Prévia do material em texto

231 
4.12 – EXERCÍCIOS – pg. 138 
 
 
���� Nos exercícios de 1 à 22 encontrar a derivada das funções dadas. A seguir, comparar 
os resultados encontrados com os resultados obtidos a partir do uso de um software 
algébrico. 
 
1- 2)( rrf pi= 
 
rrf pi2)( =′ 
 
2- 1063)( 2 −+= xxxf 
 
66)( +=′ xxf 
 
3- bawwf += 2)( 
 
awwf 2)( =′ 
 
4- 3
2
114)( −−= xxf 
 
4
2
3)( −=′ xxf 
 
5- )63()12()( 2 ++= xxxf 
 
12618
126612
2).63(6.)12()(
2
22
2
++=
+++=
+++=′
xx
xxx
xxxxf
 
 
6- )4()17()( +−= xxxf 
 
2714
28717
7).4(1).17()(
+=
++−=
++−=′
x
xx
xxxf
 
 
7- )2()13()( 45 xxxf −−= 
 
 232 
348
8438
4435
43027
1530412
15.)2()4()13()(
xxx
xxxx
xxxxxf
++−=
−++−=
−+−−=′
 
 
8- )35()35(
6
4)( 1 +−= − xxxf 
 
)35(
)35(
6
4)(
−
+
=
x
x
xf 
 
22
2
2
)35(
20
)35(
30
6
4
)35(
15251525
6
4
)35(
5.)35(5.)35(
6
4)(
−
−
=
−
−
=
−
−−−
=
−
+−−
=′
xx
x
xx
x
xx
xf
 
 
9- )1()1()( +−= xxxf 
 
x
xx
xxxf
2
11
1).1(1).1()(
=
++−=
++−=′
 
 
10- )25()13()1()( 32 sssssf +−−= 
 [ ]
)25()13(2)25()1(3)215()13()1(
2)25()13(3)25()215()13()1()(
33222
3322
ssssssssss
ssssssssssf
+−++−++−−=
+−++++−−=′
 
 
11- )(7)( 2 cbxaxxf ++= 
 
)2(7)( baxxf +=′ 
 
12- )2()4()( 2 uaauuf −−= 
 
( )
aauu
uauau
uuaauuf
2824
16828
8)2(2)4()(
2
22
2
++−=
−++−=
−+−−=′
 
 
 233 
13- 
13
42)(
−
+
=
x
x
xf 
 
2
2
2
)13(
14
)13(
12626
)13(
3).42(2).13()(
−
−
=
−
−−−
=
−
+−−
=′
x
x
xx
x
xx
xf
 
 
14- 
1
1)(
+
−
=
t
t
tf 
 
22
2
)1(
2
)1(
11
)1(
1).1(1).1()(
+
=
+
+−+
=
+
−−+
=′
tt
tt
t
tt
tf
 
 
15. 
1
153)(
2
−
−+
=
t
tt
tf 
 
2
2
2
2
)1(
463
)1(
1).153()56()1()(
−
−−
=
−
−+−+−
=′
t
tt
t
tttt
tf
 
 
16- 
2
2)(
2
−
−
=
t
t
tf 
 
44
24
)2(
24
)2(
242
)2(
1).2()2()2()(
2
2
2
2
2
22
2
2
+−
−+−
=
−
−+−
=
−
+−+−
=
−
−−−−
=′
tt
tt
t
tt
t
ttt
t
ttt
tf
 
 
 234 
17- 25
4)(
x
x
xf
−
−
= 
 
22
2
22
22
22
2
)5(
58
)5(
285
)5(
)2()4()1()5()(
x
xx
x
xxx
x
xxx
xf
−
−+−
=
−
−++−
=
−
−−−−−
=′
 
 
18- 
22
75)(
−
+
=
x
x
xf 
 
2
2
2
)22(
24
)22(
14101010
)22(
2).75(5).22()(
−
−
=
−
−−−
=
−
+−−
=′
x
x
xx
x
xx
xf
 
 
19- )63(2
1)( 2 xx
x
x
xf +





+
−
=
 
 
2
23
2
223
2
2
2
2
2
2
2
2
)2(
1236276
)2(
631230246
)2(
63)66)(1)(2(
)2(
63
2
)66()1(
)2(
12)63()66.(
2
1
)2(
1).1(1).2()63()66(
2
1)(
+
+++
=
+
+++++
=
+
+++++
=
+
+
+
+
++
=
+
−−+
+++
+
+
=
+
+−+
+++





+
+
=′
x
xxx
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xx
x
xx
x
xx
xxx
x
x
x
xx
xxx
x
x
xf
 
 
20- 
bt
at
tf
−
−
=
2)()( 
 235 
 
2
22
2
222
2
22
22
)(
22
)(
22222
)(
)2()22()(
2)(
bt
ababtt
bt
aattabbtatt
bt
aattatbt
bt
aatt
tf
−
+−−
=
−
−+−+−−
=
−
+−−−−
=
−
+−
=′
 
