2018510_10549_Sistemas+de+Controle+II+-+aula+08

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Análise	
  de	
  Resposta	
  em	
  
Frequência
Sistemas	
  de	
  Controle	
  II
Resposta	
  em	
  Frequência
ü A	
  resposta	
  de	
  um	
  sistema	
  linear	
  a	
  uma	
  excitação	
  qualquer	
  tem	
  dois	
  
componentes:	
  
• A	
  resposta	
  transitória	
  e;
• A	
  resposta	
  permanente	
  (ou	
  forçada).
ü A	
  soma	
  desses	
  dois	
  componentes	
  é	
  denominada	
  resposta	
  completa.
ü Vamos	
  estudar	
  o	
  caso	
  da	
  resposta	
  forçada	
  de	
  um	
  sistema	
  linear	
  a	
  
uma	
  entrada	
  senoidal.
• Uma	
  resposta	
  forçada	
  de	
  um	
  sistema	
  a	
  sinais	
  senoidais	
  de	
  várias	
  frequências	
  
fornece	
  importantes	
  informações	
  sobre	
  o	
  desempenho	
  desse	
  sistema.
Introdução
O	
  objetivo	
  deste	
  estudo	
  é	
  a	
  determinação	
  da	
  resposta	
  forçada	
  de	
  um	
  
sistema	
  linear,	
  invariante	
  no	
  tempo,	
  a	
  uma	
  excitação	
  senoidal	
  u(t).𝑢(𝑡) = 𝑈' cos(ωt	
  +	
  θ	
  ()
Veremos	
  que	
  a	
  resposta	
  forçada	
  (𝑦*)	
  será	
  uma	
  função	
  senoidal	
  de	
  
mesma	
  frequência	
  ω,	
  porém	
  possivelmente	
  com	
  amplitude	
  e/ou	
  
ângulo	
  de	
  fase	
  diferentes	
  daqueles	
  da	
  função	
  de	
  excitação.
Introdução
𝑢(𝑡) = 𝑈' cos(ωt	
  +	
  θ	
  ()
Veremos	
  que	
  a	
  resposta	
  forçada	
  (𝑦*) será	
  uma	
  função	
  senoidal	
  de	
  
mesma	
  frequência	
  ω,	
  porém	
  possivelmente	
  com	
  amplitude	
  e/ou	
  
ângulo	
  de	
  fase	
  diferentes	
  daqueles	
  da	
  função	
  de	
  excitação.𝑦*(𝑡) = 𝑌' cos(ωt +	
  θ’0)
Essa	
  resposta	
  é	
  também	
  chamada	
  de	
  Resposta	
  Harmônica	
  do	
  Sistema
Introdução
o Estudaremos um método que permite a determinação da resposta
forçada no domínio do tempo, a partir da função de transferência do
sistema.
o Veremos como é possível estudar o comportamento da resposta
forçada em função da frequência ω do sinal de entrada.
O	
  comportamento	
  da	
  resposta	
  harmônica	
  (em	
  função	
  da	
  frequência	
  ω)	
  de	
  um	
  sistema	
  é	
  
denominado	
  resposta	
  em	
  frequência.
Introdução
Há três possíveis representações das funções de transferências
senoidais utilizadas comumente.
oDiagrama de Bode ou gráfico logarítmico
oDiagrama de Nyquist ou diagrama polar
oCarta de Nichols ou diagrama do logaritmo do módulo vs ângulo de fase
Diagramas	
  de	
  Bode Diagrama	
  de	
  Nyquist Carta	
  de	
  Nichols
Diagramas	
  de	
  Bode Diagrama	
  de	
  Nyquist Carta	
  de	
  Nichols
Esses	
  Diagramas	
  têm	
  grande	
  importância	
  prática,	
  pois	
  são	
  úteis	
  na	
  análise	
  de	
  estabilidade	
  e	
  de	
  desempenho	
  
nos	
  projetos	
  e	
  na	
  identificação	
  de	
  sistemas.
Introdução
O Diagrama de Bode é constituído por dois gráficos:
oUm é o gráfico do módulo em dB de uma função de transferência senoidal;
oO outro é o gráfico do ângulo de fase.
Ambos	
  são	
  traçados	
  em	
  relação	
  à	
  frequência	
  em	
  escala	
  logarítmica.
Função	
  senoidal	
  de	
  transferência
Seja	
  𝑈' uma	
  amplitude	
  unitária	
  e	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  inicial	
  é	
  nulo.	
  Então:
É	
  igual	
  a:	
  
