aula2-medidas central

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2012/1 Seção 1 1
 Média ou Valor Esperado
 Moda
 Mediana
Medidas de 
Tendência Central
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 Mais usual das medidas estatísticas
 Relação entre soma e contagem
 Centro geométrico de um conjunto de dados
Dados não agrupados (sequência de números : 1,2,5,5…)
Média Aritmética Simples
contagem
soma
média 
n
x
xou
n
i

 1
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 Cuidado com as médias!!!
Aparências 
podem enganar!
A mediana, depende da posição e não dos valores dos
elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças
marcantes entre mediana e média
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
A segunda média é maior , por influência dos valores extremos, 
ao passo que a mediana permanece a mesma.
. 
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 Maldição dos extremos ou outliers
Solução para o problema …
Remover 
os extremos!!
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 Roberval trabalha em um banco como gestor de um 
departamento de análise de crédito. 
 Uma empresa de grande porte solicitou crédito. Quanto mais 
rápido o relatório for obtido, melhor, e o banco perderá esse 
cliente se o relatório demorar mais que 18 dias.
 Qual dos analistas do banco (João, Pedro e Carlos) deveria ser 
indicado para o trabalho? 
Quanto tempo leva para elaborar um relatório de 
análise de crédito
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Classes fi 
41 |------- 45 7
45 |------- 49 3
49 |------- 53 4
53 |------- 57 1
57 |------- 61 5
Total fi = n =20
Dados Freqüência 
41 3
42 2
43 1
44 1
45 1
46 2
total 10





i
k
1i
ii
f
fx
X
MÉDIOPONTOX i 
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 Desvio em relação à média - Denominamos desvio em relação
à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de
valores e a média aritmética.
 O somatório dos desvios em relação à média será igual a zero.
Xxidi 
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 O centro dos dados ordenados
Dados não agrupados.
MEDIANA
Onde está o
centro
???
{3; 7; 9; 10; 4; 8; 2}
Ordenando no Rol
{2; 3; 4; 7; 8; 9; 10}
{2; 3; 4; 8; 9; 10}
6
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 Mediana para dados agrupados sem intervalo de classe
 Calcular a frequência acumulada
 Calcular 
 Comparar com a frequência acumulada
 Escolher a linha com maior valor e mais próximo do 
 A mediana será o próprio xi da linha
2
 if
2
 if
2
 if
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Notas fi Fa
5 2 2
6 4 6
7 8 14
8 4 18
9 2 20
 Exemplo
10
2
20
2

 if
Comparando??
Mediana= é o próprio xi = 7
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 Mediana com intervalo classe:
Usar a fórmula
h
fi
2
fi
LMd 











anteriorF
i
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h
fi
2
fi
lMd 











anteriorF
i
li : limite inferior da classe que contém a 
mediana
Fant: frequência acumulada das classes 
anteriores à classe que contém a mediana
fi : freqüência da classe que contém a 
mediana
h : amplitude das classes
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 Exemplo:
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 Valor que se repete com maior frequência.
MODA
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Moda
Sem intervalo
Próprio xiMédia dos 
intervalos
Com intervalo
Escolher maior
frequência
2
liLi 
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 Medidas Separatrizes - São números que dividem a seqüência ordenada de
dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.
 Quartis: Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma ficará com seus
25% de seus elementos.
Medidas Separatrizes
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 Podemos expandir o conceito de mediana para quartis. 
 25% das observações estão abaixo do 1°quartil (Q1) e 75%, acima
 75% das observações estão abaixo do 3° quartil (Q3) e 25%, acima
Quartis
Q1 Q2 (mediana) Q3
25 % dos casos 25 % dos casos 25 % dos casos 25 % dos casos
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 Obtenha n, o número de observações.
 Calcule a posição do valor do quartil de interesse:
 Para Q1, calcule (n+1)/4
 Para Q2 (mediana) calcule (n+1)/2
 Para Q3, calcule 3(n+1)/4
Quartis – calculando
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 Se o resultado for um número inteiro, o quartil é a observação na 
posição calculada. 
 Ex: (n+1)/4 = 3. Q1 é a 3 ° observação ordenada.
 Se o resultado for uma metade fracionada (2,5; 3,5), o quartil é a 
média entre os valores correspondentes às posições anterior e 
posterior.
 Ex: Ex. (n+1)/4 = 2,5. Q1 é a média entre a 2° e a 3° observações 
ordenadas.
 Se o resultado não for um número inteiro ou metade fracionada, 
arredonde para a posição inteira mais próxima.
 Ex: (n+1)/4 = 2,75. Q1 é a 3° observação ordenada.
Quartis – calculando
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Quartis – exemplo
Tempos de 
João (dias)
n = 11
Posição de Q1 = (n+1)/4 = 12/4 = 3 Q1 é a 3° observação, Q1 = 14 dias
Posição de Q2 = (n+1)/2 = 12/2 = 6 Q2 (mediana) é a 6° obs., Q2 = 16 dias
Posição de Q3 = 3(n+1)/4 = 36/4 = 9 Q1 é a 9 ° observação, Q3 = 20 dias
Q1 = 14 dias Q2 = 16 dias Q3 = 20 dias
13 13 14 14 15 16 18 19 20 22 23
Dias 13 13 14 14 15 16 18 19 20 22 23
Posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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 Se o ponto de posicionamento for um número inteiro, é só usar
o número correspondente àquela posição
 Se o ponto de posicionamento estiver na metade entre 2
números inteiros, a média dos dois números à direita e à
esquerda será o quartil
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 Calcular o terceiro quarti
 Regras similares da mediana
h
fi
4
fi3
lQ3 











anteriorF
i
75,784/105.3
4
Q 
 fi
nn
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 Portanto Q3 = 35,93.
 Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são valores
menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores desta seqüência
são valores maiores ou iguais que 35.93.