Resistencia dos Materiais II

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AULA 1
		1.
		Uma coluna de aço (E = 200 GPa) é usada para suportar as cargas em dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento BC, sabendo que P1 = 150 kN e P2 = 280 kN e a coluna tem 20 mm de diâmetro:
	
	
	
	5,2 x 10-3 m
	
	
	52,7 x 10-3 m
	
	
	52,7 m
	
	
	527 mm
	
	
	5270 m
	
Explicação: deslocamento = PL/AE deslocamento = 430 kiN. 7,6 m/3,1x10^-4m2.200x10^6kPa deslocamento = 52,7 x 10^-3 m
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Assinale a opção que apresenta a unidade que pode ser utilizada para expressar o momento de inércia de uma superfície plana:
	
	
	
	kg.cm
	
	
	cm3
	
	
	 cm2
	
	
	cm4
	
	
	MPa
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o momento estático em relação ao eixo x da figura plana composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm.
	
	
	
	5200 cm3
	
	
	6880 cm3
	
	
	9333 cm3
	
	
	6000 cm3
	
	
	4000 cm3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		No exemplo de uma patinadora, ao abrir ou encolher os braços em um movimento de giro, observamos que:
	
	
	
	Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de rotação.
	
	
	Quanto menos distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao abrir os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação.
	
	
	Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, aumenta a velocidade de rotação.
	
	
	Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, menor resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de rotação.
	
	
	Quanto mais distante a área estiver do eixo de rotação, maior resistência ela oferece ao giro. Por essa razão, a patinadora, ao encolher os braços, durante o movimento de giro, diminui a velocidade de rotação.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma barra de aço com 20 cm2 de área da seção transversal e comprimento de 2 m, submetida a uma carga axial de tração de 30 kN, apresenta um alongamento de 0,15 mm. O módulo de elasticidade do material, em GPa, é:
	
	
	
	100
	
	
	250
	
	
	200
	
	
	450
	
	
	350
	
Explicação:
Lei de Hooke
30.000/(20.10-4) = E.(0,15/2000)
E = 200.000.000.000 Pa = 200 GPa
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o momento estático em relação ao eixo y da figura plana composta pelo quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm.
	
	
	
	6000 cm3
	
	
	4000 cm3
	
	
	9333 cm3
	
	
	5200 cm3
	
	
	6880 cm3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		"Podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor do(a) _______ e o(a) _________ considerada(o) até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento estático." As palavras que melhor representam as lacunas que dão o sentido correto da frase são, respectivamente:
	
	
	
	momento de inércia; volume
	
	
	volume; área
	
	
	perímetro da área ; área
	
	
	área ; distância do centróide da área
	
	
	distância do centróide da área ; perímetro da área
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Complete a frase abaixo com a alternativa que melhor se enquadra. Quanto maior _______________, ________ o esforço necessário para colocar em movimento de rotação.
	
	
	
	o momento de inercia; maior;
	
	
	a área; menor;
	
	
	a seção transversal; menor;
	
	
	o momento de inercia; menor;
	
	
	a seção transversal; maior;
	
Explicação:
O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área, em torno de um eixo, e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o eixo de referência.
AULA 2
	
	
	
		1.
		A fotoelasticidade é uma técnica experimental utilizada para a análise de tensões e deformações em peças com formas complexas. A passagem de luz polarizada através de um modelo de material fotoelástico sob tensão forma franjas luminosas escuras e claras. O espaçamento apresentado entre as franjas caracteriza a distribuição das tensões: espaçamento regular indica distribuição linear de tensões, redução do espaçamento indica concentração de tensões. Uma peça curva de seção transversal constante, com concordância circular e prolongamento, é apresentada na figura ao lado. O elemento está equilibrado por duas cargas momento M, e tem seu estado de tensões apresentado por fotoelasticidade.
Interprete a imagem e, em relação ao estado de tensões nas seções PQ e RS, o módulo de tensão normal no ponto
	
	
	
	S é menor que o módulo da tensão normal no ponto P.
	
	
	R é maior que o módulo da tensão normal no ponto S.
	
	
	Q é menor que o módulo da tensão normal no ponto S.
	
	
	P é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.
	
	
	Q é maior que o módulo da tensão normal no ponto R.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB, base BC= 4cm e altura AC = 3cm. O momento de inércia deste triângulo (área) em relação ao eixo que passa pela base BC é dado por b.h3/12. Determine o momento de inércia deste triângulo em relação ao eixo que passa pelo vértice A e é paralelo à base. DICA: Teorema dos eixos paralelos: I = I´+ A.d^2 onde d^2 é d elevado ao quadrado
	
	
	
	12 cm4
	
	
	15 cm4
	
	
	36 cm4
	
	
	9 cm4
	
	
	27 cm4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para a viga em balanço (esquematizada na figura) submetida a uma carga concentrada P na extremidade livre, a flecha na extremidade livre é dada por y (onde l é o comprimento da barra; E é o módulo de elasticidade do material; I é o momento de inércia da seção transversal). Para a viga com seção transversal retangular de altura h = 20 cm e largura b = 12 cm, e material com módulo de elasticidade E = 20 GPa, o valor da flecha na extremidade livre é:
	
	
	
	30 mm
	
	
	20 mm
	
	
	25 mm
	
	
	10 mm
	
	
	5 mm
	
Explicação: I = (b.h3)/12 = (120.(2.102)3)/12 = 8.107 cm4; y = 96.10-3 MN.(103)3/[3.(2.104.MN/106 mm2).8.107]; y = 96.106/48.105; y = 20 mm.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x que passa pelo centro de gravidade. (medidas em centímetros)
 
	
	
	
	986 cm4
	
	
	1524 cm4
	
	
	1375 cm4
	
	
	1180 cm4
	
	
	1024 cm4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Analise as afirmativas. I - O raio de giração é a raiz quadrada do momento de inercia da área dividido pelo momento de inércia ao quadrado; II ¿ O momento de inércia expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo; III ¿ o produto de inércia mede a antissimétrica da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s)
	
	
	
	I e III, apenas
	
	
	I, apenas
	
	
	II e III, apenas
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e II, apenas
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a figura plana composta pelo quadrado (OACD) de lado 18 cm e o triângulo(ABC) de base (AC) 18 cm e altura 18 cm. Sabendo que o centroide da figura (OABCD) está na posição de coordenadas (9, 14), determine o momento inércia Iy em relação ao eixo y que passa pelo centroide da figura plana (OABCD).
	