No	
  domínio	
  da	
  frequência,	
  teremos:
U(s)	
  = --./ω.
Cujos	
  polos	
  são:	
  s1	
  =	
  +	
  jω e	
  s2=	
  -­‐ jω
𝑢(𝑡) = 𝑈' cos(ωt	
  +	
  θ	
  ()
𝑢(𝑡) = cos(ωt)
Via	
  transformada	
  de	
  
Laplace
Observando	
  o	
  Diagrama	
  de	
  Blocos:
Y(s)	
  =	
  G(s)	
   -(-01ω)(-/1ω)
Y(s)	
  =	
  G(s)	
  U(s)	
  = 𝐺(𝑠) --./ω.
U(s)
Desenvolvendo a resposta Y(s) em frações parciais, teremos certo
número de frações provenientes do desdobramento de G(s) e mais
duas componentes provenientes da função de excitação harmônica
U(s).
Y(s)	
  =	
  	
   4-/5 +	
   6-/7 +	
  ...	
  +	
   8-01ω +	
   9	
  -/1ω
Componentes	
  de	
  G(s) Componentes	
  de	
  U(s)
Resposta	
  completa	
  =	
  Y(s)
Frações	
  de	
  G(s)	
  =	
  Resposta	
  Livre	
  YL(s)
Frações	
  de	
  U(s)	
  =	
  Resposta	
  Forçada	
  YF(s)
Nota:
• As frações geradas pelos polos de G(s) dão origem à parte livre (transitória) da
resposta.
• As frações geradas pelo sinal de excitação U(s) dão origem à parte forçada
(permanente) da resposta.
Assim: 𝑌(𝑠) = 𝑌;(s) + 𝑌*(s) 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  𝑦(𝑡) = 𝑦;(t) + 𝑦*(t)
Via	
  transformada	
  
inversa	
  de	
  Laplace
No caso, estamos interessados apenas na resposta forçada, que, no
domínio da frequência é:
YF(s)	
  =	
  	
  
8-01ω +	
   9	
  -/1ω
𝐶 = [𝑌 𝑠 (𝑠 − 	
  𝑗ω)]s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 + 𝑗ω s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺(𝑗ω) 12
𝐷 = [𝑌 𝑠 (𝑠 + 	
  𝑗ω)]s	
  =-­‐	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 − 𝑗ω s	
  =-­‐	
  𝑗ω = 𝐺(−𝑗ω) 12
G(jw)	
  e	
  G(-­‐jw)	
  são	
  funções	
  complexas	
  conjugadas	
  da	
  variável	
  jw.
Na	
  forma	
  retangular,	
  elas	
  apresentam	
  a	
  mesma	
  parte	
  real,	
  porém	
  com	
  partes	
  imaginárias	
  simétricas.
Na	
  forma	
  polar,	
  apresentam	
  o	
  mesmo	
  módulo,	
  mas	
  com	
  ângulos	
  de	
  fase	
  opostos.	
  
G(jw)	
  e	
  G(-­‐jw)	
  são	
  funções	
  complexas	
  conjugadas	
  da	
  variável	
  jw.
Na	
  forma	
  retangular,	
  elas	
  apresentam	
  a	
  mesma	
  parte	
  real,	
  porém	
  com	
  partes	
  imaginárias	
  simétricas.
Na	
  forma	
  polar,	
  apresentam	
  o	
  mesmo	
  módulo,	
  mas	
  com	
  ângulos	
  de	
  fase	
  opostos.	
  