 
21- 54
53)(
xx
xf += 
 
65
10
4
8
3
2512
5.54.3)(
xx
x
x
x
x
xf
−
−
=
−
+
−
=′
 
 
22- 6
4 2
2
1)(
x
xxf += 
 
7
3
12
5
3
122
6.24
2
1)(
x
x
x
x
xxf
−=
−
+=′
 
 
23- Seja ),()()( bxaxxp −−= sendo a e b constantes. Mostrar que, se b,a ≠ então 
0)()( == bpap mas 0)( ≠′ ap e .0)( ≠′ bp 
 
0)()()( =−−= baaaap 
 
0)()()( =−−= bbabbp 
 
bax
bxax
bxaxxp
−−=
−+−=
−+−=′
2
1).(1).()(
 
 
bapbabaaap ≠≠−=−−=′ /0.2)( 
 
./0.2)( bapabbabbp ≠≠−=−−=′ 
 
 236 
24- Dadas as funções Axxxf += 2)( e Bxxg =)( , determinar A e B de tal forma que 



=−
+=′+′
2)()(
21)()(
xxgxf
xxgxf
 
Temos, 
Axxf +=′ 2)( 
 
Bxg =′ )( 
 



=−+=−
+=++=′+′
22)()(
212)()(
xBxAxxxgxf
xBAxxgxf
 
 
 



=−
=+
0
1
BA
BA
⇒
2
112
0
1
=∴=
=−
=+
AA
BA
BA
⇒
2
1
=b 
 
25- Dada a função ,143)( 3 +−= tttf encontrar )0()0( ftf ′− 
 
1)0(
4)0(
49)( 2
=
−=′
−=′
f
f
ttf
 
 
14
)4(1)0()0(
+=
−−=′−
t
tftf
 
 
26- ����Encontrar a equação da reta tangente à curva 
43
12
−
+
=
x
xy
 no ponto de abscissa 
.1−=x Usando uma ferramenta gráfica, esboçar o gráfico da função e da reta 
tangente. 
 
43
12
−
+
=
x
xy
 
 
2
2
2
)43(
11
)43(
3686
)43(
3)12(2)43(
−
−
=
−
−−−
=
−
+−−
=′
x
x
xx
x
xxy
 
 
 237 
49
11
)43(
11)1( 2
−
=
−−
−
=−m 
7
1
7
1
43
121 =
−
−
=
−−
+−
=⇒−= yx 
 
044911
1111749
)1(
49
11
7
1
=++
−−=−
+
−
=−
yx
xy
xy
 
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f (x)
 
 
 
27- Encontrar a equação da reta normal a curva 22 )43( xxy −= no ponto de abscissa 
.2=x 
 
23422 16249)43( xxxxxy +−=−= 
 
xxxy 327236 23 +−=′ 
 
64
2.322.722.36)2( 23
=
+−=m
 
 
64
1
−=nm 
 
16)2.42.3(2/ 22 =−=⇒= yxp 
Equação da reta normal: 
 238 
0102664
)2(
64
116
=−+
−−=−
yx
xy
 
 
28- ���� Encontrar as equações das retas tangentes à curva 
1
1
+
−
=
x
xy que sejam paralelas a 
reta .xy = Usando uma ferramenta gráfica, esboçar o gráfico da curva, da reta data e 
das tangentes encontradas. 
 
1
1
+
−
=
x
xy 
 
22
2
)1(
2
)1(
11
)1(
1).1(1).1(
+
=
+
+−+
=
+
−−+
=′
xx
xx
x
xxy
 
 
1=tm 
 
012
0212
2)1(
1)1(
2)(
2
2
2
2
=−+
=−++
=+
=
+
=
xx
xx
x
x
xm
 
 




−−=
+−=
21
21
x
x
 
 
121
2
2
2
22
2
22
121
12121/
12
2
22
121
12121/
+=+=
+
=
−
−−
=
+−−
−−−
=⇒−−=
+−=
+−
=
++−
−+−
=⇒+−=
yxp
yxp
 
0222
)21(1)12(
=−+−
−+=+−−
yx
xy
 
 
Para a segunda reta temos: 
 
)21(1)12( ++=+− xy 
 
 239 
 
.0222 =++− yx 
-4 -3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f (x)
 
 
 
29- ���� Em que pontos o gráfico da função xxxy 2
2
3
3
1 23 ++= tem tangente horizontal? 
Esboçar o gráfico e analisar o resultado obtido. 
 
023
2322
2
33
3
1
2
22
=+−=′
+−=+−=′
xxy
xxxxy
 
 
1
2
2
1
=
=
x
x
 
 
Pontos 





3
2
,2 





6
5
,1 
 240 
-2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
f (x)
 
 
 
30- Seja .2 bxaxy += Encontrar os valores de a e b, sabendo que a tangent e à curva no 
ponto )5,1( tem inclinação .8=m 
 
baxy +=′ 2 
 



=+=
=+=
5)1(
82)1(
baf
bam
 
 
2
35
5
3
5
82
=
−=
−=⇒
=



−=−−
=+
b
b
ab
a
ba
ba