	
	
	23814 cm4
	
	
	11664 cm4
	
	
	4374 cm4
	
	
	6840 cm4
	
	
	230364 cm4
AULA 3
	
 
		
	
		1.
		Sobre o fenômeno da torção de eixos maciços não circulares marque a alternativa incorreta:
	
	
	
	A tensão de cisalhamento é distribuída de forma que as seções transversais fiquem abauladas ou entortadas;
	
	
	O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento;
	
	
	Para eixos de seção transversal quadrada a tensão máxima de cisalhamento ocorre em um ponto da borda a seção transversal mais próxima da linha central do eixo;
	
	
	A tensão de cisalhamento aumenta com o aumento do torque aplicado;
	
	
	A tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da seção transversal;
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, área média Am , espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que:
	
	
	
	A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento do torque aplicado;
	
	
	O ângulo de torção aumenta com uma redução do comprimento L do tubo;
	
	
	O ângulo de torção diminui com a redução da área média do tubo;
	
	
	A tensão de cisalhamento média aumenta com o aumento da área média;
	
	
	A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede do tubo;
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço transmite 30 kW para uma engrenagem em B. A tensão de cisalhamento admissível no aço é de 42 Mpa. Qual é o diâmetro necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm?
	
	
	
	20,5 mm
	
	
	0,0411 mm
	
	
	41,1 mm
	
	
	0,0205 m
	
	
	0,0205 mm
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um motor de 20 HP (1 HP = 746 W) em cujo eixo gira a uma rotação 1.800 rpm, aciona uma máquina. Qual o torque aplicado ao eixo.
	
	
	
	27,3 N.m
	
	
	8,28 N.m
	
	
	79,2 N.m
	
	
	82,8 N.m
	
	
	51,4 N.m
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sobre o fenômeno da torção de eixos circulares não maciços marque a alternativa incorreta:
	
	
	
	A tensão de cisalhamento diminui com o aumento do diâmetro interno do tubo;
	
	
	A tensão de cisalhamento depende do momento de torção;
	
	
	O ângulo de torção diminui com uma redução do momento de torção;
	
	
	O ângulo de torção aumenta com a redução do módulo de cisalhamento;
	
	
	A tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma variação linear;
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A linha neutra da seção de uma peça estrutural é definida como o lugar geométrico dos pontos onde:
	
	
	
	as deformações longitudinais são máximas.
	
	
	o momento estático é mínimo;
	
	
	o esforço cortante sofre uma descontinuidade;
	
	
	a tensão normal é nula;
	
	
	as tensões tangenciais são sempre nulas;
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Um eixo tubular vazado possui diâmetro interno de 3,0cm e diâmetro externo de 42mm. Ele é usado para transmitir uma potência, por meio de rotação, de 90000W as peças que estão ligadas as suas extremidades. Calcular a frequência de rotação desse eixo, em Hertz, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50MPa.
	
	
	
	30,2 Hz
	
	
	31 Hz
	
	
	26,6 Hz
	
	
	42 Hz
	
	
	35,5 Hz
	
Explicação: f = 26,6 Hz
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determinar, para a barra de latão indicada na figura, a maior tensão de cisalhamento e o ângulo de torção. Sabe-se que T=400 N.m e que G=40 GPa.
 
	
	
	
	τ=25,26MPa→θ=1,06∘τ=25,26MPa→θ=1,06∘
	
	
	τ=15,38MPa→θ=0,211∘τ=15,38MPa→θ=0,211∘
	
	
	τ=15384,61MPa→θ=0,211∘τ=15384,61MPa→θ=0,211∘
	
	
	τ=15384,61MPa→θ=1,85∘τ=15384,61MPa→θ=1,85∘
	
	
	τ=15,38MPa→θ=3,69∘τ=15,38MPa→θ=3,69∘
	
Explicação:
	
AULA 4
	
 
		
	
		1.
		Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor do momento fletor máximo na viga AC, sabendo que a reação em A é RA =  13,75 kN.
	
	
	
	25 kNm
	
	
	75 kNm
	
	
	68,75 kNm
	
	
	26,75 kNm
	
	
	13,75 kNm
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Para o carregamento mostrado na figura, determine na viga AC a posição onde o gráfico do esforço cortante tem uma descontinuidade, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN.
	
	
	
	2 m
	
	
	5 m
	
	
	2,,5 m
	
	
	8 m
	
	
	7,5 m
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma placa retangular de concreto de alta resistência utilizada em uma pista de rolamento tem 6m de comprimento quando sua temperatura é 10ºC. Se houver uma folga de 3,3 mm em um de seus lados antes de tocar seu apoio fixo, determine a temperatura exigida para fechar a folga
Dados: Dados:a = 11.10-6 ºC-1
	
	
	
	50ºC
	
	
	60º
	
	
	65º
	
	
	55º
	
	
	70º
	
Explicação:
3,3 = 6000.11.10-6.Variação de temperatura
Variação de temperatura = 500C
Assim, temperatura final igual a 60ºC
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A extremidade B da barra de alumínio gira de 0,6° pela ação do torque T. Sabendo-se que b=15 mm  e G=26 GPa, determinar a máxima tensão de cisalhamento da barra.
	
	
	
	5,07 MPa
	
	
	7,06 MPa
	
	
	70600 Pa
	
	
	0,507 MPa
	
	
	0,706 Pa
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor das reações verticais nos apoios.
	
	
	
	RA = 26,25 kN e RC = 13,75 kN
	
	
	RA = 11,25 kN e RC = 28,75 kN
	
	
	RA = 13,75 kN e RC = 26,25 kN
	
	
	RA = 8,75 kN e RC = 11,25 kN
	
	
	RA = 11,25 kN e RC = 8,75 kN
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A viga engastada mostrada na figura possui uma reação em A que se opõe à rotação da viga. Determine essa reação.
	