Assim:
G(jw)	
  =	
  Re[G(jw)]	
  +	
  j Im[G(jw)]
G(-­‐jw)	
  =	
  Re[G(jw)]	
  -­‐ j Im[G(jw)]
𝑮(jω) = |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅𝑮(-­‐‑jω) = |𝑮(𝒋ω)|𝒆0𝒋∅
Ou	
  ainda:
onde
∅ = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏	
  {𝐼𝑚[𝐺 𝑗ω ]	
  𝑅𝑒[𝐺(𝑗ω)]	
  }
𝑮(jω) = |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅𝑮(-­‐‑jω) = |𝑮(𝒋ω)|𝒆0𝒋∅ ∅ = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏	
  {𝐼𝑚[𝐺 𝑗ω ]	
  𝑅𝑒[𝐺(𝑗ω)]	
  }
Assim,	
  podemos	
  escrever	
  que:
C	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅
D = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆0𝒋∅𝐶 = [𝑌 𝑠 (𝑠 − 	
  𝑗ω)]s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠
𝑠𝑠 + 𝑗ω s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺(𝑗ω) 12𝐷 = [𝑌 𝑠 (𝑠 + 	
  𝑗ω)]s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 − 𝑗ω s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺(−𝑗ω) 12
Assim,	
  podemos	
  escrever	
  que:
C	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅
D = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆0𝒋∅
E,	
  portanto:
𝐶 = [𝑌 𝑠 (𝑠 − 	
  𝑗ω)]s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 + 𝑗ω s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺(𝑗ω) 12𝐷 = [𝑌 𝑠 (𝑠 + 	
  𝑗ω)]s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 − 𝑗ω s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺(−𝑗ω) 12
YF(s)	
  =	
  	
  
8-01ω +	
   9	
  -/1ω YF(s)	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|[ 𝒆𝒋∅-01ω 	
  +	
   𝒆X𝒋∅	
  -/1ω ]
A	
  resposta	
  forçada	
  no	
  domínio	
  do	
  tempo	
  será:
yF(t)	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|[𝒆𝒋(ω𝒕/∅)+	
  𝒆0𝒋(ω𝒕/∅)]	
  =|𝑮(𝒋ω)|cos(ω𝒕 + ∅)
Assim,	
  podemos	
  escrever	
  que:
C	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅
D = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|𝒆0𝒋∅
E,	
  portanto:
𝐶 = [𝑌 𝑠 (𝑠 − 	
  𝑗ω)]s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 + 𝑗ω s	
  =	
  𝑗ω = 𝐺(𝑗ω) 12𝐷 = [𝑌 𝑠 (𝑠 + 	
  𝑗ω)]s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺 𝑠 𝑠𝑠 − 𝑗ω s	
  =−	
  𝑗ω = 𝐺(−𝑗ω) 12
YF(s)	
  =	
  	
  
8-01ω +	
   9	
  -/1ω YF(s)	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|[ 𝒆𝒋∅-01ω 	
  +	
   𝒆X𝒋∅	
  -/1ω ]
A	
  resposta	
  forçada	
  no	
  domínio	
  do	
  tempo	
  será:
yF(t)	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|[𝒆𝒋(ω𝒕/∅)+	
  𝒆0𝒋(ω𝒕/∅)]	
  =|𝑮(𝒋ω)|cos(ω𝒕 + ∅)
Nota-­‐se,	
  portanto,	
  que	
  para	
  uma	
  entradasenoidal	
  u(t)	
  =	
  cos(wt)	
  a	
  resposta	
  forçada	
  do	
  sistema	
  será:
yF(t)	
  = 𝟏	
  𝟐 |𝑮(𝒋ω)|[𝒆𝒋(ω𝒕/∅)+	
  𝒆0𝒋(ω𝒕/∅)]	
  =|𝑮(𝒋ω)|cos(ω𝒕 + ∅)
• Também	
  uma	
  função	
  harmônica	
  de	
  mesma	
  frequência	
  que	
  a	
  excitação
• A	
  amplitude	
  é	
  dada	
  por:	
  |𝑮(𝒋ω)|
• E	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  é	
  dado	
  por:	
  ∅
Portanto,	
  essas	
  duas	
  informações	
  da	
  resposta	
  estão	
  contidas	
  na	
  função	
  G(jw)	
  =	
  [G(s)] s=jw.
Essa	
  função	
  é	
  denominada	
  Função	
  senoidal	
  de	
  transferência	
  ou	
  função	
  harmônica	
  de	
  
