aula7

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Universidade Federal de São João Del-Rei
Campus Alto Paraopeba
Departamento de Física e Matemática
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Bárbara Amaral
Aula 5
Limites Infinitos e Assíntotas Verticais
O limite não existe
1 2
200
400
600
800
1,000
O limite não existe
lim
x→2
f (x)
não existe porque f (x) cresce arbitrariamente
a medida que x se aproxima de 2.
Limites Infinitos
Se f (x) cresce indefinidamente a medida que
x se aproxima de x
0
, dizemos que o limite de
f (x) quando x tende a x
0
é infinito e
denotamos
lim
x→x
0
f (x) =∞.
Limite Infinito
x
0
lim
x→x
0
f (x) =∞
Se f (x) decresce indefinidamente a medida
que x se aproxima de x
0
, dizemos que o
limite de f (x) quando x tende a x
0
é menos
infinito e denotamos
lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Limite Infinito
x
0
lim
x→x
0
f (x) = −∞
Os laterais também podem ser infinitos
Se f (x) cresce indefinidamente a medida que
x se aproxima de x
0
pela direita, dizemos que
lim
x→x+
0
f (x) =∞.
x
0
lim
x→x+
0
f (x) =∞
Se f (x) decresce indefinidamente a medida
que x se aproxima de x
0
pela direita, dizemos
que
lim
x→x+
0
f (x) = −∞.
x
0
lim
x→x+
0
f (x) = −∞
Se f (x) cresce indefinidamente a medida que
x se aproxima de x
0
pela esquerda, dizemos
que
lim
x→x−
0
f (x) =∞.
x
0
lim
x→x−
0
f (x) =∞
Se f (x) decresce indefinidamente a medida
que x se aproxima de x
0
pela esquerda,
dizemos que
lim
x→x−
0
f (x) = −∞.
x
0
lim
x→x−
0
f (x) = −∞
2
lim
x→2−
f (x) = −∞
lim
x→2+
f (x) = +∞
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota
vertical de f (x) quando um dos limites
laterais é infinito.
Exemplos
Tangente e Secante
x
y
lim
x→x−
0
tan(x) =∞, x
0
=
(2k + 1)pi
2
lim
x→x+
0
tan(x) = −∞, x
0
=
(2k + 1)pi
2
As retas
x =
(2k + 1)pi
2
são assíntotas verticais da função tangente.
x
y
Se x
0
= (2k+1)pi
2
então os limites laterais são
infinitos.
As retas
x =
(2k + 1)pi
2
são assíntotas verticais da função secante.
Funções Logarítmicas
a > 1
2 4 6 8 10
−2
2
x
f (x)
a < 1
2 4 6 8 10
−2
2
x
f (x)
lim
x→0+
loga(x) = −∞, a > 1
lim
x→0+
loga(x) =∞, a < 1
A reta
x = 0
é assíntota vertical da função logaritmo.
Funções Racionais
Uma função racional
f (x) =
p(x)
q(x)
possui assíntota vertical x = a se q(a) = 0 e
p(a) 6= 0.
Exemplos
f (x) =
1
x2
.
1
x2
f (x) =
1
x
.
1
x
f (x) =
2x
x − 3.
f (x) =
x + 1
x2 + 2x
.
x+1
x2+2x
f (x) =
x − 2
x2 − 4.
x−2
x2−4
Limites no Infinito e Assíntotas Horizontais
Queremos estudar o comportamento da
função f (x) quando |x | é muito grande.
Se f (x) se aproxima de L quando x fica
muito grande, dizemos que
lim
x→∞ f (x) = L.
L
x
f (x)
Se f (x) se aproxima de L quando x fica
muito negativo, dizemos que
lim
x→−∞ f (x) = L.
L
x
f (x)
Quando
lim
x→∞ f (x) = L
ou
lim
x→−∞ f (x) = L
dizemos que a reta y = L é uma assíntota
horizontal de f (x).
Exemplos
Funções Exponenciais
−10 −5 5 10
200
400
600
800
1,000
x
f (x)
lim
x→−∞ a
x = 0, a > 1
−10 −5 5 10
200
400
600
800
1,000
x
f (x)
lim
x→∞ a
x = 0, a < 1
Função Arcotangente
−10 −5 5 10
−pi
2
pi
2
arctan(x)
lim
x→∞ arctan(x) =
pi
2
,
lim
x→−∞ arctan(x) = −
pi
2
.
Funções Racionais
Para encontrar as assíntotas horizontais de
função racional
f (x) =
p(x)
q(x)
precisamos analisar os termos de maior grau
de p e q.
Exemplos
f (x) =
1
x2
.
1
x2
f (x) =
1
x
.
1
x
f (x) =
2x
x − 3.
2x
x−3
f (x) =
x + 1
x2 + 2x
.
x+1
x2+2x
f (x) =
x − 2
x2 − 4.
x−2
x2−4
f (x) =
x3 + 1
x2 + 2
.
x3+1
x2+2