	
	
	180 Nm no sentido horário
	
	
	180 Nm no sentido anti-horário
	
	
	600 N para baixo
	
	
	1800 Nm no sentido anti-horário
	
	
	600 N para cima
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em uma estrutura de concreto armado formada por vigas, lajes e pilares, a força que é aplicada em uma viga, perpendicularmente ao plano de sua seção transversal, no centro de gravidade, com a mesma direção do eixo longitudinal da viga e que pode tracionar ou comprimir o elemento, é a força
	
	
	
	Cortante
	
	
	Flexão
	
	
	Normal
	
	
	Momento
	
	
	Torção
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Suponha uma viga de 4m de comprimento apoiadas em suas extremidades A e B. Sobre esta viga existe um carregamento de 5kN/m. Considere o ponto M, médio de AB. Neste ponto os valores do momento fletor e esforço cortante atuantes na seção valem, respectivamente:
 
	
	
	
	5kN.m e 8kN
	
	
	10kN.m e 0kN
	
	
	8kN.m e 8kN
	
	
	8kN.m e 5kN
	
	
	0kN.m e 10kN
	
Explicação:
No ponto M, o momento fletor é máximo e o esforço cortante igual a zero. Mmáximo = q.L2/8
Mmáximo = q.L2/8 = 5.(4)2/8 = 10kN.m e V = 0 kN
AULA5
	
	
	
		1.
		Com respeito ao cisalhamento num eixo circular, pela presença de um torque externo é CORRETO afirmar que:
	
	
	
	Varia linearmente ao longo do raio, a partir ddsuperfície externa do círculo da seção reta
	
	
	Varia linearmente ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta
	
	
	Varia segundo uma parábola ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta
	
	
	É constante ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta
	
	
	Varia inversamente ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta
	
Explicação: Tensão = T.raio/J
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se o torque aplicado ao eixo CD for T´ = 75 N.m, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo AB. Os mancais B, C e D permitem a livre rotação dos eixos, e o motor impede a rotação dos eixos. 
Dados: J = pi.r4/2     e Tensão de cisalhamento = T.r/J
 
	
	
	
	2,66 MPa
	
	
	7,66 MPa
	
	
	8,91 MPa
	
	
	6,91 MPa
	
	
	5,66 MPa
	
Explicação:
Inicialmente devemos utilizar que a força trocada pela engrenagens é igual.
Eixo CD: T = F.d ⇒ 75 = F.0,125 ⇒ F = 600 N
Eixo AB: T = F.d = 600.0,050= 30 N.m
Tensão de cisalhamento = T.raio/J = 5,66 MPa
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para o perfil da figura, determine a tensão de cisalhamento máxima, sabendo que a viga está submetida a um esforço cortante de 145,05 kN e as dimensões estão em cm.
Dados: I = 9 . 10-5 m4 ;  
	
	
	
	45 MPa
	
	
	30 MPa
	
	
	25 MPa
	
	
	40 MPa
	
	
	35 MPa
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma coluna com rótulas nas extremidades, de comprimento L, momento de inércia da seção transversal igual a I e módulo de elasticidade E, tem carga crítica vertical Pcr e apresenta comportamento, em relação à flambagem, segundo a teoria de Euler. Sobre tal coluna, é incorreto afirmar:
	
	
	
	Se a seção transversal da coluna for circular e seu raio for duplicado, a carga Pcr resulta 16 vezes maior.
	
	
	Engastando uma das extremidades e deixando a outra livre (eliminando a rótula), a carga crítica passa a ser ¼ da inicial.
	
	
	Caso as extremidades sejam engastadas, a carga crítica Pcr quadruplica.
	
	
	Caso o comprimento L seja reduzido à metade, o valor da carga crítica Pcr duplica.
	
	
	A carga crítica Pcr é proporcional ao produto EI.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Suponha um eixo cilíndrico homogêneo preso em uma extremidade. Um torque T é aplicado ao mesmo e, em consequência, as seções retas estão submetidas ao cisalhamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma seção, determinam-se os valores de tensão de cisalhamento: 100 MPa; 50 MPa e 0. Com relação às posições dos pontos, na seção reta, sujeitos a estes valores é verdade que:
	
	
	
	Um desses pontos é o centro e os demais igualmente afastados do centro.
	
	
	Estes pontos estão necessariamente alinhados
	
	
	Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 100 MPa mais afastado que o de 50MPa
	
	
	Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 50 MPa mais afastado que o de 100MPa
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
Explicação:
A variação da tensão de cisalhamento ao longo do raio é linear, sendo zero neste ponto. Assim, o ponto de 100 MPa está mais afastado do centro do que o ponto de 50 MPa
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Como é interpretada a convenção de sinais no diagrama de momento torsor?
	
	
	
	Pode-se dizer que o sinal do momento torsor positivo é equivalente a direção do polegar contrário a posição dos eixos positivos
	
	
	O sinal do momento torsor é orientado pela referência da aplicação de forças distribuídas.
	
	
	No diagrama de momento torsor, representa-se acima da barra torsor negativo.
	
	
	Sempre considera-se o momento torsor negativo quando não há rotação entorno do eixo.
	
	
	O sinal do momento torsor é orientado pela regra da mão direita com relação a posição dos eixos positivos.
	
Explicação:
Regra da mão direita, sendo o polegar o vetor momento torsor. Quando estiver "saindo" da superfície é positivo, ao contrário, negativo
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere uma viga reta, homogênea e de seção transversal constrante, inicialmente na posição horizontal. A seção transversal em cada extremidade é vertical, ou seja, cada elemento longitudinal possui, inicialmente, o mesmo comprimento. A via é fletida única e exclusivamente pela aplicação de momentos fletores, e a ação pode ser considerada elástica. Para essa situação, com as hipóteses consideradas, analise as afirmações a seguir. I- Qualquer seção plana da viga, antes da flexão, permanece plana após essa flexão. II - Existem elementos longitudinais da viga que não sofrem deformação, ou seja, alteração em seu comprimento. III - Todos os elementos longitudinais da viga encontram-se submetidos a tensões de tração. Está correto o que se afirma em:
	
	
	
	I, II e III
	
	
	I e III
	
	
	II e III
	
	
	I
	
	
	I e II
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Um eixo circular de alumínio está sob torção. Em uma dada seção reta é feito um estudo a respeito das tensões que atuam. É correto afirmar que:
	
	
	
	As tensões são cisalhantes e variam com o quadrado da distância a partir do centro, sendo zero neste ponto e máxima na periferia.
	