transferência.
Fasores de	
  entrada	
  e	
  saída
Entrada Processo Saída
u(𝒕) = cos(ωt) G(s) yF(t) = |𝑮(𝒋ω)|cos(ωt + ∅)
u(𝒕) = Umcos(ωt) G(s) yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt + ∅)
u(𝒕) = cos(ωt+θ() G(s) yF(t) = |𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
u(𝒕) = Umcos(ωt+θ() G(s) yF(t)	
  = Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
U(s)
Esse	
  resultado	
  é	
  válido	
  se	
  G(s)	
  for	
  um	
  sistema	
  linear	
  invariante	
  no	
  tempo.
Entrada Processo Saída
u(𝒕) = Umcos(ωt+θ() G(s) yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
U(s)
Note	
  que:	
  a	
  função	
  harmônica	
  de	
  transferência	
  (jw)	
  fornece	
  os	
  
dados	
  necessários	
  e	
  suficientes	
  para	
  a	
  determinação	
  da	
  resposta	
  
do	
  sistema	
  a	
  uma	
  excitação	
  harmônica	
  conhecida.
Onde:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  |𝑮(𝒋ω)| é chamado o ganho de amplitude;∅ é chamado de ângulo de defasagem
Entrada Processo Saída
u(𝒕) = Umcos(ωt+θ() G(s) yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
U(s)
Assim a resposta forçada no domínio temporal será:
yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
Com:
yM(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)	
  |
E	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
θ’0	
  =(θ( + ∅)
Entrada Processo Saída
u(𝒕) = Umcos(ωt+θ() G(s) yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
U(s)
Assim a resposta forçada no domínio temporal será:
yF(t)	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)|cos(ωt+θ( + ∅)
Com:
yM	
  =	
  Um|𝑮(𝒋ω)	
  |
E	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
θ’0	
  =(θ( + ∅) Assim, |𝑮(𝒋ω)	
  |	
  = 𝒀𝒎𝑼𝒎
Vamos agora definir os seguintes fasores de entrada e saída:𝑼(𝒋ω) = 𝑼𝒎𝒆jθ^𝒀(𝒋ω) = 𝒀𝒎𝒆jθ’^
A representação destes fasores encontra-­‐se na figura abaixo:
Vamos agora definir os seguintes fasores de entrada e saída:𝑼(𝒋ω) = 𝑼𝒎𝒆jθ^𝒀(𝒋ω) = 𝒀𝒎𝒆jθ’^
A relação entre 𝒀(𝒋ω) e 𝑼(𝒋ω) resulta em:
𝒀(𝒋ω)𝑼(𝒋ω) = 	
   𝒀𝒎𝒆jθ’^𝑼𝒎𝒆jθ^ = |𝑮 𝒋ω |𝒆𝒋 θ’^0θ^ = |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅= 𝑮(𝒋ω)
Vamos agora definir os seguintes fasores de entrada e saída:𝑼(𝒋ω) = 𝑼𝒎𝒆jθ^𝒀(𝒋ω) = 𝒀𝒎𝒆jθ’^
A relação entre 𝒀(𝒋ω) e 𝑼(𝒋ω) resulta em:𝒀(𝒋ω)𝑼(𝒋ω) = 	
   𝒀𝒎𝒆jθ’^𝑼𝒎𝒆jθ^ = |𝑮 𝒋ω |𝒆𝒋 θ’^0θ^ = |𝑮(𝒋ω)|𝒆𝒋∅= 𝑮(𝒋ω)
Logo,	
  Y(jw)	
  =	
  G(jw)U(jw)
Portanto,	
  G(jw)	
  é	
  o	
  operador	
  que	
  transforma	
  o	
  fasor de	
  entrada	
  no	
  
fasor de	
  saída.
Exercícios
Representações	
  Gráficas	
  da	
  Resposta	
  em	
  Frequência
Uma	
  possível	
  representação	
  gráfica	
  da	
  resposta	
  em	
  frequência	
  do	
  
