 
alteração na área ocupada por cada garrafão, que 
corresponde a um(a) 
 
(A) aumento de 5 800 cm². 
(B) aumento de 75 400 cm². 
(C) aumento de 214 600 cm². 
(D) diminuição de 63 800 cm². 
(E) diminuição de 272 600 cm². 
 
 
ESPAÇO PARA RASCUNHO