	
	As tensões são cisalhantes e variam linearmente a partir do centro, sendo zero neste ponto e máxima na periferia.
	
	
	As tensões são normais e variam linearmente a partir do centro, sendo máxima neste ponto e zero na periferia.
	
	
	As tensões são cisalhantes e variam linearmente a partir do centro, sendo máxima neste ponto e zero na periferia.
	
	
	As tensões são normais e variam linearmente a partir do centro, sendo zero neste ponto e máxima na periferia.
	
Explicação:
A tensão cisalhante varia na seção linearmente a partir do centro.
AULA 6
	
	
	
		1.
		Uma Viga de concreto armado, simplesmente apoiada nas extremidades, de 10 metros de comprimento, cuja secção transversal retangular mede 10 cm de base e 20 cm de altura, suporta uma carga uniformemente distribuída de 100kg/m (incluindo o seu peso próprio).  Desta forma qual a intensidade da tensão normal, oriunda da flexão pura? Considere g = 10 m/s2.
	
	
	
	12,50 MPa
	
	
	2,25 MPa
	
	
	18,75 MPa
	
	
	32,55 MPa
	
	
	25,45 MPa
	
Explicação:
Aplicar M = q.l2/8
e    Tensão = M.c/I
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um modelo dos esforços de flexão composta, no plano horizontal de um reservatório de concreto armado de planta-baixa quadrada e duplamente simétrica, é apresentado esquematicamente na figura a seguir por meio do diagrama de momentos fletores em uma das suas paredes. Na figura, p é a pressão hidrostática no plano de análise, a é o comprimento da parede de eixo a eixo, h é a espessura das paredes (h << A), M1 M2 são os momentos fletores, respectivamente, no meio da parede nas suas extremidades, e N é o esforço normal aproximado existente em cada parede.
Considerando o reservatório cheio de água, verifica-se que, na direção longitudinal da parede, os pontos Q, R e S ilustrados na figura estão submetidos às seguintes tensões normais:
	
	
	
	Q [tração] - R [compressão] - S [compressão]
	
	
	Q [compressão] - R [tração] - S [nula]
	
	
	Q [tração] - R [compressão] - S [nula]
	
	
	Q [compressão] - R [tração] - S [tração]
	
	
	Q [tração] - R [tração] - S [tração]
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Um engenheiro necessita projetar uma viga bi-apoiada de 5 metros de comprimento e que apresente deflexão máxima "v" no ponto médio igual a 1mm.
Sabendo-se que o material deve apresentar momento de inércia "I" igual a 0,003 m4 e carregamento constanteconcentrado "w" igual a 200kN, obtenha entre os materiais da tabela a seguir o mais adequadoao projeto.
OBS: v=wL3/48EI ("w" é o carregamento).
	Material
	Módulo de Elasticidade (GPa)
	Liga Inoxidável 304
	193
	Liga Inoxidável PH
	204
	Ferro Cinzento
	100
	Ferro Dúctil
	174
	Alumínio
	70
 
	
	
	
	Ferro Cinzento
	
	
	Alumínio
	
	
	Liga Inoxidável 304
	
	
	Liga Inoxidável PH
	
	
	Ferro Dúctil
	
Explicação:
Devemos calcular o módulo de elasticidade do material. v=wL3/48EI → 1,0 x 10-3=200 x 10 x 53 / 48 x E x 3,0 x 10-3 → E= 173,6 MPa.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O eixo de um motor, que aciona uma máquina, gira a uma rotação de 1800 rpm e imprime um torque de 23 N.m. Qual a potencia mínima necessária a este motor?
	
	
	
	41.400 W
	
	
	1.300 W
	
	
	7.465 W
	
	
	13675 W
	
	
	4.335 W
	
Explicação:
P = 2*pi*f.T
Potência = 2 x 3,14 x (1800/60)x23 = 4335 W
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja uma haste horizontal AB de seção reta circular apoiada em suas extremidades A e B. Considere que seu diâmetro vale 50 mm e o seu comprimento AB vale 5 m. Sobre esta haste existe uma distribuição uniforme ao longo de seu comprimento tal que q seja igual a 400 N/m. Determine a tensão de flexão máxima.
Dados: I=pi.(R4)/4   Mmáximo = q.l2/8     Tensão = M.R/I
 
	
	
	
	408 MPa
	
	
	25,5 MPa
	
	
	102 MPa
	
	
	204 MPa
	
	
	51 MPa
	
Explicação:
Mmáximo = q.l2/8 = 400.25/8 = 1250 N.m
Tensão = M.R/pi.(R4)/4 
Tensão = M/pi.(R3)/4 
Tensão = 1250/3,14.(0,0253)/4 
Tensão = 102 MPa
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Após a aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é
	
	
	
	0,3
	
	
	3,0
	
	
	0,003
	
	
	30,0
	
	
	0,03
	
Explicação: σ = F/A → σ = 60 kN/10 cm2 = 6 kN/cm2 = 60 MPa σ = E.ε → 60 MPa = 200.103 MPa. (∆L/L) → ∆L = 3.10-4 m ∆L = 0,3 mm
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere a barra de seção reta retangular da figura com base 50 mm, altura 150 mm e 5,5 m de comprimento apoiada em suas extremidades. Os apoios A e B são de 1º e 2º gêneros. Duas cargas concentradas de 40 kN são aplicadas sobra a barra, verticalmente para baixo. Uma dessas forças está a 1 m da extremidade A e a outra, a 1m da extremidade de B. Determine o módulo do momento máximo fletor que atua na barra.
	
	
	
	25 kN.m
	
	
	40 kN.m
	
	
	20 kN.m
	
	
	45 kN.m
	
	
	15 kN.m
	
Explicação:
Pela simetria, as reações nos apoios A e B valem 40 kN. O momento máximo ocorre na região entre as duas cargas concentradas e vale 40kN x 1 m = 40 kN.m
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma viga é construído a partir de quatro pedaços de madeira, colados como mostrado. Se o momento que atua na seção transversal é de 10 kN m, determine a tensão nos pontos A e B.
	