sistema	
  é	
  fornecida	
  por	
  meio	
  dos	
  Diagramas	
  de	
  Bode.
Um	
  par	
  de	
  gráficos	
  cartesianos	
  em	
  função	
  de	
  ω,	
  como	
  variável	
  
independente,	
  sendo	
  um	
  deles	
  representado	
  o	
  módulo	
  |𝑮(𝒋ω)|,	
  e	
  o	
  
outro,	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  ∅.
Representações	
  Gráficas	
  da	
  Resposta	
  em	
  Frequência
Representações	
  Gráficas	
  da	
  Resposta	
  em	
  Frequência
• Na	
  representação	
  cartesiana,	
  a	
  resposta	
  em	
  frequência	
  desdobra-­‐se	
  em	
  dois	
  
gráficos.
• Um	
  representa	
  o	
  ganho	
  em	
  função	
  da	
  frequência;
• O	
  outro	
  representa	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  em	
  função	
  da	
  frequência.
Tipicamente,	
  a	
  variável	
  ω é	
  representada	
  em	
  escala	
  logarítmica	
  no	
  eixo	
  das	
  
abscissas,	
  e	
  o	
  ganho	
  é	
  dado	
  em	
  decibéis	
  (dB)	
  no	
  eixo	
  das	
  ordenadas	
  do	
  
primeiro	
  gráfico.
YdB =	
  20	
  log	
  |𝑮(𝒋ω)|
Representações	
  Gráficas	
  da	
  Resposta	
  em	
  Frequência
• Na	
  representação	
  cartesiana,	
  a	
  resposta	
  em	
  frequência	
  desdobra-­‐se	
  em	
  dois	
  
gráficos.
• Um	
  representa	
  o	
  ganho	
  em	
  função	
  da	
  frequência;
• O	
  outro	
  representa	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  em	
  função	
  da	
  frequência.
Tipicamente,	
  a	
  variável	
  ω é	
  representada	
  em	
  escala	
  logarítmica	
  no	
  eixo	
  das	
  
abscissas,	
  e	
  o	
  ganho	
  é	
  dado	
  em	
  decibéis	
  (dB)	
  no	
  eixo	
  das	
  ordenadas	
  do	
  
primeiro	
  gráfico.
YdB =	
  20	
  log	
  |𝑮(𝒋ω)|
A vantagem de representar ω em escala logarítmica é conseguir
um amplo intervalo de variação da frequência dentro das
dimensões limitadas do gráfico.
Representações	
  Gráficas	
  da	
  Resposta	
  em	
  Frequência
• Na	
  representação	
  cartesiana,	
  a	
  resposta	
  em	
  frequência	
  desdobra-­‐se	
  em	
  
dois	
  gráficos.
• Um	
  representa	
  o	
  ganho	
  em	
  função	
  da	
  frequência;
• O	
  outro	
  representa	
  o	
  ângulo	
  de	
  fase	
  em	
  função	
  da	
  frequência.
Tipicamente,	
  a	
  variável	
  ω é	
  representada	
  em	
  escala	
  logarítmica	
  no	
  eixo	
  das	
  abscissas,	
  e	
  
o	
  ganho	
  é	
  dado	
  em	
  decibéis	
  (dB)	
  no	
  eixo	
  das	
  ordenadas	
  do	
  primeiro	
  gráfico.
YdB =	
  20	
  log	
  |𝑮(𝒋ω)|
No	
  gráfico	
  de	
  ângulo	
  de	
  fase,	
  a	
  escala	
  do	
  eixo	
  das	
  abscissas	
  coincide	
  com	
  a	
  do	
  primeiro	
  
gráfico;	
  portanto,	
  utiliza-­‐se	
  a	
  escala	
  logarítmica	
  para	
  a	
  representação	
  de	
  ω,	
  mas	
  o	
  
ângulo	
  de	
  defasagem	
  é	
  apresentada	
  em	
  escala	
  linear	
  (geralmente	
  medida	
  em	
  graus).