	
	
	σA=3MPa; σB=2,5MPa
	
	
	σA=6,2MPa; σB=5,2MPa
	
	
	σA=5MPa; σB=15MPa
	
	
	σA=32MPa; σB=5,2MPa
	
	
	σA=16,2MPa; σB=15,2MPa
	
Explicação: Calculo do momento de inércia; Utilizar a FÓRMULA DA FLEXÃO, A tensão normal em uma distância intermediária y;
AULA 7
		
		As figuras mostradas nas opções a seguir mostram duas situações em que esforços são aplicados a uma viga. A parte esquerda da igualdade presente em cada opção representa a aplicação combinada de um esforço normal e um momento fletor e a parte direita representa a aplicação de uma única carga.
Com base na teoria estudada em "flexão composta reta", assinale a opção em que a igualdade está CORRETA:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões trativas acima do eixo centróide e tensões compressivas abaixo do eixo centróide, condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e abaixo do mesmo.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Ao estudarmos o tema "flexão composta reta", vemos que os esforços combinados de uma tensão longitudinal normal e de um momento fletor em uma viga podem ser reproduzidos pela aplicação excêntrica de uma força longitudinal normal, considerando o eixo centróide como referência.
Nas opções a seguir, que mostram uma viga de perfil H, identique aquela que representa estados de tensão possivelmente EQUIVALENTES.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões trativas abaixo do eixo centróide e tensões compressivas acima do eixo centróide, condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e acima do mesmo.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere uma viga de seção em U, cujo eixo centroide localiza-se a 60 mm da parte superior (vide figura). O momento de inércia desta seção, em relação ao eixo centroide horizontal, é 45.10-6 m4. A viga está engastada em uma das extremidades e, na outra, uma carga concentrada de valor 26 kN, inclinada de um ângulo com a horizontal, é aplicada. Considere que o seno e o cosseno deste ângulos valem, respectivamente, 12/13 e 5/13. Determine a tensão de flexão máxima na seção a-a
Dados: Tensão = M.c/I
	
	
	
	15,2 MPa
	
	
	151,2 MPa
	
	
	5,2 MPa
	
	
	101,2 MPa
	
	
	51,2 MPa
	
Explicação:
M = 24 x 2 + 10 x 60/1000 = 48,6 kN.m
Tensão = M.c/T = 48.600 x 0,140/45.10-6 = 151,2 MPa
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere uma barra bi-apoiada da figura a seguir submetida a um momento fletor. Tem-se que abaixo da linha neutra, a barra encontra-se submetida a tensões trativas e acima da mesma, a tensões compressivas.
 
 
Utilizando como base a teoria da "flexão composta reta", assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	A aplicação de uma força transversal ao eixo longitudinal centróide não altera as tensões de tração na viga em questão.
	
	
	A aplicação de uma força longitudinal normal acima do eixo longitudinal centróide minimiza as tensões de tração nessa região.
	
	
	A aplicação de uma força perpendicular ao eixo longitudinal centróide e voltada para baixo minimiza as tensões de tração na região abaixo do eixo mencionado.
	
	
	A aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do eixo longitudinal centróide aumenta as tensões de tração nessa região.
	
	
	A aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do eixo longitudinal centróide minimiza as tensões de tração nessa região.
	
Explicação:
A tensão de tração abaixo do eixo centróide é minimizada com a aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do referido eixo, criando o efeito de um momento fletor devido a sua excentricidade em relação ao centróide. A tensão criada é dada por:
=N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma barra de aço de seção transversal retangular está submetida a dois momentos fletores iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da barra da figura.
Determine o valor do momento fletor M que provoca um escoamento na barra. Considere σE=248 MPa.
	
	
	
	338,3 N.m
	
	
	338,3 kN.cm
	
	
	43,31kN.cm
	
	
	672,6 kN.cm
	
	
	672,6 N.m
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A figura a seguir mostra a seção reta transversal de uma viga que possui momento de inércia "I" igual a 700.000 cm4, área da seção reta transversal "A" igual a 2.500cm2 e cujo centróide "C" situa-se a 50cm da base. Nessa viga, é aplicado um momento fletor que cria tensão de compresão na superfície indicada pelo ponto 'A" igual a 12kN/cm2 e tensão de tração indicada no ponto "B" igual a 3,0kN/cm2. Sabendo-se que no orifício "D" serão alojados cabos de aço protendidos que gerarão tensões compressivas na parte inferior da estrutura, determine o valor aproximado da força normal longitudinal provocada por esses cabos de tal forma a anular as tensões trativas no ponto "B".
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	
	
	
	2.400kN
	
	
	4.800 kN
	
	
	1.200 kN
	
	
	7.200 kN
	
	
	3.600 kN
	
Explicação:
Os cabos protendidos deverão anular a tensão de tração que surge quando a viga é posicionada na estrutura maior da qual faz parte. Desta forma, os cabos deverão produzir uma tensão de 3,0kN/cm2, porém de compressão e não de tração.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A + N.e.yo/I  3,0=N/2.500 + (N . 30 . 50)/700.000 3,0 = N.(1/2.500+1.500/700.000)  3,0=N.(0,0004+0,0021)  N=3,0/0,0025 = 1.200 kN.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma carga centrada P deve ser suportada por uma barra de aço AB de 1 m de comprimento, bi-rotulada e com seção retangular de 30 mm x d. Sabendo-se que σe = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a menor dimensão d da seção transversal que pode ser usada, quando P = 60 kN.
	
	
	
	48,6mm
	
	
	68,9mm
	
	
	25,7mm
	
	
	52,5mm
	
	
	37,4mm
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A seção reta de uma viga, que foi projetada para receber cabos de aço protendidos no orifício indicado em "B", está representada na figura a seguir. Os cabos protendidos são utilizados como um recurso para aliviar as tensões na parte inferior da viga e podem provocar no máximo força longitudinal normal de compressão igual a 1.000 kN no ponto de sua aplicação. A estrutura apresenta área da seção reta tranversal igual a 4.000 cm2 e momento de inércia igual a 800.000cm4.
 
Ao ser posicionada, a viga ficará submetida a tensões trativas na parte inferior, sendo o valor máximo no ponto "A" igual a 15,25 kN/cm2.
Considerando o contexto anterior e a figura a seguir, determine aproximadamente a excetrincidade "e" dos cabos protendidos para que o estado de tensão trativa seja anulado.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A ± N.e.yo/I
Onde:
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido
- A: área da seção transversal
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide
- yo: distância do bordo considerado até o centroide
	
	
	
	200 cm
	
	
	150 cm
	
	
	125 cm
	
	
	50 cm
	
	
	100 cm
	
Explicação:
Os cabos protendidos deverão anular a tensão de tração que surge quando a viga é posicionada na estrutura maior da qual faz parte. Desta forma, os cabos deverão produzir uma tensão de 15,25kN/cm2, porém de compressão e não de tração.
Tensão provocada pelos cabos protendidos: =N/A + N.e.yo/I  15,25=1.000/4.000 + (1.000 . e . 120)/800.000  15,25 = 0,25+12.e/80  15,00=0,15e  e=15,00/0,15 = 100cm
AULA 8 
	
	
	
		1.
		A expressão a seguir nos permite calcular o estado de tensões em uma determinada seção transversal retangular de um pilar, determinando se o mesmo encontra-se sob compressão ou tração ou mesmo em estado nulo quando uma força longitudinal normal deslocada dos eixos centróides é aplicada.
=±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix
Com base na tabela a seguir, que revela o estado de tensões da área do pilar, determine os vértices submetidos a compressão.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-40
	-40
	20
	B
	-40
	40
	20
	C
	-40
	-40
	-20
	D
	-40
	40
	20
 
	
	
	
	A e B
	
	
	A e D
	
	
	A e C
	
	
	C e D
	
	
	B e C
	
Explicação:
A soma das componentes fornece a magnitude das tensões. As tensões negativas são compressivas e as positivas são trativas.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	SOMA
	A
	-40
	-40
	20
	-60
	B
	-40
	40
	20
	20
	C
	-40
	-40
	-20
	-100
	D
	-40
	40
	20
	20
Observamos que na condição compressiva, encontram-se os vértices A e C.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A expressão a seguir nos permite calcular o estado de tensões em uma determinada seção de um pilar, determinando se o mesmo encontra-se sob compressão ou tração ou mesmo em estado nulo
Uma força longitudinal normal deslocada dos eixos centróides provoca na seção reta de um pilar diversos estados de tensão, descritos pela expessão =±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix, na qual tem-se os seguintes termos:
- N: esforço normal.
- A: área da seção transversal
- Ix e Iy: momentos de inércia da seção em relação aos eixos x e y
- x e y: distâncias em relação aos eixos x e y do ponto de aplicação da carga considerada.
Considerando a tabela a seguir e os vértices A, B, C e D de uma seção reta retangular de uma pilar, determinar qual das opções oferece vértices que estão submetidos a tensões trativas.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-40
	-25
	15
	B
	-40
	25
	15
	C
	-40
	-25
	-15
	D
	-40
	25
	15
 
	
	
	
	Nenhum dos vértices.
	
	
	C e D
	
	
	A e B
	
	
	A, C e D
	
	
	A e C
	
Explicação:
A soma das componentes fornece a magnitude das tensões. As tensões negativas são compressivas e as positivas são trativas.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	Soma
	A
	-40
	-25
	15
	-40
	B
	-40
	25
	15
	0
	C
	-40
	-25
	-15
	-80
	D
	-40
	-25
	-15
	-30
Observamos que não há vértices na condição trativa.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 125kW quando o eixo está girando a uma frequência de 1500 rpm. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é 50 MPa.
Dados: Pot = T.w       w = 2pi.f       J=pi.(R4 ¿ r4)/2      Tensão de cisalhamento = T.R/J
	
	
	
	2,0 mm
	
	
	3,0 mm
	
	
	2,5 mm
	
	
	1,5 mm
	
	
	1,0 mm
	
Explicação:
f = 1500/60 25 Hz
Pot = T. w ⇒ 125.000 = T.2pi.25
T = 796,2 N.m
J = pi.(31,254 - x4).10-12/2
Tensão = T.R/J ⇒ 50.106 = 796,2 . 31,25.10-3/ pi.(31,254 - x4).10-12/2
796,2 . 31,25.10-3.=2,5.pi .(31,254 - x4).10-12. .107 
796,2 . 31,25.102./(2,5.pi) =(31,254 - x4)
x = 28,25 mm
T = 31,25 - 28,25 = 3,00 mm 
 
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no Ponto A.
	
	
	
	91.7 MPa-
	
	
	-9.81 MPa
	
	
	-61.6 MPa
	
	
	-11.52 MPa
	
	
	-17.06 MPa
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, determine a tensão no Ponto B.
	
	
	
	91.7 MPa
	
	
	11.52 MPa
	
	
	9.81 MPa
	
	
	17.06 MPa
	
	
	61.6 MPa
	
Explicação:
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O pilar mostrado na figura em corte está submetido a uma força longitudinal normal fora dos eixos centróides x e y, gerando o efeito de momentos em relação a esses eixos.O estado de tensões é complexo, originando regiões submetidas a tensões compressivas, trativas e nulas, calculadas pela expressão: =±N/A ± N.ey.x/Iy ± N.ex.y/Ix
Com base na tabela a seguir, que revela o estado de tensões da área, determine o ponto em que as tensões compressivas são máximas em módulo.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	A
	-60
	40
	30
	B
	-60
	-40
	30
	C
	-60
	-40
	-30
	D
	-60
	40
	-30
	
	
	
	B
	
	
	A
	
	
	Nenhum vértice está submetido a compressão.
	
	
	D
	
	
	C
	
Explicação:
A soma das componentes fornece a magnitude das tensões. As tensões negativas são compressivas e as positivas são trativas.
	Vértice
	N/A
	N.ey.x/Iy
	N.ex.y/Ix
	Soma
	A
	-60
	40
	30
	10
	B
	-60
	-40
	30
	-70
	C
	-60
	-40
	-30
	-130
	D
	-60
	40
	-30
	-50
Observamos que na condição compressiva, o vértice C é o de maior magnitude em módulo.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere uma viga homogênea e de seção retangular de largura b e altura h.  Suponha que este elemento estrutural esteja sob um carregamento tal que em uma dada seção o esforço cortante seja igual a V.  A distribuição da tensão de cisalhamento nesta seção transversal:
	
	
	
	Varia linearmente com a altura sendo seu máximo nas extremidades
	
	
	É constante ao longo da altura h
	
	
	Varia linearmente com a altura sendo seu máximo na metade da altura.
	
	
	Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo na metade da altura.
	
	
	Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo nas extremidades
	
Explicação:
A variação é parabólica, sendo nula a tensão nas extremidades e máxima à meia altura e igual a 1,5V/A
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere uma viga de madeira cuja seção reta é um retângulo de dimensões: altura 125 mm e base 100 mm. Sob dado carregamento, o esforço cortante na seção é igual a 4kN. Determine o valor de tensão máxima e seu ponto de aplicação, em relação à base da seção reta.
	
	
	
	1,00 MPa e 50 mm
	
	
	0,96 MPa e 62,5 mm
	
	
	0,48 MPa e 62,5 mm
	
	
	0,48 MPa e 125 mm
	
	
	0,96 MPa e 125 mm
AULA 9
	
	
	
		1.
		Uma estrutura necessita de uma barra de comprimento "L" esbelta sob força compressiva de 30 kN. Considerando os dados relativos a mesma a seguir, determine aproximadamente o maior comprimento que a barra deve ter para não sofrer flambagem.
Carga crítica para ocorrência de flambagem: Pcr = π2.E.I/(kL)2
Módulo de Elasticidade (E)= 12GPa
Momento de Inércia (I)=40 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
π= 3,1416
	
	
	
	125 cm
	
	
	250 cm
	
	
	2.000 cm
	
	
	500 cm
	
	
	1.000 cm
	
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 30 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  30 . 103= π2.12.109.40.10-8/(0,5. L)2   30 . 103= 47.374,32/(0,5. L)2  30 . 103= 47.374,32/0,25. L2  L2 = 6,32  L=2,52 m ou 252 cm.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em um aparato mecânico, é necessário se projetar uma viga de 2,0 m de comprimento e momento de inércia igual a 50 cm4, que não sofra flambagem quando submetida a um esforço compressivo de 40 kN e fator de comprimento efetivo igual a 0,5. Considerando a tensão crítica para flambagem igual a Pcr = π2.E.I/(kL)2 e a tabela a seguir, em que "E" é o módulo de elasticidade dos materiais designados por X1, X2, X3, X4 e X5, determine o material que melhor se adequa ao projeto.
OBS:
E= módulo de Elasticidade
I = momento de Inércia
k = fator de comprimento efetivo
L = comprimento da viga.
π= 3,1416
	Material
	Módulo de Elasticidade "E" (GPa)
	X1
	16
	X2
	20
	X3
	39
	X4
	8
	X5
	40
 
	
	
	
	X1
	
	
	X2
	
	
	X5
	
	
	X3
	
	
	X4
	
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 40 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  40 . 103= π2.E.50.10-8/(0,5. 2,0)2   40 . 103= 493,48.E. 10-8/(1,0)2  40 . 103= 493,48.E. 10-8  E = 40 . 103 / 493,48. 10-8  E=0,0081 . 1011 = 8,1 . 109 = 8,1 GPa.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma  coluna retangular de madeira de 4 m de comprimento tem seção reta 50 mm x 100 mm e está posicionada verticalmente. Qual a carga crítica, considerando que as extremidades estejam presas por pinos. Emadeira = 11 x 103 MPa. Não ocorre escoamento.
 
	
	
	
	8,5 kN
	
	
	7,8 kN
	
	
	8,2 kN
	
	
	9,0 kN
	
	
	7,1 kN
	
Explicação:
P crítica = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítica = (3,14)2 11.103.(100.503/12) / [(1.4000)2] = 7,1 kN
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma barra horizontal sofre flambagem como mostrado na figura. Sabendo-se que para ocorrer tal flexão transversal é necessária a aplicação de uma força de compressão axial mínima, dada por Pcr = π2.E.I/(kL)2, obtenha o valor aproximado da mesma utilizando os dados a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 15GPa
Momento de Inércia (I)=60 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 2,0 m ou 200 cm
π= 3,1416
	
	
	
	75 kN
	
	
	110 kN
	
	
	89 kN
	
	
	100 kN
	
	
	10 kN
	
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.15.109.60.10-8/(0,5. 2,0)2 = 8.882,68 . 10 = 88,8 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=60 cm4= 60 . 10-8 m4.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma haste de 12,5m de comprimento é feita de uma barra de aço de 25 mm de diâmetro. Determine a carga crítica de flambagem, se as extremidades estiverem presas a apoios:
Dados: E=  210 ,103 MPa, K = 0,5 e I = pi.r4/4
	
	
	
	122 kN
	
	
	165 kN
	
	
	210 kN
	
	
	190 kN
	
	
	102 kN
	
Explicação:
P crítico = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítico = (3,14)2 210.109.(3,14.(0,0125)4/4) / [(0,5.12,5)2]= 102 kN
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Flambagem é um fenômeno que ocorre com barras esbeltas submetidas a esforços de compreesão axial. Nesse contexto, a barra pode sofrer flexão transversal, como mostra a figura a seguir.
 
 
Sabendo-se que para ocorrer flexão é necessário a aplicação de uma determinada carga crítica de compressão, Pcr = π2.E.I/(kL)2, determine aproximadamente a tensão correspondente a essa carga crítica para a barra com as carcterísticas a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 20GPa
Momento de Inércia (I)=54 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 3,50 m ou 350 cm
Área da Seção reta da barra = 40 cm2
π = 3,1416
 
	
	
	
	12,0 MPa
	
	
	17,0 MPa
	
	
	4,0 MPa
	
	
	8,7 MPa
	
	
	9,0 MPa
	
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.20.109.54.10-8/(0,5. 3,50)2 = 0,3480 . 105 = 34,80 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=54cm4= 54 . 10-8 m4.
cr = Pcr /A = 34,80 . 103/(40 . 10-4)=8,7 . 106 = 8,7 MPa.
Não se esqueça de converter as unidades para metro, ou seja, A=40cm2=40 . 10-4 m2.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma barra homogênea de comprimento L = 1,0 m e seção reta quadrada, de lado 2,0 cm, está submetida a uma tração de 200kN. O material da barra possui módulo de elasticidade de 200GPa. Qual o valor da deformação da barra, considerando que se encontra no regime elástico?
	
	
	
	2,5mm
	
	
	2,5cm
	
	
	0,25mm
	
	
	25mm
	
	
	25cm
AULA 10
	
	
	
		1.
		Uma estrutura necessita de uma barra de comprimento "L" esbelta sob força compressiva de 30 kN. Considerando os dados relativos a mesma a seguir, determine aproximadamente o maior comprimento que a barra deve ter para não sofrer flambagem.
Carga crítica para ocorrência de flambagem: Pcr= π2.E.I/(kL)2
Módulo de Elasticidade (E)= 12GPa
Momento de Inércia (I)=40 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
π= 3,1416
	
	
	
	125 cm
	
	
	250 cm
	
	
	2.000 cm
	
	
	500 cm
	
	
	1.000 cm
	
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 30 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  30 . 103= π2.12.109.40.10-8/(0,5. L)2   30 . 103= 47.374,32/(0,5. L)2  30 . 103= 47.374,32/0,25. L2  L2 = 6,32  L=2,52 m ou 252 cm.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em um aparato mecânico, é necessário se projetar uma viga de 2,0 m de comprimento e momento de inércia igual a 50 cm4, que não sofra flambagem quando submetida a um esforço compressivo de 40 kN e fator de comprimento efetivo igual a 0,5. Considerando a tensão crítica para flambagem igual a Pcr = π2.E.I/(kL)2 e a tabela a seguir, em que "E" é o módulo de elasticidade dos materiais designados por X1, X2, X3, X4 e X5, determine o material que melhor se adequa ao projeto.
OBS:
E= módulo de Elasticidade
I = momento de Inércia
k = fator de comprimento efetivo
L = comprimento da viga.
π= 3,1416
	Material
	Módulo de Elasticidade "E" (GPa)
	X1
	16
	X2
	20
	X3
	39
	X4
	8
	X5
	40
 
	
	
	
	X1
	
	
	X2
	
	
	X5
	
	
	X3
	
	
	X4
	
Explicação:
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 40 kN.
Pcr = π2.E.I/(kL)2  40 . 103= π2.E.50.10-8/(0,5. 2,0)2   40 . 103= 493,48.E. 10-8/(1,0)2  40 . 103= 493,48.E. 10-8  E = 40 . 103 / 493,48. 10-8  E=0,0081 . 1011 = 8,1 . 109 = 8,1 GPa.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma  coluna retangular de madeira de 4 m de comprimento tem seção reta 50 mm x 100 mm e está posicionada verticalmente. Qual a carga crítica, considerando que as extremidades estejam presas por pinos. Emadeira = 11 x 103 MPa. Não ocorre escoamento.
 
	
	
	
	8,5 kN
	
	
	7,8 kN
	
	
	8,2 kN
	
	
	9,0 kN
	
	
	7,1 kN
	
Explicação:
P crítica = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítica = (3,14)2 11.103.(100.503/12) / [(1.4000)2] = 7,1 kN
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma barra horizontal sofre flambagem como mostrado na figura. Sabendo-se que para ocorrer tal flexão transversal é necessária a aplicação de uma força de compressão axial mínima, dada por Pcr = π2.E.I/(kL)2, obtenha o valor aproximado da mesma utilizando os dados a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 15GPa
Momento de Inércia (I)=60 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 2,0 m ou 200 cm
π= 3,1416
	
	
	
	75 kN
	
	
	110 kN
	
	
	89 kN
	
	
	100 kN
	
	
	10 kN
	
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.15.109.60.10-8/(0,5. 2,0)2 = 8.882,68 . 10 = 88,8 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=60 cm4= 60 . 10-8 m4.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma haste de 12,5m de comprimento é feita de uma barra de aço de 25 mm de diâmetro. Determine a carga crítica de flambagem, se as extremidades estiverem presas a apoios:
Dados: E=  210 ,103 MPa, K = 0,5 e I = pi.r4/4
	
	
	
	122 kN
	
	
	165 kN
	
	
	210 kN
	
	
	190 kN
	
	
	102 kN
	
Explicação:
P crítico = (3,14)2 E.I / [(KL)2]
P crítico = (3,14)2 210.109.(3,14.(0,0125)4/4) / [(0,5.12,5)2]= 102 kN
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Flambagem é um fenômeno que ocorre com barras esbeltas submetidas a esforços de compreesão axial. Nesse contexto, a barra pode sofrer flexão transversal, como mostra a figura a seguir.
 
 
Sabendo-se que para ocorrer flexão é necessário a aplicação de uma determinada carga crítica de compressão, Pcr = π2.E.I/(kL)2, determine aproximadamente a tensão correspondente a essa carga crítica para a barra com as carcterísticas a seguir:
Módulo de Elasticidade (E)= 20GPa
Momento de Inércia (I)=54 cm4
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5
Comprimento da barra (L) = 3,50 m ou 350 cm
Área da Seção reta da barra = 40 cm2
π = 3,1416
 
	
	
	
	12,0 MPa
	
	
	17,0 MPa
	
	
	4,0 MPa
	
	
	8,7 MPa
	
	
	9,0 MPa
	
Explicação:
Pcr = π2.E.I/(kL)2= π2.20.109.54.10-8/(0,5. 3,50)2 = 0,3480 . 105 = 34,80 kN
Observe que o momento de inércia foi expresso em cm e devemos convertê-lo para metros, ou seja, I=54cm4= 54 . 10-8 m4.
cr = Pcr /A = 34,80 . 103/(40 . 10-4)=8,7 . 106 = 8,7 MPa.
Não se esqueça de converter as unidades para metro, ou seja, A=40cm2=40 . 10-4 m2.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma barra homogênea de comprimento L = 1,0 m e seção reta quadrada, de lado 2,0 cm, está submetida a uma tração de 200kN. O material da barra possui módulo de elasticidade de 200GPa. Qual o valor da deformação da barra, considerando que se encontra no regime elástico?
	
	
	
	2,5mm
	
	
	2,5cm
	
	
	0,25mm
	
	
	25mm
	
	
	25cm